XVIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Математический помогатор

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Плюскова Е.А. 1

---

1МАОУ СШ №8

Плюскова С.В. 1Воронова С.М. 1

---

1МАОУ СШ № 8

Работа в формате PDF

3.3 MB

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителяСвидетельство руководителя

«Счет и вычисления – основа порядка в голове»

Песталоцци

Введение

Мне часто в жизни приходится быстро и устно считать: в магазине, в аптеке, в кинотеатре, на уроке математики, на занятиях художественной гимнастикой, в других кружках и секциях. А для многих – устный счет является чем-то ненужным. Некоторым моим одноклассникам кажется, зачем напрягаться и складывать в уме, если под рукой всегда есть калькулятор, телефон или планшет? Но ведь в нужный момент гаджетов может не оказаться под рукой. Только тогда задумываешься о том, насколько полезным может быть устный счет.

Я заметила, что, во время устного счета, я допускаю ошибки, хотя в столбик считаю быстро и правильно. Я задумалась, как решить эту проблему. Ведь есть люди, которые быстро считают в уме без ошибок. Неужели это особенные люди? Оказывается, они просто знают хитрые приемы для быстрого устного счета.

Я задалась вопросом: можно ли овладев этими приемами, улучшить свои навыки устного счета? Овладев этими приемами сама, я бы смогла помочь и своим одноклассникам научиться считать быстро и правильно, показать им, что процесс выполнения действий может быть не только полезным, но и интересным, увлекательным занятием. Ведь математика – это не только способность посчитать, сколько сдачи вам должны дать в магазине, или сколько дней осталось до каникул, она способна привести в порядок мысли и научить жить по правилам.

«Математику уже за то любить следует, что она ум в порядок приводит» – говорил Михаил Васильевич Ломоносов.

Наряду с такими навыками как чтение и письмо, умение считать является очень важным.

Нередко нам приходится тратить много времени на вычислительную и весьма утомительную работу там, где, зная приемы устных вычислений, можно затратить меньше времени и испытать при этом определенное удовлетворение.

Актуальность моей работы в том, что она позволит расширить мои знания о хитрых приемах устного счета, поможет повысить скорость и качество устного счета не только мне, но и моим одноклассникам. Созданный мною «Математический помогатор» поможет показать современный и интересный способ изучения математики всем желающим.

Гипотеза: если овладеть приемами устного счета, то возможно увеличить скорость и качество вычислений.

Цель работы: улучшить навыки устного счета

Задачи:

изучить литературные источники и информацию в сети интернет по данной теме;

узнать приемы быстрого счета и выбрать из них наиболее интересные и доступные для учащегося третьего класса;

освоить эти приемы и научиться их применять;

проверить эффективность использования этих приемов на своих одноклассниках;

создать сборник видеоинструкций и «Математический помогатор».

Объект исследования: алгоритмы вычислений.

Предмет исследования: процесс вычислений.

Методы исследования:

Наблюдение

Изучение литературы и других источников информации

Опрос (анкетирование)

Тестирование

Измерение Эксперимент

Сравнение

Обобщение

Вывод

Оформление полученных результатов

Глава I. История развития счета

1.1. Как считали люди в древности

Люди научились считать еще в далекие древние времена. Сначала они просто различали один предмет перед ними или нет. Если предмет был не один, то говорили «много». Прошло очень много времени, прежде чем появилось число два. Счет парами был очень удобен. Все числа, большие двух, получали названия в виде сочетаний этих двух числительных. Например, три – это «один, два», четыре – «два, два», пять – «два, два, один» [4, С.13].

Становление счета шло довольно медленно. Но все же настал момент, когда человек додумался использовать самый близкий счетный аппарат – свои пальцы.

Пальцы человека были не только первым счетным приспособлением, но и первой вычислительной машиной. Сама природа предоставила человеку этот универсальный счетный инструмент. У многих народов пальцы (или их суставы) при любых торговых операциях играли роль первого счетного устройства. Для большинства бытовых потребностей людей их помощи вполне хватало.

Хотелось бы отметить, что в древности пальцевый счет не был примитивным загибанием пальцев. Он, с учетом умственных способностей человека к скоростному счету, достиг такого совершенства, что и сейчас вполне мог бы конкурировать с современными калькуляторами. С помощью пальцев не только складывали и вычитали, но и умножали.

Пальцы рук использовали все народы, периодически перенимая отдельные приемы друг у друга.

На Руси существовали в разные времена разные системы пальцевого счета: единицами, парами (прямой и согнутый пальцы, что в последствие стало основой программирования), тройками, четверками, пятками (одна рука), десятками (две руки), сороками (на суставах пальцев) и т.п. (Приложение 1).

1.2. Старинные способы вычислений

Способы вычисления, которыми мы пользуемся сейчас, не всегда были так просты и удобны. Наши предки пользовались более громоздкими и медленными приемами. И если бы школьник XXI века мог перенестись на пять веков назад, он поразил бы наших предков быстротой и безошибочностью своих арифметических вычислений. Молва о нем облетела бы окрестные школы и монастыри, затмив славу искуснейших счетчиков той эпохи, и со всех сторон приезжали бы учиться у нового великого мастера.

Особенно трудны в старину были действия умножения и деления. Тогда не существовало одного выработанного практикой приема для каждого действия. Напротив, в ходу была одновременно чуть ли не дюжина различных способов умножения и деления – приемы один другого запутаннее, запомнить которые не в силах был человек средних способностей. Каждый учитель счетного дела держался своего излюбленного приема, каждый «магистр деления» (были такие специалисты) восхвалял собственный способ выполнения этого действия [2, C. 41] (Приложение 2).

Глава 2. Приемы устного счета

2.1. Методы сложения и вычитания

Прибавляем числа 7, 8, 9

Для упрощения вычислений числа 7, 8, 9 сначала надо округлять до 10, а затем вычитать прибавку. К примеру, чтобы прибавить 9 к двузначному числу, надо сначала прибавить 10, а затем вычесть 1 и т.д.

Примеры:

Прибавляем числа 9, 99, 999, …

Для упрощения вычислений числа 9, 99, 999, … надо округлить до 10, 100, 1000, …, а затем вычесть 1.

Примеры:

Быстро складываем двузначные числа

Если последняя цифра двузначного числа больше пяти, округляем его в сторону увеличения. Выполняем сложение, из полученной суммы отнимаем «добавку».

Примеры:

Если последняя цифра двузначного числа меньше пяти, то складываем по разрядам: сначала прибавляем десятки, затем – единицы.

Пример:

Если слагаемые поменять местами, то сначала можно округлить число 57 до 60, а потом вычесть из общей суммы 3:

Складываем в уме трехзначные числа

Быстрый счет и сложение трехзначных чисел – это возможно? Да. Для этого надо разобрать трехзначные числа на сотни, десятки, единицы и поочередно их приплюсовать.

Пример:

Особенности вычитания: приведение к круглым числам

Вычитаемые округляем до 10, до 100. Если надо вычесть двузначное число, надо округлить его до 100, вычесть, а затем к остатку прибавить поправку. Это актуально если поправка невелика.

Примеры:

Вычитаем в уме трехзначные числа

Если в свое время был хорошо усвоен состав чисел от 1 до 10, то вычитание можно производить по частям и в указанном порядке: сотни, десятки, единицы.

Пример:

Вычитаем из 100, 1000, 10000 и т.д.

Разложим вычитаемое на цифры и по очереди вычитаем каждую из них из 9, двигаясь слева направо. Только крайнее правое число вычитаем из 10. Записываем полученные результаты по порядку слева направо и получим ответ.

Примеры:

2.2. Методы умножения и деления

Умножаем на 5

Приписываем к числу 0 и делим полученное число на 2.

Пример:

Умножаем на 50

Приписываем к числу два нуля и делим полученное число на 2.

Пример:

Умножаем на 9

Приписываем к числу 0 и вычитаем из полученного числа исходное.

Пример:

Умножаем на 11

Способ 1. Приписываем к числу 0 и прибавляем к полученному числу исходное.

Пример:

Способ 2. Записываем число, которое нужно умножить на 11, а между цифрами исходного числа вставляем сумму этих цифр. Если сумма получается двузначным числом, то между цифрами исходного числа вставляем число единиц, а к первой цифре прибавляем 1.

Примеры:

Умножаем на 101

Записываем число дважды – получим искомый результат.

Примеры:

Делим двузначное число на однозначное

Представляем делимое в виде суммы двух удобных слагаемых, каждое из которых делится на данное однозначное число. Затем делим каждое слагаемое на однозначное число и полученные результаты складываем.

Пример:

Глава 3. Практическая часть

В начале работы над проектом я провела опрос среди одноклассников и выяснила, что многие предпочли бы считать на калькуляторе. Из опроса я узнала, что многие хотели бы улучшить свои вычислительные навыки, но не знают как. (Приложение 3).

На следующем этапе работы я провела ряд экспериментов (Приложение 4).

Эксперимент № 1

Гипотеза: После знакомства с приемом прибавления 99 к числу и вычитания 99 из числа скорость вычислений увеличится.

Цель эксперимента: узнать на сколько изменится скорость вычислений при решении примеров вида □ + 99, □ – 99 после овладения приемом.

Сначала я написала 4 примера и попросила решить их удобным способом, результаты я занесла в таблицу.

Затем я продемонстрировала решение такого вида с помощью приема округления до 100 и предложила решить их еще раз.

Результат увеличения скорости в 3-5 раз.

Гипотеза подтвердилась.

Эксперимент № 2

Гипотеза: После знакомства с приемом умножения на 9 скорость вычислений увеличится, и ребята смогут умножать двузначные числа на 9.

Цель эксперимента: узнать на сколько изменится скорость вычислений при решении примеров вида □ × 9 после овладения приемом.

Я снова предложила 4 примера данного вида и попросила решить их удобным способом, результаты я занесла в таблицу.

Затем я продемонстрировала решение такого вида с помощью вычислительного приема и предложила решить их еще раз.

Результат увеличения скорости меня снова порадовал.

Гипотеза подтвердилась: ребята не только быстро посчитали, но и смогли умножить безошибочно двузначные числа на 9.

Эксперимент № 3

Гипотеза: После знакомства с приемом умножения на 101 скорость вычислений увеличится, и ребята смогут умножать двузначные числа на 101.

Цель эксперимента: узнать увеличится ли скорость вычислений при решении примеров на умножение на 101 после того, как ребята познакомятся с этим хитрым приемом.

Как и в прошлых экспериментах я предложила 4 примера данного вида и попросила ребят решить их удобным способом. Результаты я записала в таблицу.

Затем я показала, как быстро умножать на 101 с помощью вычислительного приема и предложила решить примеры такого вида еще раз. Результат увеличения скорости меня приятно удивил.

Гипотеза подтвердилась: ребята без труда справились с примерами на умножение двузначных чисел на 101, при этом никто не допустил ошибки.

Выводы: вычислительные приемы повышают интерес к математике и увеличивают скорость счета.

Через неделю я решила повторить свои эксперименты и проверить насколько ребята усвоили приемы быстрого счета, с которыми я их познакомила.

Эксперимент № 4

Гипотеза: Через неделю после знакомства с приемами устного счета ребята смогут считать быстро и правильно.

Цель эксперимента: узнать на сколько изменится скорость вычислений через неделю знакомства с приемами быстрого счета.

Как и неделю назад ребятам было предложено по четыре примера на каждый прием. Я сама также приняла участие в этом эксперименте, решая примеры у доски. Результаты в таблицу записывала наш учитель.

Результаты оказались лучше, чем в первый раз, когда ребята не знали приемы, но незначительно хуже, чем во второй раз, когда я познакомила их с приемами.

Гипотеза подтвердилась частично.

Тогда я сделала вывод, что знать приемы недостаточно, устный счет требует постоянных упражнений. Поэтому я решила создать видеоинструкции, которыми смогут воспользоваться не только мои одноклассники, но и все желающие улучшить свои вычислительные навыки.

Я обратилась за помощью в создании видео к своей маме.

С помощью программы PowerPoint мы создали презентации с подробными инструкциями. Наложили звуковое сопровождение. Сохранили эти инструкции в видеоформате MPEG4.

Чтобы эти видеоинструкции были доступны всем желающим, мы выложили их на Google Диск. А чтобы легче было их найти, мы закодировали ссылки на них QR кодом. Для этого воспользовались бесплатным онлайн генератором QR кода¹ (Приложение 5).

Я создала «Математический помогатор», в котором описаны приемы устного счета и ссылки на видеоинструкции, поясняющие эти приемы (Приложение 6).

Чтобы у каждого моего одноклассника был личный «Математический помогатор», я провела в классе мастер-класс по его изготовлению (Приложение 7).

Теперь все ребята с удовольствием считают в уме, используя хитрые приемы из личного «Математического помогатора».

Заключение

В мире информационных технологий для многих ребят устный счет является чем-то ненужным. Зачем напрягаться и складывать в уме, если под рукой всегда есть калькулятор, телефон или планшет? Да, современные технологичные помощники значительно облегчают нам жизнь, но злоупотребляя ими, мы лишаемся главного – перестаем тренировать наш самый нужный механизм – мозг. А без тренировок мозг теряет свои силы.

И именно устный счет отлично тренирует мышление, память. Появляется способность концентрировать внимание, воспринимать информацию на слух.

Моя гипотеза подтвердилась: мы овладели хитрыми приемами устного счета, что позволило быстро и без ошибок считать в уме.

В XXI веке невозможно представить себе жизнь человека, не производящего вычислений: это и повар, и продавец, и бухгалтер, и строитель, и врач, и обыкновенный школьник.

Знание хитрых приемов устного счета особенно важно в тех случаях, когда нет в распоряжении калькулятора.

Освоив некоторые хитрые приемы устного счета, я улучшила свои навыки и помогла одноклассникам повысить скорость и качество вычислений. Теперь сделанный нами «Математический помогатор», всегда у нас под рукой.

Основные выводы, которые можно сделать по работе:

вычислительные навыки надо систематически развивать;

развить их может каждый человек;

нужно освоить как можно больше «хитрых» приемов.

В будущем я планирую продолжить освоение новых нестандартных приемов устного счета и с удовольствием буду ими делиться. Мне понравилось обучать, записывать видео и быть успешной.

Список использованных источников и литературы

Корнев А.А. Феномен русского умножения. История. [Электронный ресурс]. URL: https://www.numbernautics.ru/2011-09-26-10-40-06/278-2011-09-26-11-04-13.html (Дата обращения: 27.03.2022)

Перельман Я. И. Занимательная арифметика. Загадки и диковинки в мире чисел. [Электронный ресурс]. – Л.: ГОНТИ, 1938. URL: https://www.mathedu.ru/text/perelman_zanimatelnaya_arifmetika_1938/p1/ (Дата обращения: 27.03.2022)

Перельман Я.И. Быстрый счет. Тридцать простых приемов устного счета. Л., 1941 - 12 с.

Шейнина О.С., Соловьева Г.М. Математика. Занятия школьного кружка. 5-6 кл. – М.: Изд-во НЦ ЭНАС, 2002. – 208 с.

Умножение и сложение на пальцах рук: 3 забытых русских способа, которые вас удивят. URL: https://zen.yandex.ru/media/haknem_shkola/umnojenie-i-slojenie-na-palcah-ruk-3-zabytyh-russkih-sposoba-kotorye-vas-udiviat-5f9455bb98e57704a1458bf0 (Дата обращения: 20.03.2022)

Приложение 1.

Примеры систем пальцевого счета

Способ «счет дюжинами»

Счет дюжинами (по 12) велся большим пальцем по фалангам остальных четырех пальцев правой руки, начиная от нижней фаланги указательного пальца до верхней фаланги мизинца.

Рис. 1 Счет дюжинами

Если число превышало 12, то при достижении 12 считающий загибал палец на другой руке. При достижении пяти дюжин, т.е. 12 × 5 = 60, все пальцы руки были загнуты в кулак.

Дюжинами в России до начала XX века было принято считать пишущие перья, карандаши, наборы из 12 предметов вилок, ложек, комплекты стульев и кресел на 12 персон [5].

Способ «счет сорока́ми»

Охотники за пушным зверем в Сибири считали «сорочками» – укомплектованными мешками шкурками (как правило, 40 соболиных хвостов и 40 беличьих шкурок, именно столько уходило на пошив шубы (сорочки) русского боярина XVI века). Счет сороками напоминал счет дюжинами, только подсчета фаланг считали суставы пальцев, которых 8 (см. рис. 2).

Рис. 2 Счет сороками

Следы пальцевого «счета сорока́ми» сохранились в народных суевериях: несчастливым для охотника считался сорок первый медведь.

Об исторической роли счета на пальцах говорят и названия числительных у разных народов: часто число пять называется «рукой», десять – «две руки», двадцать – «весь человек», т.е. 2 руки и 2 ноги [5].

Пальцевой счет, унаследованный от далеких предков, сохранился вплоть до настоящего времени и активно используется, например, судьей на боксерском ринге при отсчете секунд во время нокаута или на товарно-сырьевых бирже, где осуществляются сделки купли-продажи товаров и сырья. Да и в быту он не забыт. И сегодня мы сгибаем (а американцы, наоборот, разгибают) пальцы, в споре, показывая оппоненту ради большей убедительности количество аргументов в пользу своей позиции.

Приложение 2.

Старинные способы вычислений

Старинный русский способ умножения чисел от 6 до 9 (таблица умножения до 5 заучивалась) применялся купцами как вспомогательный при устном счете. Если нужно было перемножить два числа, которые оба больше 5 и меньше 9, то:

первоначально пальцы обеих рук сжимали в кулаки;

на одной руке разгибали столько пальцев, на сколько единиц первое число больше 5, на второй руке — на сколько второе число превышает 5;

сумма разогнутых пальцев дает десятки искомого произведения, а произведение оставшихся загнутых пальцев — единицы [5].

Чтобы было понятно – разберем на примере:

Необходимо найти произведение чисел 7 и 9.

Сожмем пальцы рук в кулаки. Число 7 больше 5 на 2, число 9 – на 4. Разогнем на одной руке 2 пальца, на другой – 4. Сумма 2 + 4 = 6, значит число десятков в искомом произведении 6, остались сжатыми пальцы на руках 3 и 1, перемножаем их: 3 × 1 = 3. Это будет число единиц в искомом. Получили 63. 

Действительно, 7 × 9 = 63.

Крестьянский способ умножения.

Сущность крестьянского способа в том, что умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам при одновременном удвоении другого числа. Другими словами, этот способ заключается в умении делить и умножать любое число на 2 [1].

Алгоритм действий:

Пишем числа на одной прямой и рисуем между ними вертикальную прямую.

Число слева делим на 2, а справа – умножаем на 2. Если при делении возникнет остаток, то он уничтожается.

Повторяем до момента, пока слева не останется 1.

Вычеркиваем строки, где с левой стороны стоят четные числа.

Сложить числа, которые остались с правой стороны.

Рассмотрим на примере умножение 57 на 12.

Пишем оба числа на одной прямой и рисуем между ними вертикальную прямую.

Число с левой стороны делим на 2, а с правой — умножаем на 2. Подобную манипуляцию проводим до момента, пока слева не останется 1.

Необходимо вычеркнуть строки, где слева стоят четные числа.

Числа, которые остались справа складываем и получаем результат. В нашем случае – 684.

Приложение 3.

Социологический опрос

1. Зачем нужно уметь считать?

а) пригодится в жизни, например, считать деньги;

б) чтобы хорошо учиться в школе;

в) чтобы быстро решать;

г) чтобы быть грамотным;

д) не обязательно уметь считать.

2. Перечисли, при изучении, каких школьных предметов тебе понадобится правильно считать?

3. Знаешь ли ты приемы быстрого счета?

а) да, много;

б) да, несколько;

в) нет, не знаю.

4. Применяешь ли ты при вычислениях приемы быстрого счета?

а) да;

б) нет.

5. Хотел бы ты узнать приемы быстрого счета, чтобы быстро считать?

а) да;

б) нет.

Результаты

Вывод: по данным опроса можно сказать, что 80% класса думают, что считать быстро надо только на математике, а в других случаях не обязательно, для этого есть калькуляторы. Большинство ребят знают несколько хитрых приемов, но не применяют их. Почти все хотели бы узнать о приемах устного счета, чтобы научиться быстро и безошибочно считать.

Приложение 4.

Участие учащихся 4Б класса в эксперименте «Освоение хитрых приемов устного счета»

Приложение 5.

Создание видеоинструкций и размещение их на Google Диске

Кодирование ссылки на видеоинструкции с помощью генератора QR кода

риложение 6.

Шаблоны для «Математического помогатора»

Приложение 7.

Мастер-класс «Математический помогатор»