XVIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Числа Фибоначии
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Ряд чисел Фибоначчи на первый взгляд не понятен никому. Вот так он выглядит: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55… Ряд этих чисел позволяет решать нам серьезные математические задачи. Я решила изучить свойства этих чисел и поэкспериментировать с ними. В элементарной математике существует много задач, часто трудных и интересных, которые не связаны с чьим-либо именем, а скорее носят характер своего рода «математического фольклора». Эти задачи нередко имеют хождение в нескольких вариантах; иногда несколько таких задач объединяют в одну, более сложную; иногда, наоборот, одна задача распадается на несколько более простых; словом, часто, оказывается, трудно различить, где кончается одна задача и начинается другая. Правильнее всего было бы считать, что в каждой из таких задач мы имеем дело с маленькими математическими теориями, имеющими свою историю, свою проблематику и свои методы – все это, разумеется, тесно связано с историей, проблематикой и методами «большой математики». Такой теорией являются и теория чисел Фибоначчи. Выросшие из знаменитой «задачи о кроликах», имеющей более семисот пятидесятилетнюю давность, числа Фибоначчи до сих пор остаются одной из самых увлекательных глав элементарной математики. Значительное число связанных с математикой людей в различных странах приобщились к такому хобби как «фибоначчизм». Данная работа представляет собой теоретическое и практическое исследования, где в качестве объекта рассматривается всестороннее применение «чисел Фибоначчи», и доказывается их значение.
Актуальность данной работы заключается в потребности исследования чисел Фибоначчи, так как они встречаются нам в различных творениях природы. Знания о них будут полезны во многих науках.
Цель данной работы: Изучение чисел Фибоначчи и их проявления в строении живых и неживых объектов.
В ходе работы сформировались следующие задачи:
Собрать информацию об истории чисел Фибоначчи.
Изучить свойства числового ряда Фибоначчи.
Рассмотреть применение последовательности чисел Фибоначчи в различных сферах.
Теоретическая часть
История возникновения чисел Фибоначчи
Леонардо Пизанский (Фибоначчи) – это первый крупный математик средневековой Европы. Леонардо изучал труды математиков востока, по арабским переводам он ознакомился также с достижениями античных и индийских математиков. Все эти знания он впитывал в себя как губка. А потом принес их в Европу, он «открыл» арабские цифры вместо римских и десятичную систему счисления для европейцев. Удивительные числа были открыты итальянским математиком средневековья Леонардо Пизанским, более известным под именем Фибоначчи. Точная дата его рождения неизвестна. Предположительно Фибоначчи родился в 1170г. Он не признавал рыцарские турниры, вместо них он проводил гораздо менее кровавые математические соревнования, на которых противники обменивались не ударами, а задачами. На таких турнирах и заблистал талант Леонардо Фибоначчи. Леонардо Фибоначчи совершил открытие чисел случайно. Числа, образующие данную последовательность называются "числами Фибоначчи", а сама последовательность - последовательностью Фибоначчи. Он использовал эту последовательность чисел, когда пытался объяснить рост популяции кроликов, предполагая что:
• В «нулевом» месяце, имеется пара кроликов (0 новых пар).
• В первом месяце, первая пара производит на свет другую пару (1 новая пара).
• Во втором месяце, обе пары кроликов порождают другие пары и первая пара погибает (1 новая пара).
• В третьем месяце, вторая пара и две новые пары порождают в общем три новые пары, а старая вторая пара погибает (2 новые пары).
З акономерным является тот факт, что каждая пара кроликов порождает ещё две пары на протяжении жизни, а затем погибает.
Пусть популяция за месяц n будет равна F(n). В это время, только кролики которые жили в месяце n-2 являются способными к размножению и производят потомков, тогда F(n-2) пар прибавится к текущей популяции F(n-1). Таким образом общее количество пар будет равно F(n) = F(n — 1) + F(n — 2). Фибоначчи составил такой ряд из натуральных чисел, который полезен в науке: К концу года Фибоначчи надеялся получить 144 пары.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144...
Задача о кроликах вошла в историю математики, а ряд чисел Фибоначчи зажил самостоятельной жизнью.
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144…
У этой последовательности есть ряд математических особенностей, которых обязательно нужно коснуться. Данная последовательность приближаясь все медленнее и медленнее стремится к некоторому постоянному соотношению. Однако, это соотношение представляет собой число с бесконечной, непредсказуемой последовательностью десятичных цифр в дробной части. Его невозможно выразить точно.
Закономерность образования этого ряда проста. Первые два числа – единицы, а затем каждый последующий член получается путем сложения двух непосредственно ему предшествующих.
Например: 2=1+1, 3=1+2, 5=2+3, 8=3+5 и т.д.
Но как оказалось, эта последовательность обладает рядом замечательных свойств.
Учёные, анализируя дальнейшее применение этого числового ряда к природным феноменам и процессам, обнаружили, что эти числа содержатся буквально во всех объектах живой природы, в растениях, в животных и в человеке.
1.2. Значение чисел Фибоначчи в природе
Если посмотреть на растения и деревья вокруг нас, то видно, сколько много листьев на каждом из них. Издалека кажется, что ветки и листья на растениях расположены случайным образом, в произвольном порядке. Однако во всех растениях чудесным образом, математически точно спланировано какая веточка откуда будет произрастать, как ветки и листья будут располагаться около стебля или ствола. С первого дня появления растение в точности следует в своём развитии этим законам, то есть ни один лист, ни один цветок не появляется случайно. Ещё до появления растение уже точно запрограммировано. Сколько будет веток на будущем дереве, где вырастут ветки, сколько будет листьев на каждой ветке, и как, в каком порядке будут располагаться листья. Cпираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. Cовместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения. Паук плетет паутину спиралеобразно. Cпиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНK з акручена двойной спиралью. Гете называл спираль "кривой жизни". Cреди придорожных трав растет ничем непримечательное растение - цикорий. Приглядимся к нему внимательно. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок.
(рис.2)
В 19 веке ученые заметили, что цветки и семена подсолнуха, ромашки, чешуйки в плодах ананаса, хвойных шишках и т. д. "упакованы" по логарифмическим спиралям, завивающимся навстречу друг другу. При этом числа "правых" и "левых" спиралей всегда относятся друг к другу, как соседние числа Фибоначчи
(13:8, 21:13, 34:21, 55:34).
Числа Фибоначчи проявляются в морфологии различных организмов. Например, морские звезды. Число лучей у них отвечает ряду чисел Фибоначчи и равно 5, 8, 13, 21, 34, 55. У хорошо знакомого комара - три пары ног, брюшко делится на восемь сегментов, на голове пять усиков - антенн. Личинка комара членится на 12 сегментов. Число позвонков у многих домашних животных равно 55. А древнейший моллюск наутилус развивается по золотой пропорции. Но проявление чисел Фибоначчи и золотой пропорции не останавливается на живой природе, они применимы практически во всех областях знания, начиная с архитектуры и кончая планетными расстояниями.
1.3. Числа Фибоначчи в теле человека
Есть много примеров соотношений частей тела человека на основе последовательности Фибоначчи, например рука и, в частности, кости пальца. Каждая кость указательного пальца, от кончика до основания запястья, больше предыдущей примерно на коэффициент Фибоначчи 1,618, что соответствует числам Фибоначчи 2, 3, 5 и 8 (рис.3)
Книга Э.Нойферта «Строительное проектирование» — известный справочник современных архитекторов – содержит основные расчеты параметров туловища человека, заключающие в себе золотую пропорцию. Человек состоит из числа фи (1,618). Используя формулу M/m = 1,61, я рассчитала пропорции человека. Стало понятно, что если пропорции совпадают с данной формулой, то внешность человека, с медицинской точки зрения, считается идеальной. Ладонь заключает в себе формулу золотого сечения. Каждый палец имеет три фаланги. Если сложить два первых фаланга пальцев в соотношении со всей длиной пальца - это даст число золотого сечения. Модельеры и дизайнеры производят расчёты, которые строятся на знании Золотого сечения. Наша формула- (a+b)/a = a/b
Позвоночник человека состоит из 34 позвонков. Как видно из приведенного перечисления частей человеческого тела, в его членении на части присутствуют все числа Фибоначчи от 1 до 34. Общее число костей скелета человека близко к 233, то есть отвечает еще одному числу Фибоначчи. Числа Фибоначчи можно обнаружить и в «крови» у человека. Так распределение людей по трём группам крови отвечает отношениям чисел 8/ 21 /34. Сердечная мышца сокращается до 0,618 от своей изначальной длины и нарушение этого числа при сокращении ведет к болезням сердца. А это число отражает одно из свойств чисел Фибоначчи.
В результате математической обработки экспериментальных медицинских данных, появились отношения чисел, характеризующих сердечный цикл: 0,050; 0,081; 0,131; 0,210; 0,340. Мы видим, что они отражают последовательность ряда чисел Фибоначчи 5, 8, 13, 21, 34.
1.4. Принцип золотого сечения в архитектуре
Все строения древней архитектуры были построены на основе золотого сечения, данная зависимость прослеживается и в средневековье, и в современном мире. Математическая пропорция встречается повсеместно: это и ракушки моллюсков, и знаменитые картины художников, и строение человеческого тела, и даже египетские пирамиды.
Р яд Фибоначчи – это своеобразная матрица, с помощью которой анализируют любое архитектурное сооружение. Чтобы было проще ориентироваться, можно построить на принципе золотого сечения циркуль Фибоначчи.
(рис.4)
Использовать циркуль можно практически на любом архитектурном сооружении. Чтобы исследовать большие объекты, нужно отойти на некоторое расстояние и приложить циркуль. Принцип золотого сечения не является новым в архитектуре, поскольку в прежние времена здания строились не по типовым проектам, а с учетом индивидуальных особенностей будущих владельцев. Такие строения выглядят даже спустя многие года гармоничными и привлекательными. Интерьер, оформленный по правилам идеальной пропорции, позволяет грамотно использовать все площади.
1.5. Использование золотого сечения в искусстве
Исследователи, занимающиеся поиском в искусстве примеров использования золотого сечения, подробно исследуют различные архитектурные объекты и произведения живописи. Известны знаменитые скульптурные работы, создатели которых придерживались золотых пропорций, — статуи Зевса Олимпийского, Аполлона Бельведерского и Афины Парфенос. Одно из творений Леонардо да Винчи — «Портрет Моны Лизы» — уже многие годы является предметом исследований ученых.
Ими было обнаружено, что композиция работы целиком состоит из «золотых треугольников», объединенных вместе в правильный пятиугольник-звезду. Все работы Да Винчи являются свидетельством того, насколько глубоки были его познания в строении и пропорциях тела человека, благодаря чему он и смог уловить невероятно загадочную улыбку Джоконды.
(рис.5)
Картина «Утро в сосновом лесу» Ивана Шишкина также создана по принципу золотого сечения. Главные объекты произведения- медведи, находятся на границе четырёх зрительных точек и расположены на расстоянии 3/8 и 5/8 от соответствующих краев плоскости. Это и будет «золотым сечением» картины.
Проанализировав весь материал, изучив примеры применения золотого сечения, мы сформулировали следующий вывод: чтобы привлечь внимание к главному объекту любого изображения, нужно расположить этот объект так, чтобы он находился на границе одной из четырёх зрительных точек.
1.6. Числа Фибоначчи в психологии
0 — начало отсчета — ребенок родился. У него еще отсутствуют мышление, чувства, воображение. Он — начало новой жизни, новой гармонии;
1 — ребенок овладел ходьбой и осваивает ближайшее окружение;
2 — понимает речь и действует, пользуясь словесными указаниями;
3 — начинает говорить, задает вопросы;
5 — «возраст грации» — гармония психомоторики, памяти, воображения и чувств;
8 — на передний план выходят чувства;
13 — начинает работать механизм таланта;
21 — механизм творчества приблизился к состоянию;
34 — гармония мышления, чувств, воображения и психомоторики: рождается способность к гениальной работе;
55 — в этом возрасте, при условии сохраненной гармонии души и тела, человек готов стать творцом. И так далее…
Практическая часть
2.1. Основные свойства ряда чисел Фибоначчи
Узнав, как образуется числовой ряд Фибоначчи, мы вычислили первые 30 чисел. Получился следующий ряд:
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765 10946 17711 28657 46368 75025 121393 196418 317811 514229 832040
Установлены следующие свойства:
Каждое следующее число, начиная с третьего, равно сумме двух предыдущих
3+5=8 13+21=34 и т.д.
Отношение каждого числа к последующему при увеличении порядкового номера всё более и более стремится к 0.618.
13:24=0.619 21:34=0.618
Ч астное от деления последующего числа Фибоначчи на предыдущее, по мере роста самих чисел, стремится к 1,618.
233 / 144 = 1,618
377 / 233 = 1,618
610 / 377 = 1,618
987 / 610 = 1,618
1597 / 987 = 1,618
2584 / 1597 = 1,618
Сколько бы раз мы не делили одно на другое, соседнее с ним число, мы всегда получим 1, 618.
Каждое третье число Фибоначчи четное.
Каждое пятнадцатое оканчивается нулем.
2.2. Числа Фибоначчи в строении еловой шишки и в корзинках подсолнуха
П родолжая исследование, числа, входящие в ряд Фибоначчи мы увидели в сосновых и еловых шишках. Подсчет спиралей выявил следующие результаты. Замечаем две серии спиралей Фибоначчи: одна - по часовой стрелки, другая - против, их число 8 и 13. (рис. 7)
В корзинках подсолнечника семена также расположены по двум спиралям, их число составило 34/55. (рис. 8)
Заключение
Существуют любопытные закономерности, которые могут быть описаны с помощью математики. Во вселенной еще много неразгаданных тайн, некоторые из которых ученые уже смогли определить и описать. Числа Фибоначчи и золотое сечение составляют основу разгадки окружающего мира, построения его формы и оптимального зрительного восприятия человеком, с помощью которых он может ощущать красоту и гармонию.
Список литературы
Волошинов А.В. «Математика и искусство», М., Просвещение, 1992г
Фибоначчи числа // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. Савин А. П.. — 2-е изд. — М.: Педагогика, 1989. — С. 312—314. — 352 с
Стахов А., Слученкова А., Щербаков И. Код да Винчи и ряды Фибоначчи. СПБ. Издательство: Питер, 2006. 320 с
Интернет источники:
https://ru.wikipedia.org/wiki/Числа_Фибоначчи
https://megaobuchalka.ru/1/22657.html
6. https://4brain.ru/blog/числа-фибоначчи/