XVIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Лайфхак по сокращению дробей
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
У немцев существует поговорка для людей, попавших в затруднительную ситуацию. О них говорят, что они попали в дроби. Всё потому, что дроби считаются сложным материалом школьного курса математики. Однако, иногда при неверном сокращении, получают верный результат. Но почему так происходит?
Этот вопрос и определил цель работы: определить условия сокращения дробей вида .
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
1). Актуализировать основное свойство дроби.
2). Составить комплекс заданий сокращения дробей.
3). Провести занятие для учеников своего класса.
1. Лайфхак при сокращении дробей
При сокращении обыкновенных дробей пользуются известным свойством: если числитель и знаменатель дроби разделить на их общий делитель, то получится равная ей дробь:
Сокращая, например, дробь , её числитель и знаменатель делят на 7 и получают дробь , которая является несократимой.
Однако в некоторых случаях сокращение можно выполнять не по этому правилу, а иначе, например, при сокращении дроби, числитель и знаменатель которой имеют целые и дробные части, просто зачеркивают у них дробные части, оставляя неизменными целые части, скажем, так: = . Проверим, верно ли, выполнено сокращение: Верно!
Возникает вопрос, всегда ли таким образом можно сокращать?
|
Предположение |
Проверка |
Предположение неверно!
Найдем закономерность подбора целых частей и знаменателей сокращаемых дробей.
Становится очевидным, что примеров таких сокращений можно привести сколько угодно много.
Запишем математическое соотношение, задающее аналогичные равенства. Заметим: фиксированный числитель равный 1, целая часть второй дроби равна знаменателю первой дроби, а знаменатель второй дроби равен целой части первой. Получаем при фиксированном числителе, равном 1, знаменателе m и целой части k, первая дробь будет иметь вид: k, а тогда вторая дробь будет .
гдеmиkлюбые натуральные числа.
Докажем справедливость этого равенства.
Будет ли данное равенство справедливо для дробей с числителем отличным 1? Это легко доказывается.
Обобщим для произвольно взятого числителя – n. При любых натуральных m, k, n справедливы следующие преобразования:
ч.т.д.
Доказано утверждение о том, что из любой тройки натуральных чисел можно составить пример такого сокращения.
И всё же данное утверждение не все охватывает случаи такого сокращения.
Например: или .
и т.п.
Составим математическое соотношение, задающее примеры аналогичных равенств.
Особенностью данных равенств является то, что в каждом из них числители «сокращаемых дробей» одинаковые, а произведение целой части и знаменателя одной из них равняется произведению целой части и знаменателя другой. Другими словами, при одинаковых числителях «сокращаемых» дробей целая часть и знаменатель второй дроби являются взаимодополняющими делителями числа, равного произведению целой части и знаменателя первой дроби.
, где k и m натуральные числа такие, что k'm' = km. Пусть, например, n=1, k=2, m=3, тогда km=6, а значит в качестве k' и m' могут быть взяты числа 1 и 6, 3 и 2, получим равенства
Докажем справедливость равенства .
, так как k'm' = km.
Из равенства k'm' = kmследует, что , а тогда ч.т.д.
Данное соотношение будет более общим, а первое нами доказанное частным случаем при k'=m, m'=k.
Но и полученное соотношение не охватывает всех случаев сокращения, например, такого:
Ещё примеры:
Составим математическое соотношение. Заметим, что произведение целой части первой дроби на её знаменатель меньше произведения целой части второй дроби на её знаменатель ровно во столько раз, во сколько числитель первой дроби меньше числителя второй. Тогда искомое соотношение будет записано так: , где k и m – натуральные числа такие, что
Заметим, что при n = n' полученное соотношение превращается в предыдущее, а то в свою очередь является обобщением первого.
Докажем справедливость равенства
Доказательство:
Из равенства получим , а тогда , следовательно ч.т.д.
Докажем, что других замечательных сокращение дробей нет. Допустим, что имеет место
Тогда после преобразований будем иметь
Откуда k'm'(km+n)=km(k'm'+n') или
k'm'km+k'm'n = kmk'm'+kmn'
Приводя подобные слагаемые, получим
k'm'n = kmn' или
.
Получили не что иное, как необходимое условие последнего соотношения. Значит других аналогичных замечательных сокращений не существует.
4. Заключение
При работе над темой определены условия сокращения дробей вида , составлен комплекс заданий сокращения дробей, проведено занятие для учеников 6 класса, показана работа лайфхака в действии.
Математика – наука замечательная, в ней нужно замечать! Что мы и делаем, и вам советуем!
Литература
Учебник по математике 6 класс авторы: Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. издательство: Мнемозина 2020 год
Учебник по математике 6 класс авторы: А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. издательство: Вентана-Граф, 2020 г.
Учебник по математике 6 класс авторы: Никольский С.М., М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. издательство: Просвещение 2020 год
Учебник по алгебре 7 класс А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир (Издательство: Вентана-Граф. ФГОС)
Учебник по Алгебре за 7 класс: Авторы: С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин Издательство: Просвещение серия: МГУ - школе
Приложение 1
Занятие в 6Б классе МАОУ Гимназия № 10
Приложение 2
Сборник заданий