XVIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Применение исследования теории вероятности в жизни
Автор работы награжден дипломом победителя I степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Людей всегда интересовало будущее. Человечество во все времена искало способ его предугадать, или спланировать, в разное время разными способами. В современном мире есть теория, которую наука признает и пользуется для планирования и прогнозирования будущего. Речь идет о теории вероятностей.
В жизни мы часто сталкиваемся со случайными явлениями. Чем обусловлена их случайность – нашим незнанием истинных причин происходящего или случайность лежит в основе многих явлений? Споры на эту тему не утихают в самых разных областях науки.
У каждого «случайного» события есть четкая вероятность его наступления. В стабильной системе вероятность наступления событий сохраняется из года в год. То есть, с точки зрения человека с ним произошло случайное событие. А с точки зрения системы, оно было предопределенно.
Разумный человек должен стремиться мыслить, исходя из законов вероятностей (статистики). Но в жизни о вероятности мало кто думает. Решения принимаются эмоционально.
Люди боятся летать самолетами. А между тем, самое опасное в полете на самолете - это дорога в аэропорт на автомобиле. Но попробуй кому-то объяснить, что машина опасней самолета. Вероятность того, что пассажир, севший в самолет, погибнет в авиакатастрофе, составляет примерно 1/8000000. По исследованиям: в США в первые 3 месяца, после терактов 11 сентября 2001 года погибло еще одна тысяч людей. Они в страхе перестали летать самолетами и начали передвигаться по стране на автомобилях. А так как это опасней, то количество смертей возросло.
В своем докладе я попробую проверить, действительно ли теория вероятностей действует и как её можно применить в жизни.
Вероятность события в жизни не так уж часто считается по формулам, скорее интуитивно. Но проверить совпадает ли «эмпирический анализ» с математическим, иногда очень полезно.
Цель моей работы познакомится с историей возникновения теории вероятности определить ее значение в современном мире.
В ходе выполнения работы я поставила перед собой следующие задачи:
- рассмотреть историю возникновения теории вероятности;
- представить основные понятия теории вероятности;
- рассмотреть различные применения вероятности случайного события на практике.
Гипотеза: закономерности теории вероятности имеют не только теоретическую ценность, они широко применяются на практике.
Практическая значимость: задачи на теорию вероятности широко применяются
на ОГЭ и ЕГЭ
Актуальность: как ни странно, но человек часто применяет теорию вероятностей в повседневном быту, хотя может и не знать математические формулы и распределения кривой вероятности, и это не обязательно. Жизненный опыт, логика и интуиция всегда подсказывают человеку его шансы на удачу, будь то поступление на работу, карьера, личная жизнь, решение проблем, возможность выигрыша и т.п.
Основная часть
Теория вероятностей.
Теория вероятности – это раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними. Теория вероятностей используется в таких разделах математики как математическая статистика, теория случайных процессов, теория массового обслуживания.
Она находит применение в физике, в анализе азартных игр, в страховании и в расчете пенсионных схем. На теории вероятностей основана разработка, применение и анализ вероятностных алгоритмов.
История возникновения и развития теории вероятностей
Теория вероятностей оформилась в самостоятельную науку относительно недавно, хотя история теории вероятностей началась еще в античности. Так, Лукреций, Демокрит, Кар и еще некоторые ученые древней Греции в своих рассуждениях говорили о равновероятностных исходах такого события, как возможность того, что вся материя состоит из молекул. Таким образом, понятие вероятности использовалось на интуитивном уровне, но оно не было выделено в новую категорию. Тем не менее, античные ученые заложили прекрасный фундамент для возникновения этого научного понятия. В средние века, можно сказать, и зародилась теория вероятностей, когда были приняты первые попытки математического анализа, таких азартных игр как кости, орлянка, рулетка.
Первые научные работы по теории вероятностей появились в 17 веке. Когда такие ученые как Блез Паскаль и Пьер Ферма открыли некоторые закономерности, которые возникают при бросании костей. В ту же пору к данному вопросу проявлял интерес еще один ученый Христиан Гюйгенс. Он в 1657 в своей работе ввел следующие понятия теории вероятностей: понятие вероятности как величины шанса или возможности; математическое ожидание для дискретных случаев, в виде цены шанса, а также теоремы сложения и умножения вероятностей, которые правда не были сформулированы в явном виде. Тогда же теория вероятностей стала находить сферы своего применения – демографию, страховое дело, оценку ошибок наблюдений.
На сегодняшний день теория вероятностей – это самостоятельная наука, имеющая огромную сферу применения. В наше время теория вероятности используется почти во всех отраслях знаний: в статистике, синоптике (прогноз погоды), биологии, экономике, технологии, строительстве и т. д.
Классификация событий
Событие – это исход наблюдения или эксперимента.
Случайные и неслучайные события.
Случайным событием называется то событие, которое может, как произойти, так и не произойти. Неслучайное событие – это то событие, которое может либо произойти обязательно, либо в данных условиях не происходящее.
Достоверные и невозможные события
Достоверным событием называют то событие, которое обязательно произойдет. Невозможным событием называют то событие, которое в данных условиях произойти не может. Вероятность достоверного события всегда равна 1. Вероятность невозможного события всегда равна 0. Например, если из урны только с черными шарами вытащить шар, то достоверным событием будет то, что вытащенный шар окажется, черным. А невозможным событием будет то, что вытащенный шар окажется белым.
Совместные, несовместные и противоположные события
Совместным событием называются два события, которые могут произойти в результате опыта одновременно. Несовместным событием называют два события, которые не могут произойти одновременно в результате опыта. Противоположными событиями называют те два события, которые противоположны друг другу.
2.4 Применение теории вероятности в жизни
Примеров реального использования теории вероятности в жизни
множество. Практически вся современная экономика базируется на ней.
Выпуская на рынок определенный товар, грамотный предприниматель
наверняка учтет риски, а также вероятности покупки товара рынке, в стране и
т.д. Практически не представляют свою жизнь без теории вероятности брокеры
на мировых рынках. Предсказывание денежного курса (в котором точно не
обойтись без теории вероятности) на денежных опционах или знаменитейшем
рынке Forex дает возможность зарабатывать на данной теории серьезные
деньги.
Теория вероятности имеет значение в начале практически любой
деятельности, а также ее регулирования. Благодаря оценке шансов той или иной
неполадки (например, космического корабля), мы знаем, какие усилия нам
нужно приложить, что именно проверить, что вообще ожидать в тысячи
километров от Земли. Возможности теракта в метрополитене, экономического
кризиса или ядерной войны — все это можно выразить в процентах. А главное,
предпринимать соответствующие контрдействия исходя из полученных данных.
Любую деятельность любой сферы можно проанализировать, использую
статистику, рассчитать благодаря теории вероятности и заметно улучшить
Практическая часть
Задач на теорию вероятности на ОГЭ
Классическая вероятность:
На тарелке 12 пирожков: 5 с мясом, 4 с капустой и 3 с вишней. Наташа наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.
Решение.
Вероятность того, что будет выбран пирожок с вишней, равна отношению количества пирожков с вишней к общему количеству пирожков: = = 0,25
Ответ: 0,25
Коля выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 5.
Решение.
Всего трехзначных чисел 900. На пять делится каждое пятое из них, то есть таких чисел = 180. Вероятность того, что Коля выбрал трехзначное число, делящееся на 5, определяется отношением количества трехзначных чисел, делящихся на 5, ко всему количеству трехзначных чисел: = = 0,2
Ответ: 0,2
В лыжных гонках участвуют 11 спортсменов из России, 6 спортсменов из Норвегии и 3 спортсмена из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен из России.
Решение.
Всего спортсменов 11 + 6 + 3 = 20 человек. Поэтому вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен из России, равна = 0,55
Ответ: 0,55
Статистика, теоремы о вероятностях событий:
Фирма «Вспышка» изготавливает фонарики. Вероятность того, что случайно выбранный фонарик из партии бракованный, равна 0,02. Какова вероятность того, что два случайно выбранных из одной партии фонарика окажутся небракованными?
Решение.
Вероятность того, что один случайно выбранный из партии фонарик — небракованный, составляет 1 − 0,02=0,98. Вероятность того, что мы выберем, одновременно два небракованных фонарика равна 0,98 · 0,98 = 0,9604.
Ответ: 0,9604
Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,19. Покупатель в магазине выбирает одну такую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.
Решение.
Вероятность того, что ручка пишет хорошо, равна 1 − 0,19 = 0,81.
Ответ: 0,81
На экзамене по геометрии школьнику достаётся одна задача из сборника. Вероятность того, что эта задача по теме «Углы», равна 0,1. Вероятность того, что это окажется задача по теме «Параллелограмм», равна 0,6. В сборнике нет задач, которые одновременно относятся к этим двум темам. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется задача по одной из этих двух тем.
Решение.
Суммарная вероятность несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: P = 0,6 + 0,1 = 0,7.
Ответ: 0,7
Задач на теорию вероятности на ЕГЭ
Классическое определение вероятности:
На рок-фестивале выступают группы — по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Дании будет выступать после группы из Швеции и после группы из Норвегии? Результат округлите до сотых.
Решение.
Общее количество выступающих на фестивале групп для ответа на вопрос неважно. Сколько бы их ни было, для указанных стран есть 6 способов взаимного расположения среди выступающих (Д — Дания, Ш — Швеция, Н — Норвегия):
ДШН, ДНШ, ШДН, ШНД, НДШ, НШД.
Дания находится после Швеции и Норвегии в двух случаях. Поэтому вероятность того, что группы случайным образом будут распределены именно так, равна = 0,33
Ответ: 0,33
На олимпиаде по русскому языку 250 участников разместили в трёх аудиториях. В первых двух удалось разместить по 120 человек, оставшихся перевели в запасную аудиторию в другом корпусе. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.
Решение.
Всего в запасную аудиторию направили 250 − 120 − 120 = 10 человек. Поэтому вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории, равна 10 : 250 = 0,04.
Ответ: 0,04
В классе 26 учащихся, среди них два друга — Андрей и Сергей. Учащихся случайным образом разбивают на 2 равные группы. Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной группе.
Решение.
Пусть один из друзей находится в некоторой группе. Вместе с ним в группе окажутся 12 человек из 25 оставшихся одноклассников. Вероятность того, что второй друг окажется среди этих 12 человек, равна 12 : 25 = 0,48.
Ответ: 0,48
За круглый стол на 9 стульев в случайном порядке рассаживаются 7 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом.
Решение.
Пусть первой за стол сядет девочка, рядом с ней есть два места, на каждое из которых может сесть 8 человек, из которых только одна девочка. Таким образом, вероятность, что девочки будут сидеть рядом, равна = = 0,25
Ответ: 0,25
Новые задания бака ФИПИ:
Симметричную монету бросают 10 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 4 орла»?
Решение.
Найдем вероятность события А, состоящего в том, что при десяти бросаниях выпадет ровно 5 орлов: = – формула сочетаний
=
Аналогично найдем вероятность события B, состоящего в том, что при десяти бросаниях выпадет ровно 4 орла:
=
Тогда = = 1,2
Ответ: 1,2
В викторине участвуют 6 команд. Все команды разной силы, и в каждой встрече выигрывает та команда, которая сильнее. В первом раунде встречаются две случайно выбранные команды. Ничья невозможна. Проигравшая команда выбывает из викторины, а победившая команда играет со следующим случайно выбранным соперником. Известно, что в первых трёх играх победила команда А. Какова вероятность того, что эта команда выиграет четвёртый раунд?
Решение.
1, 2, 3, 4, 5, 6 – команды, пусть чем больше номер, тем сильнее команда.
Т.к. команда А победила три раза, значит А = 4, или А = 5, или А = 6.
Если А = 4, то 1234, вероятность выигрыша в четвертом раунде равна 0 (т.к 4 слабее 5и 6).
Если А = 5, то 1235, 1245, 1345, 2345, вероятность выигрыша в четвертом раунде равна (т.к 5 сильнее 4, но слабее 6).
Если А = 6, то 1236, 1246, 1256, 1346, 1356, 1456, 2346, 2356, 2456, 3456, вероятность выигрыша в четвертом раунде равна 1 (т.к 6 самая сильная команда.
Всего 15 исходов, то вероятность выигрыша в четвертом раунде равна:
0 + + 1 = = = 0,8
Ответ: 0,8
Теоремы о вероятностей событий:
Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.
Решение.
Джон промахнется, если схватит пристрелянный револьвер и промахнется из него, или если схватит непристрелянный револьвер и промахнется из него. По формуле условной вероятности, вероятности этих событий равны соответственно 0,4·(1 − 0,9) = 0,04 и 0,6·(1 − 0,2) = 0,48. События схватить пристрелянный или непристрелянный револьвер образуют полную группу (они несовместны и одно из них непременно наступает), поэтому, по формуле полной вероятности, Джон промахнется с вероятностью 0,04 + 0,48 = 0,52.
Ответ: 0,52
Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая — 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.
Решение.
Вероятность того, что стекло сделано на первой фабрике и оно бракованное: 0,45 · 0,03 = 0,0135.
Вероятность того, что стекло сделано на второй фабрике и оно бракованное: 0,55 · 0,01 = 0,0055.
Поэтому по формуле полной вероятности вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным равна 0,0135 + 0,0055 = 0,019.
Ответ: 0,019
По отзывам покупателей Иван Иванович оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,9. Иван Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.
Решение.
Вероятность того, что первый магазин не доставит нужный товар равна 1 − 0,9 = 0,1. Вероятность того, что второй магазин не доставит нужный товар равна 1 − 0,8 = 0,2. Поскольку эти события независимы, вероятность их произведения (оба магазина не доставят товар) равна произведению вероятностей этих событий: 0,1 · 0,2 = 0,02.
Ответ: 0,02
В кармане у Пети было 2 монеты по 5 рублей и 4 монеты по 10 рублей. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах.
Решение.
Чтобы пятирублевые монеты оказались в разных карманах, Петя должен взять из кармана одну пятирублевую и две десятирублевые монеты. Это можно сделать тремя способами: 5, 10, 10; 10, 5, 10 или 10, 10, 5. Эти события несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:
+ + = = 0,6
Ответ: 0,6.
4. Исследовательская часть
Исследование на теорию вероятности
Среди учеников часто возникает вопрос: «А нельзя ли выбрать наугад ответ и при этом получить положительную оценку?»Ответить на этот вопрос можно путем использования элементов теории вероятностей.
Я хочу проверить это на примере заданий по алгебре, входящих в КИМ ОГЭ по математике. Я составила тест, состоящий из 10 заданий с выбором ответа. Чтобы получить положительную оценку за тест, нужно набрать не менее 5 баллов. Каждое задание имеет 4 варианта ответов, один из которых правильный (приложение).
Был проведен опрос среди учеников 9В класса (18 человек):
Мы попросили ребят попробовать наугад пройти тест по алгебре. Для того чтобы получить оценку "3" необходимо набрать не менее 5 баллов.
Результаты тестирования:
|
Количество человек |
3 |
3 |
4 |
5 |
2 |
1 |
|
Количество верно выполненных заданий |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
% выполнения |
17 |
17 |
22 |
28 |
11 |
6 |
По результатам тестирования пять и более баллов набрали 3 человека (17 %), 15 человек - менее пяти баллов (83 %).
Вывод: по итогам тестирования, выяснили, что метод угадывания не позволяет набрать минимальное количество баллов, чтобы получить положительную оценку за тест.
Заключение
Изучая тему «теории вероятности в жизни», я поняла, что это огромный раздел науки математики. И изучить его в один заход невозможно.
В ходе работы над проектом были выделены основные виды задач, которые решаются на определение классической вероятности. Наиболее значимые и интересные из них были рассмотрены в виде примеров. В ходе проектной работы было проведено исследование (тестирование), которое позволило выяснить, что метод угадывания не позволяет набрать минимальное количество баллов, чтобы получить положительную оценку за тест.
Гипотеза подтвердилась, закономерности теории вероятности имеют не только теоретическую ценность, они широко применяются на практике.
Практическое применение теории вероятностей велико. Знания, приобретенные в ходе работы над проектом, пригодятся для успешного решения задач по математике на ОГЭ. Человек часто применяет теорию вероятностей в повседневном быту, хотя может и не знать математические формулы.
Но следует помнить, что в жизни есть ещё такое понятие как удача, везение. Это то, что мы говорим – повезло. У некоторого человека была вероятность 0.001 стать музыкантом, она выпала, ему повезло, такое схождение обстоятельств. То, что мы называем - оказался в нужном месте и в нужное время, когда срабатывают те самые 0.001.
Таким образом, работаем над собой, принимаем решения, которые могут повысить вероятность выполнения наших желаний и стремлений, которые сыграют решающую роль в итоге.
Список используемых источников
Булинский А. В., Ширяев А. Н. Теория случайных процессов. — М.: Физматлит, 2003.
Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — М.: УРСС, 2001.
Колмогоров, А. Н. Основные понятия теории вероятностей. — М.: Наука, 1974.
Коршунов Д. А., Фосс С. Г. Сборник задач и упражнений по теории вероятностей. — Новосибирск, 1997.
сhttps://www.syl.ru/article/198695/new_veroyatnost-sobyitiya-opredelenie-veroyatnosti-sobyitiya
https://ru.wikipedia.org
https://obuchonok.ru/
Приложение
1. Известно, что Какое из следующих чисел отрицательно?
1)
2)
3)
4)
2. Какое из следующих чисел заключено между числами и
1) 0,1
2) 0,2
3) 0,3
4) 0,4
3. На координатной прямой отмечены числа a и b. Какое из следующих утверждений неверно?
1)
2)
3)
4)
4. Какое из приведенных ниже неравенств является верным при любых значениях a и b, удовлетворяющих условию a > b?
1) b − a < −2
2) a − b > −1
3) a − b < 3
4) b − a > −3
5. На координатной прямой отмечено число a.
Из следующих утверждений выберите верное:
1) (a − 6)2 > 1
2) (a − 7)2 > 1
3) a2 > 36
4) a2 > 49
6. На координатной прямой отмечены числа x и y. Какое из следующих утверждений об этих числах верно?
1) и
2) и
3) и
4) и
7. Какому промежутку принадлежит число
1) [4; 5]
2) [5; 6]
3) [6; 7]
4) [7; 8]
8. На координатной прямой отмечены числа p, q и r.
Какая из разностей p − r, p − q, r − q отрицательна?
1) p − r
2) p − q
3) r − q
4) ни одна из них
9. На координатной прямой отмечены числа a, b и c.
Какая из разностей a − b, a − c, c − b положительна?
1) a − b
2) a − c
3) c − b
4) ни одна из них
10. Значение какого из данных выражений положительно, если известно, что x > 0, y < 0?
1) xy
2) (x − y)y
3) (y − x)y
4) (y − x)x
В ответе укажите номер правильного варианта.
|
№ задания |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
№ ответа |
Ответы:
|
№ задания |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
№ ответа |
4 |
2 |
4 |
2 |
3 |
1 |
4 |
3 |
3 |
3 |