XVIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Стереометрия в координатах
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Большую роль в развитии геометрии сыграло применение алгебры к изучению свойств геометрических фигур, разросшееся в самостоятельную науку — аналитическую геометрию. Возникновение аналитической геометрии связано с открытием метода координат, являющегося основным для неё.
Метод координат — весьма эффективный и универсальный способ нахождения любых углов или расстояний между стереометрическими объектами в пространстве.
Стереометрические задачи ЕГЭ в последнее время большей частью посвящены вычислению расстояний и углов в пространстве. Такие задачи часто встречаются в практике, поэтому им уделено особое внимание.
Существует два способа решения задач по стереометрии
Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.
Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.
Аннотация
Хочу поговорить о теме, изучаемой в курсе математики 10 класса, а именно о геометрии в пространстве. Среди учеников распространено мнение, что эта тема очень сложная, это мнение подтверждается словами учителей и статистикой с ЕГЭ прошлых лет, а именно статистикой выполнения задания на эту тему из второй части. Работа направлена на исключение главных недостатков метода – вычислительную сложность и отсутствия представления фигуры в пространстве, картинки.
Объект исследования – это процесс изучения геометрии.
Предметом исследования является изучение метода координат в пространстве в школьном курсе геометрии.
Цели работы: Создать программу на Visual Studio 2022 позволяющую решать 10 базисных задач стереометрии.
Задачи:
1. 1. Подобрать теоретический материал по координатному методу,
2. Рассмотреть методику изучения метода координат в пространстве,
3. Показать все достоинства и недостатки данного метода при решении
соответствующего вида задач.
План исследований:
1) Изучить, понятие стереометрия в координатах;
2) Изучить примеры использования стереометрия в координатах, при решении задания 14 из ЕГЭ по математике;
3) Разработка программы в Visual Studio 2022
4) Исследование созданной программы;
5) Представить фигуры по заданными нами координатами в GeoGebra;
6) Выводы исследовательской работы.
Методы исследования:
1) Изучение и анализ информации из интернета;
2) Программирование;
3) Моделирование.
Глава I. Стереометрия в координатах.
Что такое стереометрия.
Стереоме́трия (от др.-греч. στερεός [стереос] — «твёрдый; объёмный, пространственный» + μετρέω [метрео] — «измеряю») — раздел евклидовой геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Основными (простейшими) фигурами в пространстве являются точки, прямые и плоскости. В стереометрии появляется новый вид взаимного расположения прямых: скрещивающиеся прямые. Это одно из немногих существенных отличий стереометрии от планиметрии, так как во многих случаях задачи по стереометрии решаются путём рассмотрения различных плоскостей, в которых выполняются планиметрические законы.
Не стоит путать этот раздел с планиметрией, поскольку в планиметрии изучаются свойства фигур на плоскости (свойства плоских фигур), а в стереометрии — свойства фигур в пространстве (свойства пространственных фигур).
Прямая. Плоскость. Точка. Вектор
Прямая — это однопараметрическое семейство точек (то есть множество точек, перечислимых с помощью одного параметра, отвечающего на вопрос «Как далеко мы ушли от стартовой точки по этой прямой?»);
Плоскость — это двухпараметрическое семейство точек (то есть множество точек, перечислимых с помощью двух параметров. Например, вся плоскость Оху перечислена с помощью двух координат x и у. На любой плоскости можно взять два вектора и пройти от начальной точки сколько-то вдоль одного вектора и сколько- то вдоль второго. Вот эти самые «сколько-то» — это и есть два параметра);
В стереометрии главные понятия — это точка и вектор.
Точка – это три числа . Например, точка А — это из (начало координат) минус один прошли по x (влево, условно говоря) три прошли по y (вглубь, условно говоря) и два прошло z (вверх, условно говоря);
Вектор – это тоже три числа, но означают они уже не положение, а перемещение. Например, вектор А — это сдвиг на 4,5,5 по x, y, z.
Плюсы и минусы метода координат.
Минусы:
Вычислительная сложность;
Решение систем уравнений;
Некоторые задачи “проще” решать без использования метода.
Плюсы:
Эффективен против сложных задач;
Можно найти любую величину(отрезок/угол).
Вычислительная сложность.
Одна из задач проекта устранить главный недостаток метода;
Чтобы устранить этот недостаток была создана программа;
Составляющая и решающая системы уравнений;
Способная находить углы/прямые;
Способная находить пересечения/расстояния и описывать расположение точек/прямых/плоскостей.
Visual Studio 2022 —более быстрая, более производительная и упрощенная версия, предназначенная для учащихся, а также пользователей, которые создают решения промышленного масштаба.
Visual Studio 2022 предоставляется в 64-разрядной версии
Visual Studio 2022 для Windows теперь является 64-разрядным приложением. Это означает, что вы можете открывать, изменять, запускать и отлаживать даже самые большие и сложные решения, не беспокоясь о нехватке памяти. Дополнительные сведения см. в записях блога, посвященных концепции Visual Studio 2022 и Visual Studio 2022.
Цифровой инструмент GeoGebra это свободно распространяемый цифровой инструмент, которую можно скачать с официального сайта http://geogebra.org. Она позволяет моделировать и решать различные алгебраические и геометрические задачи, строить графики функций, находить наибольшие и наименьшие значения, пределы, производные интегралы, получать изображения плоских и пространственных фигур, проводить дополнительные построения, создавать анимацию рисунков.
Глава II. Создание программы в MicrosoftVisual Studio 2022.
2.1 Создание программы в MicrosoftVisual Studio 2022.
Код главного окна (Рис. 1) см. Приложение 1
Рис. 1 Код главного окна
Демонстрация интерфейса главного окна (Рис. 2) см. Приложение 2
Рис. 2 Демонстрация интерфейса главного окна
Код нахождения прямой пересечения плоскостей (Рис. 3) см. Приложение 3
Рис 3. Код нахождения прямой пересечения плоскостей
Нахождение прямой пересечения плоскостей (Рис. 4) см. Приложение 4
Рис. 4 Нахождение прямой пересечения плоскостей
Класс, отвечающий за углы между двумя векторами и прямыми (Рис.5) см. Приложение5
Рис. 5 Класс, отвечающий за углы между двумя векторами и прямыми
Нахождение угла между прямыми (Рис. 6) см. Приложение 6
Рис. 6 Нахождение угла между прямыми
Нахождение расстояния между точкой и прямой (Рис.7) см. Приложение 7
Рис.7 Нахождение расстояния между точкой и прямой
Нахождение расстояния между точкой и прямой (Рис.8) см. Приложение 8
Рис.8 Нахождение расстояния между точкой и прямой
Код нахождения расстояния между точкой и плоскостью см. Приложение 9
Нахождение расстояния между точкой и плоскостью см. Приложение 10
2.2 Визуализация в GeoGebra
Чтобы представить фигуру предлагается использовать цифровой инструмент – GeoGebra, который сможет “нарисовать” фигуру, по заданным нами координатам, также сайт предоставляет инструменты для проведения различных плоскостей и прямых
и позволяет рассматривать фигуру под разными углами и с разных сторон (Рис. 11) (см. Приложение 11).
Заключение
Создал программу в Visual Studio 2022 на языке программирования C#, позволяющую решать 10 базисных задач из стереометрии о нахождении углов, пересечений и расстояниях, программа позволила показать ответы к задачам и дала ученикам возможность сверить свои решения с правильными ответами. Решив задачу в нашей программе, полученный результат можно представить на сайте GeoGebra. Представил учителям и ученикам данный метод координат и связанную теорию, методы решения задач, правильное оформление решений. Данный метод решения задач, очень понравился учителям и ученикам, тем, что облегчает понимание решения задачи.
Список используемых источников:
Методичка по стереометрии. Составитель Вотяков Александр Романович. Образовательный проект «Школково». Математика, 2020-2021 учебныйгод;
https://ru.wikipedia.org/wiki/Стереометрия;
Геометрия с GeoGebra. Стереометрия / Смирнов В.А., Смирнова И. М. – М.: «Прометей», 2018;
http://geogebra.org – Бесплатный цифровой инструмент.
Приложение 1
Код главного окна
Приложение 2
Демонстрация интерфейса главного окна
Приложение 3
Код нахождения прямой пересечения плоскостей
Приложение 4
Нахождение прямой пересечения плоскостей
Приложение 5
Класс, отвечающий за углы между двумя векторами и прямыми
Приложение 6
Нахождение угла между прямыми
Приложение 7
Нахождение расстояния между точкой и прямой
Приложение 8
Нахождение расстояния между точкой и прямой
Приложение 9
Код нахождения расстояния между точкой и плоскостью
Приложение 10
Нахождение расстояния между точкой и плоскостью
Приложение 11
Использование GeoGebra для визуализации фигуры..