XVIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Графический метод решения задач с параметрами
Автор работы награжден дипломом победителя I степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
На уроках алгебры мы познакомились с приемами и методами решения различных уравнений и неравенств. Особый интерес у нас вызвали задачи с параметрами.
Решение задач с параметрами требует исследования, даже если это слово не упомянуто в формулировке задачи. Недостаточно механического применения формул, необходимо понимание закономерностей, навыков анализа конкретного случая на основе известных общих свойств объекта, системность и последовательность в решении, умение объединить рассматриваемые частные случаи в единый результат. Этим обусловлены трудности, возникающие у учащихся при решении таких задач, и это же объясняется справедливое включение задач с параметрами в государственную итоговую аттестацию (2 часть).
В наше время школьники девятых и одиннадцатых классов очень озадачены сдачей экзаменов. Ведь для каждого ученика это очень волнующий момент. Просматривая задания ОГЭ, мы заметили, что почти в каждом варианте второй части встречаются задания, связанные с параметрами.
Задачи с параметром - это своего рода тест на проверку отсутствия или присутствия математической культуры. К данному типу задач мы должны подходить с особой тщательностью и глубиной анализа. В школе же на базовом уровне обучения этот один из наиболее трудных разделов школьного курса математики рассматривается только на немногочисленных факультативных или элективных занятиях.
Анализируя контрольно-измерительные материалы прошлого года, мы увидели, что и в репетиционном и в самом экзамене из трех задач второй части модуля «Алгебра» одна задача с параметром, что составляет 33% от общего числа заданий второй части данного модуля.
Актуальность данной темы определяется необходимостью уметь решать задачи с параметрами при сдачи Основного государственного экзамена и для продолжения обучения в профильном социально-экономическом классе.
Гипотеза: умение решать задачи с параметром существенно повышает уровень логической подготовки обучающихся.
Цель данной работы: знакомство с методами решения задач с параметрами.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
Изучить уровень подготовки девятиклассников решать задачи с параметром.
Научиться решать задачи более высокой по сравнению с обязательным уровнем сложности и познакомиться с некоторыми типами заданий с параметрами.
Овладеть рядом технических и интеллектуальных математических умений на уровне свободного их использования.
Приобрести определенную математическую культуру.
Ознакомить с методами решения своих одноклассников.
Для выполнения поставленной цели были использованы следующие методы: анализ литературы, проведение мониторинга среди обучающихся 9 классов, работа в группах на уроках алгебры и занятиях элективного курса по математике.
Объектом исследовательской работы были задачи с параметром и выпускники 9 классов.
Структура данной работы включает в себя теорию, практическую часть, заключение, библиографический список.
Нами были проведены исследования по следующим направлениям:
Анализ результатов ОГЭ по математике прошлых лет.
Проведен мониторинг среди обучающихся 9 Г класса: небольшая проверочная работа «Простейшие задачи с параметром».
Проверочная работа состояла из трех заданий (приложение 1):
линейное уравнение с параметром;
квадратное уравнение с параметром;
нахождение количества точек пересечения параболы и прямой y=m.
Анализ пособий, по которым проводится подготовка к государственной аттестации.
Составление сборника заданий задач с параметром.
Презентация справочника одноклассникам, решение соответствующих задач на элективном курсе.
Анализ проведенной работы.
II.Основная часть
Где можно встретить задачи с параметром?
Проанализировав контрольно-измерительные материалы основного государственного экзамена по математике прошлых лет, как было сказано уже выше, во второй части есть задание №22 с параметром, в которых необходимо построить график функции и определить количество пересечений с прямой, т.е. задачи на определение количества корней.
Проводя опрос среди десятиклассников прошлого года, было отмечено, что данное задание № 22 было самым сложным. Так же следует отметить, что из 96 выпускников, данную задачу начали решать 14% от общего количества выпускников, а только 10% справились с данной задачей. Возникает вопрос: кто виноват и что делать?
Параметры впервые встречаются в курсе алгебры 8-го класса (учебник под редакцией С.А.Теляковского) – 14 задач в теме «Уравнения с параметрами». В курсе алгебры 9-го класса – 12 задач в теме «Уравнения с одной переменной».
Таким образом, обучающиеся не посещающие дополнительные занятия по математике, знакомы с данной темой к 10-му классу в объеме – 5 часов.
В начале учебного года проведен мониторинг среди обучающихся 9А, Б, В, Г классов (обучающиеся имеющие отметки по математике «4» и «5»): небольшая проверочная работа «Простейшие задачи с параметром».
Проверочная работа состояла из трех заданий:
линейное уравнение с параметром;
квадратное уравнение с параметром;
нахождение количества точек пересечения параболы и прямой y=m.
Результаты проверочной работы показали, что представление о параметре имеют не все обучающиеся, принимавшие участие в мониторинге. Линейное уравнение решили 74% обучающихся, квадратное уравнение - 38%. Третье задание, где требовалось построить график функции, содержащий знак модуля и указать количество общих точек с этим графиком прямой y=m, решили полностью правильно – 18%.
Исходя из этого можно сделать вывод, что у нас и наших одноклассников большие проблемы не только с задачами с параметрами, но и есть вопросы в построении графиков функции. Все наши одноклассники, участвующие в мониторинге выбрали элективный курс «Функции и графики». И мы приняли решение не только принимать участие в работе этого элективного курса, но и стать активными организаторами курса.
Нами создано пособие, в котором изложены основные моменты решения задач с параметром, особое внимание уделено решению задач на подсчет числа решений. Часть материала мы рассматривали на спецкурсе, а графический способ представили на элективном курсе.
Не только сложность и оригинальность задач с параметрами как учебных привлекают к себе внимание. Оно связано в большей степени с тем, что необходимой частью таких задач является исследование характера и конечного результата процесса, описываемого математической моделью уравнения или неравенства в зависимости от значения параметров, причем не всегда от каждого параметра в отдельности, но и от их совокупности. Решение таких задач очень неформально, требует владения многими методами, а сами задачи чрезвычайно разнообразны. Очень важно и то, что в таких задачах в полной мере реализуется принцип научности образования, т. к. методы решения задач с параметрами находят широкое применение в современной математике, как в теоретических ее разделах, так и в математическом моделировании.
2.2. Задачи с параметром
Многие учащиеся воспринимают параметр, как «обычное» число. Действительно, в некоторых задачах параметр можно считать постоянной величиной, но эта величина принимает неизвестные значения. Поэтому необходимо рассматривать задачу при всех возможных значениях этой постоянной. В других задачах параметром бывает удобно объявить одну из неизвестных.
Основное, что нужно усвоить при первом знакомстве с параметром – это необходимость осторожного, даже деликатного обращения с фиксированным, но неизвестным числом.
Необходимость аккуратного обращения с параметром хорошо видна на тех примерах, где замена параметра числом делает задачу банальной. К таким задачам, например, относят: сравнить два числа, решить линейное или квадратное уравнение, неравенство и т.д.
Пример: Сравнить -а и 3а.
Решение:
если а< 0, то -а >3а,
если а=0, то –а=3а,
если а> 0, то -а<3а.
Простейшие уравнения с параметром
Алгоритм решения линейных уравнений с параметром.
Получаем уравнение вида:
Отсюда, найдем сколько решений имеет данное уравнение:
|
Условия для поиска значений параметра |
Характеристика множества значений корней |
|
K(a) – не имеет корней |
Корней нет |
|
Корней нет |
|
|
Один корень |
|
|
x – любое число |
На что следует обратить внимание:
Рассмотрите случай, когда коэффициент K(a) в уравнении вида K(a)x=b(a) равен нулю.
Укажите все случаи, когда коэффициент K(a) в уравнении K(a)x=b(a) не равен нулю
Проверяйте правильность переноса слагаемых из одной части уравнения в другую
Проверяйте правильность применения распределительного закона.
Проверяйте, является ли данное число единственным корнем уравнения при каждом найденном значении параметра a.
Рассмотрим несколько примеров на эту тему: (Смотреть Приложение)
2.4. Основные виды квадратных уравнении с параметрами
Функции вида ( - квадратный трехчлен), где , в школьном курсе математики придается большое значение. Для нее строго доказываются все свойства, нужные в теории и для решения задач. При решении таких задач приходится работать с тремя типами моделей:
вербальная модель – словесное описание задачи;
геометрическая модель – график квадратичной функции;
аналитическая модель – система неравенств, при помощи которой описывается геометрическая модель.
Важно уметь устанавливать связь между этими моделями. Например, если старший коэффициент квадратного трехчлена меньше нуля, то ветви параболы направлены вниз, или, если , то трехчлен имеет различные действительные корни и график пересекает ось абсцисс в двух точках. График (парабола) находится ниже оси абсцисс, следовательно, a<0 и D<0. Последнюю геометрическую модель можно описать еще тремя способами: неравенство выполняется при любом х; неравенство не имеет решений; трехчлен не имеет действительных корней и его старший коэффициент отрицателен.
Многие задачи решают по следующему алгоритмическому предписанию:
уравнение записывают в виде ;
выбирают контрольные значения параметра (в качестве контрольных значений параметра чаще всего берут такие, что D=0, D<0, D>0, старший коэффициент квадратного трехчлена положительный, отрицательный, равный нулю и те значения параметра, при которых трехчлен становится неполным);
для каждого случая строят параболу (геометрическую модель);
геометрическую модель описывают системой неравенств (аналитическая модель);
решают систему неравенств.
С помощью дискриминанта можно определить количество решений.
1) если D<0, то уравнение не имеет корней;
2) если D=0, то уравнение имеет один единственный корень;
3) если D>0, то уравнение имеет два решения.
В некоторых случаях при решении используется теорема Виета:
1. Квадратный трехчлен
2. Корни квадратного трехчлена и , причем
3. Дискриминант квадратного трехчлена
4. В случае четности второго коэффициента
5. Теорема
6. Уравнение имеет два отрицательных корня при условии:
7. Уравнение имеет два положительных корня при условии:
Для закрепления теоретических сведений решим следующий пример двумя способами: При не равно . Найти а.
( Смотреть Приложение)
Задачи, в которых требуется по одному корню определить коэффициенты уравнения и решить его либо найти значения коэффициентов, при которых уравнение имеет заданные корни.
Пример. Определить коэффициент c квадратного уравнения ax2+bx+c=0, если один из его корней равен .
Решение. Поскольку один из корней уравнения ах2+ bx + c = 0 равен то - верное равенство, отсюда с=0.Ответ: 0.
Задачи, в которых требуется для каждого значения параметра указать множество корней.
Пример. Решить уравнение (2а - 1) х2 – ах + 1 – а = 0.
Решение. Данное уравнение имеет один параметр а.
Если 2а – 1 = 0, т.е. а =,то получаем линейное уравнение ,которое имеет один корень х=1.
Если 2а - 1 , т. е. , то данное уравнение является квадратным.
Находим дискриминант:
D = a2 – 4 (1 - a) (2a - 1) = a2 – 4 (2a – 1 - 2a2 + a) = 9a2 - 12a + 4 = (3a - 2)2, D .Квадратноеуравнениеимееткорни
,или ,откуда
Задачи, в которых требуется указать количество решений в зависимости от значения параметров.
Пример. При каких k уравнение 4y2 + 3y – k = 0 имеет два корня?
Решение. Необходимым и достаточным условием наличия двух действительных корней квадратного уравнения является неотрицательное значение его дискриминанта:D = 9 + 16 k; 9 + 16 kоткуда . Ответ: .
Задачи, в которых требуется найти все значения параметра, при каждом из которых корни квадратного уравнения удовлетворяют заданным условиям.
Пример. Найти все действительные значения а, при которых уравнения x2+x+1=0 и x2+x+a=0 имеют общий корень.
Решение. Составим систему уравнений:
Вычтя почленно из первого уравнения второе, получим: (a - 1) (x - 1) = 0.
Тогда составляется система равносильная
Из первого уравнения найдем a = 1; x = 1. Подставив x = 1 во второе
уравнение системы, получим a = - 2.
Найденные значения параметра a (a = 1; a = - 2) необходимо проверить,так как уравнение (a - 1) (x - 1) является уравнением - следствием, а это значит, что его решения могут быть не совпадать с решением исходных уравнений.
Ответ: - 2; 0.
Задачи, в которых требуется исследовать знаки корней квадратного уравнения.
Пример. Найти значения параметра b, при которых уравнение x2 – bx + 16 = 0 имеет два положительных корня.
Решение. Найдем дискриминант квадратного уравнения: D = b2 - 64.
По условию задачи он должен быть неотрицательным, а коэффициент –b < 0. Следовательно, имеем систему неравенств:
Ответ: .
При каких значениях параметра а квадратное уравнение
(а - 1)х2 + (2а + 3)х + а + 2 = 0 имеет корни одного знака?
Решение. Так как по условию задачи рассмотренное уравнение – квадратное, значит а ≠ 1. очевидно, условие задачи предполагает также существование корней квадратного уравнения, что означает неотрицательность дискриминантаD = (2a + 3)2 – 4(a - 1)(a + 2) = 8a + 17.
Так как по условию корни должны быть одинаковых знаков, то х1∙х2 > 0, т.е. .Решением последнего неравенства является .С учетом условий D ≥ 0 и а ≠ 1 получим .Ответ: .
Графический метод решения задач с параметрами.
Тип 1.Уравнения, которые необходимо решить для всех значений параметра.
Тип 2. Уравнения, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра.
Тип 3. Уравнения, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений).
Эти типы задач отличает то, что при их решении не требуется получить явное решение, а нужно лишь найти те значения параметра, при которых это решение удовлетворяет тем или иным условиям. Примерами таких условий для решения могут служить следующие:
существует решение;
не существует решения;
существует единственное решение;
существует положительное решение;
существует ровно k решений;
существует решение, принадлежащее указанному промежутку.
В этих случаях оказывается очень полезен графический способ решения задач с параметрами.
При этом можно выделить две разновидности применения метода при решении уравнения f (х) = f (а):
На плоскости Оху рассматриваются график у = f (х) и семейство графиков у = f (а). Сюда же относятся задачи, решаемые с помощью «пучка прямых». Этот способ оказывается удобен в задачах с двумя неизвестными и одним параметром.
На плоскости Оха (которую называют также фазовой)
рассматриваются графики, в которых х – аргумент, а а – значение функции. Этот способ обычно применяется в задачах, в которых фигурируют лишь одна неизвестная и один параметр (или сводящиеся к таким). Разберем задачи, решаемые графическим способом, строя графики на плоскости Оху. (Смотреть приложение)
III.Заключение
В результате работы по выбранной теме мы решили поставленные задачи. Результатом нашей работы явилось создание справочника «Задачи с параметрами», а также электронная презентация. Работа по данной теме помогла нам в подготовке к выпускному экзамену, а также может служить пособием для факультативного, элективного курса. Предложенный материал своим содержанием сможет привлечь внимание учащихся, которым интересна математика и ее приложения. Стоит ответить, что навыки в решении задач с параметрами совершенно необходимы каждому ученику, желающему хорошо подготовиться для успешного прохождения итоговой аттестации, а также будет хорошим подспорьем для результативного выступления на математических олимпиадах. Так же данные знания помогут быть успешным, обучаясь в классах с математическим профилем. На итоговой аттестации в 11 классе так же есть задачи с параметром. Познавательный материал нашей работы будет способствовать не только выработке умений и закреплению навыков, но и содержанию деятельности, а также познавательной активности.
Мы решили проверить, помогла ли наша работа одноклассникам. В результате итоговой работы за 3 четверть были включены задачи на подсчет числа решений, задачи решаемые графическим способом. Получили следующий результат, из 15 обучающихся, посещавших элективный курс - 87 % выполнили задание правильно, 13 % допустили небольшие ошибки., 0 % не справились с заданием. Числа говорят сами за себя!
Наша работа носит тип: учебно-исследовательская, кто-то может сказать: «А где тут исследование? Что вы открыли нового?» Подтвердилась ли ваша гипотеза? На эти вопросы мы ответим чуть позже, в мае этого года.
Мы продолжим эту работу в старшей школе, т.к. там есть больший спектр интересных тем алгебры и начала анализа.
IV. Список рекомендуемой литературы
1. Горштейн П.И., Полонский В.Б.,Якир М.С. Задачи с параметрами/П.И. Горштейн, В.Б. Полонский, М.С. Якир// М.:«Илекса», Харьков.:«Гимназия», 2002. – 336 с.
2. Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина М.В. Алгебра и начала анализа 8-3. Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики/ Л.И. Звавич , Л.Я. Шляпочник, М.В. Чинкина//«Дрофа», Москва, 2001.
4. Козко А.И., Чирский В.Г.. Задачи с параметрами и другие сложные задачи/ А.И. Козко, В.Г. Чирский// М.: МЦНОМО, 2007, - 296 стр.
5. Прокофьев А.А. Задачи с параметрами/ А.А. Прокофьев// М.:МИЭТ,2004, - 258С.
6. Рязановский А.Р. 500 способов и методов решения задач по математике для школьников и поступающих в вузы/ А.Р. Рязановский//Москва, «Дрофа», 2001. – 480 с.
7. Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика: Справочник для старшеклассников и поступающих в вузы/ О.Ю. Черкасов, А.Г. Якушев// Москва, .«АСТ – Пресс. Школа» 2002.
8. Шарыгин И.Ф. Сборник задач по математике с решениями/ И.Ф. Шарыгин//Москва, «Астрель», 2001. – 400 с.
9. Цифровой источник: HTTPS://OGE.SDAMGIA.RU
Приложение
Сборник задач
Графический метод решения задач с параметрами
Задачи с параметром
Многие учащиеся воспринимают параметр, как «обычное» число. Действительно, в некоторых задачах параметр можно считать постоянной величиной, но эта величина принимает неизвестные значения. Поэтому необходимо рассматривать задачу при всех возможных значениях этой постоянной. В других задачах параметром бывает удобно объявить одну из неизвестных.
Основное, что нужно усвоить при первом знакомстве с параметром – это необходимость осторожного, даже деликатного обращения с фиксированным, но неизвестным числом.
Необходимость аккуратного обращения с параметром хорошо видна на тех примерах, где замена параметра числом делает задачу банальной. К таким задачам, например, относят: сравнить два числа, решить линейное или квадратное уравнение, неравенство и т.д.
Пример: Сравнить -а и 3а.
Решение:
если а< 0, то -а >3а,
если а=0, то –а=3а,
если а> 0, то -а<3а.
Простейшие уравнения с параметром
Алгоритм решения линейных уравнений с параметром.
Рассмотрим алгоритм на данном примере
Перенесем все слагаемые с неизвестной переменной x в левую часть, остальные в правую.
В левой части вынесем x за скобки.
Получаем уравнение вида:
Отсюда, найдем сколько решений имеет данное уравнение:
|
Условия для поиска значений параметра |
Характеристика множества значений корней |
|
K(a) – не имеет корней |
Корней нет |
|
Корней нет |
|
|
Один корень |
|
|
x – любое число |
На что следует обратить внимание:
Рассмотрите случай, когда коэффициент K(a) в уравнении вида K(a)x=b(a) равен нулю.
Укажите все случаи, когда коэффициент K(a) в уравнении K(a)x=b(a) не равен нулю
Проверяйте правильность переноса слагаемых из одной части уравнения в другую
Проверяйте правильность применения распределительного закона.
Проверяйте, является ли данное число единственным корнем уравнения при каждом найденном значении параметра a.
Рассмотрим несколько примеров на эту тему:
Пример: При каждом значении параметра a решить уравнение
(1)
Переписав уравнение в виде (a+3)x=2(a+3), рассмотрим два случая:
и .
Если , то любое действительное число является корнем уравнения (1)
Если же , то уравнение (1) имеет единственный корень .
Ответ: при ; при .
Пример: При каком значении параметра а х=2,5 является корнем уравнения х+2=а+7?
Решение.
Т.к. х= 2,5 – корень уравнения х+2=а+7, то при подстановке х= 2,5 в уравнение получим верное равенство 2,5+2=а+7, откуда находим а =-2,5.
Ответ: при а=-2,5.
Пример: Решить уравнение ах+8=а.
Решение. Запишем уравнение в стандартном виде ах=а-8.
Основа правильного решения задач с параметрами состоит в грамотном разбиении области изменения параметра, к этому надо приучать путем подробного описания хода решения.
Итак, коэффициент при х равен а. Возникают два возможных случая:
- коэффициент при х равен нулю и уравнение примет вид 0х=-8, полученное уравнение не имеет корней;
- коэффициент при х не равен нулю, и мы имеем право разделить обе части уравнения на этот коэффициент: а≠0,
ах=а-8,
Ответ: при а=0, нет корней; при а≠0,
Пример: (а-1)х+2=а+1.
Решение. Запишем уравнение в стандартном виде
(а-1)х=а-1.
Если а-1=0, т.е. а=1, то уравнение примет вид 0х=0, т.е. х – любое число.
Если а-1≠0, т.е. а≠1, то х=1.
Ответ: при а=1, х – любое число; при а≠1, х=1.
Пример: Решить уравнение a(х – 1) + 2(х – 1) = 0 относительно переменной х.
Решение.
Раскроем скобки: aх – а + 2х – 2 = 0
Запишем уравнение в стандартном виде: х(а + 2) = а + 2.
В случае, если выражение а + 2 не нуль , т. е. если а ≠ -2, имеем решение х = (а + 2) / (а + 2), т.е. х = 1.
В случае, если а + 2 равно нулю, т.е. а = -2, то имеем верное равенство 0 · x = 0, поэтому х – любое действительное число.
Ответ: х = 1 при а ≠ -2 и х € R при а = -2.
Основные виды квадратных уравнении с параметрами
Функции вида ( - квадратный трехчлен), где , в школьном курсе математики придается большое значение. Для нее строго доказываются все свойства, нужные в теории и для решения задач. При решении таких задач приходится работать с тремя типами моделей:
вербальная модель – словесное описание задачи;
геометрическая модель – график квадратичной функции;
аналитическая модель – система неравенств, при помощи которой описывается геометрическая модель.
Важно уметь устанавливать связь между этими моделями. Например, если старший коэффициент квадратного трехчлена меньше нуля, то ветви параболы направлены вниз, или, если , то трехчлен имеет различные действительные корни и график пересекает ось абсцисс в двух точках. График (парабола) находится ниже оси абсцисс, следовательно, a<0 и D<0. Последнюю геометрическую модель можно описать еще тремя способами: неравенство выполняется при любом х; неравенство не имеет решений; трехчлен не имеет действительных корней и его старший коэффициент отрицателен.
Многие задачи решают по следующему алгоритмическому предписанию:
уравнение записывают в виде ;
выбирают контрольные значения параметра (в качестве контрольных значений параметра чаще всего берут такие, что D=0, D<0, D>0, старший коэффициент квадратного трехчлена положительный, отрицательный, равный нулю и те значения параметра, при которых трехчлен становится неполным);
для каждого случая строят параболу (геометрическую модель);
геометрическую модель описывают системой неравенств (аналитическая модель);
решают систему неравенств.
С помощью дискриминанта можно определить количество решений.
1) если D<0, то уравнение не имеет корней;
2) если D=0, то уравнение имеет один единственный корень;
3) если D>0, то уравнение имеет два решения.
Также рассмотрим возможные случаи при решении квадратных уравнений с параметром:
Пусть - абсцисса вершины; , - корни трехчлена; A,B – некоторые точки на оси
1) , , тогда и только тогда, когда
или
корни лежат по разные стороны от числа А тогда и только тогда, когда
или
оба корня больше А:
или
оба корня лежат между числами А и В тогда и только тогда, когда
или
корни лежат по разные стороны от отрезка [AB] тогда и только тогда, когда
или
В некоторых случаях при решении используется теорема Виета:
1. Квадратный трехчлен
2. Корни квадратного трехчлена и , причем
3. Дискриминант квадратного трехчлена
4. В случае четности второго коэффициента
5. Теорема
6. Уравнение имеет два отрицательных корня при условии:
7. Уравнение имеет два положительных корня при условии:
Для закрепления теоретических сведений я решил следующий пример:
При не равно . Найти а.
Решу двумя способами. Способ 1:
Пусть тогда
Корни имеют разные знаки, так как
Уравнение имеет корень, если
условие, когда
Ответ: .
Способ 2:
Пусть
функция возрастает, значит если имеет корень , то он единственный
При имеет решения, значит при
Не имеет корней. Ответ: .
Задачи, в которых требуется по одному корню определить коэффициенты уравнения и решить его либо найти значения коэффициентов, при которых уравнение имеет заданные корни.
Пример. Определить коэффициент c квадратного уравнения ax2+bx+c=0, если один из его корней равен .
Решение. Поскольку один из корней уравнения ах2+ bx + c = 0 равен то - верное равенство, отсюда с=0.
Ответ: 0.
Задачи, в которых требуется для каждого значения параметра указать множество корней.
Пример. Решить уравнение (2а - 1) х2 – ах + 1 – а = 0.
Решение. Данное уравнение имеет один параметр а.
Если 2а – 1 = 0, т.е. а =,то получаем линейное уравнение ,которое имеет один корень х=1.
Если 2а - 1 , т. е. , то данное уравнение является квадратным.
Находимдискриминант:
D = a2 – 4 (1 - a) (2a - 1) = a2 – 4 (2a – 1 - 2a2 + a) = 9a2 - 12a + 4 = (3a - 2)2, D .
Квадратное уравнение имеет корни
,или ,откуда .
Ответ: 1 при ; 1 или при .
Задачи, в которых требуется указать количество решений в зависимости от значения параметров.
Пример. При каких k уравнение 4y2 + 3y – k = 0 имеет два корня?
Решение. Необходимым и достаточным условием наличия двух действительных корней квадратного уравнения является неотрицательное значение его дискриминанта:
D = 9 + 16 k; 9 + 16 kоткуда .
Ответ: .
Задачи, в которых требуется найти все значения параметра, при каждом из которых корни квадратного уравнения удовлетворяют заданным условиям.
Пример. Найти все действительные значения а, при которых уравнения x2+x+1=0 и x2+x+a=0 имеют общий корень.
Решение. Составим систему уравнений:
Вычтя почленно из первого уравнения второе, получим: (a - 1) (x - 1) = 0.
Тогда составляется система равносильная
Из первого уравнения найдем a = 1; x = 1. Подставив x = 1 во второе
уравнение системы, получим a = - 2.
Найденные значения параметра a (a = 1; a = - 2) необходимо проверить,
так как уравнение (a - 1) (x - 1) является уравнением - следствием, а это значит, что его решения могут быть не совпадать с решением исходных уравнений.
Проверка показывает, что найденные значения aудовлетворяют условию задачи.
Ответ: - 2; 0.
Задачи, в которых требуется исследовать знаки корней квадратного уравнения.
Пример. Найти значения параметра b, при которых уравнение x2 – bx + 16 = 0 имеет два положительных корня.
Решение. Найдем дискриминант квадратного уравнения: D = b2 - 64.
По условию задачи он должен быть неотрицательным, а коэффициент –b < 0. Следовательно, имеем систему неравенств:
Ответ: .
При каких значениях параметра а квадратное уравнение
(а - 1)х2 + (2а + 3)х + а + 2 = 0 имеет корни одного знака?
Решение. Так как по условию задачи рассмотренное уравнение – квадратное, значит а ≠ 1. очевидно, условие задачи предполагает также существование корней квадратного уравнения, что означает неотрицательность дискриминанта
D = (2a + 3)2 – 4(a - 1)(a + 2) = 8a + 17.
Так как по условию корни должны быть одинаковых знаков, то х1∙х2 > 0, т.е. .Решением последнего неравенства является .С учетом условий D ≥ 0 и а ≠ 1 получим .Ответ: .
Пример 3. Найти все значения а, для которых уравнение х2 – 2(а – 1)х + (2а + 1) = 0 имеет два положительных корня.
Решение. Из теоремы Виета для того чтобы оба корня х1 и х2 данного уравнения были положительными, необходимо и достаточно, чтобы дискриминант квадратного трехчлена х2 – 2(а – 1)х + (2а + 1) был неотрицательным, а произведение х1∙х2 и сумма х1 + х2 были положительными. Получаем, что все а, удовлетворяющие системе
И только они, являются решениями поставленной задачи. Э та система равносильна системе
Решением которой, а, следовательно, и самой задачи являются все числа из промежутка [4; + ∞).
Графический метод решения задач с параметрами.
Тип 1.Уравнения, которые необходимо решить для всех значений параметра.
Тип 2. Уравнения, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра.
Тип 3. Уравнения, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений).
Эти типы задач отличает то, что при их решении не требуется получить явное решение, а нужно лишь найти те значения параметра, при которых это решение удовлетворяет тем или иным условиям. Примерами таких условий для решения могут служить следующие:
существует решение;
не существует решения;
существует единственное решение;
существует положительное решение;
существует ровно k решений;
существует решение, принадлежащее указанному промежутку.
В этих случаях оказывается очень полезен графический способ решения задач с параметрами.
При этом можно выделить две разновидности применения метода при решении уравнения f (х) = f (а):
На плоскости Оху рассматриваются график у = f (х) и семейство
графиков у = f (а). Сюда же относятся задачи, решаемые с помощью «пучка прямых». Этот способ оказывается удобен в задачах с двумя неизвестными и одним параметром.
На плоскости Оха (которую называют также фазовой)
рассматриваются графики, в которых х – аргумент, а а – значение функции. Этот способ обычно применяется в задачах, в которых фигурируют лишь одна неизвестная и один параметр (или сводящиеся к таким).
Разберем задачи, решаемые графическим способом, строя графики на плоскости Оху.
Пример 1.
Постройте график функции y= -3|x|+2 и определите, при каких значениях mпрямая y=m имеет с графиком три общих точек.
Решение
1) Построим график функцииy =
1. a = 1,
2. = = 1,5
3. если x=0, то y= 2
4. еслиy=0, то
2) Построим график функции y =
1. a = 1,
2 .
3. если x = 0, то y = 2
4. если y = 0, то
Ответ:m = 2.
Пример 2.
Постройте график функции и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку.
Упростим выражение
1) Решим уравнение
Замена
D =
Вернёмся к замене
Получилась функция
Представим его в виде квадратного
уравнения:
Построим график функции
Ответ: m = -6,25; -4; 6.
Пример 3.
Постройте график функции и найдите, при каких значениях m прямая y = mпересекает график ровно в трёх точках.
1) ;
a = 1, график функции направлен вверх
Если x = 0, то y = 5
Если y = 0, то
2)
a = -1, график функции направлен вниз
Если x = 0, то y = -5
Если y = 0, то
Ответ: m = 4.
Пример 4.
Постройте график функции
и определите, при каких значениях mпрямаяy = m имеет с графиком ровно две общие точки.
1)
a = 1,
Если х = 0, то у = 27
Если у = 0, то
Дополнительные точки
|
x |
4 |
6 |
|
y |
3 |
3 |
2)
|
x |
0 |
2 |
|
y |
0 |
4 |
Ответ: m = 2, 6.
Пример 5.
Постройте график функции и определите, при каких значениях k прямая y=kx не имеет с графиком ни одной общей точки.
Решение:
1) ; ;
|
x |
0,5 |
1 |
2 |
4 |
|
y |
2 |
1 |
0,5 |
0,25 |
2) ,
|
x |
-0,5 |
-1 |
-2 |
-4 |
|
y |
-2 |
-1 |
-0,5 |
-0,25 |
3)
Ответ: k = -6,25; 0; 6,25.
Пример 6.
При каких значениях параметра а уравнение имеет три корня?
Решение.
П рименим графический способ решения. Построим график функции и .
1)Построим график функции
2) Найдем при каких значениях а прямая пересекается с графиком функции
в трех точках
Ответ: .
Дополнительные задания к примеру 1.
1) Постройте график функции и определите, при каких значениях параметраа прямая имеет с графиком ровно две общие точки.
Ответ:
2) Постройте график функции . При каком значении mпрямая имеет с графиком функции наибольшее число общих точек.
Ответ:
3) Постройте график функции и определите, при каких значениях параметра а прямая у = а имеет с график ровно две общие точки.
Ответ: а = 5; ( ).
Дополнительные задания к примеру 2.
1 ) Постройте график функции и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку.
Ответ:m = -2,25; -2; 4.
2) Постройте график функции и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку.
Ответ: m = -1; 2.
3 ) Постройте график функции и определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.
Ответ:k = -3,25; -3; 3.
Дополнительные задания к примеру 3.
1) Постройте график функции и определите при каких значениях mпрямая y = m имеет с данным графиком ровно три общие точки.
Ответ: m = 9.
2 ) Постройте график функции и определите при каких значениях параметра апрямая у = а имеет с данным графиком ровно три или более общие точки.
Ответ:
Дополнительные задания к примеру 4
1 ) Найдите все значения k, при каждом из которых прямаяy = kx-1 имеет с графиком функции ровно одну общую точку. Постройте этот график и все такие прямые.
Ответ: k = -8; 0.
2) Постройте график функции
и определите, при каких значениях mпрямаяy = m имеет с графиком ровно две общие точки.
Ответ: m = 2; 3.
3) Постройте график функции
и определите, при каких значениях mпрямаяy = m имеет с графиком ровно две общие точки. Ответы: m = -2; 2.