XVIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Параболы в арочных мостах
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Оглянувшись вокруг себя, мы видим различные конструкции из камня,
металла, бетона. Ни одного архитектурного сооружения в нашем мире не
существовало бы без предварительных точных расчетов, которые помогает
делать наука под названием математика. В повседневной жизни довольно
часто нам встречаются дугообразные конструкции; эта форма широко
распространена не только из-за эстетичного внешнего вида, но и из-за
способности выдерживать нагрузки, вызываемые весом самого сооружения и
дополнительными факторами (сейсмической активностью в регионе,
рельефом местности и протекающих в этой местности рек). К таким
сооружениям относятся арки, акведуки, мосты.
Первый мост придумал человек, которому необходимо было
перебраться с одного берега ручья на другой. Для моста он использовал
подручные средства, чаще всего им был ствол дерева. С помощью данного
способа можно перебраться и в наше время.
Как быть, если река широкая? Ствола дерева не хватит.
Для того, чтобы построить мост через широкую реку или над глубоким
проливом, где каждая новая опора — это новые затраты и новые инженерные
сложности, приходится принимать дополнительные меры. Мост – это сложная
конструкция, которая должна выдерживать тяжесть проезжающего
транспорта. Ведь все материалы, которые используются при строительстве
моста имеют свой предел прочности, а если эту прочность постоянно
увеличивать, будет расти и вес самого моста, и мост от тяжести конструкции
может обрушиться. А как можно сделать мост прочным и надежным? Меня заинтересовал этот вопрос. Сможет ли помочь в этом математика? Я решил найти информацию и узнать об этом.
Цель проекта: выяснить, как свойства графика квадратичной функции
применяются при строительстве арочных мостов.
Задачи:
1) Найти информацию о квадратичной функции, ее свойствах и
графике.
2) Найти информацию о различных типах мостов.
3) Узнать какие свойства параболы применяются при строительстве
арочных мостов.
Предмет исследования: арочные мосты.
Объект исследования: свойства параболы, применяемые при
строительстве арочных мостов.
1. Квадратичная функция, ее свойства и график.
Термин функция (от лат. function – исполнение, совершение) впервые
был введен немецким ученым Г. Лейбницем в конце 17 века.
Функцией называется зависимость между двумя переменными x и y, при
которой каждому значению х соответствует единственное значение у.
Одним из способов задания функции является график.
Графиком функции называется множество точек в системе координат,
абсциссы которых равны аргументу, а ординаты – соответствующим
значениям функции.
Существует довольно много видов функций, но нас интересует
квадратичная функция, ее свойства и график.
Функция вида y = aх^2+ bx + c, где a ≠ 0 называется квадратичной.
Графиком этой функции является парабола.
Парабола – это геометрическое место точек, равноудаленных от данной
прямой, называемой директрисой параболы и данной точки, называемой
фокусом параболы.
Ветви параболы направлены вверх, при a > 0 и ветви параболы
направлены вниз, при a < 0.
Парабола с вершиной в начале координат является графиком функции
y = ax^2, при a ≠ 0. Ось y является осью симметрии параболы, ветви
параболы направлены вверх при a > 0 и вниз при a < 0.
В архитектуре чаще встречаются сооружения и конструкции, в основе
которых лежит парабола, оси которой направлены вниз. Это не случайно
именно такая ее форма сочетает в себе геометрическую красоту и
механическую приспособленность к напряжениям и деформациям,
вызываемым весом сооружений, именно это ее свойство привлекало и сейчас
привлекает архитекторов использовать данную функцию при строительстве
мостов и различных арок.
Рассматривая подробнее функцию y = ax^2 при a < 0, отметим, что
область определения этой непрерывной функции (−∞; +∞), наибольшее
значение функции достигается при x = 0, наименьшего не существует.
Именно это свойство позволяет использовать график квадратичной функции
при создании сооружений любой высоты.
Симметричность же данной функции относительно оси симметрии
параболы позволяет достигать равномерного распределения нагрузки, что
способствует устойчивости и прочности сооружений, в основе которых так
или иначе лежит парабола.
2. Уравнение профиля моста.
Задача 41.69 (учебник «Алгебра и начала математического анализа» 10
класс (профильный уровень), автор Мордкович А. Г.)
Строится мост параболической формы, соединяющий пункты A и B, расстояние между которыми равно 200 м. Въезд на мост и съезд с моста должны быть прямолинейными участками пути, эти участки направлены к горизонту под углом 1 °. Указанные прямые должны быть касательными к параболе. Составить уравнение профиля моста в заданной системе координат
Решение: AСB парабола (профиль моста), точки A и B имеют координаты A(-100;0), B(100;0). Прямые AK и KB касаются параболы в точках A и B, их угловые коэффициенты равны, соответственно, tg15° и tg165°.
Будем искать уравнение параболы в виде: y = ax^2 + c, где a < 0, c > 0. Тогда
y′ = 2ax, причем y′(−100) = tg15°. Значит, 2a ∙ (−100) = tg15°, откуда
находим a = −(tg15°/200).
Подставим в уравнение параболы значения x = −100, y = 0, получим:
0 = 10000a + c
c = −10000a = −10000 ∙ (−tg15°/200 ) = 50tg15°.
Коэффициенты a и c, с их помощью составляем уравнение профиля
моста: y = −(tg15°/200)х^2 + 50tg15°.
3. Типы мостов, где используются свойства параболы.
Первый мост придумал какой-то неведомый древний человек,
бросивший плоский камень или ствол дерева через ручей, чтобы лишний раз
не вступать в холодную воду. Так появилась простейшая балочная
конструкция, которая и поныне используется там, где можно обойтись
пролетом небольшой длины.
А вот если мост перебрасывается на большой высоте или над глубоким
проливом, где каждая новая опора — это новые затраты и новые инженерные
сложности, приходится принимать дополнительные меры. Ведь на мостовой
пролет действуют одновременно две силы — растяжение снизу и сжатие
сверху. У каждого пролета есть предел прочности, а если эту прочность
постоянно увеличивать, будет расти и вес балки жесткости, а мост однажды
обрушится под ее тяжестью.
Способ возведения подвесных мостов из природных канатов идет из
глубокой древности. Провисающие тросы придают этим мостам характерную
форму параболы.
В применении параболической дуги при постройке мостов различают
следующие типы:
висячие (цепные) мосты с тросами, провисающими по кривой
параболической формы;
вантовые мосты;
арочные мосты.
Висячие мосты
Висячий мост – мост, в котором основная несущая конструкция
выполнена из гибких элементов (кабелей, канатов, цепей и др.), работающих
на растяжение, а проезжая часть подвешена. Применение висячих мостов,
позволяет перераспределить нагрузку с балки на трос или цепь и обойтись без дополнительных опор. Висячие мосты могут без ущерба для целостности конструкции изгибаться под действием сильного ветра или сейсмических нагрузок, тогда как более жёсткие мосты нужно строить более крепкими и тяжёлыми. Основные напряжения в висячем мосте — это напряжения растяжения в основных тросах и напряжения сжатия в опорах, напряжения в самом пролёте малы. Почти все силы в опорах направлены вертикально вниз и стабилизируются за счёт тросов, поэтому опоры могут быть очень тонкими.
Под действием собственного веса и веса мостового пролёта тросы
провисают и образуют дугу, близкую к параболе. Ненагруженный трос,
подвешенный между двумя опорами, принимает форму так называемой
«цепной линии», которая близка к параболе в горизонтальном участке. (см.пр.1)
Цепная линия — черный пунктир, парабола —сплошная линия.
Если весом тросов можно пренебречь, а вес пролёта равномерно
распределён по длине моста, тросы принимают форму параболы. Если вес троса сравним с весом дорожного полотна, то его форма будет промежуточной между цепной линией и параболой. (см.пр.2)
Основные несущие тросы (или цепи) подвешивают между
установленными по берегам пилонами. К этим тросам крепят вертикальные
тросы или балки, на которых подвешивается дорожное полотно основного
пролёта моста. Основные тросы продолжаются за пилонами и закрепляются
на уровне земли. Продолжение тросов может использоваться для поддержки
двух дополнительных пролётов.
Основной пролёт можно сделать очень длинным при минимальном
количестве материала. Поэтому использование такой конструкции очень
эффективно при строительстве мостов через широкие ущелья и водные
преграды или реки с сильным течением. В современных висячих мостах
широко применяют проволочные тросы и канаты из высокопрочной стали с
пределом прочности около 200-250 кгс/мм2, что существенно снижает
собственный вес моста.
При создании проекта моста следует всегда учитывать возможные
природные катаклизмы, такие, как сильный ветер или землетрясение.
Вантовые мосты
Вантовый мост считается разновидностью висячего, однако имеет одно
важное отличие: гибкой несущей конструкции там нет. Нагрузка на балку
передается высоким опорам (пилонам) через систему вант — тросов.
Существуют две основные схемы крепления вант к пилону — стиль веера и
стиль арфы. В первом случае пучок вант крепится к одной точке, а затем
подобно вееру расходится, чтобы соединиться в разных точках с балкой
жесткости. (см.пр.3)
Если мост выполнен в стиле арфы — ванты крепятся к разным точкам
пилона и идут к балке жесткости практически параллельно. С точки зрения
устойчивости конструкции «веерный» вариант предпочтительней — так
минимизируется опрокидывающий момент, передаваемый на пилон, но...
если вант слишком много, выводить их из одной точки довольно сложно с
инженерной точки зрения. В этом случае выбирается промежуточный вариант — ближе к вееру, но ванты крепятся на пилоне на небольшом расстоянии друг от друга.
Ванта — это не простой металлический трос, а сложная,
«мультистрендовая» конструкция, состоящая из отдельных тонких тросов
(стрендов).
Преимущество мультистрендовой конструкции в том, что при
креплении к анкерам пилона и балки жесткости каждая «ниточка» отдельно
крепится и отдельно натягивается в анкерной конструкции. И что особенно
интересно, отдельный стренд можно вытащить из ванты и при необходимости
заменить. Внутри ванты тросики не соприкасаются друг с другом: помимо
гальванизации каждый из них защищен от коррозии дополнительной оплеткой из полиэтилена высокой плотности.
Арочные мосты
Арочный мост — тип моста, в котором основными несущими
конструкциями являются арки или своды.
Арка — криволинейный брус, у которого поперечный размер меньше
высоты.
Свод — криволинейный брус, у которого ширина сечения значительно
больше высоты.
Арки и своды – это параболы с различными коэффициентами a < 0.
Различают мосты с полукруглой аркой (с углом арок 180° или соотношением пролёта к высоте арки 2:1) и сегментные мосты (с углом арок
меньше 180° или соотношением пролёта к высоте арки 3:1 и более).
Арочные мосты, которые существенно выгнуты вверх, принято
называть горбатыми. Многие из таких мостов, возведённые в Средние века в
трудноступных горных ущельях, именуют также чёртовыми, или
дьявольскими. Считалось, что возведение столь сложных для своего времени
инженерных сооружений не обошлось без участия нечистой силы.
По взаимному расположению арки (арок) и проезжей части различают
мосты с ездой поверху — когда проезжая часть расположена над арками, с
ездой понизу — когда проезжая часть расположена под арками, и с ездой
посередине (для данного типа также встречается название «с пониженной
ездой») — когда проезжая часть расположена между арками.
Арочные мосты с ездой понизу часто делают с затяжкой,
воспринимающей распор арки. Это позволяет вместо массивных устойных
опор, воспринимающих и передающих на грунт, кроме вертикальных
нагрузок, ещё и распорные усилия арки, использовать более лёгкие опоры, на
которые действуют только вертикальные нагрузки. Арочные мосты с затяжкой
могут устанавливаться на слабых грунтах.
Виды арочных мостов (схемы) : а – с ездой поверху; б – с ездой
посередине; в – с ездой понизу; 1 – арка; 2 – стойки; 3 – проезжая часть; 4 – подвески (см. пр. 4)
Основные размеры элементов арочных мостов – высота и ширина балок,
толщина плиты, высота и ширина арок, количество арматуры и т.п. –
окончательно устанавливаются на основании расчета сооружения в
соответствии с действующими на сооружение нагрузками и качеством
материалов, из которых строится мост.
Выбор толщины арки затруднителен вследствие большого разнообразия
факторов, влияющих на этот выбор, таких как величина нагрузки, марка
бетона и т.д.
Также для строения моста необходимо рассчитать максимально
возможную нагрузку на конструкцию. Для этого используется формула
Журавского τ =Q∙S*/Iz∙b, где Q - поперечная сила в рассматриваемом сечении, S* – статический момент части сечения, отсеченной уровнем; на которомопределяются напряжения; Iz – момент инерции сечения; b – ширина сечения на уровне, на котором определяются напряжения.
Примеры мостов
Бугринский мост (см. пр. 5) – мост через Обь в Новосибирске, соединяющий
Кировский, Первомайский и Октябрьский районы.
Главный конструктивный элемент моста - русловый пролет через Обь,
который на гибких вантах поддерживает металлическая арка, выполненная в
форме параболы. Длина моста - 2097 м. Длина пролетов - от 40 до 105 метров. Длина основания арочного пролёта - 380 м. Высота арки - 70 м. Это самый большой арочный пролет в России и СНГ. Он необходим для того, чтобы перекрыть геологический разлом, проходящий по дну Оби и попадающий в зону строительства моста. Метод вертикальной надвижки сводов арки по контуру под углом 45 градусов, используемый в строительстве Бугринского моста, был применен впервые в мире. Стилистическое решение моста подчинено символике: арка имеет очертания, напоминающие лук (параболу), являющийся одним из исторических символов Сибири. Этим продиктован и цвет арки - красный. У Бугринского моста также самая большая сетчатая арка в мире. Весит мост 27000 тонн.
Живописный мост (см. пр. 6) – вантовый мост через Москву-реку. Расположен на северо-западе Москвы, входит в состав Краснопресненского проспекта и
проспекта Маршала Жукова. Получил название по находящейся рядом
Живописной улице. Опора (арочный пилон) моста получила форму арки (параболы с коэффициентами a<0) с прикреплённым к ней с помощью вант мостовым полотном. Вопреки общепринятому канону, несущие балки пришлось расположить не поперёк, а вдоль реки для сохранности природных зон и во избежание помех для судоходства. Троицкий мост в Санкт-Петербурге. Троицкий мост соединяет Марсово поле и Троицкую площадь на Петроградской стороне в Санкт-Петербурге. Это один из самых красивых и самых больших мостов в Северной столице: его длина составляет 582 м, а ширина — 23,43 м. Троицкий мост имеет 5 пролетов,
а разводным является пролет, расположенный ближе к левому берегу Невы.
Это вид арочного моста с ездой поверху.
Патриарший мост (см. пр. 7). Арочное однопролётное сооружение возведено
как пешеходное и соединяет Берсеневскую набережную и Большую
Якиманку, входя в зону пешеходного Золотого Кольца столицы.
Валунный мост (см. пр. 8) в усадьбе Василёво, Тверская область.
При строительстве не было использовано никаких скрепляющих
растворов. Конструкция на протяжении уже почти 250 лет держится за счет
физики - грамотного использования сил притяжения и давления.
Никольский каменный мост (см. пр. 9), Челябинская область.
Уникален. Эта переправа через реку Сим - первый в СССР арочный
бетонный железнодорожный мост.
Переправа представляет собой двухарочную конструкцию - одна из арок
нависает над речкой, а вторая над дорогой Миньяр. Мост построили всего за
два года и ввели в эксплуатацию в 1930 году.
Заключение
Работая над проектом, я повторил свойства квадратичной функции и её
график. В процессе работы я нашёл информацию о мостах, об их
строительстве и узнал много нового. Мосты являются красивейшими
архитектурными сооружениями и в тоже время прочными и надежными,
благодаря тому, что в них используется свойство графика квадратичной
функции – параболы.
Я узнал, как применяются свойства параболы при строительстве
мостов. При строительстве арочных мостов ветви параболы направлены вниз,
а при строительстве висячих мостов – вверх.
Таким образом, изучив информацию, полученную из различных
источников, я пришёл к выводу, что красота и прочность мостов
обеспечивается свойствами параболы и зависит от материалов, которые
используются для строительства моста.
Несмотря на то, что тема моего проекта звучит «Парабола в арочных
мостах», я узнал, что свойства параболы используются и при строительстве
висячих мостов.
Список использованных источников
1. Алгебра 9 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Г. В.
Дорофеев, С. В. Суворова, Е. А. Бунимович и др.]. – 3-е изд. – М.:
Просвещение, 2016. – 336 с.: ил.
2. Мордкович А. Г. Алгебра и начала анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник
для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А.
Г. Мордкович, П. В. Семенов. – 6-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2014. – 424 с.:ил.
3. http://www.arhplan.ru/bridges/metallic/design-of-arch-and-combined-
systems
4. https://kopilkaurokov.ru/matematika/presentacii/parabola-v-arkhitiekturie
5. http://snip1.ru/arhitectura/arxitektura/arxitekturnye-formy/mosty
6. https://gpsm.ru/wp-content/uploads/2018/12/Giprostroymost-28Mb-
compressed-1.pdf
7. https://infourok.ru/material.html?mid=177212
8. http://knitting-club.info/bridge/
9. https://kannkan.livejournal.com/49161.html
10. https://sopromat.xyz/lectures?node=1959
11. http://www.cbsmakarenko.ru/prim/87636-bugr-1.html
12. https://www.spb-
guide.ru/page_5053.htm?__cf_chl_jschl_tk__=73a13fa60be61224666d6192a819f9
506dfeb89b-1611898380-0-AX_UVERjp42fAd3JQwfnVDqJmBIV5BdOC-
rOnKvwC-SPqcHarwOZXo83LFpf7_8H6asF8vpPvPGMCKw6TR6Ob5bLo0Ae9_pU1mOQ
eSoXLt1NHg0XFFEV6pkQ-DIb0eioEBSfNJrXRnTgaLkQ-
StCuVoGO1OfU34nVhQUFA31cdufSxBvAqXqLVuoDGSO2CwIS8oh9Uo_fRO
fyuv4z5MrORVzuEiuovS- iQk2vwI7okX8ZGhJbJSp6nqTxDjieZr6_9UyI2tMIpQeDFHI-
2Bh4cJwhEy59H6RHmjozhAn53BL4u1r0oHp4jjDTbGOu9o5CzQBJFu_VdeSK3
R_yqvTaPDgSUw-BitiyMSDrFI7OyBsspaBq0pRzO0NdgVO15GpUA
13. http://russia-
open.com/regions/ural/hanty/TurMar/HantiMansisk/index.phtml
14. https://bigenc.ru/technology_and_technique/text/1831391
15. http://www.anothercity.ru/unusual-bridges
16. https://blgi.ru/luchshee-v-arhitekture-vy-udivites-no-eti-mosty-nahodyatsya-
v-rossii/
Приложения
Приложение 1.
Приложение 2.
Приложение 3.
Приложение 4.
Приложение 5.
Приложение 6.
Приложение 7.
Приложение 8.
Приложение 9.