Стереометрия в координатах

XVIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Стереометрия в координатах

Лукъянцев В.О. 1
1МБОУ «Многопрофильный лицей», 11 класс
Чимитова С.Ц. 1
1МАОУ «Многопрофильный лицей» г. Муравленко ЯНАО
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Большую роль в развитии геометрии сыграло применение алгебры к изучению свойств геометрических фигур, разросшееся в самостоятельную науку — аналитическую геометрию. Возникновение аналитической геометрии связано с открытием метода координат, являющегося основным для неё.

Метод координат — весьма эффективный и универсальный способ нахождения любых углов или расстояний между стереометрическими объектами в пространстве. 

  Стереометрические задачи   ЕГЭ в последнее время большей частью посвящены вычислению расстояний и углов в пространстве. Такие задачи часто встречаются в практике, поэтому им уделено особое внимание.

Существует два способа решения задач по стереометрии

Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.

Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.

Аннотация

Хочу поговорить о теме, изучаемой в курсе математики 10 класса, а именно о геометрии в пространстве. Среди учеников распространено мнение, что эта тема очень сложная, это мнение подтверждается словами учителей и статистикой с ЕГЭ прошлых лет, а именно статистикой выполнения задания на эту тему из второй части. Работа направлена на исключение главных недостатков метода – вычислительную сложность и отсутствия представления фигуры в пространстве, картинки.

Объект исследования – это процесс изучения геометрии.

Предметом исследования является изучение метода координат в пространстве в школьном курсе геометрии.

Цели работы: Создать программу на  Visual Studio 2022 позволяющую решать 10 базисных задач стереометрии.

Задачи:

1. 1. Подобрать теоретический материал по координатному методу,

2. Рассмотреть методику изучения метода координат в пространстве,

3. Показать все достоинства  и недостатки данного метода при решении

соответствующего вида задач.

План исследований:

1) Изучить, понятие стереометрия в координатах;

2) Изучить примеры использования стереометрия в координатах, при решении задания 14 из ЕГЭ по математике;

3) Разработка программы в Visual Studio 2022

4) Исследование созданной программы;

5) Представить фигуры по заданными нами координатами в GeoGebra;

6) Выводы исследовательской работы.

Методы исследования:

1) Изучение и анализ информации из интернета;

2) Программирование;

3) Моделирование.

Глава I. Стереометрия в координатах.

Что такое стереометрия.

Стереоме́трия (от др.-греч. στερεός [стереос] — «твёрдый; объёмный, пространственный» + μετρέω [метрео] — «измеряю») — раздел евклидовой геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Основными (простейшими) фигурами в пространстве являются точкипрямые и плоскости. В стереометрии появляется новый вид взаимного расположения прямых: скрещивающиеся прямые. Это одно из немногих существенных отличий стереометрии от планиметрии, так как во многих случаях задачи по стереометрии решаются путём рассмотрения различных плоскостей, в которых выполняются планиметрические законы.

Не стоит путать этот раздел с планиметрией, поскольку в планиметрии изучаются свойства фигур на плоскости (свойства плоских фигур), а в стереометрии — свойства фигур в пространстве (свойства пространственных фигур).

Прямая. Плоскость. Точка. Вектор

Прямая — это однопараметрическое семейство точек (то есть множество точек, перечислимых с помощью одного параметра, отвечающего на вопрос «Как далеко мы ушли от стартовой точки по этой прямой?»);

Плоскость — это двухпараметрическое семейство точек (то есть множество точек, перечислимых с помощью двух параметров. Например, вся плоскость Оху перечислена с помощью двух координат x и у. На любой плоскости можно взять два вектора и пройти от начальной точки сколько-то вдоль одного вектора и сколько- то вдоль второго. Вот эти самые «сколько-то» — это и есть два параметра);

В стереометрии главные понятия — это точка и вектор.

Точка – это три числа . Например, точка А — это из (начало координат) минус один прошли по x (влево, условно говоря) три прошли по y (вглубь, условно говоря) и два прошло z (вверх, условно говоря);

Вектор – это тоже три числа, но означают они уже не положение, а перемещение. Например, вектор А — это сдвиг на 4,5,5 по x, y, z.

Плюсы и минусы метода координат.

Минусы:

Вычислительная сложность;

Решение систем уравнений;

Некоторые задачи “проще” решать без использования метода.

Плюсы:

Эффективен против сложных задач;

Можно найти любую величину(отрезок/угол).

Вычислительная сложность.

Одна из задач проекта устранить главный недостаток метода;

Чтобы устранить этот недостаток была создана программа;

Составляющая и решающая системы уравнений;

Способная находить углы/прямые;

Способная находить пересечения/расстояния и описывать расположение точек/прямых/плоскостей.

Visual Studio 2022 —более быстрая, более производительная и упрощенная версия, предназначенная для учащихся, а также пользователей, которые создают решения промышленного масштаба.

Visual Studio 2022 предоставляется в 64-разрядной версии

Visual Studio 2022 для Windows теперь является 64-разрядным приложением. Это означает, что вы можете открывать, изменять, запускать и отлаживать даже самые большие и сложные решения, не беспокоясь о нехватке памяти. Дополнительные сведения см. в записях блога, посвященных концепции Visual Studio 2022 и Visual Studio 2022.

Цифровой инструмент GeoGebra это свободно распространяемый цифровой инструмент, которую можно скачать с официального сайта http://geogebra.org. Она позволяет моделировать и решать различные алгебраические и геометрические задачи, строить графики функций, находить наибольшие и наименьшие значения, пределы, производные интегралы, получать изображения плоских и пространственных фигур, проводить дополнительные построения, создавать анимацию рисунков.

Глава II. Создание программы в MicrosoftVisual Studio 2022.

2.1 Создание программы в MicrosoftVisual Studio 2022.

Код главного окна (Рис. 1) см. Приложение 1

Рис. 1 Код главного окна

Демонстрация интерфейса главного окна (Рис. 2) см. Приложение 2

Рис. 2 Демонстрация интерфейса главного окна

Код нахождения прямой пересечения плоскостей (Рис. 3) см. Приложение 3

Рис 3. Код нахождения прямой пересечения плоскостей

Нахождение прямой пересечения плоскостей (Рис. 4) см. Приложение 4

Рис. 4 Нахождение прямой пересечения плоскостей

Класс, отвечающий за углы между двумя векторами и прямыми (Рис.5) см. Приложение5

Рис. 5 Класс, отвечающий за углы между двумя векторами и прямыми

Нахождение угла между прямыми (Рис. 6) см. Приложение 6

Рис. 6 Нахождение угла между прямыми

Нахождение расстояния между точкой и прямой (Рис.7) см. Приложение 7

Рис.7 Нахождение расстояния между точкой и прямой

Нахождение расстояния между точкой и прямой (Рис.8) см. Приложение 8

Рис.8 Нахождение расстояния между точкой и прямой

Код нахождения расстояния между точкой и плоскостью см. Приложение 9

Нахождение расстояния между точкой и плоскостью см. Приложение 10

2.2 Визуализация в GeoGebra

Чтобы представить фигуру предлагается использовать цифровой инструмент – GeoGebra, который сможет “нарисовать” фигуру, по заданным нами координатам, также сайт предоставляет инструменты для проведения различных плоскостей и прямых

и позволяет рассматривать фигуру под разными углами и с разных сторон (Рис. 11) (см. Приложение 11).

Заключение

Создал программу в Visual Studio 2022 на языке программирования C#, позволяющую решать 10 базисных задач из стереометрии о нахождении углов, пересечений и расстояниях, программа позволила показать ответы к задачам и дала ученикам возможность сверить свои решения с правильными ответами. Решив задачу в нашей программе, полученный результат можно представить на сайте GeoGebra. Представил учителям и ученикам данный метод координат и связанную теорию, методы решения задач, правильное оформление решений. Данный метод решения задач, очень понравился учителям и ученикам, тем, что облегчает понимание решения задачи.

Список используемых источников:

Методичка по стереометрии. Составитель Вотяков Александр Романович. Образовательный проект «Школково». Математика, 2020-2021 учебныйгод;

https://ru.wikipedia.org/wiki/Стереометрия;

Геометрия с GeoGebra. Стереометрия / Смирнов В.А., Смирнова И. М. – М.: «Прометей», 2018;

http://geogebra.org – Бесплатный цифровой инструмент.

Приложение 1

Код главного окна

Приложение 2

Демонстрация интерфейса главного окна

Приложение 3

Код нахождения прямой пересечения плоскостей

Приложение 4

Нахождение прямой пересечения плоскостей

Приложение 5

Класс, отвечающий за углы между двумя векторами и прямыми

Приложение 6

Нахождение угла между прямыми

Приложение 7

Нахождение расстояния между точкой и прямой

Приложение 8

Нахождение расстояния между точкой и прямой

Приложение 9

Код нахождения расстояния между точкой и плоскостью

Приложение 10

Нахождение расстояния между точкой и плоскостью

Приложение 11

Использование GeoGebra для визуализации фигуры..

Просмотров работы: 44