XVIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Применение теоремы Чевы и Менелая в решении геометрических задач
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение:
„… научной и нравственной основой курса геометрии является принцип доказательности всех утверждений. И это единственный школьный предмет, включая даже предметы математического цикла, полностью основанный на последовательном выводе всех утверждений. Людьми, понимающими, что такое доказательство, трудно и даже невозможно манипулировать.“
— Игорь Фёдорович Шарыгин.
Геометрия – неотъемлемая часть мировой сокровищницы человеческой мысли. В древности геометрия превратилась в дедуктивную, строго логическую науку, построенную на основе системы аксиом. Постепенно развиваясь, она обогащалась новыми теоремами, идеями, методами. Интересы геометров и направление их научных исследований порою менялись в процессе исторического развития этой науки. Для нас, геометрия – это раскрытие человека внутренне: его мышление, воображение, интуитивность.
В школьном курсе геометрии рассматриваются важные и интересные свойства геометрических фигур на плоскости. Но невозможно включить все известные утверждения и соотношения, которые накопило человечество за многие годы, в школьный учебник геометрии. В наше время известно достаточное количество геометрических фигур, да и в принципе, они встречаются на каждом шагу нашей жизни в форме различных вещей. Но самая распространённая геометрическая фигура, которая начинает изучаться ещё в школе это треугольник. Несмотря на то, что треугольник едва ли не простейшая после отрезка фигура, он имеет много важных и интереснейших свойств, к которым сводятся свойства других, более сложных фигур. Первые, кто доказали свойства пропорциональных отрезков в треугольнике были Джованни Чева (1648-1734) и Менелай Александрийский (I в) – древнегреческий математик и астроном. Кроме того, к треугольникам можно применять разное количество теорем. Из всех теорем существуют такие, с применением которых задачи решаются более рационально.
Я не зря взялась за Теоремы Чевы и Менелая, на первый взгляд они покажутся сложными, но в этом состоит изюминка геометрии – полное погружение в изучение теорем, аксиом, свойств и тому подобное.
Актуальность:
Нередко учащиеся 9 и 11 классов сталкиваются с трудностями при решении практических задач на экзамене по математике. Это вторая часть ОГЭ/ЕГЭ, которая является наиболее сложной, и, соответственно, за которую можно набрать хорошее число баллов. Знание теорем Чевы и Менелая может значительно упростить решение таких задач.
Объект исследования:
Геометрические задачи, требующие нахождения отношений длин отрезков, площадей фигур.
Гипотеза:
Применение теорем Чевы и Менелая при решении многих задач рациональнее, чем другие способы решения.
Цель:
Доказать теоремы Чевы и Менелая, выяснить, насколько их применение упрощает решение задач на отношение отрезков и площадей фигур.
Задачи:
Рассмотреть доказательство теорем Чевы и Менелая
Решить несколько задач с их помощью и другие
способами.
Сравнение и выявление эффективности данных теорем.
Овладение приёмами решений различных задач задач с
использованием теоремы Чевы и Менелая.
Биография Джованни Чевы.
Джованни Чева родился в 1647 году в Италии. Он окончил иезуитский колледж в Милане, после чего стал студентом Университета в Пизе, где позже и стал работать профессором математики. С 1686 года Чева работал в Университете в Мантуе, оставаясь на этом посту до самого конца своей жизни.
Большую часть жизни Чева изучал геометрию, стараясь возродить греческую геометрию. Основной заслугой является построение учения о секущих, которое положило начало новой синтетической геометрии. Оно изложено в сочинении «О взаимопересекающихся прямых».
В 1678-м Чева опубликовал свою, ставшую знаменитой, теорему 'О взаимнопересекающихся прямых' о синтетической геометрии треугольника; теорема эта впоследствии получила его имя - теорема Чевы. Джованни Чева умер 15 июня 1734 года, в возрасте 85 лет; смерть его последовала во время осады Мантуи франко-сардинской армией. Чева и сегодня считается не только выдающимся математиком, но и талантливым автором в области экономики - именно он применил математику к экономике и стал первым математическим писателем по этому предмету.
Биография Менелая Аликсандрийского.
Менелай Александрийский — математик и астроном, создатель системы геометрии и тригонометрии на сфере – первой неевклидовой геометрии.Годы жизни 70 – 140 гг. Время его жизни и деятельности определяется приведенными в "Алмагесте" Птолемея двумя астрономическими наблюдениями, которые Менелай Александрийский произвел в Риме в первом году царствования Траяна, т. е. в 98 г. после Рождества Христова. Хотя о жизни Менелая известно очень мало, предполагается, что он жил в Рим, куда он, вероятно, переехал после того, как провел молодость в Александрия. Главное сочинение Меналая — «Сферика» в трёх книгах.
Его греческий оригинал утрачен, и содержание его известно по арабским, а также последующим вторичным латинским и еврейским переводам. Главным предметом "Сферики" Менелай Александрийский служит сферическая тригонометрия.Для получения формул сферической тригонометрии использовалтеорему, известную сегодня как теорема Менелая. В I книге «Сферики» дается определение сферического треугольника и связанных с ним понятий. В 39 предложениях этой книги речь идёт о свойствах сферических треугольников. В 21 предложении II книги рассматриваются свойства системы параллельных кругов на сфере при пересечении их разными большими кругами — как проходящими через общие полюсы этого семейства, так и наклонными по отношению к этим полюсам.
Теорема Чевы:
Рис.1
Пусть на прямых AB, BCиAC треугольника ABC отмечены точки C₁, B₁ и A₁ соответственно. Прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда
(1)
Доказательство:
Пусть отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в точке O (рис.1). Докажем, что выполнено равенство (1). По теореме о пропорциональных отрезках в треугольнике имеем:
Левые части этих равенств одинаковы, значит, равны и правые части. Приравнивая их, получаем: , разделив обе части на правую часть, приходим к равенсту (1)
2.
рис.2
Докажем обратное утыерждение. Пусть точки С₁, А₁ и В₁ взяты на сторонах AВ, BС и CА так, что выполнено равенство (1). Докажем, что отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке, Обозначим букву О точку пересечения отрезков AA₁, BB₁ и проведём прямую ОС (рис.2). Она пересекает сторону АВ в некоторой точке, которую обозначим С ₂. Так как отрезки AA₁, BB₁ и СС ₂ пересекаются в одной точке, то по доказанному в первом пункте
(2)
Итак, имеют место равенства (1) и (2).Сопоставляя их, приходим к равенству , которое показывает, что точки C₁ и С ₂ делят сторону АВ в одном и том же отношении. Следовательно точки C₁ и С ₂ совпадают, и , значит отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в точке О. Торема доказана.
Замечание: Мы брали точки A₁, B₁ и C₁ на сторонах ВС, СА и АВ треугольника АВС. Если же только одна из этих точек берётся на соответствующей стороне, а две другие – на продолжениях сторон, то справедливо следующее утверждение:
Еслия прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке (рис.3, а), либо параллельны (рис.3, б), то выполняется равенство (1), и, обратно, если выполняется равенство (1), то прямые AA₁, BB₁ и CC₁ либо пересекаются в одной точке, либо параллельны.
рис.3(а)
рис.3(б)
Докажем это утверждение самостоятельно.
Перейдём теперь к теореме, которая связана с именем менелая Александрийского. Снова рассмотрим треугольник АВС и не совпадающие с вершинами точки A₁, B₁ и C₁ на его сторонах ВС, СА и АВ или на продолжениях этих сторон. Теорема Менелая даёет ответ на вопрос о том, при каком условии точки A₁, B₁ и C₁ лежат на одной прямой. При этом возможны два случая: либо две точки берутся на соответствующих сторонах, а ещё одна – на продолжении третьей стороны ,либо все точки берутся на продолжениях соответствующих сторон (рис.4). Оказывается, что в каждом из этих случаев A₁, B₁ и C₁ леажт на одной прямой тогда и только тогда, когда выполнено то же самое равенство (1), что и в теореме Чевы.
Теорема Менелая.
рис.4
Теорема Менелая: Если на сторонах AB и BC и продолжении стороны AC (либо на продолжениях сторон AB, BC и AC) взяты соответственно точки C₁, A₁ и B₁, то эти точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда
(3)
Доказательство: 1. Пусть точки A₁, B₁ и C₁ лежат на одной прямой (рис.3). Докажем, что выполнено равенство (3). Проведём прямые AD, BE и CFпараллельно прямой В₁А₁ (точка D лежит на прямой ВС). Согласно обобщению теоремы Фалеса имеем:
и
Перемножая левые и правые части этих равенств, получаем:
, откуда , т. е выполнено равенство (3)
(рис.5)
2. Докажем обратное утверждение. Пусть точка B₁ взятя на продолжении стороны АС, а точки C₁ и A₁- на сторонах АВ и ВС, причём так, что выполнено равенство (3). Докажем, что точки A₁, B₁ и C₁ лежат на одной прямой.
Прямая B₁С₁ пересекает сторону ВС в некоторой точке А₂ (рис.4). Так как точки B₁, C₁ и А₂ лежат на одной прямой, то по доказанному в первом пункте
(4)
Сопоставляя (3) и (4), приходим к равенству , которое показывает, что точки A₁ и А₂ делят сторону ВС в одном и том же отношении. Следовательно точки A₁ и А₂ совпадают, и, значит точки A₁, B₁ и C₁ лежат на одной прямой. Аналогично доказывается обратное утверждение в случае, когда все три точки A₁, B₁ и C₁ лежат на продолжениях соответствующих сторон. Теорема доказана.
Применение теорем Чевы и Менелая в решении задач.
Задача 1.
В △ABC биссектрисы AD делит стороны BC в отношении 2:1. В каком отношении медиана CE делит эту биссектрису.
Решение:
1 способ. С помощью вспомогательного построения.
По условию АD – биссектриса; СЕ – медиана; AD пересекается с СЕ в точке Р.
Продолжим медиану СЕ, отложу ЕК=СЕ. Четырёхугольник АСВК – параллелограмм, так как диагонали СК и АВ пересекаются в точке Е.
Е – середина СК, и середина АВ.
△АРК ~△DPC (по двум углам)
, ч. т. д
2 способ. С помощью теоремы Менелая.
Рассмотрим △АВД и применим к нему теорему Менелая. Прямая, проходящая, через точки С, Р, Е.
Тогда получаем:
, отсюда следует
, ч. т. д
Фактически оба решения достаточно компактны и примерно равноценны. Однако, идея дополнительного построения часто оказывается сложна и совсем не
очевидна, но зная теорему Менелая, довольно лишь правильно применить её. Таким образом, сопоставление разных способов решения может оказаться весьма полезным, очевидно, что преимущество имеет второй способ.
Задача 2. (ОГЭ №25).
В треугольнике АВС на его медиане ВМ отмечена точка К так, что ВК: КМ=4: 1. Прямая АК пересекает ВС в точке Р. Найдите отношение площади треугольника ВКР к площади треугольника АВК.
Решение:
У △ABK и △BKP одинаковые высоты, поэтому рассмотрим их площади: .
Применяем Теорему Менелая к △МВС. Точки А, К и Р – точки секущей.
Вторично применю Т. Менелая к △АРС. Точки М, К и В точки секущей.
Отсюда получаем, что площади ВКР и АВК относятся как 2:3.
Задача 3.
В треугольнике АВС АЕ, ВР, СД – медианы. Доказать, что они пересекаются в точке О, где точка О – единственная точка.
Доказательство:
Выполним применение Теоремы Чевы:
Действительно, по условию АЕ, ВР, СД – медианы, значит Е, Д, Р – середины сторон ВС, АВ, АС соответственно, значит АД=ДВ, ВЕ=ЕС, СР=РА.
1=1, ч. т. д
Задача 4.
На сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС отмечены точки Д, Р и Е соответственно причём АД:ДВ=21:10, ВР:РС=2:3, СЕ:ЕА=2:5. Отрезки ВЕ и СД пересекаются в точке О. Докажите, что четырёхугольник АОРЕ – параллелограмм.
Решение:
а) Рассмотрим △АВЕ по Теореме Менелая:
.
Рассмотрим треугольники ВОР и ВЕС,
угол В – общий,
и , отсюда следует
, значит
△ВОР ~△ВЕС по второму признаку,
∠ВОР=∠ВЕС (соответственные углы при секущей ВЕ)
ОР∥ЕС (но ЕС-часть АС), значит ОР∥АС.
Рассмотрим △ВДС, точка Р принадлежит ВС, точка К принадлежит СД, точка Е принадлежит ВЕ. Применим Теорему Менелая:
△ЕКС ~△АОС по второму признаку, так как
∠С – общий,
и .
Значит, КЕ∥АО. Итак, имеем в четырёхугольнике АОРЕ, АО∥РЕ, АЕ∥ОР, из определения следует, что АОРЕ – параллелограмм, ч. т. д.
Заключение:
Теоремы Чевы и Менелая, показавшиеся на первый взгляд сложными, оказались лёгкими и интересными. Умение решать сложные задачи разными способами является одним из критериев глубины изучения материала. Данные теоремы можно назвать «двойственными» они, похоже, формулируются и доказываются. Изучив, я поняла, что они доказываются разными способами. Замечательным свойством теорем является то, что они могут служить отправной точкой при повторении основных свойств треугольника в 9 классе. В частности, с их помощью легко доказываются следующие утверждения: медианы треугольника пересекаются в одной точке, высоты треугольника пересекаются в одной точке, биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке. Эти теоремы используются в задачах, в которых присутствуют секущие прямые. Я считаю, что знание этих теорем важно для нас, так как упрощают решение задач, повышают уровень знаний по геометрии. Я думаю, что теоремы Чевы и Менелая должны быть включены в основной курс геометрии 7-9 классов, так как решение задач с помощью этих теорем развивает мышление учеников. В результате проведенной работы, я узнала много интересного и познавательного, научилась применять теоремы в решении задач.
Цель работы достигнута, Гипотеза подтвердилась: применение теорем Чевы и Менелая при решении многих задач рациональнее, чем другие способы решения. Я удовлетворена данными изучениями этих теорем, они действительно практичны и рациональны. Могу сказать, что данная проделанная работа заложила в нас ещё один кусочек знаний для упрощённого решения задач в ЕГЭ.
Список литературы:
Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.А., Шестаков С.А., Юдина И.И. Геометрия. Доп. Главы к учебнику 8 кл.: Учеб. Пособие для учащихся школ и классов с углуб. изучением математики / Л.С. Атанасян, В.Ф Бутузов, С.Б Кадомцев и др.-М: Вита-пресс, 2004. – 208 с.
Ященко И. В. и др. Подготовка к ЕГЭ по математики в 2020 году. Базовый и профильный уровни. Методические указания / И. В. Ященко, С. А. Шестаков, А. С. Трепалин. – М.: МЦНМО, 2020. – 288с.
Ященко И. В и др. Подготовка к ОГЭ по математики в 2022 году. ООО «Издательство «Национальное образование». ЧОУ ДПО «МЦНМО». 2022 – 208 с.
Менелай Александрийский – История Геодезии: https://istgeodez.com/menelay-aleksandriyskiy/
Процесс обучения математики на факультативных занятиях в классах основной школы:
https://studbooks.net/1901886/pedagogika/dzhovanni_cheva