XVIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Но при вычерчивании ставилось одно условие. Требовалось, чтобы фигура эта была вычерчена одним непрерывным росчерком. Надежда стать «миллионером», решив такую легкую задачу, может заставить испортить много бумаги и потратить много времени на попытки вычертить эту фигуру, как требовалось, одним росчерком. Я пробился над задачей 40 минут. И согласился, что она однако, не решаетcя только «чуть-чуть».

У меня сразу возникли вопросы:

Что это за фигуры?

Какие фигуры вычерчиваются одним росчерком, а какие нет?

Сложные или простые такие задачи?

В каких источниках их можно найти?

Есть ли при их решении таких задач правила?

Стоит ли заниматься подобными задачами?

Кому могу предложить такие задачи?

Цель данной работы: узнать, как вычерчивать фигуры одним росчерком.

Передо мной встаёт проблема утомительного вычерчивания фигур с большим количеством линий.

Выдвигаю гипотезы:

Вычерчивание зависит от направления движения по фигуре.

Вычерчивание зависит от точек пересечения линий фигуры.

Вычерчивание зависит от общего количества линий, содержащихся в фигуре.

Поставил перед собой следующие задачи:

Изучить материал по данному вопросу из книг по занимательной математике.

Научиться вычерчивать фигуры одним росчерком.

Исследовать знания учащихся, взрослых о задачах одним росчерком.

Обобщить полученные знания и сделать выводы по проделанной работе.

В учебнике математики таких задач нет. Учительница Елена Ивановна рассказала о книгах по занимательной математике, к которой относится и книга «В царстве смекалки», в которых есть логические задачи для гимнастики ума. В библиотеке Людмила Романовна и Евгения Анатольевна подобрали книги по данной теме. В книге «Занимательные дидактические материалы» Трошина В.В. познакомился с задачами на вычерчивание фигур одним росчерком, в ней предложено большое количество задач. Вычерчивая фигуры, столкнулся с тем, что некоторые получались у меня быстро, другие, сколько ни бился, вообще не получались. За некоторые задачи боялся браться, в них было столько много линий, что не понимал, с чего начинать.

Из книги Перельман Я.И. «101 головоломка» нашёл ответ, что необязательно проводить много времени для вычерчивания фигур одним росчерком, а есть определённые правила, по которым можно вычертить предложенную фигуру. После этих правил вычерчивать фигуры стало легче.

Применяя полученные знания из книг, для меня главным стало сразу же решать вопрос о возможности вычерчивания фигур одним росчерком. Но, даже зная, что задача решается, над некоторыми задачами приходилось долго думать. В книге «Занимательная геометрия» Перельман Я.И. показано на конкретных примерах, как нужно применять правила. Разобрав конкретные примеры, мне стало не трудно рассуждать при решении задач. Но зная правила, умея их применять, вычертив большое количество фигур, сделал свои открытия: как в игре в шахматы, мало знать ход фигуры, важно связывать движение фигур по шахматной доске относительно друг друга. Поэтому проводя каждую следующую линию нужно думать о результате движения по фигуре. Для решения таких задач нужен опыт.

Вообще по данной теме оказалось три разных источника одного автора Перельман Я.И, и знакомство с этими замечательными книгами меня очень порадовало. В книге Гавриловой Т.Д. «Занимательная математика» можно найти рисунки, которые можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги. В Интернете я нашел рисунки забавных животных, выполняемых одним росчерком. Все эти рисунки я с удовольствием предложил друзьям, одноклассникам.

Предметом исследования стали занимательные задачи, которые можно вычертить одним росчерком.

Объектом исследования стали способы и основные положения для вычерчивания фигур, не отрывая карандаша от бумаги.

Методы исследования:

Сбор информации.

Чтение и анализ книг по занимательной математике о фигурах, вычерчиваемых одним росчерком.

Подумать самому.

Наблюдение и эксперимент.

Количественный метод.

Исследование проходило по плану:

1. Самостоятельно вычерчивать фигуры, взятые из книг по занимательной математике.

2. Предложить задачи близким взрослым (маме, дяде, деду, бабе), друзьям, одноклассникам.

3. Найти в книгах основные положения по вычерчиванию фигур одним росчерком.

4. Проверить все положения на фигурах, взятых из математических источников.

5. Научиться, пользуясь положениями, решать задачи на вычерчивание фигур одним росчерком.

6. Оформить материалы, полученные при исследовании.

I. Основная часть

§ 1. Что нужно знать, чтобывычерчивать фигуры одним росчерком

В результате моего исследования оказалось, что попытки вычертить различные фигуры непрерывной линией без повторения отдельных участков приводят к неодинаковым результатам [4, c.56].

Я пришла к следующим выводам:

Некоторые фигуры удается вычертить независимо от того, с какой точки начинаю вести линию.

Другие фигуры вычерчиваются только в тех случаях, когда линия начата только с определенной точки.

Существуют фигуры, которые вовсе не поддаются вычерчиванию одной непрерывной линией.

Опираясь на книги, я выделила основные положения [3, с.48-49], нужные для построения фигур одним росчерком:

Чётная вершина фигуры, в которой сходится чётное число линий, нечётная – нечётное число.

Фигуру, имеющую более двух нечетных вершин, невозможно начертить «одним росчерком».

Фигуру, имеющую всего две нечетные вершины, можно начертить, не отрывая карандаша от бумаги, при этом движение нужно начать с одной из этих нечетных вершин и закончить во второй из них.

Если все вершины фигуры четные, то можно не отрывая карандаша от бумаги, начертить эту фигуру. Движение можно начать с любой вершины и закончить его в той же вершине.

Я спросила у деда, что он знает о задачах одним росчерком, он мне сразу же предложил вычертить прямоугольник с двумя диагоналями (рис. 2). Воспользовавшись правилами, определил, что эта фигура не вычерчивается.

Рис. 2. Прямоугольник с диагоналями

Для меня выпуклый пятиугольник со всеми его диагоналями оказался совсем не трудной задачей (рис. 3).

Рис. 3. Пятиугольник с диагоналями

Рис. 4. Фигура для исследования

Проверю, может результат вычерчивания будет связан с количеством линий, содержащихся в фигуре: на рис.2- 6 линий (не вычерчивается), на рис.3- 9 линий (вычерчивается), на рис.4-15 линий (не вычерчивается), на рис.5 – 12 линий (вычерчивается). В результате третья гипотеза не подтверждается: от чётного или нечётного количества линий в фигурах их вычерчивание не зависит.

Рис. 5. Фигура для исследования

Рассмотрю изображения трех различных «конвертов» (рис. 6):

а) с двумя открытыми боковыми клапанами;

б) с верхним раскрытым клапаном;

в) заклеенный конверт.

Рис. 6. Конверты.

Первую фигуру я пробовала вычерчивать с любой точки, и у меня получилось 36 вариантов обхода фигур, второй «конверт» получился только с одного из нижних углов, заканчивая в противоположном нижнем углу (6 вариантов обхода). Неподдающейся оказалась третья фигура, хотя на первый взгляд она проще, так как содержит меньшее количество линий (в этом я убедился раньше) (рис.7).

Рис. 7. Обход конвертов.

Первая и вторая гипотезы подтверждаются: действительно, вычерчивание фигур одним росчерком зависит и от направления движения по фигуре, и от точек пересечения линий.

Вычерчивая фигуры одним росчерком и записывая свои наблюдения, делаю выводы:

Чем больше фигур вычерчиваешь, тем больше набираешься опыта;

Интереснее заниматься такими задачами, если знаешь правила;

Более сложные задачи оказываются тоже победимыми;

Такие задачи встречаются в олимпиадах.

Теперь я могу ответить на вопрос: «Почему некоторые фигуры вычерчиваются одним росчерком, а другие нет?». Оказалось легко и очень интересно работать с такими фигурами. Но труднее вычерчивать фигуры с большим количеством линий, эта проблема разрешается, и теперь я не боюсь пробовать вычерчивать фигуры даже сложные. Поэтому у меня появились собственные наработки: 73 вычерченные мною фигурки показывают, что времени на вычерчивание затрачивается намного меньше, когда знаешь правила. Всего 2 задачи я посмотрела в ответ, а у остальных увидела решение сама. Сложными для меня оказались 5 задач, но я их всё равно решила. Предлагая друзьям, видела, что они не могут решать такие задачи. И всего 2 задачи не смогла решить сама (приложение № 1)

Подводя итоги, могу сказать, что сложные и простые занимательные задачи заинтересовывают так, что не жалко затраченных часов на увлекательное занятие. Необязательно это будут задачи одним росчерком, есть круги Эйлера, игра Танграм, магические квадраты и многое другое. Нужно только стремиться получать знания!

§ 2.Фигуры одним росчерком в наблюдениях и экспериментах

1. Провела социологический опрос, в котором приняло участие 15 человек: взрослые и дети. Результаты опроса отражены в приложении № 2.

Вопросы участникам социологического опроса:

1) Где можно встретиться (встречались) с занимательными задачами?

2)Зачем нужны занимательные задачи?

Анализируя результаты опроса, выяснила, с занимательными задачами взрослые встречались, и дети встречаются в основном в школе, в библиотеке, в программах по телевизору. Все опрошенные понимают, что такие задачи нужны, чтобы развивать логику, мышление, сообразительность и ими можно воспользоваться, приятно проводя время вечером семьёй, развлекать друзей. И в классе можно предложить одноклассникам на перемене, классном часе.

2. Я предложила эти 4 фигуры (рис.8) нарисовать одним росчерком своим одноклассникам. В исследовании приняли участие 25 человек. Результаты эксперимента в приложении № 2.

Рис. 8. Фигуры для вычерчивания

Я делаю вывод:тема интересна, но многие одноклассники не готовы правильно вычерчивать фигуры одним росчерком.

3. Провела 3 эксперимента, в которых приняли участие люди разного возраста: 2 – четвероклассницы, 3 – семиклассника, 1- взрослый (приложение №3)

Задание 1: начертить 5 фигур, не отрывая карандаша от листка и не проводя по линиям дважды.

Выбрать в одну группу все фигуры, которые вычерчиваются одним росчерком, в другую - не вычерчиваются.

Задание 2: объединить те, которые вычерчиваются с первого раза, и те, которые с нескольких попыток.

Задание 3: Вычертить фигуры после объяснения правил.

Ответить на вопросы:

Как называются такого вида задачи?

Готовы ли вы показать другим вычерченные фигуры?

Где можно использовать подобные задачи?

Что даёт знание определённых правил, положений?

Выводы: Без объяснения правил методом проб и ошибок пытались вычерчивать фигуры 10 минут. Анализируя их рисунки, прихожу к выводу, что все вычерчивают последнюю фигуру и тратят на неё много времени, хотя она не вычерчивается. Во втором эксперименте сложность состояла в том, что один человек не видел точек, с которых нужно начинать вычерчивать фигуры. Третий эксперимент затянулся на 25минут. Никто не убрал не вычерчиваемые фигуры, хотя точки просчитывали. Два человека оказались не готовы упорно думать над задачами. Для большинства фигуры показались сложнее, чем предложенные в 1 эксперименте.

Вопрос учителю математики: Нужны ли занимательные задачи школьнику?

Ответ: Да, такие задачи тренируют сообразительность и находчивость, подготавливают ум к более серьёзной работе.

Вопрос учителю: Почему с такими задачами школьники встречаются редко?

Ответ: На уроке нет времени, после уроков у детей большого желания нет. Стараемся во внеурочной деятельности восполнять пробелы, но это бывает эпизодически.

Вопрос учителю: Я сейчас много решаю олимпиадных задач по математике и считаю, что в их основе лежат занимательные задачи. А как Вы считаете?

Ответ: Согласна. Но в основе решения олимпиадных задач лежат ответственные моменты: знание определённых теоретических выкладок, умение оформлять задачи, способности ребёнка.

Вопрос учителю: Что-нибудь интересное Вы можете предложить для решения задач одним росчерком?

Ответ: Перед тобой 3 фигуры. Ты ответишь, что они не вычерчиваются одним росчерком по правилам. А я практически докажу тебе обратное. Мы ведь говорим о задачах на смекалку. Так вот и применим её

Задача 1

Загибаем угол листа бумаги так, чтобы угол лежал в середине листа. Рисуем в вершине угла жирную точку, не отрывая карандаша от бумаги, ведем линию по загнутой части на величину радиуса, отгибаем загнутый лист и рисуем круг. Таким образом, на лицевой стороне листа получаем круг с точкой, на обороте - одну лишнюю линию.

Задача 2:

Задачу решают, либо, загибая лист бумаги и проводя некоторую часть линии без отрыва, но по обратной стороне листа, либо подставляя к основному листу

бумаги во время движения карандаша лист бумаги.

Выводы:

Социологический опрос, эксперименты, наблюдения, разговор с учителем математики показывают, что занимательные задачи нужны для развития смекалки. Только не все готовы решать задачи на вычерчивание фигур одним росчерком и им подобные, поэтому это кажется сложным занятием. Если научиться правильно рассуждать, то можно многое предвидеть и этим избавить себя от ненужной затраты сил и времени. И все мои усилия окупаются тем преимуществом, которое дает знание над незнанием.

III. Заключение

В результате проделанной работы я узнала, что есть такие занимательные задачи по математике, как рисование фигур одним росчерком. Узнала, где искать книги в поселковой библиотеке на заданную тему, а также стала читателем районной библиотеки. Познакомилась со знаменитым автором книг по занимательной математике Яковом Перельманом. Научилась выбирать главное из книг для работы.

Итогом моей работы стала книжка, в которой собрала рисунки для вычерчивания одним росчерком. Рисунки в ней разделила на забавные фигурки, фигурки с круглыми линиями, фигурки с геометрическими формами. Рисунками можно воспользоваться, когда придут в гости друзья.

Имея уже запас знаний по решению олимпиадных задач, могу предположить, что среди них могут встречаться и задачи одним росчерком.

Я вижу продолжение своей работы в другом виде занимательных задач, которые основаны на смекалке, логике, умении преодолевать трудности.

Выводы:

Решение занимательных задач – труд, результатом которого является постоянная практика;

Я поняла, что решать задачи, такие как вычерчивание фигур одним росчерком, может каждый ребёнок;

Начинать решать занимательные задачи нужно как можно раньше и заниматься этим постоянно;

Подобные задачи могут объединять и детей и взрослых.

Проведя свои исследования по теме « Легко или сложно вычерчивать фигуры одним росчерком?», я могу с уверенностью сказать, что вычерчивание зависит от определённых условий. Необходимо думать, как рисовать; что можно нарисовать; каким путём идти по фигуре; в каком направлении двигаться; даст ли выбранный путь результата. Чтобы ответить на все эти вопросы, мне пришлось изучать литературу; вычерчивать большое количество фигур, объяснять положения друзьям и родственникам.

Чтобы рисовать фигуры, не отрывая карандаша от бумаги, нужно использовать положения:

1. Фигуру, имеющую более двух нечетных вершин, невозможно начертить «одним росчерком».

2. Фигуру, имеющую всего две нечетные вершины, можно начертить, при этом движение нужно начать с одной из этих нечетных вершин и закончить во второй из них.

3. Если все вершины фигуры четные, она вычерчивается одним росчерком.

Я выполнила исследование и осталась довольна результатом. Теперь я могу легко занять своё свободное время, друзей, которые придут ко мне в гости. Вычерчивание фигур сравниваю с игрой в шахматы, в которой каждый ход фигуры нужно просматривать. Для этого надо тренироваться и тогда даже сложные задачи покажутся простыми. А дальше я хочу сам придумать фигуры, вычерчиваемые одним росчерком, обмениваться по Интернету со всеми, кто этим увлечён.

Литература

Болховитинов В.Н. Твое свободное время. М.: Информатика и образование, 2001 г.

Гаврилова Т.Д. Занимательная математика. 5-11 кл. Волгоград: Учитель, 2005 г.

Задачи для внеклассной работы по математике в 5-6 классах/ сост. В.Ю. Сафанова, М.: Мирос, 1993 г.

Игнатьев Е.И. В царстве смекалки. М.: АО «Столетие», 1994 г.

Занимательные материалы для внеклассной работы по математике/сост. Колесов. М.И. Волгоград : Учитель 2008 г.

Кордемский Б.А. Математическая смекалка. М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы. 1995 г.

Перельман Я.И. Занимательная алгебра. М.: Астрель, 2007 г.

Перельман Я.И. Занимательная геометрия. М.: АО «Столетие», 1994 г.

Перельман Я.И. 101 головоломка. М.: Астрель, 2007 г.

Трошин В.В. Занимательные дидактические материалы по математике. М.: Глобус,