XVIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Математика в медицине и биологии
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
I.Введение
Математика тесно связана с биологией и медициной , более того в данных сферах без неё никак ,она является очень важным структурным компонентом. Но какова роль этого «компонента»? Чем обуславливается его полезность в данных областях ?
Актуальность выбранной мною темы обуславливается тем, что многие не знают ответа на вышеизложенные вопросы или затрудняются дать точный ответ.
Цель работы – найти ответ на выдвинутые вопросы. Для достижения цели будут выполнены следующие задачи:
Выявить где встречается математика в биологии и медицине
Какова роль данной точной науки в этих отраслях
Провести практическую работу на доказательство применения формул
математики в биологии и медицине.
Предмет исследования-возможности применения различных тем школьного курса математики в биологии и медицине
II. Основная часть
Математика в биологии
Начну с того, что большинство биологических работ носит описательный характер. При описании растений и животных рассматривается их форма , размер ,цвет ,распространение , поведение , сходство с другими организмами и отличие от них и тому подобное . Обычно такой описательный метод носит естественный характер , но по мере того, как наблюдения становились более точными и обширными ,появилась возможность применения математического языка для описания многообразия форм жизни.
Примером тому может послужить описание гексагональных образований в архитектуре ячеек медовых сот. Еще Иоганн Кеплер в 17 веке доказал , что пространственная симметрия медовых сот должна привести к расположению плоскостей и углов,наблюдаемому в правильном ромбододекаэдре. И впоследствии оказалось, что такое тело имеет оптимальные свойства, а именно площадь его поверхности при определенных условиях минимальна. И на данном основании ученые предположили, что пчела осознанно выбирает определенную форму сот, чтобы сэкономить воск. Но после геометрическая форма сотов была уточнена и это предположение пришлось изменить. Так, наблюдаемый ромбододекаэдр содержит ряд гексагональных призм с ромбодиальными пирамидами в качестве оснований. Допустим теперь, что основанием служит плоскость, можно доказать , что такое тело будет всего на 2% менее эффективным. Вряд ли можно предположить ,что пчела производит настолько точные вычисления.
Но все же основная ценность таких исследований в том, что они иллюстрируют огромную силу математического описания .
Отыскание в данном случае правильного многогранника так удачно описывающего объект, встречающийся в природе, доставляет нам не только определённое эстетическое удовольствие. Такого рода модель служит полезной основой для дальнейших рассуждений и исследований.
Следует отметить также, что такой подход обладает большой эффективностью и гибкостью, несмотря на то что математическая модель является лишь апрокастимацией действительности . В самом деле, если бы модель слишком точно имитировала реальную действительность, математические выражения оказались бы чрезмерно сложными их обработка была бы связана с непреодолимыми трудностями.
Также математические закономерности в биологии можно увидеть в листорасположении у деревьев и других растений.
На уроках ботаники мы обращаем внимание на то, что очередное листорасположение подчиняется правилу золотого сечения: дробь, числитель которой — это число оборотов на стебле, а знаменатель — число листьев в цикле, соответствует рядам Фибоначчи, например, 3/8 или 5/13.
Логарифмическую спираль можно обнаружить в расположении семян в корзинках сложноцветных, чешуй — в шишках голосеменных, колючек на стебле кактусов. Во всех этих случаях спирали заворачиваются навстречу друг другу, а число правых и левых спиралей всегда относится друг к другу как соседние числа в ряду Фибоначчи.
Переходя к курсу зоологии, мы вновь сталкиваемся с логарифмической спиралью в строении раковины моллюска. По законам золотого сечения построены тела бабочек, стрекоз и ящериц, этому же правилу подчиняется форма яиц птиц. Та же логарифмическая спираль обнаруживается и в строении костного лабиринта (улитки) внутреннего уха .
Применение математики в биологии на практике
Математические методы могут пригодиться нам при вычислении изменения количественного состава популяций.
Например:
Численность популяции составляет 5 тыс. особей. За последнее время в силу разных причин (браконьерство, сокращение ареалов обитания) она ежегодно сокращалась на 8%. Через сколько лет (если не будут предприняты меры по спасению данного вида и сохранятся темпы его сокращения) численность животных достигнет предела – 2 тыс. особей, за которым начнётся вымирание этого вида?
Решение: Применим для вычисления формулу сложных процентов:
(рис.1)
Sкон = 2 тыс.- численность животных по истечению искомого времени
Sнач =5 тыс. –численность животных в начальный момент времени
P=8% сокращение численности животных
Предварительно разделив обе части уравнения на 1000 получим :
(рис.2)
(рис.3)
(рис.4)
Ответ: Приблизительно через 11 лет.
Также математические вычисления нам пригодятся при решении задач на закон Харди-Вайнберга :
Положение популяционной генетики, гласящее, что в популяции бесконечно большого размера, в которой не действует естественный отбор, не идет мутационный процесс, отсутствует обмен особями с другими популяциями, не происходит дрейф генов, все скрещивания случайны — частоты генотипов по какому-либо гену (в случае если в популяции есть два аллеля этого гена) будут поддерживаться постоянными из поколения в поколение и соответствовать уравнению:
(рис.5)
Рассмотрим решение задачи по данной теме:
В популяции человека количество индивидуумов с карим цветом глаз составляет 51%, а с голубым – 49%. Определите процент доминантных гомозигот в данной популяции.
Поскольку известно, что карий цвет глаз доминирует над голубым, обозначим аллель, отвечающую за проявление признака кареглазости А, а аллельный ему ген, ответственный за проявление голубых глаз, соответственно, а. Тогда кареглазыми в исследуемой популяции будут люди как с генотипом АА (доминантные гомозиготы, долю которых и надо найти по условию задачи), так и - Аагетерозиготы), а голубоглазыми – только аа (рецессивные гомозиготы).
По условию задачи нам известно, что количество людей с генотипами АА и Аа составляет 51%, а количество людей с генотипом аа - 49%. Как можно вычислить процент кареглазых людей только с генотипом АА?
Для этого вычислим частоты встречаемости каждого из аллельных генов А и а в данной популяции людей. Обозначив частоту встречаемости аллели (А) в данной популяции буквой q, имеем частоту встречаемости аллельного ему гена а = 1 – q. (Можно было бы обозначить частоту встречаемости аллельного гена ( а)отдельной буквой, как в тексте выше – это кому как удобнее). Тогда сама формула Харди-Вайнберга для расчета частот генотипов при моногибридном скрещивании при полном доминировании одного аллельного гена над другим будет выглядеть вот так:
q2 AA+ 2q(1 – q)Aa + (1 – q)2aa = 1.
(1 – q)2 = 0,49 – это частота встречаемости людей с голубыми глазами.
Находим значение q: 1 – q = = 0,7; q = 1 – 0,7 = 0,3, тогда q ² = 0,09.
Это значит, что частота кареглазых гомозиготных особей АА в данной популяции будет составлять 0,09 или доля их будет равна 9%.
Ответ: частота кареглазых гомозиготных особей АА равна 9 %.
Математика в медицине
Математика применяется во многих областях жизни при анализе различных ситуаций. На первый взгляд медицина и математика могут показаться несовместимыми областями человеческой деятельности. Но так ли это?
Значение математики в медицине
Роль математики в медицине – помощь в проведении диагностических процедур, пользовании компьютером, медицинском оборудовании. На сегодняшний день расширились методы лечения и диагностики: большинство медицинских центров используют методы математического моделирования, что помогает установить более точный диагноз. Знания основ математики применяются врачами для описания процессов, происходящих в организме человека. Это необходимо, так как позволяет различать болезненный организм от здорового по сделанным снимкам и экранам монитора .
Какие задачи решаются в медицине?
В настоящее время в медицине решаются множество математических задач таких, как:
1) задачи на проценты;
2) задачи на пропорции;
3) задачи на математические вычисления(практическая часть)
Проценты в анатомии и физиологии
Каждый человек имеет индивидуальные параметры, определяющие его физическое развитие: рост, вес, жизненная емкость легких и т. п., причем значения этих параметров могут сильно варьировать для некоторой группы людей, оставаясь при этом в пределах нормы. Указать среднее значение параметра физического развития (значение в норме) позволяет математическое понятие - «процент».
Например, в организме человека насчитывается 400-600 мышц. У новорожденного масса мышц составляет 20-22% от общего веса тела, масса мышц у мужчин составляет 40-45%, у женщин (в возрасте 22-25 лет) – 30% от массы тела; в пожилом возрасте отмечается постепенное уменьшение массы мускулатуры до 25-30%.
Пропорции в медицинской практике
В медицинской практике врачи следят за тем, сколько и когда надо давать лекарства больному. В правильных дозах лекарство даёт лечебный эффект, в меньших – оно не даёт ничего, а в больших – приносит вред. При изготовлении лекарств тоже соблюдаются пропорции. Здесь необходима точность, так как при нарушении пропорций, составляющих лекарство ингредиентов, может получиться не лекарство, а яд.
Применение математики в медицине на практике
Задача на теорию вероятностей:
Каждый человек имеет одну из четырёх групп крови. Переливание крови осуществляется при условии, что номер группы донора не превосходит номера группы реципиента. Среди всего населения 1-я, 2-я, 3-я и 4-я группы составляют соответственно 30%, 40%, 20% и 10 %. Найти вероятность того, что реципиенту, имеющему 2 группу, можно перелить кровь от случайно взятого донора.
Решение:
Событие А - реципиенту, имеющему 2 группу, можно перелить кровь от случайно взятого донора. Рассмотрим 4 гипотезы (так как среди населения 4 группы крови):
H 1 – донор имеет первую группу, таких людей 30%, следовательно, вероятность P(H1) = 0,3;
H 2 – донор имеет вторую группу, таких людей 40%, следовательно, вероятность P(H2) = 0,4;
H 3 – донор имеет третью группу, таких людей 20%, следовательно, вероятность P(H3) = 0,2;
H 4 – донор имеет четвёртую группу, таких 10%, следовательно, вероятность P(H4) = 0,1.
Так как номер группы донора не должен превосходить номера группы реципиента, то переливание возможно только для 1 и 2 группы.
То есть условные вероятности P(А/H1)=1, P(А/H2)=1, P(А/H3)=0 , P(А/H4)=0.
По формуле полной вероятности для 4-х гипотез
P(А)= P(H1)* P(А/H1)+ P(H2)* P(А/H2)+ P(H3)* P(А/H3)+ P(H4)* P(А/H4);
получаем P(А)=0,4*1+0,3*1+0,2*0+0,1*0 = 0,7
Ответ: вероятность составит 70%.
Задача на пропорцию:
(Акушерство и гинекология)Шоковый индекс равен отношению пульса к систолическому давлению. Определить шоковый индекс, если пульс – 100, а систолическое давление – 80
Решение:
Для определения шокового индекса необходимо значение пульса разделить на значение систолического давления:
100:80=12,5
Ответ: шоковый индекс равен 12,5
Задача на проценты:
(Педиатрия)Физиологическая убыль массы новорожденного ребенкав норме до 10%. Ребенок родился с весом 3.500, а на третьи сутки егомасса составила 3.300. Вычислить процент потери веса.
Решение:
Для решения данной задачей воспользуемся формулой.Потеря веса на третьи сутки составила 3500-3300=200 грамм. Найдем,сколько процентов 200г составляет от 3.500г., для этого воспользуемсяформулой
200/3500*100=5,7%
Ответ: физиологическая убыль массы в норме и составила 5,7%
Задача на вычисления:
(Педиатрия)Ребенок родился ростом 51 см. Какой рост может быть у него в 5 месяцев (5 лет)?
Решение:
Прирост за каждый месяц первого года жизни составляет : в I четверть (1-3 мес.) по 3 см за каждый месяц, во II четверть (3-6 мес.) - 2,5см, в III четверть (6-9мес.) – 1,5 см и в IV четверть (9-12 мес.) – 1,0 см.Рост ребенка после года можно вычислить по формуле:X 75 6n,где 75 - средний рост ребенка в 1 год, 6 – среднегодоваяприбавка, n – возраст ребенка.Рост ребенка в 5 месяцев: 51+3*3+2*2,5= 65 см .Рост ребенка в 5 лет: 75+6*5=105 см
Задача на среднее арифметическое:
Рост, родившихся в течение недели 15 детей, составил следующую совокупность (см):
|
50 |
52 |
51 |
49 |
53 |
51 |
55 |
49 |
50 |
54 |
53 |
48 |
52 |
55 |
54 |
. Определите средний рост детей..
(50+52+51+49+53+51+55+49+50+54+53+48+52+55+54)/15= 51,73, значит, средний рост 15 родившихся детей за неделю приблизительно равен 52 см.
III. Заключение
В медицине и биологии математика безусловно нужна ,более того, без математики и шагу не ступить в данных науках. Численные соотношения, например, учёт дозы и периодичности приёма лекарств в медицине. А также задачи на закон Харди-Вайнберга и группу крови в биологии . . Элементарная математика медикам просто необходима для организации быстрой, четкой и качественной работы ,а ученикам для точных вычислений при решении задач.
Математика имеет почти такое же значение для остальных наук, как и логика. Роль математики заключается в построении и анализе количественных математических моделей, также в исследовании структур, подчинённых формальным законам. Обработка и анализ экспериментальных результатов, построение гипотез и применение научных теорий в практической деятельности требует использования математики.
IV. Список используемой литературы
Медицинская энциклопедия, издательство "Советская Энциклопедия", издание второе, 1989, Москва
Математическая статистика в медицине В. А. Медик, М. С. Токмачев (2007)
Математика в биологии и медицине .Н.Бейли.
Список интернет-сайтов
Википедия
https://videouroki.net/razrabotki/material-na-temu-mesto-i-rol-matematiki-v-meditsine.html
http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_medicine/17891/Математические