Кривые линии второго порядка: приведение к каноническому виду, нахождение характеристик, построение графика

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Белков К.А. 1

---

1Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Многопрофильный лицей №10» Елабужского муниципального района Республики Татарстан

Жесткова А.Л. 1Жучкина И.П. 2

---

1Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Многопрофильный лицей №10» Елабужского муниципального района Республики Татарстан

2423600, Республики Татарстан, город Елабуга, ул.Марджани д.54

Работа в формате PDF

1.4 MB

Автор работы награжден дипломом победителя I степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителяСвидетельство руководителя

Введение

Конечно же, каждый из нас слышал о таких понятиях как график функции, система координат, гипербола и т.п. Всё это является составляющими темы «Функции», с которой знакомимся мы в школе ещё в среднем звене.

Функция - в математике соответствие между элементами двух множеств, установленное по такому правилу, что каждому элементу одного множества ставится в соответствие некоторый элемент из другого множества. Этот закон определяется уравнением , и на основе него строится график в плоской системе координат, задаваемой двумя осями X и Y. Двигаясь от 6 до 9 класса, мы усложняли уравнения и графики, вводили новые понятия, но никогда не выходили за рамки основного определения функции и принципа построения графиков. То есть нами не рассматривалась возможность построения, например, такой кривой как эллипс. Единственным, наверное, примером кривой (не функции) была окружность, которая встречалась нам в геометрии, и еще встретится при решении задания с параметром в ЕГЭ. В 9-м классе на уроке математики учитель показала нам основы работы в табличном процессоре для вычисления значений функции, и азы построения графика квадратичной функции в GeoGebra. Желание расширить область преподаваемого нам материала, я заглянул за рамки заданных ограничений. В этом и заключается одна из целей, поставленных в данной работе - расширить знания по теме графики, попрактиковаться в области их построения. Таким образом, объектом моего исследования стали кривые II порядка - графики, в уравнениях которых нет такой строгой зависимости Y от X, как в функциях. Другой вопрос, которым я задался, как построить графики вручную, без вспомогательных программ, ведь на ЕГЭ даже циркуль с собой взять не получится. Я в будущем решил посвятить себя архитектуре и строительству, сегодня нуждаюсь в теоретических и в практических знаниях.

Актуальность: умение строить графики функций безусловно поможет мне с легкость выполнить задания в ОГЭ под номерами 11, 20 и 22, ведь если под номером 20 в КИМ окажется система уравнений ее можно решить и графическим способом; и конечно же задание №17 с параметром в ЕГЭ. Как утверждают разработчики контрольно-измерительных заданий ЕГЭ, все задания с параметром из реального экзамена возможно решить не только аналитическим способом, но и графическим, что вызывает у меня повышенный интерес. Я хочу научиться их решать.

Гипотеза: будущим архитекторам, строителям, дизайнерам необходимы знания по данной теме.

Объект исследования: кривые второго порядка и задачи связанные с их построением и приведением к каноническому виду.

Предмет исследования: понятия связанные с кривыми второго порядка и их построением.

Вот главная цель работы: узнать как можно больше о кривых второго порядка. Для достижения целей работы было поставлено несколько задач:

пополнить знания о стандартных (невырожденных) кривых II порядка: эллипс, параболу, гиперболу;

рассмотреть нестандартные кривые II порядка;

построить графики вручную и в приложении;

познакомиться с полярной системой координат и сопоставить с декартовой, уже изучавшейся в школе.

Методы исследования: сбор информации, обобщение, обработка материала, расчет и анализ, сравнение, построение.

Процесс решения каждой из задач был разбит на 2 этапа:

изучение и разбор теоретического материала, знакомство с новыми понятиями;

применение полученных знаний на практике, построение графиков.

1. Исследование кривых второго порядка

1.1. Историческая справка

Впервые кривые второго порядка изучались одним из учеников Платона. Его работа заключалась в следующем: если взять две пересекающиеся прямые и вращать их вокруг биссектрисы угла, ими образованного, то получится конусная поверхность. Если же пересечь эту поверхность плоскостью, то в сечении получаются различные геометрические фигуры, а именно эллипс, окружность, парабола, гипербола и несколько вырожденных фигур. Однако эти научные знания нашли применение лишь в XVII, когда стало известно, что планеты движутся по эллиптическим траекториям, а пушечный снаряд летит по параболической. Ещё позже стало известно, что если придать телу первую космическую скорость, то оно будет двигаться по окружности вокруг Земли, при увеличении этой скорости — по эллипсу, а при достижении второй космической скорости тело по параболе покинет поле притяжения Земли. Интерес к коническим сечениям особенно возрос после того, как Галилей установил, что тело, брошенное под углом к горизонту, двигается по параболе, и  Кеплер сформулировал законы движения планет, согласно которым они описывают эллипсы.

1.2. Понятие алгебраической линии и её порядка

Линию на плоскости называют алгебраической, если в аффинной системе координат её уравнение имеет вид   , где   – многочлен, состоящий из слагаемых вида   (   – действительное число,   – целые неотрицательные числа).

Уравнение алгебраической линии не содержит синусов, косинусов, логарифмов и прочего функционального бомонда. Только и в целых неотрицательных степенях.

Далее под словом «линия» по умолчанию будет подразумеваться алгебраическая линия на плоскости.

Порядок линии равен максимальному значению   входящих в него слагаемых.

Алгебраической кривой второго порядка называется кривая , уравнение которой в декартовой системе координат имеет вид , где не все коэффициенты А, В и С равны одновременно нулю (иначе - прямая, т.е. алгебраическая кривая первого порядка). Кривые второго порядка делятся на вырожденные и невырожденные. Вырожденные кривые второго порядка это прямые и точки, которые задаются уравнением второй степени. Если уравнению второго порядка не удовлетворяет ни одна точка плоскости, то тоже говорят, что уравнение определяет вырожденную кривую (мнимую кривую второго порядка).

Итак, вспомним простейшие школьные вариации линий второго порядка. В качестве примеров напрашивается парабола  , уравнение которой легко привести к общему виду   , и гипербола   с эквивалентным уравнением   .

Это общепринятый стандартный вид уравнения, когда в считанные секунды становится ясно, какой геометрический объект оно определяет. Кроме того, канонический вид очень удобен для решения многих практических заданий. Так, например, по каноническому уравнению   «плоской» прямой, во-первых, сразу понятно, что это прямая, а во-вторых – элементарно просматривается принадлежащая ей точка   и направляющий вектор . Очевидно, что любая линия 1-го порядка представляет собой прямую.

Классификация линий второго порядка

1.3. Эллипс, гипербола, парабола

Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина, большая, чем расстояние между фокусами. Постоянную сумму расстояний произвольной точки эллипса до фокусов принято обозначать через . Фокусы эллипса обозначают буквами   и  , расстояние между ними - через . По определению эллипса  .

-c;0)-левый фокус, c;0)- правый фокус. большая ось эллипса, - малая ось эллипса. - большая полуось эллипса, - малая полуось эллипса. Если , то имеем окружность с радиусом .

Если центр эллипса находится не в начале координат, а в некоторой точке , оси эллипса параллельны осям координат, то каноническое уравнение эллипса имеет вид .

Эксцентриситет- число, равное отношению фокального расстояния к большей полуоси. . Эксцентриситет характеризует отклонение эллипса от окружности, т.е. чем эксцентриситет больше, тем эллипс более сплющен, вытянут.

Гиперболой называется геометрическое место точек на плоскости, для каждой из которых абсолютное значение разности расстояний до двух данных точек, называемых фокусам, одинаково и равно  и  - фокусы. . - фокальное расстояние, -c;0)-левый фокус, c;0)- правый фокус. вершины. .. Расстояние от центра гиперболы до одного из фокусов называется фокальным расстоянием.

Каноническое уравнение гиперболы с центром симметрии в начале координат .. -действительная ось, - мнимая ось. - действительная полуось, - мнимая полуось.

Если центр гиперболынаходится в некоторой точке , оси симметрии параллельны осям координат, то каноническое уравнение имеет вид .

Эксцентриситет гиперболы- число, равное отношению фокусного расстояния к действительной полуоси. . Чем эксцентриситет меньше, тем гипербола более вытянута, сплющена вдоль оси Ох.

Директриса гиперболы- прямые, параллельные мнимой оси гиперболы и отстоящая от нее на расстоянии . -правая директриса, - левая директриса.

Уравнения директрис: .

Порядок построения гиперболы:

1. Строим прямоугольник со сторонами и .

2. Провести асимптоты гиперболы- диагонали построенного прямоугольника.

3. Строим гиперболу с вершинами в точках .

Например, .

Параболой называется множество точек на плоскости, расстояния от которых до данной точки, называемой фокусом, и до данной прямой, называемой директрисой, равны.

-фокус параболы, –директриса параболы. . Фокус параболы . Директриса параболы

С гиперболой мы часто сталкиваемся в повседневной жизни. По параболистической траектории летит брошенный вверх камень, отскакивает мяч от пола, движутся планеты вокруг Солнца.

2. Системы координат

Система координат — комплекс определений, реализующий метод координат, то есть способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов. Совокупность чисел, определяющих положение конкретной точки, называется координатами этой точки. Знания обычного человека в большинстве случаев ограничиваются одной-двумя системами координат. На самом же деле их существует великое множество: прямоугольная, полярная, аффинная, сферическая, цилиндрическая и т.д. На одном из уроков алгебры мы затрагивали кое-какие из них, а в это исследовании я решил сопоставить две: прямоугольную (ёще называющуюся декартовой) и полярную (как хорошо знакомую и в корне отличающуюся).

2.1.Декартова система координат

Прямоугольная, или Декартова, система координат - прямолинейная система координат на плоскости или в пространстве, обычно с взаимно перпендикулярными осями и одинаковыми масштабами по осям. Названа по имени Р Декарта. Это наиболее простая и поэтому часто используемая система координат как на плоскости, так и в пространстве.

Историческая справка: Декарт впервые ввел координатную систему в своей работе «Рассуждение о методе» в 1637 году. Она существенно отличалась от общепринятой в наши дни. Он использовал косоугольную систему координат на плоскости, рассматривая кривую относительно некоторой прямой с фиксированной системой отсчета. Положение точек кривой задавалось с помощью системы параллельных отрезков, наклонных или перпендикулярных к исходной прямой. Декарт не вводил второй координатной оси, не фиксировал направления отсчета от начала координат. Только в 18 в. сформировалось современное понимание координатной системы, получившее имя Декарта.

Д анная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат OX и OY. Эти оси пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения одинаковы для обеих осей. Положительное направление осей (в правосторонней системе координат) выбирают так, чтобы при повороте оси OX против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси OY. Четыре угла - четверти (I, II, III, IV) - образованные осями координат OX и OY, называются координатными углами.

2 .2.Полярная система координат

Полярная система координат — двумерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами — полярным углом и полярным радиусом. Полярная система координат особенно полезна в случаях, когда отношения между точками проще изобразить в виде радиусов и углов; в более распространённой, декартовой или прямоугольной системе координат, такие отношения можно установить только путём применения тригонометрических уравнений.

Полярная система координат задаётся лучом, который называют нулевым или полярной осью. Точка, из которой выходит этот луч, называется началом координат или полюсом. Любая точка на плоскости определяется двумя полярными координатами: радиальной и угловой. Радиальная координата (обычно обозначается r) соответствует расстоянию от точки до начала координат. Угловая координата, также называется полярным углом или азимутом и обозначается , равна углу, на который нужно повернуть против часовой стрелки полярную ось для того, чтобы попасть в эту точку.

Определённая таким образом радиальная координата может принимать значения от нуля до бесконечности, а угловая координата изменяется в пределах от 0° до 360°. Однако, для удобства область значений полярной координаты можно расширить за пределы полного угла, а также разрешить ей принимать отрицательные значения, что отвечает повороту полярной оси по часовой стрелке.

2.3. Связь между декартовыми и полярными координатами

Пару полярных координат и можно перевести в Декартовы координаты x и y путём применения тригонометрических функций синуса и косинуса:

в то время как две декартовы координаты x и y могут быть переведены в полярную координату :

(по теореме Пифагора).

2.4. Нестандартные кривые II порядка

Просмотрев этот раздел, неосведомлённый человек может подумать, что часть нестандартных кривых второго порядка можно спокойно отнести к стандартным, другая же часть не имеет с ними ничего общего. Некоторые из них действительно представляют собой красивые витиеватые узоры, но некоторые выглядят как-то слишком просто, без изысков. Конечно, такое мнение имеет место существовать. Но ведь дело в степени и области применения кривых: одни встречаются постоянно, другие - только в узких специализированных целях - и в сложности уравнения. Наиболее интересные кривые: спираль Архимеда, улитка Паскаля, Розы Гранди.

3. Практическая часть

Задача1. Привести к каноническому виду и построить график кривой второго порядка .

Решение: Преобразуем

Уравнение задает окружность с центром в точке

Задача 2: По виду уравнения определить тип кривой и нарисовать ее в декартовой системе координат .

Решение: Уравнение гиперболы в общем виде: , где - полуоси.

Имеем, гиперболу с центром в начале координат. Строим прямоугольник со сторонами Проводим диагонали прямоугольника- асимптоты гиперболы. Строим гиперболу с вершинами .

Задача 3: Построить кривую второго порядка: .

Решение: Преобразуем уравнение к каноническому виду:

.

Имеем окружность радиуса с центром в точке .

Задача 4: Привести к каноническому виду и построить график кривой

.

Решение: Преобразуем

Таким образом, имеем эллипс с центром в точке

Большая полуось: .

Меньшая полуось равна: .

Задача 5: Привести заданное уравнение линии второго порядка к каноническому виду и построить ее .

Решение:

Получили окружность с центром в точке и радиусом .

Задача 6: Определить центр и радиус окружности: .

Решение: Преобразуем

.

Получили окружность с центром в точке и радиусом .

Задача 7. Определить центр и полуоси эллипса: Постройте эллипс.

Решение:

Получили эллипс, у которого большая полуось- 6, малая полуось- 5 и центр в точке

Задача 8: Определить центр, полуоси и асимптоты гиперболы: .

Решение:

Центр гиперболы в точке (11;-9).

Действительная и мнимая полуось равна 8.

Уравнения асимптот гиперболы имеют вид: Имеем, . Тогда уравнение асимптот будут иметь вид: :

Задача 9: Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от точки вдвое меньше расстояния ее от прямой .

Решение: Пусть точка ,

Имеем,

Получили эллипс с центром в начале координат.

Большая полуось

Малая полуось .

Задача 10: Дана кривая . Докажите, что эта кривая- эллипс. Найдите координаты центра симметрии. Найдите его большую и малую полуоси. Постройте данную кривую.

Решение: Преобразуем уравнение

Получили уравнение эллипса, но не каноническое, т.к. . Видим, что центр эллипса находится не в начале координат, а в точке .

С помощью параллельного переноса исходной системы координат перейдем к новой прямоугольной системе координат с началом в точке (3;1) и запишем уравнение эллипса в каноническом виде .

Задача 11: Дана кривая

Доказать, что данная кривая- парабола.

Найти координаты вершины параболы

Найти значение ее параметра.

Запишите уравнение оси симметрии параболы.

Постройте данную параболу.

Решение:

Выделим полный квадрат:

Имеем,

Выполним преобразование координат, определяющий перенос начало координат.

(

В новой системе координат уравнение принимает канонический вид:

Параметр

Уравнение оси симметрии получим из системы (I):

Координаты вершины параболы получим из системы (I) при .

Получим точку .

Задача 12:

Решение: Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка, найти все ее параметры, построить кривую .

Решение: приведем уравнение кривой к каноническому виду, выделяя полные квадраты

,

,

,

,

Получили каноническое уравнение гиперболы с центром в точке и полуосями .

Асимптоты гиперболы:

,

Параметр

Тогда фокусы гиперболы расположены в точках:

Эксцентриситет гиперболы:

Директрисы гиперболы:

.

Задача 13: Выяснить вид кривой по общему уравнению, найти её параметры и положение в системе координат. Сделать рисунок.

Решение. Приводим уравнение кривой к каноническому виду, выделяя полные квадраты:

,

,

|:3 ,

,

,

,

,

.

Получили уравнение гиперболы с центром в точке и полуосями .

Вершины в точках .

Оси симметрии для кривой:

Асимптоты гиперболы:

,

,

Параметр

Тогда фокусы гиперболы расположены в точках:

Эксцентриситет гиперболы:

Директрисы гиперболы:

.

Задача 14: Общее уравнение кривой второго порядка привести к каноническому. Найти координаты центра, координаты вершин и фокусов. Написать уравнения асимптот и директрис. Построить линии на графики, отметить точки

.

Решение: Приводим уравнение кривой к каноническому виду, выделяя полные квадраты:

,

,

,

,

,

,

,

.

Итак, получили .

Это уравнение эллипса с центром в точке (1;2) и полуосями

Вершины в точках

Оси симметрии для кривой:

Директрисы эллипса: ,

Параметр

Эксцентриситет равен

Фокусы в точках:

Задача 15: Дана кривая .

Докажите, что данная кривая – парабола. Найдите координаты ее вершины. Найдите значения ее параметра . Запишите уравнение ее оси симметрии. Постройте данную параболу.

Решение: Приведем уравнение кривой к каноническому виду, выделяя полные квадраты:

,

,

,

,

,

,

.

Это каноническое уравнение параболы с параметром .

Вершина расположена в точке .

Параметр .

Ось симметрии

Задача 16: Найти уравнения параболы и её директрисы, если известно, что парабола имеет вершину в начале координат и симметрична относительно оси и что точка пересечения прямых и лежит на параболе.

Решение: Так как парабола имеет вершину в начале координат и симметрична относительно оси , ее уравнение имеет вид где - некоторый пока неизвестный параметр.

Найдем точку пересечения прямых и .

Подставляем координаты точки в уравнение , чтобы найти

Искомое уравнение имеет вид .

Задача 17: Составить уравнение кривой, для каждой точки которой отношение расстояния до точки к расстоянию до прямой равно . Привести это уравнение к каноническому виду и определить тип кривой.

Решение: Пусть - произвольная точка искомой кривой. Тогда расстояние до точки равно . Расстояние до прямой равно . По условию отношение этих расстояний равно , то есть .

При условии, что обе части равенства неотрицательны возведем в квадрат.

,

,

,

,

,

Это каноническое уравнение эллипса с центром в точке и полуосями , .

Задача 18: Даны уравнения асимптот гиперболы и координаты точки , лежащей на гиперболе. Составить уравнение гиперболы.

Решение: Из вида уравнений асимптот гиперболы найдем, что , то есть . Канонические уравнения имеют вид:

.

Используем факт, что точка лежит на гиперболе:

,

,

,

Искомое уравнение принимает вид:

,

.

Задача 19: Экспресс-таблица. По данному уравнению определить вид графика.

Решение:

Задача 20: Построить на клетчатой бумаге эллипс .

Решение: Из выражаем , .

Далее уравнение распадается на две функции

- определяет верхнюю дугу эллипса.

- определяет нижнюю дугу эллипса.

Точки на осях вершины эллипса .

Итак,

Вычислим примерные координаты вспомогательных для построения точек.

Отмечаем на чертеже точки и соответственно симметричные им.

Заключение

Развитие навыков оперирования с числами и фигурами, пространственного воображения, логического мышления - словом, развитие интеллекта. Ничто не может способствовать этому лучше, чем математика.

Выполненная мною работа оказалась очень интересна и познавательна. В результате я получил полезные для себя знания и потренировал навыки, как жизненно важные, так и связанные с самой работой. К числу первых можно отнести усидчивость, стремление достигать поставленных целей, умение работать в GeoGebra, находить нужную информацию в интернете, навык проведения большого исследования. Что же касается знаний/умений, полученных при выполнении именно исследования кривых второго порядка, то здесь нужно выделить, конечно же, расширение моего кругозора в области различных видов кривых, умение строить графики как простые, так и более трудные.

Итогом работы можно считать успешное достижение поставленных целей: я расширил свои знания и получил практику в области построения графиков. Конечно же, во время выполнения работы возникали небольшие трудности. Например, как правильно записать формулы в GeoGebra, каков порядок выполнения построений. Но, несмотря на сложности, работу удалось выполнить успешно. Кривые второго порядка, безусловно, очень интересная тема, несмотря на то, что она не пригождается в обычной жизни, а в трудовой нужна только тем, кто решает связать свою жизнь с математикой, математическим моделированием или инженерией. Безусловно, сделав эту работу, я приобрел огромный опыт, который пригодится мне на первом же курсе Санкт-Петербургского Государственного архитектурно-строительного университета, куда я планирую и мечтаю поступить после 11 класса. Я был рад открыть для себя новую сферу в такой замечательной науке - математике, - и надеюсь, что в будущем мне выпадет шанс глубже изучить её, поскольку мне интересно построить такие всем известные кривые второго порядка, как астроида, декартов лист, логарифмическая и гиперболическая спирали.

Список использованной литературы

http://ru.wikipedia.org/wiki/Эллипс;

http://fxdx.ru/page/zerkalnoe-svojstvo-ellipsa;

http://ru.wikipedia.org/wiki/Гипербола;

http://ru.wikipedia.org/wiki/Парабола;

http://www.megabook.ru/;

http://mathematics.ru/courses/function/content/chapter1/section2/paragraph;

http://www.studfiles.ru/preview/3320769;

http://www.myshared.ru/slide/437635;

http://pnu.edu.ru/media/filer_public/2013/02/19/krivye_vtorogo_porjadka.pdf;

http://ru.wikipedia.org/wiki/Полярная_система_координат;

http://genius.pstu.ru/file.php/1/pupils_works/Muntjanova.pdf.

https://megaobuchalka.ru/6/52352.html

https://www.matburo.ru/ex_ag.php?p1=agk2

https://matecos.ru/mat/matematika/krivye-vtorogo-poryadka.html