XVIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Вторая средняя линия трапеции
Автор работы награжден дипломом победителя I степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
ВВЕДЕНИЕ
Геометрия – очень древняя наука, которая занимается изучением геометрических фигур. Она возникла на основе практической деятельности человека и служила преимущественно практическим целям.
На уроках математики мы знакомимся с различными фигурами и их важными и интересными свойствами, которые применяем в решении задач. Задачи о трапеции занимают видное место в школьной геометрии. Один из элементов трапеции – средняя линия, отрезок, который соединяет середины боковых сторон. Меня, в свою очередь, заинтересовали отрезок и его свойства, который соединяет середины оснований. Возникло предположение:у трапеции есть вторая средняя линия. Я решил исследовать этот компонент в теоретическом и практическом плане.
Цель работы: исследование второй средней линии трапеции.
Задачи:
изучить информацию о второй средней линии трапеции;
сформулировать и доказать теоремы о второй средней линии трапеции;
рассмотреть применение этих теорем в решении различных групп задач.
Гипотеза: вторая средняя линия трапеции существует, равна полусумме боковых сторон и знание её свойств и особенностей помогает в решении геометрических задач.
Актуальность: данный вопрос содержит элемент новизны про свойства трапеции. При этом он созвучен известному материалу школьной программы и вызывает интерес к изучению, так как является продолжением базовых знаний о трапеции, повышает заинтересованность к изучению учебного материала особенно у тех учащихся, кто изучает геометрию на повышенном уровне.
Основная часть работы состоит из двух частей: теоретической и практической.
В теоретической части, используя теорему об отрезках соединяющих середины сторон четырёхугольника, сформулированы и доказаны теоремы о свойствах второй средней линии трапеции.
В практической части решены четыре группы задач:
- задачи, связанные со второй средней линией и четырёхугольником, вершины которого являются серединами сторон трапеции;
- задача о площади трапеции с применением её второй средней линии;
- задачи с применением второй средней линии трапеции и треугольника, одна сторона которого – больше основания трапеции, а противолежащая её вершина – точка пересечения боковых сторон трапеции;
- задачи на построение.
Основная часть
1.ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Понятие второй средней линии трапеции
Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Если же соединить отрезком середины оснований, получится вторая средняя линия трапеции. Итак, вторая средняя линия трапеции – это отрезок, соединяющий середины оснований трапеции.
Как известно, средняя линия трапеции равна полусумме оснований.Попробуем выяснить, равна ли вторая средняя линия трапеции полусумме боковых сторон.
|
Очевидно, что вторая средняя линия трапеции не может быть равна полусумме боковых сторон трапеции.
Если нижнее основание увеличить от точек А и D соответственно на одну и туже величину, то длина не изменится, а АВ и СD увеличатся и сумма боковых сторон изменится.
Таким образом, часть выдвинутой мной гипотезы, о том, что вторая средняя линия трапеции равна полусумме её боковых сторон не подтверждена.
Однако, связь между второй средней линией трапеции и боковыми сторонами есть всё же существует. Для определения этой связи воспользуемся векторным способом:
= + BA + , с другой стороны, = + CD + .
Сложим оба равенства:
2 = ( + )+(BA+ CD )+( + CD) .
Т.е. = (ВА+СD)
Таким образом, вектор второй средней линии трапеции равен полусумме векторов боковых сторон, взятых в одном порядке (сверху вниз).
Теорема о серединах сторон произвольного четырехугольника
Рассмотрим вспомогательную теорему, которая в дальнейшем поможет в доказательствах теорем о второй средней линии трапеции.
Теорема 1. Середины сторон любого четырёхугольника – вершины параллелограмма.
ABCD – произвольный четырехугольник, , , , середины сторон АВ, ВС, CD, DA соответственно. Доказать, что четырехугольник – параллелограмм.
Рассмотрим ∆АВС. - средняя линия треугольника. По свойству:
││АС, = ½ АС. Аналогично в ∆ADC: – средняя линия треугольника. По свойству: ││АС, = ½ АС.
Следовательно, , ││ по теореме о двух прямых параллельных третьей. Значит, – по признаку параллелограмм.
Теорема доказана.
Замечание. Эта теорема доказана для любого четырёхугольника. Значит, она выполняется и для трапеции. Середины сторон трапеции являются вершинами параллелограмма.
Рассмотрим и докажем некоторые теоремы о средних линиях трапеции.
Теоремы о второй средней линии трапеции
Теорема 2. Средние линии трапеции в точке пересечения делятся пополам.
ABCD – трапеция, и - средние линии трапеции, ∩ = Т. Докажем, что Т =Т , Т =Т .
По теореме 1: четырёхугольник – параллелограмм, и - его диагонали. По свойству параллелограмма: Т =Т , =Т .
Теорема доказана.
Теорема 3. Если средние линии трапеции равны, то диагонали трапеции перпендикулярны.
ABCD – трапеция, и -средние линии трапеции, = , АС и ВD – диагонали трапеции. Докажем, что АС ⊥ ВD.
По теореме 1: четырёхугольник – параллелограмм. По условию = , значит, – прямоугольник (по признаку прямоугольника).
││АС ( – средняя линия ∆АВС). ⊥ ( – прямоугольник), Следовательно, по свойству параллельных, прямых АС⊥. ││BD ( – средняя линия ∆ВСD).
По свойству параллельных прямых АС⊥ВD. Теорема доказана.
Верна и обратная теорема.
Теорема 4 (обратная). Если диагонали трапеции перпендикулярны, то средние линии трапеции равны.
ABCD – трапеция, АС и ВD – её диагонали, АС⊥ВD, и , – средние линии трапеции. Докажем, что = .
││АС ( – средняя линия ∆АВС). АС⊥ВD (по условию).
Значит, ⊥ВD (по свойству параллельных прямых).
││BD ( – средняя линия ∆ВСD).
Следовательно, ⊥.
По теореме 1: четырехугольник – параллелограмм, у которого ⊥. Т.е. =90ﹾ°. Следовательно, – прямоугольник. .– его диагонали. По свойству прямоугольника: = .
Теорема доказана.
Теорема 5. Если средние линии трапеции перпендикулярны, то трапеция равнобедренная.
ABCD – трапеция, и – средние линии трапеции, ⊥. Доказать, что трапеция равнобедренная, т.е. АВ=СD.
– параллелограмм по теореме 1. ⊥ – по условию. Значит, – ромб. => = = = . ∆ В =∆ С (по первому признаку равенства треугольников), т.к. В = С ,
= , В = C => В =С . Т.к. точки и – середины сторон трапеции АВ и СD соответственно ( ) и В =С - по доказанному, значит, АВ=СD. Следовательно, трапеция ABCD – равнобедренная.
Теорема доказана. Имеет место обратная теорема.
Теорема 6 (обратная). Если трапеция равнобедренная, то её средние линии перпендикулярны.
ABCD – равнобедренная трапеция (АВ=СD), и – средние линии трапеции. Доказать, что ⊥.
АВС=DCB, АВ=DC, т.к. ABCD – равнобедренная трапеция, В = А, В =С , т.к. середина ВС, а и – середины сторон АВ и CD соответственно. Значит, ∆ В =∆ С (по первому признаку равенства треугольников) => = . Значит, ∆ – равнобедренный по определению.
По теореме 2: Т=Т => Т – медиана равнобедренного ∆ проведенная к основанию, а значит и высота по свойству => ⊥. Теорема доказана.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.
ЗАДАЧИ О ТРАПЕЦИИ И ДВУХ ЕЁ СРЕДНИХ ЛИНИЯХ
Далее во всех задачах ABCD – трапеция, и – средние линии трапеции, точка Т – точка их пересечения, Е – точка пересечения боковых сторон АВ и CD трапеции.
2.1. Задачи, связанные со второй средней линией и четырёхугольником, вершины которого являются серединами сторон трапеции
Задача 1. Площадь трапеции ABCD равна S. Найти площадь четырёхугольника .
Решение: ABCD– трапеция, и – средние линии трапеции. Обозначим площади треугольников В , С , D , А через , , соответственно. Проведём высоту трапеции через точку – высота ∆ В , – высота ∆ А .
=S(∆B ) = ½B ·
=S(∆A )=½A ·
Где = А1=½
S(АВ )= ½ (В +А )· = ½ (ВС/2+АD/2)·
S(AB )= ½(BC+AD)· =S
S(AB )= ½S(ABCD)= ½S
+ =½B · +½A · =½B ·½ +½A ·½ =
=½(B /2+A /2)·
=½S(AB )= ½·½S=¼S
Аналогично =½S(DC)=¼S
Значит, S( )=S - ( + )=S-(¼S+¼S)= ½S
Ответ: S/2.
Задача 2. Площадь четырёхугольника равна S. Найти площадь трапеции ABCD.
Решение: ABCD – трапеция, и – средние линии трапеции. S( )=S. Найдём площадь трапеции ABCD. Как было доказано в задаче 1: S( )= ½S(ABCD). S(ABCD)=2 S( )=2·S
Ответ: 2S.
Задача 3.Средние линии трапеции равны. Докажите, что точки , , , принадлежат одной окружности.
Решение: ABCD – трапеция, и – средние линии трапеции, . Для решения задачи нужно найти точку, которая будет одинаково удалена от точек , , , – центр окружности.
По теореме 2: Т=Т , Т=Т , а по условию задачи = =>
Т=Т = Т=Т . Значит, искомая точка Т, которая будет центром окружности с радиусом, равным половине средней линии трапеции. На этой окружности будут лежать точки , , , .
Ответ: доказано, точки , , , принадлежат одной окружности.
Задача 4. Точки симметричны произвольной точке Х относительно точек , соответственно. Доказать, что четырехугольник , параллелограмм. Найти его площадь, если площадь трапеции ABCD равна S.
Решение:
ABCD – трапеция, , – середины сторон трапеции.
Точки симметричны произвольной точке Х относительно точек – параллелограмм по теореме 1. Значит .
∆X : - средняя линия. Следовательно , =½ .
Аналогично:
, =½
, =½
, =½ .
Получим:
=>
=> – параллелограмм по определению.
Параллелограммы гомотетичны с коэффициентом гомотетии k=2, т.к. =½ , =½ , =½ =½ . В задаче 1 было доказано что S( = ½ S(ABCD) = S:2
S( : S( =k²=2²=4, => S( =4 S( =2S.
Задача 5 Доказать, что в трапеции сумма квадратов средних линий равна половине суммы квадратов её диагоналей.
Решение: ABCD – трапеция, и – средние линии трапеции, AC и BD – диагонали трапеции ABCD. Докажем, что =½(AC²+BD²).
– средняя линия ∆ABC, значит = ½AC.
– средняя линия ∆BCD, значит = ½BD.
По теореме 2 =Т , .
Рассмотрим ∆ :
cos (теорема косинусов)
(½АС)²=( ½ ( ½ - ½ · cos
¼АС²=¼ ¼- ½ cos
АС²= - 2 cos (1)
Аналогично при рассмотрении ∆ получим равенство
BD ² = -2 cos
=180°- (свойство смежных углов)
BD²= cos(180°-
cos (180°- = - cos(по формуле приведения)
BD²= cos (2)
Сложим равенства (1) и (2)
AB ²+BD ²= - cos cos
AB ²+BD ²=2( +
+ =½(AC²+BD²).
2.2 Задача о площади трапеции и применении её второй средней линии
Задача 6. Доказать, что площадь трапеции равна произведению второй средней линии на диагональ трапеции и на синус угла между ними.
Решение: ABCD – трапеция, – вторая средняя линия трапеции, AC – диагонали трапеции ABCD. Доказать, что S(ABCD)=AC·sin.
Соединим точки А и , С и Получим четырёхугольник А С , АС и его диагонали.
S(AС)= ½ ·АС·sin=S(∆А С)+S(∆АС=S1+S2
S(∆АВ = ½В ·АН
S( =½ С·АН
В = С
Значит S(∆AB=S(∆A C)=S1
Аналогично, S(∆AC )=S(∆C D)=S2
S(ABCD)=2S1+2S2=2(S1+S2)=2S(A C )=2·½ AC·sin=
·AC·sin.
Задача 7. Доказать, что площадь трапеции равна произведению второй средней линии на сумму перпендикуляров, проведённых к этой средней линии (или её продолжени ю) из двух противоположных вершин трапеции.
Решение: ABCD – трапеция, – вторая средняя линия трапеции,
АС – диагональ трапеции. С⊥, А⊥. Докажем, что S(ABCD)= ·(С +А ).
Соединим точки А и С и . Получим четырёхугольник А С , АС и его диагонали. Проведём АН⊥ВС.
S(∆АВ)=½В ·АН
S(∆С)=½ С·АН
ВС => S(∆АВ )= S(∆ С).
Аналогично S(∆А)=S(∆СD ). Т.е. данные пары треугольников равновелики.
Обозначим длины перпендикуляров А и С через и соответственно. Тогда:
S(∆А)= ½ · ,
S(∆C)= ½ · ,
S(А С)= S(∆А)+ S(∆C )=½ ( + ).
Т.к. треугольники АВ и С, а также А и DC равновелики, то S(ABCD)=2S(A C)= (h1+h2)= (C+A).
Ответ: S(ABCD)= (C +A ).
2.3. Задача с применением второй средней линии трапеции и треугольника, одна сторона которого – больше основания трапеции,
а противолежащая её вершина – точка пересечения
боковых сторон трапеции
Задача 8. В трапеции ABCD сумма углов при меньшем основании равна 270°. Найти длину второй средней линии, если основания равны a и b (a>b).
Решение: ABCD – трапеция, – вторая средняя линия трапеции, ABC+ DCB=270°, ВС││AD, BC=b, AD=a. Найдем .
В трапеции ABCD ABC+ DCB=270°, значит BAD+ CDA=360°-
-270°=90°.
В треугольнике AED: AED=180°-90°=90°.
Проведём BL││CD. BCDL – параллелограмм по определению (ВС││AD по определению трапеции, L принадлежит АD, значит, ВС││DL, BL││CD – по построению) => BC=LD=b (по свойству противоположных сторон параллелограмма) =>АL=a-b
Проведём ВК││Е , ВС││AD по определению трапеции, точки принадлежат АD, значит, ВС││ , следовательно, В – по определению параллелограмм. По свойству противоположных сторон параллелограмма: B=K=b/2
AK=a/2-b/2=½(a-b).
KL=A -K =a/2-b/2=½(a-b). => AK=KL.
∆ABL – прямоугольный ( AВL= AED=90°, как внутренние односторонние углы при прямых ED ││ BL и секущей АЕ). AL – гипотенуза. BK – медиана т.к. AK=KL (выше доказано). AL=AK+KL=a-b.
Медиана в прямоугольном треугольнике равна половине гипотенузы => BK=(a-b)/2. = ВК=(а-b)/2 (по свойству противолежащих сторон параллелограмма В ).
Ответ: (а-b)/2.
Задача 9. Доказать, что точка Е и точка пересечения диагоналей трапеции принадлежит прямой содержащей вторую среднюю линию. (Доказать, что точка пересечения диагоналей трапеции принадлежит второй средней линии трапеции).
Решение: ABCD – трапеция. AC и BD – её диагонали, АС пересекает BD в точке Т. В трапеции ABCD продолжили боковые стороны AB и CD до пересечения в точке Е. В ∆AED проведём медиану ЕТ4. Проведём через точку Т прямую параллельную основаниям трапеции, пересекающую стороны АВ и CD в точках M и N. Докажем, что MT=TN. Из подобия треугольников ВМТ и ВАD и АМТ и АСВ следует, что
MT:AD=BM:AB (1)
MT:BC=AM:AB (2)
Сложив равенства (1) и (2), получим МТ(1:AD+1:BC)=(BM+AM):AB=1, откуда МТ=AD·BC(AD+BC).
Аналогично NT=AD·BC(AD+BC). Значит МТ=TN.
Значит точка Т принадлежит прямой Е .
Задача 10. В трапеции АВСD чере з (вторую среднюю линию), а также через точку Х, взятую на продолжении диагонали трапеции, проведены две прямые, пересекающие стороны в точках N и К. Доказать, что середина NK принадлежит второй средней линии.
Решение: Докажем, что отрезок NK параллелен основаниям трапеции АВСD. И тогда середина NK будет принадлежать второй средней линии, что было доказано в задаче 9. Обозначим через F точку пересечения и NK, через L – точку пересечения отрезков Х и АD.
LNA=BN(свойство вертикальных углов)
NLA =NTB (внутренние накрест лежащие углы при LA││B и секущей L, значит. Значит ∆ANL⁓∆BN.
AN:NB=AL:B.
Аналогично ∆ ХС⁓∆LXA; AL:C=AX:CX; C(по условию), то получим AN:AL=AL:B=AL:C и AN:NB=AX:CX (1)
∆DK⁓∆CKP; DK:KC=D:CP
∆AX ∆CXP; AX:CX=A CP
D=A ; DK:KC= D:CD=AX:CX=A :CP и DK:KC=AX:CX (2)
Из равенств (1) и (2) имеем AN:BN=DK:KC. Следовательно имеем ВС││NK││AD.
Значит NF=FK (см.задачу 9).
2.4. Задача на построение
Решение задач на построение приведено в приложении 1.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Целью моей работы было исследование второй средней линии трапеции. Теперь я знаю, что такое вторая средняя линия трапеции и её взаимосвязь с другими элементами трапеции. Проделанная работа позволила мне выяснить новое о таком элементе трапеции, как вторая средняя линия, о её интересных свойствах, сформулировать и доказать теоремы, решить некоторые виды задач. Поставленные цель и задачи моей работы достигнуты.
В результате проведенного мною исследования моя гипотеза подтверждена частично. Вторая средняя линия трапеции не равна полусумме боковых сторон. В этой части выдвинутая мной гипотеза опровергнута. Однако я выяснил, что вектор второй средней линии трапеции равен полусумме векторов боковых сторон, взятых в одном порядке (сверху вниз).
Вторая средняя линия трапеции существует, знание её свойств помогает в решении геометрических задач.
Данное исследование позволяет разнообразить подходы к изучению свойств геометрических фигур, стимулирует учащихся и учителя на составление новых задач, повышает заинтересованность учащихся в изучении геометрии на повышенном уровне.
Так же я предполагаю, что я изучил далеко не все задачи, связанные со второй средней линией трапеции. В дальнейшем я изучу новые способы решения таких задач и продолжу исследование интересных свойств второй средней линии трапеции. А также я планирую составить свои задачи про вторую среднюю линию трапеции.
Список использованных источников
Азаров А.И., Булатов В.И., Жук А.И. и др. Математика: Пособие для подготовки к экзамену и централизованному тестированию за курс средней школы.-Мн.: Аверсэв, 2015.
Математика в школе: научно-теоретический методический журнал, М.: Школа-Пресс-разные годы выпуска.
Папахневич В.А., Сборник задач по геометрии. –Мн.:Аверсэв,2007.
Погорелов А.В., Геометрия, 7-11,М.;Просвещение,2003.
Сканави М.И., Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы, М.: ОНИКС, Альянс-В,2003.
Шахно К. У., Сборник задач по элементарной математике повышенной трудности, Мн.: Высшая школа, 2012.
Шлыков В.В., геометрия, 9 ,Мн.:Народная асвета,2005.
https://ru.wikipedia.org/wiki/
Научный форум dxdy. – dxdy.ru/topic20315.html
Фестивальидей – portfolio.1september.ru/work
Приложение 1
Решение задач на построение
Задача 11. Провести в трапеции вторую среднюю линию с помощью чертежной линейки.
Решение:
Построим диагонали трапеции АС и ВD.
АС пересекает ВD в точке L.
Продлим боковые стороны трапеции АВСD до пересечения в точке Е.
Проведем прямую через точки L и Е.
EL пересекает ВС в точке и АD в точке , значит, – вторая средняя линия трапеции АВСD.
Cогласно доказанному в задаче9 , Е и L лежат на одной прямой. Задача имеет одно решение, т.к. через точки E и L можно провести только одну прямую.
Задача 12. Дан параллелограмм . Построить трапецию ABCD, для которой и – средние линии.
Решение: Анализ задачи показывает, что можно сначала построить трапецию , подобную искомой трапеции ABCD. Далее строим трапецию АВСD. Для этого нужно определить положение точки Е на прямой .
Построение.
В данном параллелограмме проводим диагонали .
Строим n ││ , m ││ через точки и .
Откладываем произвольные отрезки = на прямой n и на прямой m.
Строим прямую , ∩ = , соединяем точки и , = ∩n. Получили трапецию подобную искомой.
Через точку проведем прямую a ││ . Получили Е=а∩ , А=a∩m, B=a∩n.
Соединим прямой d точки Е и . С=d∩n, D=d∩m.
Доказательство проводится опираясь на свойства подобия, аналогично задаче 9.
Задача 13. Построить трапецию по двум средним линиям и углу между ними.
Решение: Анализ задачи показывает, что можно построить параллелограмм по двум диагоналям и и углу между ними. Затем и трапецию ABCD.
Построение.
Строим две пересекающихся прямые в точке Т под углом α.
От точки Т отложим на этих прямых отрезки Т=Т , Т =Т , равные половинам средних линий трапеции соответственно и .
Соединяем точки , , , . Получим параллелограмм .
Строим трапецию ABCD (см. задачу 12).
Доказательство и исследование также аналогично задаче 12.