XVIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Музыка в душе математики
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
ВВЕДЕНИЕ
Люди давно задумывались о связи музыки и математики. Ученые - философы считали, что музыка без математики не существует. Слушая, музыку мы попадаем в волшебный мир звуков и открываем в нём простоту и гармонию. Решая математические задачи, мы погружаемся в строгое пространство чисел. Таким образом, математика и музыка созданы помогать друг другу. Музыкальное образование значительно повышает способность к математике.
Мы поставили перед собой цель - доказать, что связь между музыкой и математикой существует.
Для достижения цели, нами были определены задачи:
Исследовать связь математики и музыки.
Доказать, что занятия музыкой помогают изучению математики.
Объект исследования: музыка.
Предмет исследования: связь математики и музыки.
Методы: анализ литературы, обобщение, наблюдение, описание, прогнозирование, сравнение, тестирование.
Актуальность темы состоит в том, что на протяжении многих веков музыка привлекательна для большинства людей. Она пленяет умы, способна организовать мысль, способна создать весёлое настроение или, наоборот, задуматься. Музыкальные произведения соединяют, на первый взгляд, несовместимые вещи: высокие чувства и математический расчёт. Благодаря математике мы можем услышать в музыке высокий и низкий звук, протяжное и отрывистое звучание, мы можем двигаться вверх и спускаться вниз по ступенькам звукоряда, пропевая гамму. Звуки любят счет!
ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
I.1. Исследование связи математики и музыки
Математика (греч. – изучение, наука). Математика – царица всех наук, символ мудрости.
Музыка (греч. – искусство муз), значит искусство, отражающее действительность в звуковых, художественных образах.
Музыка математична, а математика музыкальна. В них господствуют идея числа и отношения. Исходя из этого, можно провести следующие параллели.
Использование символов для записи.
В музыке нотная запись читается слева направо, подобно тому, как читаются тексты, написанные на западных языках.
В математике, чтобы записать числа, мы используем 10 цифр. В музыке для записи звуков и мелодий используют 7 нот.
Сходство проявляется в использовании общих символов, знаков и цифр. Некоторые математические символы и знаки используются и в музыкальной записи.
Например:
- стрелочки «вверх» ( ↑ ) или «вниз» ( ↓ ) используются для обозначения повышения или понижения музыкальной ступени лада, движения мелодии вверх или вниз, восходящих или нисходящих интервалов;
- знаки неравенства «больше» ( > ) или «меньше» ( < ) используются для обозначения уменьшения (диминуэндо) или усиления (крещендо) громкости звука;
- стрелочки «вправо-влево» ( ↔ ) используются для обозначения операции обращения одних музыкальных интервалов в другие;
- латинские буквы (А,В,С,D,E,F,G,H) используются для обозначения нот, аккордов, тональностей;
Использование цифр для записи.
Цифры, которые используют в математике, как арабские, так и римские, встречаются и в музыке.
Например, цифрами в музыке обозначают:
- музыкальный размер произведения, выраженный дробью (2̸4, 3 ̸4, 1̸2, 6̸ 8…),
- номера ступеней лада (I, II, III, IV, V, VI, VII),
- аппликатуру у нот, т.е. позицию (номер) пальцев рук на разных инструментах.
-номера октав, расположенных в порядке возрастания по высоте звука (1-ая октава, 2-ая октава, 3-я октава и т.д.
- интервалы и аккорды (ч.1, м.2, б.2, м. 3, б.3,ч.4…, Т6 4, S3 5, D3 4 …),
- количество тонов и полутонов в интервалах (ч.1- 0 тонов, м.2 - 1̸2 тона, б.2 – 1 тон, м.3 - 1 1̸2 тона, б.3 - 2 тона, ч.5 – 3 1̸2 тона, м.7 - 5 тонов, ч.8 - 6 тонов…).
Цифры, встречающиеся в названии музыкальных интервалов и аккордов, показывают, сколько ступеней содержит данный интервал или аккорд. Например, интервал ч.4 (чистая кварта) содержит в себе 2 1/2 тона или 5 полутонов. Причем, в названиях интервалов и аккордов в музыке используют термины из математики.
Примеры названия интервалов: 1-прима, 2-секунда, 3-терция, 4-кварта, 5-квинта, 6-секста, 7-септима, 8-октава. Среди интервалов различают: большие и малые, увеличенные и уменьшенные интервалы.
Примеры названия аккордов: трезвучие (Т3 5, S3 5, D3 5 …), секстаккорд (Б6, М6), квартсекстаккорд (Б4 6 , М4 6…), секундаккорд (D2 …), септаккорд (D7 …), квинтсекстаккорд (D5 6 …), терцквартаккорд ( D3 4 …) и др.
Ритм.
Ритм - важнейший элемент в музыке. У каждого музыкального произведения свой ритмический рисунок (чередование нот разной длительности). Числа, оказывается, тоже обладают ритмом.
Например, у чисел, кратных 3(трём) следующий ритм. Начнем с 0 и, увеличивая каждый раз на 1, будем акцентировать все числа, кратные 3. Получается 0 1 2 3 4 5 6 7 8... и т.д. Выходит красивый, правильный, равномерный ритм, звучащий как музыкальный размер 3/4 (три четверти), который соответствует вальсу.
Если рассмотрим числа, кратные двум 0 1 2 3 4 5 6 7 8… и т.д. то увидим, что мы пришли к ритму марша, звучащему, как музыкальный размер 2/4 (две четверти). (рис.1)
Дроби.
В целой ноте – две половинных, четыре четвертных, восемь восьмых, шестнадцать шестнадцатых. Оказывается, что длительности получаются так же, как и дроби: они возникают при делении целой на равные доли.
Сопоставим целое число с целой длительностью.
Значит, длительность можно подсчитывать как дробные числа(рис.2)
Следовательно, названия длительностей служат одновременно и названиями чисел.
Параллельность.
К параллельным относятся тональности (например, до мажор – ля минор), а ещё линии нотного стана всегда параллельны, то есть, никогда не пересекаются.
Последовательность.
В математике мы встречаемся с понятием – последовательность. Все музыкальные произведения записываются нотами в задуманной композитором музыкальной последовательности. Существует цепь гармонических последовательностей. И просто в качестве распевок и для развития артикуляционного аппарата, часто разучивают скороговорки и считалки. В них перечисляется натуральный числовой ряд, а ритм, присутствующий в них, способствует их запоминанию. Происходит тренировка памяти и одновременно закрепление последовательности чисел.
Противоположность.
В математике существуют противоположности: плюс – минус, деление – умножение, четное число – нечетное число, больше – меньше.
В музыке так же существуют пары противоположностей, основной из которых является «медленно – быстро». Если изменить темп исполнения, то песня потеряет характер и смысл. Таким образом, искажая темп, можно исказить и все произведение.
Есть в музыке еще одна противоположность – высокое и низкое. Это относится к музыкальным инструментам. Высоким звучанием отличаются, например, флейта – пикколо, скрипка; низким – контрафагот, туба, контрабас. Противоположностей в музыке очень много: громкий – тихий, быстрый – медленный, длинный – короткий, многоголосие - соло, вокальное исполнение – инструментальное и т.д.
Симметрия.
Очень часто в музыке используется симметрия. Ряд музыкальных форм строится симметрично. Например, рондо (рондо от фр. – круг). В рондо музыкальная тема многократно повторяется, чередуясь эпизодами различного содержания.
Таким образом, мы выделили совпадения музыки с математикой, из чего можно сделать вывод, что занимаясь музыкой, человек развивает и тренирует свои математические способности.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
II.1. Исследования связи музыки и математики в 3В классе
Мы провели исследования по установлению связи между математикой и музыкой на примере учащихся нашего класса. Мы определили 11 человек из класса, успешно проявляющие себя в математике. С ними и провели исследования.
Нами были исследованы даты рождения учащихся 3В класса. Год рождения мы не считали, так как он у всех совпадает и не показывает различий. Даты рождения были переложены на ноты и записаны в таблицу (рис.3)
Мы переложили даты на ноты при условии, что:
До - 0, ре – 1, ми – 2, фа – 3, соль – 4, ля – 5, си – 6, до – 7, ре – 8, ми – 9.
Получилось, что все даты расположены в пределах одной полной октавы, то есть от ноты «до» первой октавы до ноты «до» второй октавы.
Тогда мы внесли в такую же таблицу даты рождения 11 знаменитых математиков (рис.4). Получилось, что примерно на 90% их даты рождения также расположены в пределах октавы. Подобное магическое совпадение чисел показывает, что учащимся необходимо и дальше развивать свои математические способности.
Следующий эксперимент показал, что при воспроизведении дат рождения аккордами, были аккорды, звучащие как гармонично (в музыке гармоничное звучание называется консонансом), так и резко звучащие – диссонанс. Данный эксперимент оказался малоинформативен.
Методом опроса мы выяснили, чем каждый из ребят увлекается, и рассмотрели результат на примере диаграммы Эйлера-Венна. Каждый из ребят занимается каким-либо видом спорта или творчеством (музыка, танцы, рисование, театр). При этом их увлечения частично совпадают. На примере диаграммы Эйлера-Венна мы видим: А – это спорт, В – творческие увлечения. (рис.5)
Также, опросив ребят, мы узнали, что 8 человек любят слушать классическую музыку, а 3 человека увлекаются джазом.
Знаменитые математики так или иначе были связаны с музыкой и разного рода творчеством.
Например:
Анри Пуанкаре- имел цветовое восприятие звуков
Исаак Ньютон – занимался поэзией, читал, конструировал
Леонард Эйлер – всю жизнь изучал теорию музыки гармонию
Сриниваса Рамунджан – с детства слушал пение матери, которая еще и пела в хоре храма
Б.Риман, К.Ф.Глаусс, Ж.Лагранж, К.Якоби – жили в Германии. Это одна из самых музыкальных стран мира.
Наблюдения, взятые из опыта, наука полностью подтверждает: музыкальные и математические операции родственны и содержательно, и психологически. Занимаясь музыкой, человек развивает и тренирует свои математические способности, значение, которых оспаривать невозможно.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Исследования нашей работы помогли убедиться в том, что математика и музыка не могут существовать отдельно. «Математика ум в порядок приводит», а музыка воспитывает уважение к числу, помогает нам понять окружающий мир и научиться его чувствовать.
О взаимосвязях математики и музыки можно говорить бесконечно долго, открывая все новые и новые, неожиданные и часто странные, одинаковые определения, понятия и смыслы.
Музыкальная логика и математика развивают мышление, даже упражнение пальцев при игре на музыкальных инструментах укрепляет мозговые клетки.
Проведенное нами исследование доказывает, что музыка помогает изучать математику. Ребятам, в жизни и судьбе которых есть музыка, легче справляться с математикой в школе.
Свое выступление хочется закончить словами А. Энштейна: «Математика и музыка требуют единого мыслительного процесса».
Цель работы нами достигнута, задачи выполнены.
В следующей работе мы планируем рассказать о любителе и знатоке музыки известном математике Пифагоре. Он начинал день с пения песен Гомера. Одним из четырех предметов в школе Пифагора была музыка, и его по праву считают творцом акустики и основоположником теории музыки. Арифметика – учение о количестве, выражаемое числом; музыка – учение, которое рассматривает числа по отношению к звуку; благодаря счастливому союзу, музыка получила прочный математический фундамент гамм и универсальный язык нот.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Apfel E., Dahlhaus C. Studien zur Theorie und Geschichte der musikalischen Rhythmik und Metrik. / E. Apfel. —München: Katzbichler, 1974.
Cеверская М. Ю. Искусство ритма в музыке Карнатака. / М. Ю. Cеверская —CПб, 2018. — 59 c.
Fassler M. Accent, meter and rhythm in medieval treatises De rhithmis / M. Fassler. —Journal of Musicology 5, 1987. —190 с.
Georgiades T. Musik und Rhythmus bei den Griechen. / T. Georgiades. —Hamburg, 1958.
Sachs C. Rhythm and tempo: a study in music history. / C.Sachs. —New York: Norton, 1953.
Аре Бреан, Гейр Ульве Скейе. Музыка и мозг. Как музыка влияет на эмоции, здоровье и интеллект. / Аре Бреан, Гейр Ульве Скейе. — М.: Альпина Паблишер, 2020.
Вахромеев В. «Элементарная теория музыки» / В. Вахромеев —М.: Просвещение, 1989 г.
Волошинов А.В. «Математика и искусство» / А.В. Волошинов. —М.: Просвещение, 1992 г.
Келдыш Ю. В. «Музыкальная энциклопедия» / Ю. В. Келдыш. —М.:Советская энциклопедия, 1974 г.
Лидова Н. Р. Драма и ритуал в Древней Индии. / Н. Р. Лидова. —М, Наука, 1992. — 147с.
Северская М. Ю. Музыка Карнатака. / М. Ю. Северская. —СПб, 2018. —343 с.
Чехович Д. О. Ритм музыкальный / Д. О. Чехович. —Москва, Большая российская энциклопедия. Том 28, 2015. —541 c.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Рис.1 Ритм
Рис.2 Дроби
Рис.3 Таблица 1
Рис.4 Таблица 2
Рис.5 Диаграмма Эйлера-Венна