XVIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Математика в медицине
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Цель работы: рассмотреть применение математики в медицине, а точнее рассмотреть применение математики в биометрии, фармакологии, статистике и моделировании.
Гипотеза: математика всегда имела огромное влияние на медицину и используется по сей день в современной математике.
Задачи исследования: раскрыть сущность математики, показать значимость математики в современной медицине, применить знания, полученные на уроках математики, на практике. Рассмотреть математические задачи, которые связаны со здоровьем человека.
Актуальность выбранной темы: мы всегда должны помнить о значении математики в других науках, показывая детям о важности ее изучения. Без математических знаний невозможно представить качественную медицину.
История математики
История развития математики – это не только история развития математических идей, понятий и направлений, но это и история взаимосвязи математики с человеческой деятельностью, социально-экономическими условиями различных эпох. Период элементарной математики (2000 г. до н.э. – начало XVII в. н.э.) начинается с первоначальных представлений о числе и форме и заканчивается зарождением математики переменных величин. Основными чертами периода являются неподвижность объектов, неиспользование бесконечности, отсутствие общих методов. На две тысячи лет энциклопедией стали «Начала» Евклида (III в. до н.э.), место которого определяется не столько собственными его научными исследованиями, сколько педагогическими заслугами. Величайшая заслуга Евклида состоит в том, что он подвёл итог построению геометрии и придал изложению совершенную форму.
В XVII веке начинается новый период истории математики – период математики переменных величин: это геометрия Декарта, теория флюксий Ньютона, методы вычисления площадей (Лейбниц, Кеплер). XVIII век - анализ бесконечно малых величин, функциональные зависимости и степенные ряды (Эйлер, Лагранж, Лаплас). Возникновение этого периода связано с успехами астрономии и механики.
К концу XIX века были выявлены существенные проблемы в аксиоматике «Начал» Евклида, что привело к созданию неевклидовых геометрий. Геометрия Лобачевского (1826): замена V постулата геометрии Евклида новым – через точку, лежащую вне прямой можно провести сколько угодно прямых, не пересекающих данную. Геометрия Евклида - частный случай геометрии Лобачевского.
Геометрия Римана, или эллиптическая геометрия (1854) - существует взаимодействие между пространством и погружёнными в него телами, что подтверждается теорией относительности. Пространство Лобачевского – частный случай Риманова пространства.
В XIX веке начинается новый период в развитии математики - современный. Новые теории возникают не только в результате непосредственных запросов естествознания или техники, а также из внутренних потребностей самой математики: теория функций комплексной переменной; теория групп; теория дифференциальных уравнений в частных производных; вариационное исчисление; дифференциальная геометрия; математическая логика; теория вероятностей; численные методы; кибернетика. Условно современную математику можно разделить на чистую, прикладную и вычислительную.
Леонардо Да Винчи – математик и анатом
Леонардо Да Винчи говорил: «Пусть не читает меня в основах моих тот, кто не математик». Пытаясь найти математическое обоснование законов природы, считая математику могучим средством познания, он применяет ее даже в такой науке, как анатомия.
Гениальный живописец, скульптор и архитектор Леонардо был и величайшим ученым своего времени. Основа познания мира, по Леонардо, - опыт, систематическое наблюдение явлений или процессов природы. С равным успехом занимается Леонардо анатомией и физиологией, зоологией, ботаникой, палеонтологией, геологией, географией, механикой, физикой, химией, астрономией, гидравликой, акустикой, оптикой, математикой. Причем математика у Леонардо в центре научных построений в любой отрасли знания.
Годы жизни и творчества Леонардо да Винчи относятся к тому времени, которое получило впоследствии название эпохи Возрождения. Леонардо да Винчи был одним из титанов этой эпохи.
Леонардо да Винчи родился в 1452 г. в маленьком городке Винчи, близ Пытаясь найти математическое обоснование законов природы, считая математику могучим средством познания, он применяет ее даже в такой науке, как анатомия. Он изучал труды врачей Авиценны (Ибн-Сины), Витрувия, Клавдия Галена и многих др. Весьма прискорбно, что рукописи Леонардо до середины XVIII века пребывали в неизвестности и дошли до нас не полностью, в разрозненном виде. Леонардо изучал анатомию в ее обширном целом и со всей глубиной. С величайшей тщательностью он изучал каждую часть человеческого тела. И в этом превосходство его всеобъемлющего гения. Леонардо можно считать за лучшего и величайшего анатома своей эпохи. И, более того, он несомненно первый, положивший начало правильному анатомическому рисунку. Труды Леонардо в том виде, в каком мы имеем их в настоящее время, являются результатом огромной работы ученых, которые расшифровали их, подобрали по тематике и объединили в трактаты применительно к планам самого Леонардо.
Работа над изображением тел человека и животных в живописи и скульптуре пробудила в нем стремление познать строение и функции организма человека и животных, привела к обстоятельному изучению их анатомии.
Во всех многообразных изысканиях Леонардо был исследователем нового в науке и искусстве. В частности, и анатомию он развил и обогатил новыми методами и исследованиями настолько, что его, несомненно, можно считать одним из зачинателей современной анатомии.
Еще будучи учеником в мастерской художника Вероккио, Леонардо познакомился с анатомическими воззрениями крупнейших ученых древности от Аристотеля до Галена и Авиценны. Однако Леонардо, основываясь на наблюдении и опыте, приобрел более правильное представление о структуре органов тела человека и животных.
Один из современников, посетивший Леонардо в 1517 г., писал: «Этот человек так детально разобрал анатомию человека, показав на рисунках части тела, мышцы, нервы, вены, связки и все остальное, как никто не сделал этого до него. Все это мы видели своими глазами» Преодолев все трудности, Леонардо сам занимался анатомированием и оставил подробное наставление, как производить его. Он изобрел модель из стекла для изучения клапанов сердца. Он первый стал делать распилы костей вдоль и поперек, для подробного изучения их структуры, ввел в практику зарисовку всех изучаемых им органов во время анатомирования. И этим объясняется необычайно правильное и реалистическое изображение людей и животных в его живописи и скульптуре. Точнее всего Леонардо изображает и описывает скелет, впервые совершенно правильно представляя и изображая его пропорции; он также первый точно определяет число позвонков крестца. Все анатомические изображения, сделанные до Леонардо, были условны, да и позднейшие художники не смогли превзойти Леонардо в этом искусстве. Все совершенное Леонардо в анатомии - грандиозно и явилось основой для новых величайших достижений. Леонардо стремился путем опыта выяснить функции отдельных частей человеческого тела. Изучая каждую часть, Леонардо воспринимал человеческий организм как нераздельное целое и называл его «прекрасным инструментом». Интересуясь движениями человеческого тела и тела животных, Леонардо изучал не только строение мышц, но и их двигательную способность, способы их прикрепления к скелету и особенности этих прикреплений.
Исследования Леонардо касаются также функции мозга. Из органов чувств Леонардо наиболее подробно занимался органом зрения, который он считал «повелителем и князем прочих четырех чувств»; сначала он заинтересовался зрением как художник, вдохновенно видящий мир. «Неужели не видишь ты, - пишет Леонардо, - что глаз объемлет красоту всего мира... Он направляет и исправляет все искусства человеческие, двигает человека в разные части света. Он - начало математики. Способности его несомненнейшие. Он измерил высоту и величину звезд. Он нашел элементы и их место. Он породил архитектуру и перспективу, он породил божественную живопись».
По свидетельству Леонардо, он написал «120 книг по анатомии, при составлении которых», как он пишет, у него «не было недостатка в прилежании, а был только недостаток во времени». К сожалению, нам неизвестно о каких 120 книгах по анатомии упоминает Леонардо. До нас дошла только часть его анатомических записей и рисунков в виде отдельных листов. Эти рукописные книги, по свидетельству современников, были изумительно выполнены. Познавательная способность гения Леонардо да Винчи была беспредельна и неутомима: «Я не устаю, принося пользу, все труды неспособны утомить меня». Все свои исследования он старался пропустить сквозь призму математического анализа, наблюдая и изучая путем опыта окружающую природу всю свою жизнь. .
Витрувианский человек - рисунок, сделанный Леонардо Да Винчи примерно в 1490-92 годах, как иллюстрация для книги, посвященной трудам Витрувия. Рисунок сопровождается пояснительными надписями, в одном из его журналов. На нем изображена фигура обнаженного мужчины в двух наложенных одна на другую позициях: с разведенными в стороны руками, описывающими круг и квадрат. Рисунок и текст иногда называют каноническими пропорциями. При исследовании рисунка можно заметить, что комбинация рук и ног в действительности составляет четыре различных позы. Поза с разведенными в стороны руками и не разведенными ногами, вписывается в квадрат ("Квадрат Древних"). С другой стороны, поза с раскинутыми в стороны руками и ногами, вписывается в круг. И, хотя, при смене поз, кажется, что центр фигуры движется, на самом деле, пуп фигуры, который является настоящим её центром, остается неподвижным.
Текстнарисунке:
"Vetruvio architetto mette nelle sue opera d’architettura che le misure dell’omo…”
"Архитектор Ветрувий заложил в своей архитектуре измерения человека..."
Далее идет описание соотношений между различными частями человеческого тела.
В сопроводительных записях Леонардо да Винчи указал, что рисунок был создан для изучения пропорций (мужского) человеческого тела, как оно описано в трактатах античного римского архитектора Витрувия, который написал следующее о человеческом теле:
"Природа распорядилась в строении человеческого тела следующими пропорциями:
длина четырёх пальцев равна длине ладони,
четыре ладони равны стопе,
шесть ладоней составляют один локоть,
четыре локтя - рост человека.
Четыре локтя равны шагу, а двадцать четыре ладони равны росту человека.
Если вы расставите ноги так, чтобы расстояние между ними равнялось 1/14 человеческого роста, и поднимите руки таким образом, чтобы средние пальцы оказались на уровне макушки, то центральной точкой тела, равноудаленной от всех конечностей, будет ваш пупок.
Пространство между расставленными ногами и полом образует равносторонний треугольник.
Длина вытянутых рук будет равна росту.
Расстояние от корней волос до кончика подбородка равно одной десятой человеческого роста.
Расстояние от верхней части груди до макушки составляет 1/6 роста.
Расстояние же от верхней части груди до корней волос - 1/7.
Расстояние от сосков до макушки составляет ровно четверть роста.
Наибольшая ширина плеч - восьмая часть роста.
Расстояние от локтя до кончиков пальцев - 1/5 роста, от локтя до подмышечной ямки - 1/8.
Длина всей руки - это 1/10 роста.
Стопа - 1/7 часть роста.
Расстояние от мыска ноги до коленной чашечки равно четверти роста.
Расстояние от кончика подбородка до носа и от корней волос до бровей будет одинаково и, подобно длине уха, равно 1/3 лица."
Повторное открытие математических пропорций человеческого тела в XV веке, сделанное Леонардо Да Винчи и другими, стало одним из великих достижений, предшествующих итальянскому ренессансу. Рисунок сам по себе часто используется как символ внутренней симметрии человеческого тела, и далее, Вселенной в целом.
Математика в медицине
Математика всем нужна. Хотя бы для того, чтобы грамотно прочитать обычную кардиограмму. Без знания азов математики нельзя быть докой в компьютерной технике, использовать возможности компьютерной томографии... Ведь современная медицина не может обходиться без сложнейшей техники.
Когда-то математики пришли в медицину с наивным представлением, что они легко вникнут в наши симптомы и помогут улучшить диагностику. С появлением первых ЭВМ будущее представлялось просто замечательным: заложил в компьютер всю информацию о больном и получил такое, что врачу и не снилось. Казалось, что машина может все. Но поле математики в медицине предстало огромным и невероятно сложным, а ее участие в диагностике - вовсе не простым перебором и компоновкой многих сотен лабораторных и инструментальных показателей. Так какие же математические методы применяются в медицине?
Моделирование – один из главных методов, позволяющих ускорить технический процесс, сократить сроки освоения новых процессов.
В настоящее время математику все чаще называют наукой о математических моделях. Модели создаются с разными целями – предсказать поведение объекта в зависимости от времени; действия над моделью, которые над самим объектом производить нельзя; представление объекта в удобном для обозрения виде и другие.
Моделью называется материальный или идеальный объект, который строится для изучения исходного объекта и который отражает наиболее важные качества и параметры оригинала. Процесс создания моделей называется моделированием. Модели подразделяют на материальные и идеальные. Материальными моделями, например, могут служить фотографии, макеты застройки районов и т.д. идеальные модели часто имеют знаковую форму.
Математическое моделирование относится к классу знакового моделирования. Реальные понятия могут заменяться любыми математическими объектами: числами, уравнениями, графиками и т.д., которые фиксируются на бумаге, в памяти компьютера.
Модели бывают динамические и статические. В динамических моделях участвует фактор времени. В статических моделях поведение моделируемого объекта в зависимости от времени не учитывается.
Итак, моделирование – это метод изучения объектов, при котором вместо оригинала (интересующий нас объект) эксперимент проводят на модели (другой объект), а результаты количественно распространяют на оригинал.
Таким образом, по результатам опытов с моделью мы должны количественно предсказать поведение оригинала в рабочих условиях. Причем распространение на оригинал выводов, полученных в опытах с моделью, не обязательно должно означать простое равенство тех или иных параметров оригинала и модели. Достаточно получить правило расчета интересующих нас параметров оригинала.
К процессу моделирования предъявляются два основных требования. Во-первых, эксперимент на модели должен быть проще, быстрее, чем эксперимент на оригинале. Во-вторых, нам должно быть известно правило, по которому проводится расчет параметров оригинала на основе испытания модели. Без этого даже самое лучшее исследование модели окажется бесполезным.
Статистика - наука о методах сбора, обработки, анализа и интерпретации данных, характеризующих массовые явления и процессы, т.е. явления и процессы, затрагивающие не отдельные объекты, а целые совокупности. Отличительная особенность статистического подхода состоит в том, что данные, характеризующие статистическую совокупность в целом, получаются в результате обобщения информации о составляющих ее объектах. Можно выделить следующие основные направления: методы сбора данных; методы измерения; методы обработки и анализа данных.
Методы обработки и анализа данных включают теорию вероятностей, математическую статистику и их приложения в различных областях технических наук, а также наук о природе и обществе. Математическая статистика разрабатывает методы статистической обработки и анализа данных, занимается обоснованием и проверкой их достоверности, эффективности, условий применения, устойчивости к нарушению условий применения и т.п. В некоторых областях знаний приложения статистики столь специфичны, что их выделяют в самостоятельные научные дисциплины: теория надежности - в технических науках; эконометрика - в экономике; психометрия - в психологии, биометрия - в биологии и т.п. Такие дисциплины рассматривают специфичные для данной отрасли методы сбора и анализа данных.
Примеры использования статистических наблюдений в медицине. Два известных профессора страсбургского медицинского факультета Рамо и Саррю сделали любопытное наблюдение относительно скорости пульса. Сравнив наблюдения, они заметили, что между ростом и числом пульса существует зависимость. Возраст может влиять на пульс только при изменении роста, который играет в этом случае роль регулирующего элемента. Число ударов пульса находится, таким образом, в обратном отношении с квадратным корнем роста. Приняв за рост среднего человека 1,684 м, Рамо и Саррю полагают число ударов пульса равным 70. Имея эти данные, можно вычислить число ударов пульса у человека какого бы то ни было роста. Фактически Кетле предвосхитил анализ размерности и аллометрические уравнения применительно к человеческому организму. Аллометрические уравнения: от греч. alloios — различный. В биологии большое число морфологических и физиологических показателей зависит от размеров тела; эта зависимость выражается уравнением: y = a • xb
Биометрия - раздел биологии, содержанием которого являются планирование и обработка результатов количественных экспериментов и наблюдений методами математической статистики. При проведении биологических экспериментов и наблюдений исследователь всегда имеет дело с количественными вариациями частоты встречаемости или степени проявления различных признаков и свойств. Поэтому без специального статистического анализа обычно нельзя решить, каковы возможные пределы случайных колебаний изучаемой величины и являются ли наблюдаемые разницы между вариантами опыта случайными или достоверными. Математико-статистические методы, применяемые в биологии, разрабатываются иногда вне зависимости от биологических исследований, но чаще в связи с задачами, возникающими в биологии и медицине.
Применение математико-статистических методов в биологии представляет выбор некоторой статистической модели, проверку её соответствия экспериментальным данным и анализ статистических и биологических результатов, вытекающих из её рассмотрения. При обработке результатов экспериментов и наблюдений возникают 3 основные статистические задачи: оценка параметров распределения; сравнение параметров разных выборок; выявление статистических связей.
Наиболее интересные дисциплины возникают в пограничных областях нескольких наук. Такой дисциплиной стала биометрия, у истоков которой стоял Фрэнсис Гальтон (1822—1911). Первоначально он готовился стать врачом, однако обучаясь в Кембриджском университете, увлекся естествознанием, метеорологией, антропологией, теорией наследственности и эволюции. Он заложил основы новой науки и дал ей имя, однако в стройную научную дисциплину ее превратил математик Карл Пирсон (1857—1936).
Математика в фармакологии.
Фармакология - одна из самых сложных наук в медицине. На сегодняшний день известно более 10 000 различных лекарств. В то же время можно быть уверенным, что только с помощью математического метода можно рассчитать влияние лекарств на организм конкретного пациента. Именно благодаря этому методу врачи могут выбрать наиболее оптимальные и нужные дозировки и, как следствие, обеспечить максимально эффективное лечение и быстрое выздоровление пациента.
Особое значение в фармакологии получило математическое моделирование, которое помогает установить лечебную и смертельную дозы используемых лекарств. Чаще всего размеры устанавливаются экспериментальным методом, но далеко не во всех случаях полученные данные являются достоверными. В таком случае используется метод математического моделирования на базе полученной экспериментальным путем информации. В результате врачи получают возможность определять пределы дозировки лекарственных веществ и устанавливать своим пациентам эффективные программы лечения и последующего восстановления.
Так, например, именно благодаря математическим расчетам врач может установить дозу для своего пациента, которая будет не смертельной, а лечебной. Пренебрегать этим нельзя, поскольку неправильная дозировка может привести к летальным исходам.
Сейчас я вам продемонстрирую примеры задач в фармакологии в которых используется математика.
Задача №1
Одна таблетка лекарства весит 60 мг и содержит 8% активного вещества. Ребёнку в возрасте до 6 месяцев врач прописывает 1,2 мг активного вещества на каждый килограмм веса в сутки. Сколько таблеток этого лекарства следует дать ребёнку в возрасте четырёх месяцев и весом 8 кг в течение суток?
Решение.
0,08∙60=4,8 (мг) активного вещества в 1 таблетке.
1,2∙8=9,6 (мг) активного вещества ребёнку в сутки.
9,6:4,8=2 таблетки в сутки.
Ответ: 2 таблетки.
Задача №2
Больному прописан курс лекарства, которое надо принимать по 0,5 г три раза в день в течение трёх недель. В одной упаковке содержится 10 таблеток по 0,5 г. Какого наименьшего количества упаковок хватит на весь курс?
Решение.
0,5∙3=1,5 (г) в день
1,5∙21=31,5 (г) на весь курс
10∙0,5=5(г) в одной упаковке
Ответ: Хватит 7 упаковок
Развитие статистики и внедрение ее в медицину в России
В XVIII—XIX веках в России сложились благоприятные условия для развития статистики. В 1804 г. при Академии наук был организован факультет статистики. Великий Князь Константин Николаевич заметил: “Как моряк, я позволю себе здесь одно сравнение, именно — я сравниваю статистику с маяками. Каким образом мог бы кормчий избежать мелей, подводных камней, крушения, если бы не эти спасительные огни, бросающие с берега свой предохранительный свет?”. Все это вело к широкому проникновению статистической методологии в российскую медицину. Пожалуй, самым активным сторонником использования в ней статистики был основоположник военно-полевой хирургии Н. И. Пирогов. Говоря об успехах отечественной хирургии, он указывал: “...приложение статистики для определения диагностической важности симптомов и достоинства операций можно рассматривать как важное приобретение новейшей хирургии”. В своем учебнике по основам военно-полевой хирургии Н.И. Пирогов пишет: “Я принадлежу к ревностным сторонникам рациональной статистики и верю, что приложение ее к военной хирургии есть несомненный прогресс”.
Известный российский терапевт и организатор земской медицины В. А. Манассеин в своих клинических лекциях уделял большое внимание медицинской статистике. “Для проверки в клинике имеются два пути, отнюдь не исключающие друг друга и одинаково важные. Я разумею путь статистического доказательства, с одной стороны, и точное клиническое наблюдение каждого отдельного случая - с другой”.
Использование статистики в прикладных научных исследованиях активно пропагандировали представители Петербургской математической школы, которую основали П. Л. Чебышев, А. А. Марков, А. М. Ляпунов, Ю. Э. Янсон и А. А. Чупров. Наиболее активное внедрение статистической методологии в медицину отмечалось в Военно-медицинской академии. В ее стенах был защищен ряд диссертаций, в которых обобщалась работа по систематизации обширных медико-статистических данных с применением математической обработки результатов. Анализировались возможности использования математики в медицине: “Медицина есть именно одна из тех областей человеческого ведения, в которой можно ожидать от приложения статистико-математического метода самых плодотворных результатов”. И как иллюстрация статья врача М. К. Зенца “О соотношении между пульсом, дыханием и ростом у человека”. Автор приводит уравнение, связывающее эти характеристики организма человека: “Мне даже несколько странно, почему никто из физиологов, занимавшихся соотношением между ростом и пульсом, не сделал этой маленькой логической или математической посылки, из которой получается тот физиологический закон, что пульс, умноженный на корень квадратный из роста, есть величина постоянная для человека (С = 832), а, вероятно, и для животных, с той особенностью, что у последних величина (С) эта, наверное, будет различна для каждой породы животных, как различна их нормальная температура”. Удивление и восхищение вызывает та часть статьи, в которой автор, используя вполне современные представления о соотношении линейных размеров, поверхностей и объемов тел животных, обосновывает свои выводы.
Заметным для того времени событием стала диссертация А. Антоненко на соискание степени доктора медицины. Автор достаточно подробно изучил обширные материалы русского военного ведомства и провел анализ состояния здоровья призывников. Интересно отметить, что уже в те годы одной из причин отсрочки от призыва в ряды армии была “невозмужалость” призывника, в которой различали 12 градаций, в том числе “недостаток роста, узкая грудь, слабосилие, слабосилие и узкая грудь” и т.д.
Таким образом, медицина и биология в дореволюционной России занимали передовые позиции в применении математико-статистических методов. Усилия по превращению статистики в мощный инструмент не только социально-экономических, но и естественных наук отражены в работах профессора Петербургского университета А.А. Кауфмана. Например, в книге “Теория и методы статистики” он пишет: “Статистика или статистический метод переплетаются с политической экономией и экономической политикой, с уголовным правом, медицинской гигиеной, языкознанием, метеорологией... Сфера приложения статистического метода не имеет, таким образом, резко очерченных границ...”. Эту же мысль подчеркивает А. Боули в своем труде “Элементы статистики”: “Знание статистики подобно знанию иностранных языков или алгебры: оно может пригодиться в любое время и при любых обстоятельствах”.
Заключение
Современные математические методы широко используются в различных сферах интеллектуальной деятельности человека, но читать удивительную книгу природы может лишь тот, кто знает ее язык и знаки, которыми она написано. Математическое моделирование, универсальность математических методов обусловливают огромную роль математики в различных областях человеческой деятельности. Основой профессиональной деятельности инженера, эколога, экономиста, социального работника является умение строить и использовать математические модели для прогнозирования, исследования, осуществления количественного и качественного анализа, владения методами обработки информации, решения задач оптимизации.
Основой любой профессиональной деятельности являются умения:
строить и использовать математические модели для описания, прогнозирования и исследования различных явлений;
осуществить системный, качественный и количественный анализ;
владеть компьютерными методами сбора, хранения и обработки информации;
владеть методами решения оптимизационных задач
Широкое применение находят математические методы в естествознании и сугубо гуманитарных науках: психологии, педагогике. Появились такие разделы этих наук как математическая психология и синтетическая квалиметрия в педагогике.
Можно сказать, что в недалеком будущем любая часть человеческой деятельности будет еще более широко использовать в своих исследованиях математические методы.
Список литературы
1. Бейли Н. Математика в биологии и медицине, 1970.
2. Зубов В.П. Леонардо Да Винчи, 1961.
3. Рыбников К. А. История математики, 1994.
4. Стройк Д. Я. Краткий очерк истории математики, 1990.
5. Терновский В. Я. Леонардо Да Винчи – анатом, 1985.
6. Ширшов М. В. Бесшовная тоннельная хирургия катаракты у детей, 1998.
7. Юшкевич А. П. Математика в ее истории, 1996.