XVIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Решение задач на построение треугольников
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Задачи на построение треугольников нетиповые, их невозможно решить зная только формулы и понимая алгоритмы решения. Каждая такая задача требует максимальной концентрации с применением аналитических способностей и глубокого уровня знаний. Если проводить аналогию, то решение задач на построение - это как решение ребусов в русском языке, оно не учит писать правильно, оно позволяет проявить аналитические способности, глубокие познания и возможность мыслить креативно, так задачи на построение тоже позволяют проявлять эту креативность, глубину мышления и, конечно, показать имеющиеся знания.
Таким образом, актуальность данной темы именно в том, что, научившись решать такие задачи, можно не только углубить свои знания, но и развить аналитические навыки, в решении задач в целом, а это в свою очередь может быть неплохим подспорьем в подготовке к ОГЭ, а в последствии и к ЕГЭ.
Проблематика темы. Если взять учебник по геометрии (в моем случае это учебник авторов Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, Э.Г. Позняк, И.И. Юдина), то в нем очень мало информации и задач на построение треугольников, то есть для того, кому интересна эта тема, необходимо самостоятельно подобрать литературу и погрузиться в эту тему. Сначала мне казалось, что можно найти некий алгоритм, зная который можно с легкостью решать такие задачи, но погрузившись в тему и прорешав некоторое количество задач, я изменил свое мнение и стал понимать, что это совершенно не так, и первое впечатление было обманчивым. Мне кажется, что если ученику, показывающему отличные знания на уроках геометрии предложить решить задачу такого типа, то он может столкнуться с определенными трудностями, поэтому такие задачи на мой взгляд относятся к повышенному уровню и, несомненно, тренировка в решении таких задач является хорошей подготовкой к олимпиадам. Кроме того, в процессе изучения литературы, ко мне пришло понимание, что задачи на построение не являются в достаточной мере наглядными, в связи с чем появилось решение сделать попытку визуализации таких задач с помощью программы CaRMetal.
Объект: задачи по геометрии.
Предмет: задачи на построение треугольников и их решение.
Цель работы: Визуализировать алгоритм решения задач на построение треугольников для курса внеурочной деятельности.
Задачи:
Проанализировать литературу по данной теме;
Разобрать решение разнообразных задач на построение треугольников;
Установить программу CaRMetal и разобраться как в ней работать;
Визуализировать решение одной из задач в программе CaRMetal;
Сделать вывод насколько программа подходит для повышения наглядности решения задач на построение треугольников.
Теоретическая часть
1.1 Из истории задач на построение.
История задач на построение уходит своими корнями очень глубоко и конечно изначально потребность в решении таких задачи была обусловлена практической необходимостью, то есть задачи на построение решались древними архитекторами и инженерами. В Древней Греции были широко распространены задачи на построение, и именно здесь была создана геометрическая теория в систематическом изложении.
Первым ученым, который занимался решением задач на построение был Фалес Милетский (652 -547 гг. до н.э.). Именно он смог вычислить высоту пирамиды по отбрасываемой ею тени, а также определил расстояние от берега до корабля в море, которое было недоступно для непосредственного измерения, с помощью построения треугольников.
Безусловно самым известным ученым, чье имя неразрывно связано с треугольником можно считать Пифагора (580-500 гг. до н.э.). Известная теорема Пифагора о том, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов вероятно тоже была доказана с помощью построения треугольников и в той или иной мере данная теорема могла стать результатом решения неких задач на построение треугольника. Пифагор смог существовавшим до него интуитивным правилам придать вид настоящей науки, основанной на логике и доказательствах.
Рассматривая историю задач на построение невозможно обойти строной и вклад Платона. Именно в школе Платона задачи на построение получили надлежащее обоснование. Именно Платон начал говорить о том, что всякая сложная задача должна решаться путем проведения анализа и синтеза и именно у него выделяется понятие геометрического построения, то есть построения сделанного с помощью циркуля и линейки. Прочие же построения сделанные любыми другими инструментами считались не геометрическими.
Ну и конечно, говоря об истории изучаемого мной предмета, следует отметить важную роль Евклида (325-270г. до н.э.), который в своей книге «Начала», которая по праву считается вершиной античной математики, доказывал существование фигур непосредственно через их построение при помощи циркуля и линейки.
Основы теории геометрии
Нет сомнений, что перед тем, как приступить к рассмотрению задач на построение нужно сначала дать определения тем основным терминам, которые используются в решении таких задач, поэтому в этой части своей работы я расположил следующие определения.
Треугольник – это три точки, не лежащие на одной прямой и три отрезка с концами в этих точках. Отрезки соединяющие каждые две точки называют сторонами треугольника, а точки – вершинами треугольника.
Каждый треугольник имеет три медианы, три биссектрисы и высоты.
Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая каждую медиану делит в отношении 2:1, считая от вершины.
Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны. Все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от трех сторон треугольника – центре вписанной окружности.
Высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону. Точка пересечения высот треугольника или их продолжений называется ортоцентром.
Центр описанной около треугольника окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Гомотетия – это преобразование подобия. Это такое преобразование, в котором получаются подобные фигуры (у которых соответствующие углы равны и стороны пропорциональны).
2. Практическая часть
2.1. О выборе программы CaRMetal
Как уже было обозначено мной ранее задачи на построение не являются в достаточной мере наглядными и в практической части своей работы я хотел бы наглядно показать решение задач на построение в программе CaRMetal - это программа интерактивной геометрии, созданная на движке C.a.R. Мой выбор пал именно на эту программу, потому что она полностью бесплатна и имеет достаточно много функций, не требуя при этом каких-либо специализированных навыков для ее использования. В программе есть возможность построения векторов, трехмерных объектов окружностей, плоскостей и других геометрических фигур. Отрезки в программе соединяются при помощи "контрольных точек" так что неточностей в построении быть не может. Основными инструментами для построения в моей работе будут линейка и циркуль, которые в этой программе реализовано отлично.
Пример кода для программы на JAVA
a=Point(-4,-2);
b=Point(4,-2);
c=Point(0,4);
m=Point(Math.random(),Math.random());
SetHide(m,true);
for(n=0;n<2000;n++){
dice=Math.ceil(Math.random()*3); //A 3-faces dice!
switch(dice){
case 1: {p=MidPoint(a,m); break;
}
case 2: {p=MidPoint(b,m); break;
}
case 3: {p=MidPoint(c,m); break;
}
}
SetPointType(p,"point");
m=p;
2.2. Примеры решения задач на построение
Увидеть этапы решения задач на построение и их логику проще всего на основе простых задач. Например, такая несложная задача:
Задача 1.
Нужно построить треугольник по трем заданным сторонам a, b, c.
На произвольной прямой с помощью циркуля откладываем отрезок АВ равный заданной стороне с. Далее строим окружность с центром в точке А радиусом b и окружность с центром в точке B радиусом a. Точку пересечения этих окружностей обозначим C. Остается только соединить полученные точки А, В и С и получим треугольник ABC. Далее мы должны убедиться, что получившийся треугольник и есть искомый треугольник, но у него стороны равны a,b и c по построению.
Еще одна несложная и довольно часто рассматриваемая задача 2: Построить треугольник по двум сторонам и углу между ними.
Нам даны две стороны a и b, и угол между ними ᵧ.
Сначала строим угол равный данному по условиям задачи. Это будет угол C. Далее на сторонах угла C с помощью циркуля откладываем отрезки равные заданным. Соединяем точки А и B и получаем треугольник ABC. Несомненно, он будет является именно искомым треугольником так как угол С и стороны были построены по заданным отрезкам и углу между ними.
2.3. Решение задачи на построение в программе CaRMetal
Все рисунки решения представлены в Приложении 1
1. Задача на построение прямоугольного треугольника по 3-м основаниям биссектрис.
Дано : см приложение 1 рисунок 1
Точки L1, L2 и L3 - основания биссектрис, угол А - прямой
Перейдем к построению
Соеденим точки L2, L3 и L1 отрезками.
Построим окружность лежащую на L2 L3 как на диаметре
Построим дугу вмещающую угол 45 градусов и лежащую на отрезке L2 L1, точка пересечения этой дуги с окружностью, лежащей на L2 L3 будет точка A.
Соединим точку А и точку L1, а затем на отрезке L2 L3 построим дугу вмещающую угол 135 градусов, точка пересечения этой дуги с A L1 будет точкой O - центром вписанной окружности и точкой пересечения биссектрис
Проведем прямые через L3 O и A L2 точка их пересечения - точка С, проведем прямые через A L3 и L2 O и получим точку B соединим C и B и получим следующее построение
Уберем лишние прямые и получим искомый треугольник ABC
Задача 2 На построение треугольника по основаниям высоты, медианы и биссектрисы лежащим на описанной окружности.
Дано :
Точка О - центр описанной окружности, точки H L M - продолжения высоты, биссектрисы и медианы соответственно лежащие на окружности.
Соединим точку О и L получим отрезок L O.
Построим окружность с радиусом L O
Проведем параллельную прямую к L O проходящую через H, точка пересечения этой прямой с окружностью будет точка B
Соединим точки B и M их точка пересечения с отрезком L O бдует точкой лежащей на отрезке A C искомого треугольника, назовем эту точку К
Проведем перпендикуляр к отрезку L O проходящий через К,
точки пересечения этой прямой с окружностью будут точки A C искомого треугольника.
Соединим A с B и B с C и получим искомый треугольник ABC
Задача 3 На построение треугольника вписанного в окружность по основаниям его биссектрисы, высоты и медианы.
Дано :
О - центр описанной около треугольника окружности, точки H, L, M - основания высоты, биссектрисы и медианы соответственно.
Поставим засечку длиной H B и засечку длиной B L (продолжение точка L1) Проведем перпендикуляр из точки М и точка пересечения прямой B L с этим перпендикуляром будет точка L1
Соединим точку B и точку L1 и проведем серединный перпендикуляр к получившемуся отрезку, точка пересечения серединного перпендикуляра с M L1 Будет точка О - центр описанной окружности.
Построим окружность с радиусом B O или L1 O (т.к В и L1 равно удалены от О)
Точки пересечения прямой HLM с окружностью будут точки A и C искомого треугольника, соединим эти точки с B И получим искомый треугольник.
Заключение и выводы
В результате проделанной работы я считаю, что поставленные задачи были выполнены: литература проанализирована, проведен разбор решения разнообразных задач, программа CaRMetal установлена и использована, задача, которая была выбрана для визуализации построения была решена и построена, а процесс построения был запечатлен скриншотами. Таким образом, я считаю, что мне удалось визуализировать алгоритм решения и тем самым цель, поставленная в начале работы, была достигнута.
Как я уже говорил в начале своей работы, задачи на построение требуют не только знаний теории геометрии, но и развития аналитических способностей, как многим гуманитариям интересно решать разного рода ребусы, так людям с математическим складом ума интересно решать необычные задачи. Мне удалось поработать над такими задачами, и несомненно кроме того, что я смог их решить и прокачать свои аналитические способности мне удалось подключить к решению таких задач компьютерную программу, что для меня как для человека, увлекающегося программированием было вдвойне интересно. Могу ли я сделать вывод о том, делает ли данная программа решение задач на построение более наглядным? Безусловно да! И конечно подобные программные построения могут использоваться на курсах внеурочной деятельности для повышения наглядности и для повышения интереса со стороны учеников. Причем опыт такого построения может быть интересен не только для учеников, но и для самих учителей, как перенос привычного построения в некую новую среду, что для кого-то могло бы стать толчком к созданию нового направления внеурочной деятельности по математике.
Список литературы
Геометрия. 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. Организаций / [Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.], Москва, 2018
Чистяков В.Д. Три знаменитые задачи древности. Пособие для внеклассной работы – 1963
Леонард Млодинов «История геометрии от параллельных прямых до гиперпространства», Москва, 2019
https://en.wikipedia.org/wiki/CaRMetal
www.yaklass.ru/p/geometria/9-klass/dvizhenie-10434/parallelnyi-perenos-i-povorot-9251/re-f1102a69-efb3-4812-8181-121f1d250190
http://mathemlib.ru/books/
Приложение
Построения к задаче 2
Построения к задаче 3