Уравнения. Линейные, квадратные уравнения

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Рудазова Д.А. 1

---

1МОУ СШ №105 Волгограда

Уланкина Т.П. 1

---

1МОУ СШ №105 Волгограда

Работа в формате PDF

632.2 KB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

Уравнения в школьном курсе математике занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Действительно, уравнения не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Подавляющее большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь). Актуальность: решение уравнений всегда было и до сих пор остается острой проблемой в математике. В период обучения в школе формируются знания, умения и навыки, на основе которых будет строиться дальнейшее изучение математики. Вот почему так важно получить учащимся наиболее полную информацию о сущности уравнения и освоить способы его решения на примерах линейных, квадратных уравнений. В своей работе я хочу показать, как можно при помощи некоторых способов быстро и правильно решать уравнения (на примерах линейных, квадратных уравнений), что процесс выполнения математических действий оказывается полезным и интересным занятием.

Цель: расширить знания о способах решения линейных и квадратных уравнений.

Задачи:

1. Систематизировать известные способы решения линейных и квадратных уравнений;

2. Выбрать для себя самые интересные и использовать их на практике.

Объект: способы решения линейных и квадратных уравнений.

Гипотеза: при использовании способов решения линейных и квадратных уравнений расширяется кругозор, упрощается решение уравнений, количество ошибок уменьшается, повышается вычислительная культура учащихся.

Новизна: знакомство с нестандартными способами решения линейных и квадратных уравнений.

Методика исследования. Сбор информации по данной теме в сети Интернет. Систематизация и обобщение материала. Анкетирование. Анализ полученных в ходе исследования данных (Приложение 1).

Продукт: буклет «Решить линейные, квадратные уравнения. Легко!» (Приложение 2)

Практическая значимость: решения линейных и квадратных уравнений с применением способов решения данных уравнений на практике. Данный материал можно использовать на уроках математики и для дополнительного образования. Любой ученик может развить в себе интерес к науке математике через данный материал.

1. Из истории изучения уравнений

1.1. Математики, внесшие вклад в развитие теории уравнений

В школьном курсе математики уравнениям уделяется большое внимание. История изучения уравнений насчитывает много веков. Самыми известными математиками, внесшими вклад в развитие теории уравнений, были:

Архимед (около 287–212 до н. э. ) - древнегреческий ученый, математик и механик. При исследовании одной задачи, сводящейся к кубическому уравнению, Архимед выяснил роль характеристики, которая позже получила название дискриминанта;

Франсуа Виет жил в XVI в. Он внес большой вклад в изучение различных проблем математики. В частности, он ввел буквенные обозначения коэффициентов уравнения и установил связь между корнями квадратного уравнения;

Леонард Эйлер (1707 – 1783) - математик, механик, физик и астроном. Автор св. 800 работ по математическаму анализу, дифференциальных уравнений, геометрии, теории чисел, приближённым вычислениям, небесной механике, математике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки. Оказал значительное влияние на развитие науки. Вывел формулы (Формулы Эйлера), выражающие тригонометрические функции переменного х через показательную функцию;

Лагранж Жозеф Луи (1736 — 1813 гг.), французский математик и механик. Ему принадлежат выдающиеся исследования, среди них исследования по алгебре (симметрической функции корней уравнения, по дифференциальным уравнениям (теория особых решений, метод вариации постоянных);

Ж. Лагранж и А. Вандермонд - французские математики. В 1771 г. впервые применили способ решения систем уравнений (способ подстановки);

О. И. Сомов – обогатил разные части математики важными и многочисленными трудами, среди них теория определённых алгебраических уравнений высших степеней;

Галуа Эварист (1811—1832 гг. ) - французский математик. Основной его заслугой является формулировка комплекса идей, к которым он пришёл в связи с продолжением исследований о разрешимости алгебраических уравнений, начатых Ж. Лагранжем, Н. Абелем, создал теорию алгебраических уравнений высших степеней с одним неизвестным;

П. Руффини - итальянский математик. Посвятил ряд работ, доказательству неразрешимости уравнения 5-й степени, систематически использует замкнутость множества подстановок.

Не смотря на то, что ученые давно изучают уравнения, науке не известно, как и когда у людей возникла необходимость использовать уравнения. Известно только, что задачи, приводящие к решению простейших уравнений, люди решали с того времени, как стали людьми. Еще 3 - 4 тысячи лет до н. э. египтяне и вавилоняне умели решать уравнения. Правило решения этих уравнений, совпадает с современным.

1.2. Методы решения уравнений в странах древнего мира

Задачи, связанные с уравнениями, решались ещё в Древнем Египте и Вавилоне. Теория уравнений интересовала и интересует математиков всех времён и народов.

В Древнем Египте и Вавилоне использовался метод ложного положения («фальшивое правило»)

Уравнение первой степени с одним неизвестным можно привести всегда к виду ах + b == с, в котором а, b, с — целые числа. По правилам арифметических действий ах = с — b,

Если b > с, то с — b число отрицательное. Отрицательные числа были египтянам и многим другим, более поздним народам неизвестны (равноправно с положительными числами их стали употреблять в математике только в семнадцатом веке).

Для решения задач, которые мы теперь решаем уравнениями первой степени, был изобретен метод ложного положения.

В папирусе Ахмеса 15 задач решается этим методом. Решение первой из них позволяет понять, как рассуждал автор.

Египтяне имели особый знак для обозначения неизвестного числа, который до недавнего прошлого читали «хау» и переводили словом «куча» («куча» или «неизвестное количество» единиц). Задача № 24 сборника Ахмеса:

«Куча. Ее седьмая часть (подразумевается: «дают в сумме» 19). Найти «кучу». Запись задачи нашими знаками:

( x+x/7)=19

Решение Ахмеса может быть представлено в наших символах в следующих четырех столбцах:

Во многих задачах в начале или в конце встречаются слова: «Делай как делается», другими словами: «Делай, как люди делают».

У разных народов применялся способ двух ложных положений. Арабами этот способ был механизирован и получил ту форму, в которой он перешел в учебники европейских народов, в том числе в «Арифметику» Магницкого.

Магницкий пользуется «фальшивым правилом» в форме, какую ему придали арабы, называя его «арифметикой двух ошибок» или «методой весов».

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения: x²+x=3/4 x²-x=14½

2.Что такое уравнение?

Понятие уравнения

Давая определение уравнению важно отметить, что уравнением называется математическое соотношение, выражающее равенство двух алгебраических выражений. Если равенство справедливо для любых допустимых значений входящих в него неизвестных, то оно называется тождеством; например, соотношение вида (x – 1)² = (x – 1)(x – 1) выполняется при всех значениях переменной x.

Понятие уравнения обычно проходят в самом начале школьного курса алгебры. Его определяют, как равенство с неизвестным числом, которое нужно найти.

В школьной программе за 7 класс впервые появляется понятие переменных. Их принято обозначать латинскими буквами, которые принимают разные значения. Исходя из  этого можно дать более полное определение уравнению.

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.

Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Отметим, что два числа (или два алгебраических выражения), соединённые между собой знаком «=», составляют равенство. Эти числа или выражения называются частями равенства; то, что стоит налево от знака «=», составляет левую часть, а то, что стоит направо от этого знака, составляет правую часть. Например, в равенстве:

левая часть есть сумма , а правая — произведение .

Обозначив каждую часть равенства одной буквой, мы можем главные свойства равенства выразить так:

а) Если , то и , т. е. части равенства можноменять местами.

б) Если и , то , т. е. если два числа равныпорознь третьему, то они равны между собой.

в) Если и , то и , т. е. если к равным числам прибавим или из равных чисел вычтем равные числа, то равенство не нарушится.

г) Если и , то и , т. е. если равные числа умножим или разделим на равные числа, то равенство не нарушится.

Полезно обратить внимание на то, что умножение или деление обеих частей равенства на равносильно перемене знаков перед частями равенства. Так, если обе части равенства умножить на , то получим: .

Два алгебраических выражения называются тождественными, если при всяких численных значениях, входящих в них букв они имеют одну и ту же численную величину. Таковы, например, выражения:

и ; и .

Если в каком-нибудь равенстве обе его части составляют тождественные алгебраические выражения, то такое равенство называется тождеством. Таково, например, равенство:

Тождеством называется также и такое равенство, в которое входят только числа, выраженные цифрами, если обе его части по выполнении всех действий, указанных в них, дают одно и то же число, например:

Допустим, мы желаем решить такую задачу:отцу 40 лет, сыну 17 лет. Через сколько лет отец будет вдвое старше сына?

Обыкновенным (арифметическим) путём задачу решить трудно. Решим её, применив буквенное обозначение. Обозначим искомое число лет буквой . Через лет отцу будет лет, а сыну будет лет. По условию задачи число лет отца, т. е. , должно быть вдвое больше числа лет сына, т. е. . Это мы можем записать в виде равенства:

Проверкой убеждаемся, что это равенство верно при . В самом деле, при этом значении будет:

При всяком другом числе, которое мы подставим вместо , равенство нарушится.

Это равенство нельзя назвать тождеством, так как оно верно не при всяких значениях входящей в него буквы. Только подстановка вместо обращает это равенство в тождество:

Если обе части равенства, содержащие одну или несколько букв, имеют одинаковую численную величину не при всяких численных значениях этих букв, то данное равенство называется уравнением, а числа, обозначенные этими буквами, называются неизвестными (числами) уравнения. Эти числа обыкновенно обозначаются последними буквами латинского алфавита

Уравнения бывают с одним неизвестным, с двумя и другие.

Корень уравнения

Говоря о корне уравнения важно отметить, что значение переменной, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство, называется корнем уравнения.

Корень уравнения — это число, которое при подстановке вместо буквы обращает уравнение в верное числовое равенство (тождество). Число является корнем уравнения , так как при подставке вместо числа получается верное равенство . Корень уравнения также называют решением уравнения.

Например, корень уравнения 5x=40 равен 8, так как при x=8 это уравнение превращается в верное числовое равенство:

5∙8=40

40=40.

Количество корней линейного уравнения зависит от значения a (коэффициента перед x).

Уравнение с одним неизвестным может иметь один корень, два корня и более; например, уравнение имеет один корень , уравнение имеет два корня ( и ), уравнение

имеет три корня ( и )¹

и т. п. Может даже случиться, что уравнение совсем не имеет корня. Таково, например, уравнение ; какое бы положительное или отрицательное число мы ни подставили на место , квадрат этого числа не может равняться отрицательному числу.

Уравнение, выведенное выше из условий нашей задачи, имеет корень 6. Это и есть ответ на вопрос задачи. В самом деле, через 6 лет отцу будет 46 лет, а сыну 23 года, т. е. вдвое меньше.

Таким образом, для решения некоторых задач полезно прибегать к составлению уравнений и научиться решать их; а для этого необходимо ознакомиться с некоторыми общими свойствами уравнений.

Решим для примера приведённое выше уравнение:

Раскроем скобки в правой части уравнения:

Вычтем из обеих частей уравнения по ; получим: .

Отнимем, наконец, от обеих частей уравнения по ; получим: , и, значит, .

Итак, посредством ряда преобразований нашего уравнения мы получили для значение .

2.3. Что значит решить уравнение?

Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.

Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.

Обычно, корень пишется так: x = 3. Если корней несколько, они просто перечисляются через запятую, например: x₁ = 2, x₂ = -5.

1. Некоторые уравнения могут быть не решаемы.

Например: 0 · x = 7. Какое бы мы число не подставили вместо x, получить верное равенство не получится. В этом случае в ответе пишется: “уравнение не имеет корней”.

2. Некоторые уравнения имеют бесконечное множество корней.

Например: y = y. В данном случае решением является любое число, т.е. x ∈ R, x ∈ Z, x ∈ N, где N, Z и R – это натуральные, целые и действительные числа, соответственно.

Равносильные уравнения

Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными.

Например: x + 3 = 5 и 2x + 4 = 8. У обоих уравнений решением является число два, т.е. x = 2.

Основные равносильные преобразования уравнений:

1. Перенос какого-то слагаемого из одной части уравнений в другую с изменением его знака на противоположный.

Например: 3x + 7 = 5 равносильно 3x + 7 – 5 = 0.

2. Умножение/разделение обеих частей уравнения на одно и то же число, не равное нулю.

Например: 4x – 7 = 17 равносильно 8x – 14 = 34.

Уравнение, также, не изменится, если к обеим его частям прибавить/отнять одно и то же число.

3. Приведение подобных слагаемых.

Например: 2x + 5x – 6 + 2 = 14 равносильно 7x – 18 = 0.

Виды уравнений

Выделяют следующие виды уравнений:

линейные уравнения

2) квадратные

3)дробно-рациональные
4)биквадратные
5)тригонометрические
6)иррациональные
7)уравнения высшей степени
8)показательные
9)с модулем
10)с параметром
11)логарифмическое

Решение всех сложных уравнений всегда сводится к решению простейших уравнений. А простейшими в данном случае являются линейные уравнения.

4х = 60

15y = 90

12t = 0

6z = - 5,4

2х-3=17 3

2+х=8,4

6х+21=22

14-6х=-2х+18

Важно отметить, что уравнение может содержать не только числа с переменными, но и буквы.

Например, формула нахождения скорости является буквенным уравнением:

Данное уравнение описывает скорость движения тела при равноускоренном движении.

Полезным навыком является умение выразить любой компонент, входящий в буквенное уравнение. Например, чтобы из уравнения   определить расстояние, нужно выразить переменную s.

Уравнения вида a + bx = c называют уравнением с параметрами. В зависимости от параметров, корень будет меняться.

Решим уравнение 2 + 4x = 10. Оно похоже на буквенное уравнение a + bx = c.  Вместо того, чтобы выполнять тождественные преобразования, мы можем воспользоваться готовым решением. Сравним оба решения:

Видим, что второе решение намного проще и короче.

Для готового решения необходимо сделать небольшое замечание. Параметр b не должен быть равным нулю (b ≠ 0), поскольку деление на ноль на допускается.

3.1. Линейное и квадратное уравнения

Рассмотри, самые часто встречающиеся уравнения — линейные и квадратные.

Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.

Линейное уравнение выглядят так:

ах + b = 0, где a и b — действительные числа.

Вот, что поможет в решении:

если а ≠ 0 — уравнение имеет единственный корень: х = -b : а;

если а = 0 — уравнение корней не имеет;

если а и b равны нулю, то корнем уравнения является любое число.

Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.

Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.

Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5.

Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.

Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный. Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.

Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.

Применим правило при решении примера: 4x=8.

При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.

Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.

Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:

4*x=8|:2

4x/4=8/4

x=2

Важно отметить, что квадратное уравнение выглядит так:

ax2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0.

Решение неполного квадратного уравнения:

Рассмотрим на конкретных примерах все 3 случая:

, 2) , 3) ,

, , ,

, или , ,

= , ,

Ответ: . Ответ: . Ответ: .

Решение квадратного уравнения :

Таким образом, квадратное уравнение может иметь не более двух корней.

Рассмотрим способы решения квадратных уравнений

1. СПОСОБ: Разложение левой части уравнения на множители.

Решим уравнение: х2 + 10х - 24 = 0.

Разложим левую часть на множители:

х2 + 10х - 24 = х2 + 12х - 2х - 24 = х(х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)(х - 2).

Следовательно, уравнение можно переписать так:

(х + 12)(х - 2) = 0

Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = 2, а также при х = - 12. Это означает, что число 2 и - 12 являются корнями уравнения х2 + 10х - 24 = 0.

2. СПОСОБ: Метод выделения полного квадрата.

Решим уравнение х2 + 6х - 7 = 0.

Выделим в левой части полный квадрат.

Для этого запишем выражение х2 + 6х в следующем виде:

х2 + 6х = х2 + 2* х * 3.

В полученном выражении первое слагаемое - квадрат числа х, а второе - удвоенное произведение х на 3. По этому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 32, так как

х2 + 2* х * 3 + 32 = (х + 3)2.

Преобразуем теперь левую часть уравнения

х2 + 6х - 7 = 0,

прибавляя к ней и вычитая 32. Имеем:

х2 + 6х - 7 = х2 + 2* х * 3 + 32 - 32 - 7 = (х + 3)2 - 9 - 7 = (х + 3)2 - 16.

Таким образом, данное уравнение можно записать так:

(х + 3)2 - 16 =0, (х + 3)2 = 16.

Следовательно, х + 3 - 4 = 0, х1 = 1, или х + 3 = -4, х2 = -7.

3. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений по формуле.

Умножим обе части уравнения

ах2 + bх + с = 0, а ? 0

на 4а и последовательно имеем:

4а2х2 + 4аbх + 4ас = 0,

((2ах)2 + 2ах * b + b2) - b2 + 4ac = 0,

(2ax + b)2 = b2 - 4ac,

2ax + b = ± v b2 - 4ac,

2ax = - b ± v b2 - 4ac

4. СПОСОБ: Решение уравнений с использованием теоремы Виета.

Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид

х2 + px + c = 0. (1)

Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а =1 имеет вид

x1 x2 = q,

x1 + x2 = - p

Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней).

а) Если сводный член q приведенного уравнения (1) положителен (q > 0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента p. Если р < 0, то оба корня отрицательны, если р < 0, то оба корня положительны.

Например,

x2 - 3x + 2 = 0; x1 = 2 и x2 = 1, так как q = 2 > 0 и p = - 3 < 0;

x2 + 8x + 7 = 0; x1 = - 7 и x2 = - 1, так как q = 7 > 0 и p= 8 > 0.

б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен (q < 0), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p < 0 , или отрицателен, если p > 0 .

Например,

x2 + 4x - 5 = 0; x1 = - 5 и x2 = 1, так как q= - 5 < 0 и p = 4 > 0;

x2 - 8x - 9 = 0; x1 = 9 и x2 = - 1, так как q = - 9 < 0 и p = - 8 < 0.

Усложняются задания, взрослеют и ученики, расширившие свои знания об уравнениях, способах их решений и применении своих знаний при решении задач.

Заключение

Математика, как и любая другая наука не стоит на месте, вместе с развитием общества меняются и взгляды людей, возникают новые мысли и идеи. И сегодняшний день не стал в этом смысле исключением. Появление компьютеров внесло свои корректировки в способы решения уравнений и значительно их облегчило. Но компьютер не всегда может быть под рукой (экзамен, контрольная), поэтому знание хотя бы самых главных способов решения уравнений необходимо знать. Использование уравнений в повседневной жизни – редкость. Они нашли свое применение во многих отраслях хозяйства и практически во всех новейших технологиях.

Работа была выполнена в соответствии с поставленными задачами. Я изучила литературу и интернет-ресурсы по своей теме. Из всех видов линейных и квадратных уравнений я выбрала наиболее распространенные и рассмотрела способы и правила их решения.

Подводя итоги данного исследования, можно сделать следующие выводы:

уравнения представляют интерес для учащихся. При решении уравнений развиваются навыки систематизации, логического мышления, повышаются умственные и творческие способности. Их изучение очень важно в курсах школьной математики, так как примеры, содержащие уравнения, встречаются в повседневной жизни.

В ходе исследования были решены следующие задачи: систематизированы известные способы решения линейных и квадратных уравнений. Цель данной работы выполнена. Материал, приведенный в данной работе, может служить методическим пособием для учителя в работе с учащимися на уроках и факультативах, а также справочным материалом для учеников при самостоятельной подготовке к урокам и проверочным работам.

Список использованных источников и литературы

Научная и учебная литература

Алимов Ш. А. Алгебра. 7 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений /Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. – 18-е изд. – М.: Просвещение, 2011. – 224 с.

Алимов Ш. А. Алгебра. 8 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений /Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, М. В. Ткачёва и др. – М.: Просвещение, 2013. – 336 с.

Алимов Ш. А. Алгебра. 9 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений /Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. – 17-е изд. – М.: Просвещение, 2012. – 287 с.

Алимов Ш. А. Алгебра. 7 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений /Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. – 18-е изд. – М.: Просвещение, 2022. – 224 с.

Виленкин Н. Я. Математика. 5 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений /Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. – 31-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2022. – 280 с.

Виленкин Н. Я. Математика. 6 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений /Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. – 30-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2022. – 288 с.

Высоцкий И. Р. ОГЭ 2022. Математика. 9 класс. Три модуля. Основной государственный экзамен. 30 вариантов типовых тестовых заданий. /И. Р. Высоцкий, Л. О. Рослова, Л. В. Кузнецова и др.; под ред. И. В. Ященко. – М.: изд-во «Экзамен», МЦНМО, 22 – 167 с.

Электронные ресурсы удалённого доступа (INTERNET)

Уравнение: https://ru.wikipedia.org

Уравнение: https://gymnasium42.ru/work/ovsyannikova/page/page24.html

Уравнение. Определение и основные понятия: https://dl.bsu.by/mod/book

Уравнение: https://www.krugosvet.ru/enc/matematika/uravneniya

Уравнение: https://math.ru/lib/book/djvu/encikl/weber-1.djvu

Уравнение: http://es.niv.ru/doc/encyclopedia/mathematics

Приложение 1

Анализ анкетирования

Для того чтобы выяснить, знают ли современные школьники, как решать линейные, квадратные уравнения, Я провела анкетирование среди учащихся 5, ,6, 7 классов. Всего было опрошено 25 ученика.

Вопросы анкеты:

1. Насколько трудно для тебя решать уравнения?

2. Умеешь ли ты быстро и правильно решать уравнения?

3. Тебе известен способ решения линейных уравнений "деление"?

4. Хотел бы расширить свои познания в этой области?

5. Как ты думаешь, решения уравнений повышают интеллектуальные способности?

Результаты опроса:

Затруднительно: 55%;

Просто: 42%;

Не умею: 3%.

2 Умею: 42%;

решаю медленно: 55%;

не умею: 3%.

Да: 95%;

Что-то слышал: 5%.

Да 97%;

нет 0%.

не знаю 3%

Да 97%;

нет 3%.

Проведя статистическую обработку данных, я сделала вывод, что далеко не все учащиеся умеют быстро и правильно решать уравнения, поэтому целесообразно для учеников 5-7-х классов создать памятку по решению уравнений.

Приложение 2

Буклет