XVIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Формула красоты - это закон математики или выдумка человека?

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Кудашкина В.В. 1

---

1ГБОУ СОШ им.Н.С.Доровского с.Подбельск

Гречушкина О.М. 1

---

1ГБОУ СОШ им.Н.С.Доровского с.Подбельск

Работа в формате PDF

1 MB

Автор работы награжден дипломом победителя I степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

«Чему бы жизнь нас ни учила,

Но сердце верит в чудеса.

Есть нескудеющая сила,

Есть и нетленная краса»

Ф. Тютчев

Цель работы: доказать присутствие «тайной пропорции» в окружающем мире.

Гипотеза исследования: я предполагаю, что красота и гармония подчиняются математическим законам.

Задачи:

1. Изучить историю вопроса.

2. Систематизировать теоретические сведения о золотом сечении.

3.Исследовать присутствие золотого сечения в окружающей жизни.

Объект исследования: золотое сечение в переплетах учебников, расположение листьев на стебле, пропорциях человеческого тела, листьях деревьев.

Предмет исследования: принцип «золотого сечения».

Актуальность:

Красота! Казалось бы, это понятие, лишенное практической ценности, не играющее существенной роли, в жизни людей является чем-то второстепенным, маловажным. Человеку достаточно одного взгляда, чтобы определить, красив предмет или нет. Естественно возникает вопрос: почему этот предмет красив, он нравится, а другой, очень похожий, не нравится, его нельзя назвать красивым? Какие «вычисления» проводит наш мозг, оценивая привлекательность? Существуют ли идеальные пропорции? В своей работе я попыталась ответить на эти вопросы с математической точки зрения.

2. Золотое сечение в математике.

2.1. История возникновения «тайной пропорции».

Поисками гармонии и совершенства люди занимались с давних пор. Одним из вопросов, волновавших древних ученых, был вопрос о нахождении наилучшего соотношения неравных частей, составляющих единое целое. Его решение связывают с именем Пифагора (VI век до н.э.), который установил, что наиболее совершенным делением целого на две неравные части является такое, при котором меньшая часть так относится к большей, как большая часть относится ко всему целому. В Древней Греции такое деление называлось гармоническим отношением. Интерес к нему необычайно возрос в эпоху Возрождения (XV – XVII). В 1509 году итальянский математик, монах Лука Пачоли (1445 – ок. 1514), друг Леонардо да Винчи (1452 – 1519), написал целую книгу «О божественной пропорции». Леонардо выполнил иллюстрации к этой книге. В ней воздействие божественной пропорции на человека называлось «существенным, невыразимым, чудесным, неизъяснимым, неугасимым, возвышенным, превосходнейшим, непостижимым». Пачоли назвал гармоническое отношение божественной пропорцией («SectioDivina»). Термин золотое сечение («Sectioaurea») появился в Германии в первой половине XIX века. Он был введён немецким математиком Мартином Омом в 1835 году.

Великий астроном XVI в. Иоганн Kеплер назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение). Кеплер называл золотую пропорцию продолжающей саму себя «Устроена она так, – писал он, – что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности».

После Иоганна Кеплера золотое сечение было предано забвению, и около 200 лет о нем никто не вспоминал. Лишь в 1850 году немецкий ученый Цейзинг открыл его снова. В своих «Эстетических исследованиях» он пишет: «Для того, чтобы целое, разделенное на две неравные части, казалось прекрасным с точки зрения формы, между меньшей и большей частями должно быть такое же отношение, что между большей частью и целым». Он называет это законом пропорций и обнаруживает его проявление в пропорциях человеческого тела и животных, в некоторых эллинских храмах, в ботанике и музыке.

Накопленные знания об этом уникальном соотношении частей в целом по эстафете передаются от поколения к поколению, наполняясь новым содержанием, проявляются в самых разных областях науки, проникают в технику.

2.2 Числовое значение золотой пропорции.

Дать определение золотой пропорции, ещё не значит, её изучить. Нужно определить величину этого удивительного соотношения. Выясним, каким числом выражается золотое сечение.

Для этого выберем произвольный отрезок и примем его длину за единицу. Разобьем этот отрезок на две неравные части, и большую из них обозначим через x. Тогда меньшая часть равна 1-x. По определению золотого отношения должно выполняться равенство (1-x) :x = x: 1. Мы получили уравнение относительно x,которое легкосвести к квадратному x²+ x– 1 = 0. Положительный корень этого уравнения равен . Золотая пропорция является величиной иррациональной, то есть несоизмеримой, её нельзя представить в виде отношения двух целых чисел. Полученное число обозначается буквой φ. Это первая буква в имени великого древнегреческого скульптора Фидия, который часто использовал золотое сечение в своих произведениях. Самыми знаменитыми из них были статуи Зевса Олимпийского (которая считалась одним из семи чудес света) и Афины Парфенос.

Итак, в золотой пропорции отношение меньшей части к большей выражается числом

Не менее важное значение имеет число, обратное , которое обозначается Ф. Число  - единственное положительное число, которое обращается в обратное себе при прибавлении единицы.

Числом выражается в золотой пропорции отношение большей части к меньшей.

Обратим внимание на удивительные свойства золотой пропорции:

Такие значительные преобразования, как возведение в степень, не смогли уничтожить сущность этой уникальной пропорции, ее «душу». Следующие соотношения еще раз демонстрируют удивительные свойства золотой пропорции:

; ; ; и т.д.

С золотой пропорцией тесно связан ряд чисел Фибоначчи 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89 и т.д. В этом ряду каждое последующее число является суммой двух предыдущих чисел. Спустя четыре столетия после открытия Фибоначчи ряда чисел И.Кеплер установил, что отношение рядом стоящих чисел в пределе стремится к золотой пропорции Ф. Это свойство присуще не только числам Фибоначчи. Начав с любых двух чисел и построив ряд, в котором каждый член равен сумме двух предыдущих (например, ряд 7, 2, 9, 11, 20, …), обнаруживается, что отношение двух последовательных членов такого ряда также стремится к числу : чем дальше от начала ряда, тем лучше будет приближение.

2.3 Построение золотого сечения.

В геометрии существуют различные способы построения золотой пропорции, причем характерно, что для построения достаточно взять самые простые геометрические фигуры – квадрат или прямоугольный треугольник с соотношением катетов 1:2.

Если с середины стороны квадрата провести окружность радиусом, равным диагонали полуквадрата, то на ее пересечении с продолженной стороной квадрата получим отрезок, который меньше стороны квадрата в соответствии с золотой пропорцией.

Еще проще построение золотой пропорции в прямоугольном треугольнике со сторонами 1,2, . Достаточно провести две дуги окружности, пересекающиеся в одной точке на гипотенузе и большой катет будет разделен в соответствии с золотой пропорцией.

Золотое сечение отрезка AB можно построить следующим образом: в точке B восстанавливают перпендикуляр к AB, откладывают на нём отрезок BC, равный половине AB, на отрезке AC откладывают отрезок AD, равный AC − CB, и наконец, на отрезке AB откладывают отрезок AE, равный AD. Тогда

2.4 Золотые фигуры.

Золотой прямоугольник.

Прямоугольник, стороны которого находятся в золотом отношении, называется золотым прямоугольником.

Алгоритм построения золотого прямоугольника рассмотрен в Приложении 2.

Золотые прямоугольники обладают многими интересными свойствами. Так из определения золотых прямоугольников следует, что они все подобны.

Если от золотого прямоугольника отрезать квадрат со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника, то снова получим золотой прямоугольник меньших размеров, подобный исходному.

Если этот процесс продолжить, то мы получим так называемые вращающиеся квадраты, и весь прямоугольник окажется составленным из этих квадратов. Если вершины квадратов соединить плавной кривой, то получим кривую, называемую золотой спиралью, форму которой имеют как раковины морских моллюсков, так и галактики во вселенной.

Золотой треугольник.

Равнобедренный треугольник называется золотым, если его боковая сторона и основание находятся в золотом отношении. Возможны два типа золотых треугольников: 1) AB: AC = φ; 2) AC: AB = φ.

Теорема. Золотыми треугольниками являются равнобедренные треугольники с углами при вершинах 36^о и 108^о.

Доказательство:

В равнобедренном треугольнике АВС с углом при вершине С, равным 36⁰, проведем биссектрису AD. Треугольники ACD и ABD равнобедренные, и треугольник BDA подобен треугольнику АВС. Примем боковую сторону треугольника АВС за единицу, а его основание за х. Тогда AD = CD = x, BD = 1-x. Из подобия треугольников получаем равенство из которого следует , что х= , т.е. треугольник АВС – золотой. Кроме того, треугольник ACD с углом при вершине D, равным 108⁰, также золотой.

Алгоритм построения золотого треугольника.(Подробнее см. в Приложения 3,4)

П роводим прямую АВ. От точки А откладываем на ней три раза отрезок О произвольной величины, через полученную точку Р проводим перпендикуляр к линии АВ, на перпендикуляре вправо и влево от точки Р откладываем отрезки О. Полученные точки d и d1 соединяем прямыми с точкой А. Отрезок dd1 откладываем на линию Ad1, получая точку С. Она разделила линию Ad1 в пропорции золотого сечения.

Пентаграмма

Правильный пятиугольник с проведенными в нем диагоналями, образующими звездчатый правильный пятиугольник называется пентаграммой. Все треугольники, на которые при этом разбивается пятиугольник, являются золотыми.

Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник. Способ его построения разработал немецкий живописец и график Альбрехт Дюрер (1471-1528). (Приложение 5)

Пусть O – центр окружности, A – точка на окружности и Е – середина отрезка ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА, восставленный в точке О, пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE = ED. Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму. Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией.

Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения.

3. Исследования.

3.1 Исследование №1

« Золотое сечение в переплетах книг».

В учебнике математики я прочитала, что, переплёты многих книг, имеют отношение длины и ширины близкое к числу «Золотого сечения». Это меня очень заинтересовало, и я решила проверить.

Я провела необходимые измерения для всех своих учебников  и вычислила отношения ширины и длины с точностью до тысячных. У меня получились такие результаты.

Наименьшее отклонение от золотого сечения получилось в учебнике обществознания за 8 класс, а наибольшие  - в учебнике алгебры.

  Может быть, переплёты старых учебников соответствуют тому, что отношение ширины к длине равно числу, близкому к золотому сечению? Взяв 4 старых учебника из школьного музея, я продолжила свои исследования.

Как видно из таблицы, опять ничего не получилось…

 Следовательно, в отношении переплётов школьных учебников и настоящего, и прошлого вывод о том, что их переплёты  изготавливаются в  отношении  золотого сечения, не подтвердился.

3.2 Исследование №2

« Золотое сечение в пропорциях человека».

Исследование роста.

Особенно заинтересовало меня золотое сечение в пропорциях человеческого тела. Знаменитый зодчий Ле Корбюзье нашёл его во многих соотношениях размеров человеческой фигуры.

Эти пропорции использовали художники и скульпторы для изображения совершенного человеческого тела.

Считается, например, что если рост человека принять за  AВ, то точка X у правильно сложенного человека совпадет с талией. Мне показалось интересным проверить это. Я проанализировала результаты соответствующих измерений у себя, у сестры и у мамы.

Таблица результатов измерений

Те люди, у которых пропорции тела близки к золотому сечению, на мой взгляд, действительно имеют хорошую фигуру.

И сследование лицевой части головы

1. Я(14лет)

4 : 1,8 =2,22

5,8 : 4 =1,45

17 : 12 =1,41

 12 : 8 =1,5

2 . Сестра(15лет)

4,1 : 1,9=2,15

 6 : 4,1 =1,46

15 : 12 =1,25

 12 : 9 =1,3

3 .Мама(37 лет)

4 : 2 =2

 6: 4 =1,5

14 : 11.8 =1,19

 11.8 : 11 =1,07

Те люди, у которых пропорции лицевой части головы близки к золотому сечению, на мой взгляд, действительно имеют хорошую внешность.

Исследование кисти руки

Я (14 лет)

а=8 12,5:8=1,56 в=4,5 7,5:4,5= 1,67

в=4,5 8:4,5=1,78с=34,5 : 3 = 1,5

а+в=12,5 в+с= 7,5

Сестра (15 лет)

а=12,5 20:12,5= 1,6 в = 7,5 12: 7,5 = 1,6

в=7,5 12,5: 7,5= 1,67 с = 4,5 7,5: 4,5= 1,67

а+в=20 в+с=12

Мама (37 лет)

а =10 16:10=1,6в = 6 9,5:6 = 1,58

в = 6 10:1,6 = 1,66 с = 3,5 6: 3,5 = 1,7

а+в =16 в + с = 9,5

Таким образом, можно сделать вывод: золотое сечение в пропорциях человеческого тела в основном соблюдается. Причём, с взрослением  ребёнка эти пропорции становятся более совершенными с точки зрения математики и общепризнанных классических законов красоты.

3.3 Исследование №3

« Золотое сечение в растеньях»

В биологических исследованиях 1970-90 гг. показано, что, начиная с вирусов и растений, и кончая организмом человека, всюду выявляется “золотая пропорция”, характеризующая соразмерность и гармоничность их строения. “Золотое сечение” признано универсальным законом всех живых систем.

Рассматривая расположение листьев на общем стебле растений: золотой ус, традесканция и алоэ, я выяснила, что между каждыми двумя из листьев третий расположен в определенном месте.

Расчеты показали, что средний лист, располагается в месте «золотого сечения».

3.4 Исследование №4

« Золотое сечение в узле».

Бумажную ленту постоянной ширины я завязала простым узлом и расправила так, чтобы узел был плоским. Получается узел, имеющий форму пятиугольника. Измерения сторон и углов пятиугольника доказывают, что ABCDE - правильный пятиугольник.

E

D

С

В

А

-

Отношение стороны правильного пятиугольника к диагонали равно числу .

У Пифагора и его учеников пентаграмма была священным символом телесно-духовной гармонии и на этом основании стала знаком здоровья.

Вывод: узел имеет форму правильного пятиугольника, т.е. пентаграммы. Пентаграмма – это геометрический символ гармонии, здоровья и мистических сил.

Может быть, поэтому мужчины выбрали себе в качестве украшения галстук, ведь узел галстука имеет форму пентаграммы.

3.5 Исследование №5

« Выбор дерева с самыми красивыми листьями»

Цель исследования: выяснить, листья какого дерева считаются самыми красивыми.

Оборудование: гербарий с листьями различных деревьев.

Вопрос: листья, какого дерева вы считаете самыми красивыми?

В опросе приняло участие 15 человек.

Результаты опроса

60 % опрашиваемых считают самыми красивыми листья клена, 13,3% опрашиваемых выбрали листья березы, 13,3% - листья дуба, 6,7% - листья тополя, 0%- липы и 6,7% - листья осины.

Вывод: самые красивые листья у клена.

Отсканированные листья деревьев

3.6 Исследование №6

«Строение кленового листа».

Цель исследования: выяснить, почему лист клена считается самым красивым.

Оборудование: лист клена, сканер, принтер, бумага, чертежные инструменты.

Ход исследования:

1. Сбор листьев клена.

2. Сканирование и печать изображения листьев клена.

3. Выполнение измерений.

4. Поиск соотношений.

H

А

L

F

Е

С

В

O

K

D

N

M

При проведении исследования использовались 5 кленовых листьев, и в строении каждого из них были обнаружены пропорции золотого сечения.

Вывод:

В строении кленового листа присутствуют пропорции золотого сечения и симметрия, поэтому лист клена создает впечатление красоты и гармонии.

4. Заключение

“Ничто не нравится, кроме красоты,

в красоте – ничто, кроме форм,

в формах – ничто, кроме пропорций,

в пропорциях – ничто, кроме числа”.

Аврелий Августин

Наблюдая за окружающей природой и создавая произведения искусства, люди искали закономерности, которые позволяли бы определить прекрасное, т.е. пытались вывести формулу красоты. Ряд формул красоты известен. Это правильные геометрические формы: квадрат, круг, равносторонний треугольник. В ходе выполнения исследовательской работы я выяснила, что действительно существует «формула красоты», которая не является выдумкой человека. Скорее всего, это закон природы и математики. В наибольшей степени определение «формула красоты» подходит к понятию «золотая пропорция». Эта пропорция обладает наиболее отчетливыми признаками гармоничности - прекрасного. Золотая пропорция не только является господствующей во многих произведениях искусства, она определяет закономерности развития многих организмов, её присутствие отмечают почвоведы, химики, биологи, геологи, математики, астрономы.

Список используемых ресурсов.

1. Бендукидзе А.Д. Золотое сечение – М.: ж. «Квант», 1973, №8

2. Васютинский Н.А. Золотая пропорция. – М.: Мол. гвардия, 1990

3. Золотое сечение. Страницы Википедии. http://ru.wikipedia.org/wiki/%C7%EE%EB%EE%F2%EE%E5_%F1%E5%F7%E5%ED%E8%E5

4. Лаврус В. «Золотое сечение»http://n-t.ru/tp/iz/zs.htm

5. Математика и законы красоты http://mathkrasota.ucoz.ru/index/0-11

6. Музей гармонии и золотого сечения http://www.goldenmuseum.com/

7. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия 7-9. Учебник для общеобразоват. учрежд. – М.: Мнемозина, 2009

8. Тимердинг Г.Е. Золотое сечение – Верлин: VerlagundDruckvonB.G. Teubner, 1924