XVIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Полуправильные многоугольники
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Правильные многоугольники хорошо изучены и описаны. Менее популярны полуправильные многоугольники. Полуправильные многоугольники обладают рядом интересных свойств, не все из которых доказаны. Присущая этим фигурам двойственность повышает интерес к их изучению, делает его логически завершенным и полным.
Объект исследования: полуправильные многоугольники.
Цель исследования: изучить свойства полуправильных многоугольников.
Задачи исследования: 1) изучить литературу по данному вопросу; 2) систематизировать информацию о полуправильных многоугольниках; 3) сформулировать и доказать дополнительные свойства полуправильных многоугольников.
ПОЛУПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ
2.1. Определение полуправильных многоугольников
По определению выпуклый многоугольник называется правильным, если он равноугольный и равносторонний. Однако существует интересный класс фигур, не обладающих этими двумя свойствами одновременно. Мы будем называть полуправильными следующие многоугольники:
а) равноугольные, у которых стороны равны через одну;
б) равносторонние, у которых углы равны через один.
Примером полуправильного многоугольника первого рода является прямоугольник, а второго — ромб. Из описания полуправильных многоугольников видно, что у каждого из них четное число вершин; обозначим
его через 2n[1, 25].
2.2. Свойства полуправильных равноугольных многоугольников
1. Противоположные стороны равноугольного многоугольника параллельны.
Действительно, выполняя обход многоугольника, замечаем, что каждая сторона повернута относительно предыдущей на внешний угол, то есть на (рис. 2.1). Следовательно, сторона Аn+1An+2 повернута относительно стороны A1A2 на сумму n внешних углов, то есть на 180º.
2. Если соединить вершины полуправильного равноугольного многоугольника через одну (все нечетные или все четные вершины), то получится правильный многоугольник (рис. 2.1).
Доказательство: треугольники А1А2А3,А3А4А5, A5A6A7 , … равны по первому признаку, значит, А1А3 = А3А5 =… . С другой стороны, из равенства треугольников следует равенство их соответственных углов. Обозначим внутренний угол полуправильного 2n-угольника через α2n. Находим внутренние углы получившегося многоугольника: они равны
α2n-(β+γ)= α2n-(180º- α2n)= 2α2n-180º=2·180º· (1- )-180º=180º· (1- ),
как и должно быть у правильного n-угольника.
Рис. 2.1
Рис.2.2
3. Около полуправильного равноугольного многоугольника можно описать окружность.
Опишем окружность около правильного n-угольника А1А3А5… (рис. 2.2). Внутренний угол равноугольного 2n-угольника равен 180º (1- ). Легко подсчитать, что дуга А1А2А3 вдвое меньше градусной величины дуги А3А5А1, значит, точка А2 лежит на построенной окружности. Это относится и к другим вершинам: А4, A6, … .
4. Если число вершин полуправильного равноугольного многоугольника кратно 4, то большие диагонали пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
Для доказательства используем свойство 2: эти диагонали являются также диагоналями правильного многоугольника с четным числом сторон, поэтому они пересекаются в одной точке — центре описанной около многоугольника окружности - и делятся этой точкой пополам. Если же число вершин полуправильного равноугольного многоугольника не
Рис 2.3
кратно 4, то нетрудно построить пример (рис. 2.3), когда большие диагонали пересекаются в нескольких точках.
5. Центр окружности, описанной около полуправильного равноугольного 4n-угольника, является его центром симметрии.
Из свойства 4 следует, что при центральной симметрии относительно центра окружности вершины
многоугольника переходят в вершины; следовательно, стороны тоже переходят в стороны.
6. Прямая, проходящая через середины двух параллельных сторон полуправильного равноугольного многоугольника, является его осью симметрии.
По свойству параллельных хорд окружности эта прямая проходит через центр описанной окружности. Из равенства соответствующих хорд по обе стороны от прямой следует симметричность соответствующих вершин многоугольника относительно проведенной прямой (рис. 2.4).
Рис.2.4
7. Пусть полуправильный равноугольный многоугольник имеет 2n вершин, тогда центр описанной около него окружности является его центром симметрии порядка n.
Это означает, что при повороте вокруг центра окружности на угол, кратный , многоугольник совмещается сам с собой. Это следует из свойств 2 и 3.
8. Сумма расстояний от внутренней точки до сторон (или их продолжений) полуправильного равноугольного многоугольника постоянна.
Как известно, таким свойством обладает правильный многоугольник. Если соединить внутреннюю точку правильного многоугольника с вершинами, то сумма площадей полученных треугольников равна площади многоугольника. Обозначив сторону многоугольника черезa, а расстояния до сторон через х0, x1, х2, х3, … получим
… ,
Рис. 2.5
Пусть в данном многоугольнике сторона А1А6 больше стороны А1А2. Построим на А1А6 правильный 2n-угольник (рис. 2.5). Тогда все стороны исходного многоугольника (кроме трех) соответственно параллельны сторонам правильного многоугольника, а три (А1А6 и смежные с ней) лежат на сторонах правильного многоугольника. Следовательно, расстояния от внутренней точки М до сторон правильного многоугольника таковы:
где b1, b2, b3постоянны, а искомая сумма:
Рис.2.6
9. Если последовательно соединить середины сторон полуправильного равноугольного многоугольника, то получится полуправильный равносторонний многоугольник.
Действительно, по свойству 2 все малые диагонали полуправильного равноугольного многоугольника равны между собой. Стороны полученного многоугольника (рис. 2.6) вдвое меньше этих диагоналей, так как являются средними линиями треугольников А1А2А3,А2А3А4, A3A4A5, … Используя свойство 7, можно установить, что углы этого многоугольника равны через один.
10. Точки пересечения малых диагоналей полуправильного равноугольного многоугольника образуют полуправильный равносторонний многоугольник.
Это свойство следует из свойств 6 и 7. При отражении относительно прямой l (рис. 2.4) исходный многоугольник переходит в себя, следовательно, треугольник А3С3С2 совмещается с треугольником А4С3С4, откуда С2С3=С3С4; аналогичные равенства справедливы и для остальных сторон. Равенство углов через один у многоугольника С1С2С3С4… легко выводится из свойства 7 или из
теоремы о том, что угол между двумя хордами равен полусумме соответствующих дуг.
11. Сумма квадратов расстояний от любой точки описанной окружности до вершин полуправильного равноугольного 2n-угольника равна 4nR2.
Докажем свойство 11 для четных n. При этом достаточно заметить, что А1Аn+1, A2An+2, A3An+3, … - диаметры описанной окружности; потому для любой точки М этой окружности .
В общем случае: пусть М – точка описанной окружности, О – центр окружности (рис. 2.7), тогда
Рис.2.7
так как
12. Площадь полуправильного равноугольного 2n-угольника со сторонами А1А2 = a, A2A3 = b равна
(См. рис.2.1) Эта площадь равна сумме площадей правильного n-угольника и n треугольников, равных ∆A1A2A3. Мы уже нашли, что А1А2А3=180º -
(при доказательстве свойства 1); теперь
Площадь правильного n-угольника А1А3А5…А2n-1 равна
По теореме косинусов для треугольника A1A2A3
и окончательно
Например, площадь полуправильного равноугольного шестиугольника равна , а восьмиугольника - [1, 25-28].
13. Радиус окружности, описанной около полуправильного равноугольного
2n-угольника со сторонами a и b и углом α равен
Для доказательства воспользуемся тем, что окружность, описанная около полуправильного равноугольного многоугольника, является также описанной около правильного многоугольника, образованного соединением вершин данного многоугольника через одну (свойство 2) (рис.2.2). Выразим по теореме косинусов сторону правильного многоугольника:
Воспользуемся формулой радиуса окружности, описанной около правильного
n-угольника
, тогда
2.3. Свойства полуправильных равносторонних многоугольников
1. Если число вершин полуправильного равностороннего многоугольника кратно 4, то его противоположные стороны параллельны [1,28].
Выполняя обход многоугольника, замечаем, что каждая сторона повернута относительно предыдущей на внешний угол (рис.2.8). Внутренние углы многоугольника по определению равны через один, значит, и внешние углы равны через один. Пусть внешние углы равны α и β, всего внешних углов 4n, тогда 2nα + 2nβ = 360º. Следовательно, поротивоположные стороны полуправильного равностороннего многоугольника повернуты относительно друг друга на сумму nα + nβ = 180º.
Рис.2.8
2. Если соединить вершины полуправильного равностороннего многоугольника через одну, то получится правильный многоугольник (рис.2.9) [1,28].
3. Большие диагонали полуправильного равностороннего многоугольника пересекаются в одной точке и делятся ею пополам [1, 29].
Большие диагонали полуправильного равностороннего многоугольника являются также диагоналями правильного многоугольника, образованного соединением вершин через одну. Диагонали правильного многоугольника пересекаются в одной точке, следовательно, и диагонали полуправильного равностороннего многоугольника пересекаются в одной точке и делятся ею пополам (рис.2.10).
4. В полуправильный равносторонний многоугольник можно вписать окружность [1,28].
Центр вписанной окружности равноудален от сторон многоугольника, то есть является точкой пересечения биссектрис. Значит, для доказательства этого свойства достаточно показать, что биссектрисы многоугольника пересекаются в одной точке. Большие диагонали полуправильного равностороннего многоугольника являются также диагоналями правильного многоугольника, образованного соединением вершин через одну. Диагонали правильного многоугольника пересекаются в одной точке и являются биссектрисами его углов, из этого следует, что эти диагонали также будут являтся биссектрисами углов полуправильного равностороннего многоугольника.
Рис. 2.10.
5. Центр окружности, вписанной в полуправильный равносторонний 4n-угольник, является его центром симметрии.
Из свойства 3 следует, что при центральной симметрии относительно центра окружности вершины многоугольника переходят в вершины; следовательно, стороны тоже переходят в стороны.
6. Большие диагонали полуправильного равностороннего многоугольника являются его осями симметрии[1, 29].
7. Пусть полуправильный равносторонний многоугольник имеет 2n вершин, тогда центр вписанной в него окружности является его центром симметрии порядка n
[1, 29].
Это означает, что при повороте вокруг центра окружности на угол, кратный , многоугольник совмещается сам с собой. Это следует из свойств 2, 4 и 5.
8. Сумма расстояний от внутренней точки до сторон полуправильного равностороннего многоугольника постоянна (рис. 2.11) [1, 29].
Рис.2.11
9. Если последовательно соединить середины сторон полуправильного равностороннего многоугольника, то получится полуправильный равноугольный многоугольник (рис.2.12) [1, 29].
Рис.2.12
10. Точки пересечения малых диагоналей полуправильного равностороннего многоугольника являются вершинами полуправильного равноугольного многоугольника [1, 29].
Углы образованного многоугольника являются вертикальными соответствующим углам в равных треугольниках, т. е. равны. Получаем, что у образованного многоугольника углы равны, и стороны равны через одну, значит он является полуправильным равноугольным многоугольником.
Рис. 2.13
11. Сумма квадратов расстояний от любой точки вписанной окружности до точек касания полуправильного равностороннего 4n-угольника равна 4nr2.
.
12. [1, 29] Площадь полуправильного равностороннего 2n-угольника со стороной а и одним из углов β равна
13. Радиус окружности, вписанной в полуправильный равносторонний
2n-угольник со стороной а и углами α и β, равен
Рис.2.14
Заключение
В процессе поиска и сбора информации по теме работы было выявлено, что полуправильные многоугольники, а именно, равноугольные со сторонами, равными через одну, и равносторонние с углами, равными через один, недостаточно описаны, информация о них найдена лишь в некоторых небольших статьях. В работе сформулированы и доказаны известные и дополнительные свойства полуправильных многоугольников, выведены формул радиусов вписанных и описанных окружностей.
Между равноугольными и равносторонними многоугольниками существует взаимосвязь, которую видно уже на примере ромба и прямоугольника. Так, если соединить середины сторон ромба, то получим прямоугольник, и наоборот. Около прямоугольника можно описать окружность, а в ромб – вписать. И тот, и другой имеют оси симметрии, центр симметрии и т. д. В работе эти и другие свойства обобщаются на случай произвольногоn. Двойственность равноугольных и равносторонних полуправильных многоугольников видна в их свойствах: если последовательно соединить середины сторон полуправильного равностороннего многоугольника, то получится полуправильный равноугольный многоугольник и наоборот; точки пересечения малых диагоналей полуправильного равностороннего многоугольника являются вершинами полуправильного равноугольного многоугольника и наоборот и т. д.
Двойственность повышает интерес к изучению полуправильных фигур, делает его логически завершенным и полным.
Список использованной литературы
1. Лоповок Л. Полуправильные многоугольники //Квант. - 1971г. - №3 - стр. 25-29
2. Нурлигареев Х. Полуправильные многоугольники на правильных паркетах//
Ярославский педагогический вестник. - 2011. - №3. - Том III (Естественные науки)
3. Вавилов В.В., Устинов А.В. Многоугольники на решетках. - М.: МЦНМО, 2006.
4. http://www.geometry2006.narod.ru/Lecture/SemRegPol/SemRegPol.htm
5. http://ru.wikipedia.org/