XVIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Лист Мёбиуса - простор для фантазии
Автор работы награжден дипломом победителя I степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Лист Мёбиуса – желтая страница,
Односторонний сказочный маршрут,
Летит метелью, песенкой, синицей,
Бульварной лентой, склеенный лоскут.
Эх, Мёбиус, спасибо за науку!
Поверхность одинокой стороны
Подобна закольцованному звуку,
Вибрацией неоновой струны.
Многие считают математику сложным и скучным предметом. К сожалению, в школе на уроках не хватает времени на рассмотрение всего разнообразия и удивительных фактов математических открытий. Смотря телевизор, я услышала незнакомое мне слово «топология», посмотрев литературу, я узнала, что в наше время эта наука бурно развивается и находит применение в различных областях. Одним из объектов топологии является лист Мёбиуса. В школьном курсе топологические объекты не изучаются, поэтому я решила самостоятельно изучить данную тему.
Цель моей работы: опытным путём исследовать поверхность ленты Мебиуса и ее свойства.
Для достижения цели я поставила перед собой следующие задачи:
- познакомиться с историей появления открытия.
- сформировать представление о листе на основе изучения литературных источников.
- установить области применения ленты Мёбиуса.
- применить лист Мёбиуса в повседневной жизни.
1. Немного из истории
Таинственный и знаменитый лист Мёбиуса придумал в 1858 году немецкий геометр Август Фердинанд Мёбиус. Рассказывают, что открыть свой “лист” Мёбиусу помогла служанка, по одним источникам неправильно надевшая свой платок, по другим неправильно сшившая концы ленты.
Одновременно с Мёбиусом изобрёл этот лист и другой ученик К. Ф. Гаусса – Иоганн Бенедикт Листинг, профессор Геттингенского университета. Свою работу он опубликовал на три года раньше, чем Мёбиус, - в 1862 году. А. Ф. Мёбиус родился в городе Шульпфорте. Некоторое время под руководством К. Гаусса изучал астрономию. Начал вести самостоятельные астрономические наблюдения в Плейсенбургской обсерватории, в 1818г. стал её директором. Став профессором Лейпцигского университета, с 1816 года Мёбиус впервые ввёл проективную геометрию, систему координат и аналитические методы исследования; установил существование односторонних поверхностей (листов Мёбиуса), многогранников, для которых неприменим «закон рёбер» и которые не имеют объёма. Мёбиус – один из основоположников теории геометрических преобразований, а также топологии. Он получил важные результаты в теории чисел (функция Мёбиуса) и стал одним из крупнейших геометров своего времени. Лента Мебиуса положила начало новой науке – топологии. Топология известна как «резиновая геометрия», потому что топологу ничего не стоит поместить все свои фигуры на поверхность надувного шарика и без конца менять его форму, следя лишь за тем, чтобы шарик не лопнул. А то, что при этом прямые линии превратятся в кривые, для тополога глубоко безразлично. Лист Мёбиуса – топологический объект, простейшая односторонняя поверхность с краем.
Удивительные свойства листа Мёбиуса – он имеет один край, одну сторону - не связаны с его положением в пространстве, с понятиями расстояния, угла и, тем не менее, имеют вполне геометрический характер. В топологии изучаются свойства фигур и тел, которые не меняются при их непрерывных деформациях (как если бы они были сделаны из резины).
С точки зрения топологии баранка и кружка - это одно и тоже. Сжимая и растягивая кусок резины, можно перейти от одного из этих дел ко второму. А вот баранка и шар – разные объекты: чтобы сделать отверстие, надо разорвать резину. Сама топология, можно сказать, началась именно с листа Мёбиуса. Любую фигуру тополог имеет право сгибать, скручивать, сжимать и растягивать – делать с ней что угодно, только не разрывать и не склеивать. И что бы при этом не произошло - все ее свойства остались неизменными.
2. Изготовление листа Мёбиуса и его свойства
Лист Мебиуса получается очень просто: надо склеить из бумажной полоски кольцо, только перед склеиванием повернуть один конец на 180°. Свойства листа Мёбиуса:
1. Односторонность. У листа Мёбиуса – всего одна сторона.
2. Непрерывность. На листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой и при этом ни разу не придётся переползать через край “ленты”. Разрывов нет – непрерывность полная.
3. Связность. Лист Мёбиуса двусвязен, т.к. если разрезать его вдоль, он превратится не в два отдельных кольца, а в одну целую ленту.
4. Неориентированность. Так, если бы человек смог пропутешествовать по всем изгибам листа Мёбиуса, то когда он вернулся бы в исходную точку, он превратился в своё зеркальное отражение.
3. Проведение опытов с листом Мёбиуса
1. Поставим точку на одной стороне листа Мёбиуса и начертим непрерывную линию вдоль него, пока не придём снова в отмеченную точку. Результат: Непрерывная линия проходит по двум сторонам, заканчиваясь в начальной точке. Вывод:Поверхность листа Мёбиуса является непрерывной.
2. Закрасим полностью только одну сторону листа. Результат: лист Мёбиуса закрасился полностью, лист не переворачивали. Вывод: поверхность односторонняя. "Если кто-нибудь попробует раскрасить "только одну" сторону поверхности ленты Мёбиуса, пусть лучше сразу погрузит её всю в ведро с краской",— пишут Рихард Курант и Герберт Роббинс в превосходной книге "Что такое математика".
3. Закрасим непрерывной линией только один край. Результат: Линия края получилась, непрерывно закрашена на всём листе. Вывод: У листа Мёбиуса не только одна сторона, но и только один край.
4. Лист Мёбиуса разрежем посередине. Результат: Получилось одно большое перекрученное кольцо в виде восьмёрки, которое в два раза длиннее и в два раза уже.
Вывод: Непрерывная линия будет проходить только по одной стороне кольца.
Получилась не лента Мёбиуса!
Лист Мёбиуса имеет ещё интересное свойство – связность.
Если квадрат разрезать от стороны к стороне, то он распадётся на два отдельных куска. Разрез ножом разделит яблоко на две части. Говорят, квадрат- односвязен. Если разрезать лист Мёбиуса вдоль, он превратится не в два отдельных кольца, а в одну ленту. Лист Мёбиуса - двусвязен.
4. Применение листа Мёбиуса
4.1.Лист Мёбиуса в живописи и архитектуре
Целую серию скульптур в виде листа Мебиуса создал скульптор
Макс Билл. Довольно много разнообразных рисунков оставил Мауриц Эшер. Особенно интересна гравюра с изображением муравья, ползающего по Ленте Мебиуса.
Небольшие скульптуры с изображением листа Мёбиуса являются украшением парков и скверов. У входа в Музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная лента, закрученная на полвитка. В 1967 году, когда в Бразилии состоялся международный математический конгресс, его устроители выпустили памятную марку достоинством в пять сентаво. Памятник листу Мёбиуса есть в Москве, Минске, Риге.
4.2. Лист Мебиуса в цирковом искусстве
Более 100 лет лист Мёбиуса используется для показа различных фокусов и развлечений. Удивительные свойства листа демонстрировались даже в цирке, где подвешивались яркие ленты, склеенные в виде листов Мёбиуса. Фокусник горящим концом спички дотрагивался до средней линии каждой ленты, которая была выполнена из калийной селитры. Огненная дорожка превращала первую ленту в более длинную, а вторую - в две ленты, продетая одна в другую.
Вот пример еще одного фокуса: фокусник вручает зрителю три больших бумажных кольца, каждое из которых получилось путем склеивания концов длинной ленты. Зритель разрезает ножницами первое кольцо вдоль ленты посередине, пока не вернется в исходную точку. В результате получаются два отдельных кольца. Разрезая таким же образом второе кольцо, он получает, к своему удивлению, не два кольца, а одно, которое вдвое длиннее исходного. Наконец, разрезая третье, он снова получает поразительный результат: два кольца, сцепленных друг с другом. Результат этого фокуса зависит от того, как были сомкнуты концы ленты перед склейкой. Первое наше кольцо получилось путем простого соединения концов ленты без перекручивания. Второе кольцо получается при соединении концов ленты, перекрученной один раз на 180ْ. Третье кольцо получилось при разрезании ленты, концы которой перекручивались перед склейкой дважды. Известно еще много фокусов с применением ленты Мёбиуса.
4.3. Применение листа Мёбиуса в технике
Уже сегодня удивительные свойства ленты Мёбиуса используются в самых различных изобретениях. Многие ученые в своих изобретениях использовали принцип ленты Мёбиуса. В виде парадоксальной геометрической фигуры можно, оказывается, изготовить лопасти бетономешалки или обычного бытового миксера — энергозатраты снизятся на одну пятую, а качество бетона (или кондитерского крема) улучшится.
Патентная служба зарегистрировала немало изобретений, в основе, которых лежит всё та же односторонняя поверхность. В 1923 году выдан патент изобретателю Ли де Форсу, который предложил записывать звук на киноленте без смены катушек, сразу с двух сторон. Придуманы кассеты для магнитофона, где лента перекручивается и склеивается в кольцо, при этом появляется возможность записывать или считывать информацию сразу с двух сторон, что увеличивает ёмкость кассеты и соответственно время звучания.
В 1969 году советский изобретатель Губайдуллин предложил бесконечную шлифовальную ленту в виде листа Мёбиуса. В 1971 году изобретатель с Урала Чесноков П.Н. применил фильтр в виде листа Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера выполнялась в виде ленты Мёбиуса, что позволяло ему работать дольше, поверхность ленты равномерно изнашивалась. В матричных принтерах красящая лента имела вид листа Мёбиуса для увеличения срока годности. Лист Мёбиуса применяют в велосипедной и волейбольной камере.
4.4. Лист Мёбиуса в литературе
Чудесные свойства листа Мёбиуса тут же породили создание многочисленных фантастических рассказов. В рассказе А.Дейча “Лента Мёбиуса” описывался случай в Нью-Йоркском метро. Однажды случилось так, что пути метрополитена пересеклись, и весь он стал напоминать огромную ленту Мёбиуса. Поезда один за другим стали исчезать, появляясь снова только через несколько месяцев. На основе этого рассказа создан фантастический фильм Густаво Москера «Мёбиус». А в рассказе известного писателя-фантаста Артура Кларка «Стена Мрака» один из героев совершает путешествие по необычной планете, изогнутой в виде листа Мёбиуса. Кузьма Прутков подарил читателям афоризм: "Где начало того конца, которым оканчивается начало?".
Выполняя опыты с листом Мёбиуса, а поняла, что их можно выполнять бесконечно, разрезая и перекручивая как угодно. В результате у меня получались забавные украшения, которыми можно украсить новогоднюю ёлку (Приложение 1).
Раньше украшали россияне свое жилище срубленными ветвями, а не срезанными небольшими деревьями, как сейчас. Правда, имеются сведения, что в петровские времена холмогорские поморы уже не довольствовались ветками, а на праздники спиливали целые елки, украшали их мороженой рыбой (главным образом треской) и носили такую принаряженную ёлку. А почему бы не украсить ёлку замечательным математическим изобретением? Моя ёлка будет украшением нашего кабинета математики в школе, и я с удовольствием познакомлю одноклассником с удивительным листом Мёбиуса!
Cамое замечательное в елке - это веселое содружество разнороднейших вещей. Не бывает двух одинаковых ёлок. Есть одинаковые елочные украшения. Но они по-разному висят, комбинируются с иными предметами. И на каждой ёлке можно найти какую-нибудь вещь, единственную в своем роде, только этой ёлке присущую. Традиции поморского стеклодувного искусства, заложенные в России еще великим помором Михаилом Ломоносовым, с успехом развивают его земляки, изготовившие на оборонном предприятии "Северный рейд" (г. Северодвинск) украшения с поморскими брендами для новогодней ёлки Кремля.
Заключение
На основе проведенного мной исследования, можно сделать некоторые выводы. Главная ценность листа Мёбиуса в том, что он дал толчок новым обширным математическим исследованиям. Поэтому его считают символом современной математики и изображают на различных эмблемах и значках, как, например, на значке механико-математического факультета Московского университета.
Изучая литературу по данной теме, я поняла, насколько обширна область её применения. Знакомство с листом Мёбиуса расширило мой кругозор. Я получила удовольствие, выполняя опыты и совершая свои маленькие открытия. Рассматривая применение листа Мёбиуса в практической жизни, поняла, почему поставлен памятник этому математическому объекту.
Мною не исчерпаны опыты с листом Мебиуса. Они бесконечны, интересны и зависят от собственного терпения. Я обязательно буду к ним возвращаться. Я узнала много нового дополнительного материала не только из математики, но и других наук. В ходе выполнения работы я поняла, что «математика» не только царица наук, но и незаменимый помощник. Я считаю, что моя работа будет интересна любителям математики.
Библиографический список
Гарднер М. Математические чудеса и тайны. – М.: Наука, 1986.
Где в технике применяется лента Мёбиуса. (Электронный ресурс) http://www.genon.ru/GetAnswer.aspx?qid=959f11bf-4f2f-495e-b11b-5805cc970163
Лист Мёбиуса. (Электронный ресурс) http://ru.wikipedia.org/wiki/Лист_Мёбиуса
4.Лист Мебиуса . Яндекс картинки(электронный ресурс) http://letopisi.ru/images/0/03/List_Мёбиуса.swf
5. Лист Мёбиуса (Электронный ресурс) http://kvantik.com/files/kvantik_1.pdf
Старохамская Ю.А. Что такое лента Мёбиуса и зачем ее надо резать. (Электронный ресурс) http://shkolazhizni.ru/archive/0/n-13219/
6.Математический шоу-марафон Джина Акиямы(электронный ресурс) http://blog.arbuz.uz/2006/11/02/matematicheskiy-shou-marafon-dzhina-akiyamyi/
7.http://wiki.saripkro.ru/index.php/Дистанционный_математический_КВН_2010/Команда_Великолепная_семёрка
Приложение 1 «Новогодняя ёлка»