Научно-исследовательская работа «Формула Пика»

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Рассохина Е.О. 1

---

1МАОУ СОШ №15 г. Челябинска

Васильева И.В. 1

---

1МАОУ СОШ №15, г. Челябинска

Работа в формате PDF

901 KB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

“Если вы хотите научиться плавать,

то смело входите в воду,
а если хотите научиться решать задачи,

то решайте их”.
Д. Пойя

Введение

Размышляя над какой-то задачей, мы начинаем увлекаться математикой. Многие ученики сталкиваются с задачами на нахождение площади треугольника, параллелограмма, многоугольника и других геометрических фигур по рисунку на клетчатой бумаге. Такие задачи чаще всего встречаются в ВПР по математике, а также они есть в контрольно-измерительных материалах ОГЭ и ЕГЭ. Применяя правила и теоремы из геометрии, ученик может запутаться или забыть, да и к тому же уходит много времени на дополнительное построение, а в условиях экзамена дорога каждая минута. Чтобы не тратить много усилий, времени и не вспоминать впопыхах теоремы, аксиомы, правила, существует теорема Пика, с помощью которой можно без проблем и траты времени вычислить площадь фигуры, расположенной на клетчатой бумаге. Но в чём же заключается особенность таких задач, какие методы и приёмы используются для решения задач на клетчатой бумаге?

Актуальность: Выбор темы проекта не случаен. Способы нахождения площади многоугольника, нарисованного на клетчатой бумаге, очень интересная и актуальная тема, особенно, при подготовке к экзаменам. При решении задач по математике и геометрии часто встречаются задачи, где нужно вычислить площадь фигур. Если фигура сложная, то её площадь находить довольно долго одним из способов: либо достроим до известной фигуры, либо разделим на фигуры.

Гипотеза: мы считаем, что вычисление площадей сложных фигур с помощью формулы Пика легче, чем вычисление методом достраивания и разбивания фигур на части и его может освоить каждый школьник.

Объект исследования: формула Пика для вычисления площадей многоугольников.

Предмет исследования: применение формулы Пика при решении задач, на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге.

Таким образом, целью моего исследования является: донести и объяснить материал о Формуле Пика учащимся 8-9 классам; доказать рациональность использования формулы Пика при решении задач на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге. Изучение данной темы поможет лучше подготовиться к олимпиадам и экзаменам.

Задачи:

1. Изучить методы вычисления площадей сложных фигур на клетчатой бумаге.

2. Научиться применять формулу Пика для вычисления площадей различных фигур.

3. Сделать видео разбор для учащихся старших классов.

4. Сравнить и проанализировать результаты исследования проведенных среди старшеклассников.

5. Донести учащимся рекомендации по применению формулы Пика при решении задач ОГЭ и ЕГЭ.

 Методы: системный анализ; обобщение; сравнение; поиск.

Глава 1. Теоретическая часть

1.1. Методы вычисления площадей

В процессе изучения математики, мы заметили, что площади одних и тех же фигур можно находить различными способами. В быту мы часто сталкиваемся с задачами нахождения площади. Например, высчитать площадь стен, на которые необходимо наклеить обои, или вычислить площадь напольного покрытия. Вычисление площади квадрата, прямоугольника и прямоугольного треугольника не вызвало у нас затруднений.

В жизни очень часто мы сталкиваемся с тем, что нам приходится находить площадь геометрической фигуры неправильной формы. Как это сделать?

Наверное, проще всего разбить его на прямоугольные треугольники и прямоугольники, площади которых нетрудно вычислить по формулам.

Способы нахождения площадей фигур на клетчатой бумаге.

Площадь фигуры как сумма площадей ее частей
Найти площадь фигуры №1 на рисунке 1 (клетки размером 1х1 см). Разбиваем данную фигуру на четыре части, и находим площадь каждой части. Затем складываем все части, и получаем площадь данной фигуры.

Рис 1. Фигура №1

Разобьем многоугольник на четыре геометрические фигуры:

S=S₁+ S₂+ S₃+S₄

Площадь прямоугольного треугольника находится S₁= ½ · 5 · 1 = 2,5 см²;

Площадь прямоугольника находится S₂=4·2=8 см²

Площадь прямоугольного треугольника находится S₃= ½ · 1· 2= 1 см²

Площадь прямоугольного треугольника находится S₄= ½ · 2 · 4= 4 см²

S= 2,5+8+1+4= 15,5 см².

Ответ: 15,5 см^2.

Площадь фигуры как часть площади прямоугольника

Найти площадь фигуры на рисунке 2 фигура №2 (клетки размером 1х1см). Опишем около данной фигуры прямоугольник. Из площади прямоугольника (в данном случае квадрата) вычтем площади полученных фигур:

Рис. 2. Фигура №2

S= Sпрям. – S₁ – S₂; Sпрям. =5^.5=25 см²; S₁= ½ ^.3^.1=1,5 см²; S₂= ½ ^.4^.5=10 см²;

S= 25 − 1,5 − 10=13,5 см².

Ответ: 13,5 см².

Вывод: анализ показал, что вычислять площади фигур «достраиванием» или «разбиением» долгий процесс и требует большого количество промежуточных действий. Оказывается, есть другой способ для вычисления площади фигур на клетчатой бумаге, используя Формулу Пика.

1.2. Формула Пика

Формула Пика (или теорема Пика) - классический результат комбинаторной геометрии и геометрии чисел, согласно которому площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна:

Где В - количество целочисленных точек внутри многоугольника, а  Г - количество целочисленных точек на границе многоугольника. Историю открытия формулы Пика можно посмотреть в приложении А.

Многоугольник без самопересечений называется решётчатым, если все его вершины находятся в точках с целочисленными координатами в декартовой системе координат.

Теорема Пика. Нахождение площади решётчатого многоугольника (Рис.3)

S = В + Г : 2 - 1, где В — к-во целых точек внутри многоугольника, Г — к-во целых точек на границе многоугольника. В = 7, Г = 8, S = В + Г : 2 - 1 = 10

Рис. 3. Четырехугольник

Проведем сравнительный анализ нахождения площади многоугольника тремя разными способами (Таблица 1). Из таблицы видно, что самым рациональным и быстрым способом решения является формула Пика, в других способах используется 8 и 9 действий, а значит, вероятность допустить ошибку увеличивается во много раз.

Таблица 1

Нахождения площади геометрической фигура разными методами

Глава 2. Практическая часть

2.1. Создание видеоуроков

Так как тема формула Пика не изучается в курсе геометрии 7-9 класса, поэтому мной было принято решение записать видеоуроки, в которых я объясняю материал по данной теме. В итоге, мной были созданы три видеоурока на следующие темы:

Методы нахождения площадей на клетчатой бумаге;

Формула Пика (теоретическая часть);

Формула Пика (практическая часть).

Видеоуроки размещены на моей странице сообщество в социальной сети Вконтакте https://vk.com/club199771244.

Рис. 1. Фрагменты видеоурока про методы нахождения площадей на клетчатой бумаге

Рис.2. Фрагменты видеоурока по теме «Формула Пика»

2.2. Педагогическое исследование

Мной был проведен эксперимент, в котором учащиеся 9 класс школы № 15 в течение 10 минут должны были решить как можно больше задач по нахождению площадей разных геометрических фигур на клетчатой бумаге (Приложение В). Критерии оценивая данной работы следующие:

«5» - от 9 до 10 правильно решенных задач;

«4» - от 7 до 8 правильно решенных задач;

«3» - от 5 до 6 правильно решенных задач;

Результаты выполнения данной работы показали, что у школьников 9 класса есть проблемы при вычислении площадей различных геометрических фигур. Они продемонстрировали незнание формул и плохо различают фигуры.

Затем мной на уроке геометрии для учащихся этого же класса были показаны снятые видеоуроки по теме «Формула Пика» и предложено выполнить второй вариант работы по нахождению площадей фигур на клетчатой бумаге. Результаты можно посмотреть в таблице 2.

Таблица 2

Сравнение и анализ результатов исследования

Сравнительный анализ показывает, что учащиеся 9 класса без особых проблем восприняли материал видеоурока и применили его при решении самостоятельной работы. Таким образом, можно сделать вывод, что формула Пика легко может применяться при решении задач, а также при подготовке к экзаменам. Соответственно, мой труд по созданию данного материала был оценен должным образом. В дальнейшем, мной планируется создание такого материала, который бы облегчил жизнь школьников при подготовке к экзаменам и размещение данного материала на страницах моего сообщества в социальной сети Вконтакте «Интересная математика» https://vk.com/club199771244, доступ к которому позволяет учащимся в любое время изучить и применить данный материал на практике.

Заключение

Любители головоломок увлекаются решением задач на клетчатой бумаге, прежде всего потому, что универсального метода решения таких задач не существует, и каждый, кто берётся за их решение, может в полной мере проявить свою смекалку, интуицию и способность к творческому мышлению, поскольку здесь не требуется глубокого знания геометрии. Вместе с тем, задачи на клетчатой плоскости не являются несерьёзными или бесполезными, они не так уж и далеки от серьёзных математических задач.

Формула Пика проста в понимании и удобна в применении. Во-первых, достаточно уметь считать, делить на 2, складывать и вычитать. Во-вторых, можно найти площадь и сложной фигуры, не затратив много времени. В-третьих, эта формула работает для любого многоугольника.

Недостаток в том, что Формула Пика применима только для фигур, которые нарисованы на клетчатой бумаге и вершины лежат на узлах клеток.

При выполнении нашей работы мы рассмотрели решение задач на вычисление площади многоугольников неправильной формы разными способами. Ознакомление учащихся с формулой Пика особенно актуально накануне сдачи ЕГЭ и ГИА. С помощью этой формулы можно без проблем решать большой класс задач, предлагаемых на экзаменах, — это задачи на нахождение площади многоугольника, изображённого на клетчатой бумаге.

Маленькая формула Пика заменит учащимся целый комплект формул, необходимых для решения таких задач. Формула Пика будет работать «одна за всех…»!

Формула Пика — это настоящее спасение для тех учеников, которые так и не смогли выучить все формулы для вычисления площадей фигур, для тех, кто так и не уяснил до конца, как выполнить разбиение фигуры или дополнительное построение, чтобы подобраться к вычислению её площади «через знакомых».

Таким образом, цель нашего исследования была выполнена в полном объеме, а именно, донести и объяснить материал о Формуле Пика учащимся 9 классам; доказать рациональность использования формулы Пика при решении задач на нахождение площади фигур на примере разбора трех методов. Реализованы следующие задачи:

1. Изучила методы вычисления площадей сложных фигур на клетчатой бумаге.

2. Научилась применять формулу Пика для вычисления площадей различных фигур.

3. Сделала видеоуроки для учащихся старших классов.

4. Сравнила и проанализировала результаты исследования проведенных среди старшеклассников.

5. Донесла учащимся рекомендации по применению формулы Пика при решении задач ОГЭ и ЕГЭ.

Список литературы

Васильев Н.Б. Вокруг формулы Пика. //Квант. - 1974.-№2, № 12.

Формула Пика http://turboreferat.ru/geometry/formula-pika/10094-52632-page1.html

Математика, которая мне нравится http://hijos.ru/2011/12/30/georg-aleksandr-pik-1859-1942/

Образовательный портал «Решу ЕГЭ» https://ege.sdamgia.ru

«Математические этюды» www.etudes.ru/ru/etudes/pick-theorem/

Дидактическая библиотека http://gorinalw.3dn.ru/OSNOVA/osnova-3-2013.pdf

И.В. Ященко.ОГЭ. Математика: типовые экзаменационные варианты: О-39 36 вариантов

М.: Издательство «Национальное образование», 2017. -240 с. - (ОГЭ. ФИПИ- школе).

Бунимович Е.А., Дорофеев Г.В., Суворова С.Б. и др. Математика. Арифметика. Геометрия.

5 класс: учебн. для общеобразоват. организаций с прил. на электрон. носителе -3-е изд.-М;Просвещение, 2014.- 223, с.: ил. - (Сферы).