XVIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Финансовая математика
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение:
«...особенную важность имеют те методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека: как располагать своими средствами для достижения наибольшей выгоды…»
П.Л. Чебышев
Финансы – одна из важнейших сфер жизни и деятельности современного человека. Эти и многие другие финансовые операции требуют от человека элементарных представлений об экономических понятиях и умений разбираться в финансовых вопросах. Экономическая грамотность становится одним из основных критериев развития конкурентоспособной личности, приспособленной к самостоятельной жизни. Экономическая грамотность необходима при решении экономических задач в ЕГЭ профильного уровня по математике. Данные задания проверяют практические навыки применения математики в повседневной жизни, навыки построения и исследования математических моделей.
Тема банковских вкладов и процентов заинтересовала меня тем, мне предстоит в следующем году сдача ЕГЭ и в экзамене так же затрагивается эта тема. Я решила разобраться в этом вопросе, так как я считаю, что современный человек должен быть просвещен в данном аспекте, так как это поможет не только при решении простых задач, но и при принятии серьезных решений, связанных с накоплением и приумножением бюджета.
Актуальность:
Актуальность заключается в том, эта тема затронута как в задачах, так и в реальной жизни. Вся наша жизнь состоит из расчётов. Приступив к подготовке к ЕГЭ меня заинтересовала задание №15, поэтому я хочу изучить данную тему.
Объект исследования:
Финансовая математика и экономические задачи из ЕГЭ
Гипотеза:
Углубленное изучение элементарной математики учащимися средних школ выступает первой важной ступенью на пути формирования финансовой грамотности гражданина
Цель:
Научиться решать различный тип экономических задач из ЕГЭ, для того чтобы разбираться в вопросах по финансам
Задачи:
Изучить финансовую математику.
Ознакомиться с ключевыми терминами экономики.
Научиться решать задачи из ЕГЭ по данной теме.
Сделать заключение.
2.Теория
Финансовая математика — раздел прикладной математики, имеющий дело с математическими задачами, связанными с финансовыми расчётами. Решение финансовых задач основывается на использовании различных математических моделей: уравнений, неравенств, их систем с привлечением процентов, арифметической и геометрической прогрессий.
В России термин финансовая математика постепенно завоевывает сторонников, приходя на смену таким названиям, как финансовые и коммерческие расчёты, высшие финансовые вычисления и т.п. Финансовые вычисления появились с возникновением товарно-денежных отношений, но в отдельную отрасль знания оформились только в XIX в.: они назывались «коммерческие вычисления» или «коммерческая арифметика». Быстрый экономический рост стран в XIX в. во многом был обусловлен распространением коммерческих знаний.
2.1. Область применения финансовой математики.
Важность финансовой математики для предпринимателя и экономиста очевидна, но даже простым гражданам желательно знать ее основы.
Финансовая математика нужна:
В первую очередь — менеджерам, управляющим производством с длительным циклом, финансовым менеджерам, постоянно имеющим дело с отсрочкой и рассрочкой платежей, малым и средним предприятиям, у которых нет возможности найма квалифицированных финансовых менеджеров, бухгалтерам и экономистам, анализирующим прошлое и будущее своих фирм.
Финансовая математика актуальна потому, что дает ключ к пониманию сути бизнеса. Многие сферы прикладной экономики можно описать простыми математическими моделями. У этих моделей есть общее ядро, и оно изучаемся финансовой математикой. Математические основы финансовой математики просты и опираются на обычный школьный курс элементарной математики.
Все, что нужно знать, чтобы освоить финансовую математику — это геометрическая прогрессия, степенная функция, процентные и в редких случаях логарифмические вычисления и решения систем уравнении. Финансовые вычисления не подразумевают владения бухгалтерским учетом. Опыт преподавания и школьникам, и студентам, и взрослым слушателям показывает, что у нас в России материя финансовой математики доступна всем.
2.2. Проценты
При изучении финансовой математики есть прекрасная возможность не только повторить школьный курс математики, но и узнать что-то новое о том, что действительно пригодится в жизни, сделает ведение бизнеса простым и удобным. Именно финансовая математика — единственная область, где проценты используются не просто для представления данных, а для каких-то содержательных вычислений. Современная жизнь делает задачи на проценты актуальными, так как сфера практического приложения процентных расчетов расширяется. Россию захватил «кредитный бум»: в наше время люди всё чаще берут кредит на приобретение жилья, автомобиля, потребительские кредиты и кредиты на образование
Простые проценты — проценты, начисляемые только на первоначальную сумму инвестирования (а не на процентный доход)
Сложные проценты — это такой вариант, при котором происходит капитализация процентов, то есть их причисление к сумме вклада и последующий расчет дохода не от первоначальной, а от накопленной суммы вклада.
Капитализация процентов (или сложный процент) предусматривает присоединение процентов, которые начисляются, как правило, ежемесячно или ежеквартально, к телу вклада. Таким образом, каждое последующее начисление становится больше предыдущего, в результате чего общая доходность по вкладу возрастает.
Основные формулы для расчета:
где S – сумма, которую получит клиент по окончании срока действия
депозита (первоначальный вклад + начисленный процент),
V – первоначальная сумма вложения,
P – процентная ставка за период,
n – период вложения.
S= V*(1+P*n/100)-для расчета конечного капитала без капитализации (простой процент).
S= V*(1+P/100) n –для расчета конечного капитала с капитализацией (сложный процент).
Капитализация происходит с разной периодичностью (каждый месяц, раз в полгода и т.п.)
n в данном случае – количество периодов капитализации.
2.3. Вклады.
Вклады различаются по следующим параметрам:Срок. Вклад открывается на оговоренный срок или на неопределенное время. В первом случае — это срочный вклад, во втором — до востребования или бессрочный. Наиболее доходными являются срочные вклады с длительным сроком размещения — за них банки предлагают наиболее высокую процентную ставку. Процентная ставка. Ставка — это плата банка за пользование деньгами клиента. Она может быть фиксированной или плавающей, то есть постоянной на протяжении всего срока действия или изменяющейся в зависимости от указанных в договоре параметров. Вклады до востребования могут иметь комбинированную ставку. Эффективную ставку банк начисляет на остаток первого дня месяца при условии, что деньги не снимались. А если операции были — процент считается по ставке до востребования. Валюта. Открыть депозит можно в рублях, в одной иностранной валюте или сразу в нескольких, однако последнюю опцию предоставляют не все кредитные организации. Валютные вклады обычно имеют меньшую доходность, чем рублевые, поскольку из-за колебаний курсов они несут больше рисков для банка.
2.4. Кредиты.
Наиболее прочно вошла в жизнь современного человека финансовая операция кредитование. Кредит – это ссуда, предоставленная банком заемщику под определённые проценты за пользование деньгами. Огромный интерес к разному роду кредитам вполне понятен, люди хотят упростить свою жизнь и жить лучше. И в настоящее время кредиты позволяют достичь желанной цели немедленно, когда это необходимо. Однако при всей выгодности приобретения любого товара в кредит перед каждым человеком встает проблема ежемесячной выплаты ощутимой суммы из зарплаты и ожидание того времени, когда наконец-то он освободится от финансовой кабалы. Сегодня банки и магазины очень умело пользуются создавшимся положением, деньги в кредит предлагаются на каждом шагу. Практически любую вещь в магазине можно приобрести в рассрочку. И здесь для каждого человека встает вопрос: «У кого и каким предложением воспользоваться?» А чтобы ответить на него, нужны умения производить хотя бы несложные процентные расчеты для сравнения и выбора более выгодных условий.
Кредиты (деньги в долг под проценты): клиент взял кредит в банке; банк начисляет проценты; клиент банка погашает этот кредит платежами.
Дифференцированные платежи характерны тем, что задолженность по кредиту погашается, равномерно начиная с самых первых выплат, а проценты начисляются на фактический остаток. При таком способе сумма ежемесячной выплаты будет всегда разная, и она будет постепенно уменьшаться.
Аннуитетными платежи называются банку одинаковыми суммами. Они применяются при выдаче кредитов на длительный срок (например, ипотека). Заемщик платит каждый месяц одну и ту же сумму денег банку. В первую очередь уплачиваются проценты банку, которые составляют большую сумму платежа, а оставшаяся сумма платежа направляется на погашение кредита.
3.Финансовая математика в решении задач из ЕГЭ.
Задача №1.
В мае 2023 года планируется взять кредит на 4 года в сумме 250 тысяч рублей. Условия возврата:
- каждый январь долг будет возрастать на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить часть долга одним платежом;
- платежи 2024,2025,2026 годов должны быть равными;
- к 1 июля 2027 долг должен быть погашен полностью.
После погашения кредита сумма платежа составляет 381,6 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж в 2024 году?
Решение:
n=4 года, S=250 тыс. рублей
p=20%
Выплаты=S+M=381,6 тыс. рублей
S-100%= 1,2S т.р
?-120%
Пусть 1 платеж=х тыс. рублей
381,6-3х=1,2⁴S-1,2³x-1,2²x-1,2;
381,6-1,44²×250=х(3-1,728-2,64);
х=(-136,8):(-1,368);
х=100 тыс. рублей;
Ответ: 100 тыс. рублей= 100000 рублей
Задача №2.
В мае 2023 года планируется взять кредит на 4 года в сумме 500 тысяч рублей. Условия возврата:
- в январе 2024 г сумма долга увеличивается на 10%;
- каждый последующий январь долг будет возрастать на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
- платежи 2024,2025,2026 годов должны быть равными;
- к 1 июля 2027 долг должен быть погашен полностью.
После погашения кредита сумма платежа составляет 676,8 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж в 2024 году?
Решение:
n=4 года, S=500 тыс. рублей
p=10%(2024 г.), p=20%(2025 г.)
Выплата=676,8 тыс. рублей.
676,8-3х=в4:
676,8-3х=1,9008S-1,728x-1,44x-1,2x;
676,8-1,9008S=3x-1,728x-2,64x;
676,8-950,4=x(3-1,728-2,64);
x=(-273,6):(-1,368);
х=200000 рублей
Ответ: 200000 рублей.
Задача №3.
Оборудование новой линии по производству трансформаторов стоит 70 млн. рублей. Затраты на производство х тыс. единиц продукции на такой линии равны 0,2х²+х+8 млн. рублей в год. Если продукцию продавать по цене р тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн. рублей) за один год составит рх-(0,2х²+х+8)
Когда линия будет построена, каждый год фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. В первый год после оборудования линии цена продукции р=4 тыс. рублей за единицу, каждый следующий год цена продукции увеличивается на 1 тыс. рублей за единицу. За сколько лет окупится оборудование линии?
Решение:
Затраты на приобретение линии по производству трансформаторов – 70 млн. рублей. Производство х тыс. единиц продукции обходится 0,2х²+х+8 в год. Цена продукции р тыс. рублей. Прибыль фирмы:
рх-(0,2х²+х+8)= рх-0,2х²-х-8 млн. рублей в год.
Продажа продукции после построения линии:
1 год: р=4 тыс. рублей за единицу продукции:
4х-0,2х²-х-8=-0,2х²+3х-8;
Наибольшее значение данного выражения достигается при х=-3/(-0,2)·2=30/4=7,5 и составляет:
-0,2·(7,5)²+3·7,5-8=-11,25+22,5-8=3,25 млн. рублей в 1 год
2 год: р=5 тыс. рублей за единицу продукции:
5х-0,2х²-х-8=-0,2х²+4х-8;
Наибольшее значение данного выражения достигается при х=-4/(-0,2)·2+10 и составляет:
-0,2·(10)²+3·10-8=-20+40-8=12 млн. рублей во 2 год.
3,25+12=15,25 млн. рублей за 2 года.
3 год: р=6 тыс. рублей за единицу продукции:
6х-0,2х²-х-8=-0,2х²+5х-8;
Наибольшее значение данного выражения достигается при х=-5/(-0,2)·2=12,5 и составляет:
-0,2·(12,5)²+3·12,5-8=-31,25+62,5-8=23,25 млн. рублей в 3 год.
15,25+23,25=38,5 млн. рублей за 3 года.
4 год: р=7 тыс. рублей за единицу продукции:
7х-0,2х²-х-8=-0,2х²+6х-8;
Наибольшее значение данного выражения достигается при х=-6/(-0,2)·2=15 и составляет:
-0,2·(15)²+3·15-8=-45+90-8=37 млн. рублей в 3 год.
38,5+37=76,5 млн. рублей за 4 года.
Через 4 года прибыль составит 76,5 млн. рублей. Значит покупка оборудования линии окупится через 4 года.
Ответ: 4 года.
Задание №4.
Строительство завода стоит 78 млн. рублей. Затраты на производство х тыс. единиц продукции на таком заводе 0,5х²+2х+6 млн. рублей в год. Если продукцию завода продавать по цене х тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн. рублей) за 1 год составит рх-(0,5х²+2х+6)
Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшим значение р строительство завода округлится не более, чем за 3 года?
Решение:
Для того, чтобы прибыль за 3 года была не меньше 78 млн. рублей, необходимо, чтобы ежегодная прибыль была не меньше 26 млн. рублей (т. к 78:3=26), то есть выполнялось неравенство:
рх-(0,5х²+2х+6)⩾26;
рх-0,5х²-2х-6-26⩾0;
-0,5х²+(р-2)х-32⩾0;
Функция f(х)= -0,5х+(р-2)х-32;
Принимается наибольшее значение при:
х=-(р-2)/2·(-0,5)=р-2/1=р-2 и равно:
-0,5(р-2) ²+(р-2) ²-32=-0,5(р-2)²-32;
-0,5(р-2)²-32⩾0;|·2
(р-2)²-64⩾0;
(р-2-8)·(р-2+8) ⩾0;
(р-10)·(р+6) ⩾0;
р⩾0, р=10.
При цене р=10 тыс. рублей за единицу завод окупится через 3 года.
Ответ: 10 тыс. рублей.
Задание №5.
Производство х тыс. единиц продукции обходится в q=0,5х²+х+7 млн. рублей в год. При цене р тыс. рублей за единицу годовая прибыль от продажи этой продукции (в млн. рублей) составляет px-q. При каком наименьшим значении р через 3 года суммарная прибыль составит не менее 75 млн. рублей?
Решение:
Прибыль за 1 год выражается величиной:
px-q=рх-(0,5х²+х+7)= рх-0,5х²-х-7=-0,5х²+х(р-1)-7;
Это выражение является квадратным трёхчленом и достигает своего наибольшего значения при:
х=-(р-1)/2·(-0,5)=р-1 и составляет:
-0,5(р-1) ²+(р-1)(р-1)-7=-0,5(р-1)²+ (р-1)²-7=-0,5(р-1) ²-7;
По условию задачи суммарная прибыль составляет не менее 75 млн. рублей.
-0,5(р-1) ²-7⩾25 ( т. к 75:3=25)
-0,5(р-1) ²-7-25⩾0
(р-1)²-64⩾0;
(р-1-8)·(р-1+8) ⩾0;
(р-9)·(р+7) ⩾0;
При р⩾0, поскольку цена продукции не может быть отрицательной, наименьшее значение р=9
Ответ: наименьшая цена 9 тысяч рублей.
Заключение:
Таким образом, можно сказать, что финансовая математика в данном случае является просто царицей наук. Данная тема важна в изучении как в школе, так и в реальной жизни. В условиях современного мирового кризиса в нашей стране сложилась очень непростая экономическая ситуация. Но, несмотря на это, большинство людей продолжают делать накопления, приумножать свои средства, инвестировать в будущее. Ни для кого не секрет, что самым распространенным средством накопления в нашей стране были и остаются банковские вклады или, говоря экономическим языком, банковские депозиты.
Я считаю, что знание финансовой математики важно в нашем мире. Цель работы достигнута, Гипотеза подтвердилась: углубленное изучение элементарной математики учащимися средних школ выступает первой важной ступенью на пути формирования финансовой грамотности гражданина. Я удовлетворена данными изучениями этой темы, она действительно практична и рациональна. Могу сказать, что данная проделанная работа заложила в нас ещё один кусочек знаний для упрощённого решения задач в ЕГЭ. Сейчас я могу применить полученные знания в реальной жизни.
Список литературы:
https://insurance-institute.ru/library/chetyrkyn/chetyrkyn.pdf
https://ege.sdamgia.ru/
http://alexlarin.net/ege/2016/gdd.html