XVIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Исследовательская работа "Квадрат Пирсона"

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Павлова А.П. 1

---

1МБОУ "СОШ №2"

Тябина Е.Н. 1

---

1МБОУ "СОШ №2"

Работа в формате PDF

211.8 KB

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

Увлечение математикой начинается с размышления над какой-то интересной задачей или проблемой. Любому завороженному математическими тайнами человеку интересно знать историю математических открытий, разные способы решения задач, уметь использовать математические теоремы для решения сложных задач. Я заинтересовалась решениями задач на сплавы и смеси. «В математике нет царских путей» но я решила найти легкий способ решения. Рассмотрев все способы, которые я нашла в интернете, самым интересным и понятным мне стал способ решения с помощью «квадрата Пирсона», остальные, по сравнению с ним, показались мне сложнее. На основании полученных данных я выдвинула гипотезу: не все задачи на смеси и сплавы решаются с помощью «квадрата Пирсона».

Выбранная мною тема исследования полезна и интересна тем, что, во первых, текстовые задачи, в том числе и задачи на сплавы, смеси и растворы, позволяют развивать логическое мышление. Во вторых, есть трудно решаемые задачи, решая которые, мы сами для себя становимся победителями. В третьих, квадрат Пирсона позволяет рационально и экономно проводить вычисления при решении задач на концентрацию, что особенно ценно на ОГЭ и ЕГЭ.

Нельзя забывать и о традиционном способе, который мы рассматриваем на уроках химии. И вот я решила сравнить эти два способа.

Цель исследования: выявление простого и быстрого способа решения задач на смеси и сплавы.

Задачи:

Решить прототипы задач на смеси и сплавы из открытого банка ОГЭ с помощью «квадрата Пирсона»;

Выделить особенности способа решения с использованием «квадрата Пирсона» и традиционного способа, используемого на уроках химии, сравнить их;

Внедрить полученный опыт при подготовке к экзамену по математике в 9-х классах, сравнить результаты «до и после».

Объект исследования: задачи на смеси и сплавы.

Предмет исследования: решение задач на смеси и сплавы с помощью «квадрата Пирсона».

Методы исследования:

Работа с учебной и научно-популярной литературой;

решение задач;

опрос старшеклассников;

наблюдение, сравнение, анализ.

Глава I. Теоретические основы решения задач на процентное содержание веществ

§1. Карл Пирсон

Способ решения задач на сплавы и смеси рассматриваемый в моей работе сформулировал английский математик Чарльз Пирсон (рис 1). Данный способ был назван в его честь.

Рис. 1

Карл Пирсон (1857-1936) — английский математик, статистик, биолог и философ; основатель математической статистики, один из основоположников биометрики. Автор свыше 650 опубликованных научных работ. В русских источниках иногда называется Чарлз Пирсон.
Родился в семье преуспевающего лондонского адвоката. Закончил
Кембриджский университет в 1879 году. Затем изучал физику в
Гейдельбергском и Берлинском университетах. С 1884 по 1911 год —
профессор прикладной математики и механики Лондонского университета, с
1911 года — директор Лаборатории евгеники Лондонского университета,
заслуженный профессор.
Пирсон много усилий приложил для применения своих открытий в
прикладных областях, прежде всего в биологии, евгенике, медицине. Ряд
работ относится к философии и к истории науки. Наукой Пирсон продолжал
заниматься до самой своей смерти – даже после выхода на пенсию.
Скончался Карл в 1936-м. [4]

Этот способ имеет ещё два названия: химики называют этот способ метод креста или конверт Пирсона.

§2. Массовая доля вещества

Отношение массы растворённого вещества к общей массе раствора называют массовой долей растворённого вещества. [2]

Обозначают массовую долю вещества греческой буквой ω («омега»), выражается в долях или в процентах.

Итак, нам нужно приготовить раствор определенной концентрации, в распоряжении у нас имеются два раствора с высокой и менее высокой концентрацией, чем нам нужно. Обозначим массу первого раствора - m₁, а второго - m₂, при смешивании масса получившейся смеси будет равна сумме этих масс. Массовую долю вещества в первом растворе обозначим ω₁, во втором растворе – ω₂, а в смеси – ω.

Сумма произведений масс на массовые доли растворов вещества равна произведению суммы масс растворов веществ на массовую долю смеси:

. (1)

Это уравнение лежит в основе традиционного способа решения задач на сплавы и смеси [2] .

§3. Как мы решаем задачи на сплавы и смеси на уроках химии

Рассмотрим одну из задач, которую мы решали на уроках химии.

Задача: Смешали 4 литра уксуса (10-процентный водный раствор уксусной кислоты) с 1 литром уксусной эссенции (80-процентный водный раствор уксусной кислоты). Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?[2]

Решение:

литра

литр

Подставим в уравнение (1), получим:

4·0,1+1·0,8=ω(4+1)

ω =0,24 = 24%

Ответ: 24%-ый раствор.

Для того что бы составить математическую модель при решении таких задач необходимы элементарные знания по химии, а так же умения преобразовывать выражения. Я думаю это, и является препятствием при решении задач на сплавы и смеси выпускниками на экзамене.

§4. Схема «Квадрат Пирсона»

Из уравнения (1), получим:

m₁ (ω₁ – ω) = m₂ (ω – ω₂), (2)

теперь запишем в виде пропорции:

= . (3)

На получившемся уравнении (3) и основан способ, который называется «квадрат Пирсона». По сути, он представляет собой схему (рис 2), в основе которой находится квадрат: в верхнем левом углу квадрата располагается массовая доля первого раствора , в нижнем левом - массовая доля второго раствора , на пересечении диагоналей квадрата - массовая доля получившегося раствора Х%, находим разность по первой диагонали и записываем её в правом верхнем углу , затем находим разность по второй диагонали и записываем её в нижнем правом – . [1]

Рис 2

Для удобства восприятия, я дополнила схему вертикальной чертой, за которой расположились массы растворов, так со схемы сразу видно все исходные данные и удобно сразу составлять математическую модель задачи.

Этот способ основан на специфическом виде количества получаемой смеси, оно равно разности показателей исходных веществ.

Рассмотрим этот способ на решении конкретной задачи.

Задача: В сосуд, где было 4 л молока 3% жирности, долили 6 л молока 6% жирности. Сколько процентов составляет жирность молока в сосуде?[3]

Решение:

Составим схему (рис 3).

Выпишем уравнение:

Рис. 3

(%).

Ответ: 4,8 %.

Для решения этих задач способом с помощью «квадрата Пирсона», понимание взаимосвязей между массовой долей вещества и массой вещества не нужно, не нужно и знание химической формулы. Необходимо только составить простую схему и выписать получившееся уравнение.

Глава II. Решение задач из открытого банка ОГЭ и ЕГЭ

§1. Решение прототипов задач

В открытом банке заданий я нашла 7 прототипов:

Для каждой из них я решила составить математическую модель двумя способами: традиционным и с помощью «квадрата Пирсона».

В сосуд, содержащий 8 литров 24-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 4 литра воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? [5]

Смешали некоторое количество 13-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 17-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? [5]

Смешали 8 литров 25-процентного водного раствора некоторого вещества с 12 литрами 20-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? [5]

Имеется два сплава. Первый содержит 15% никеля, второй  — 35% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 140 кг, содержащий 30% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго? [5]

Имеется два сплава. Первый сплав содержит 5% меди, второй  — 12% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 9 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 10% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах. [5]

Смешав 11-процентный и 72-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 31-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 51-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 11-процентного раствора использовали для получения смеси? [5]

Имеется два сосуда. Первый содержит 40 кг, а второй  — 10 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 29% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 50% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?[5]

§2. Сравнение способов решения с помощью таблицы критериев

После того как с прототипами было «покончено» пришло время для сравнения этих двух способов. Для этого я решила составить таблицу критериев (таблица – 1). Критерии я выбрала следующие – время, затрачиваемое на решение задачи; необходимость в дополнительных знаниях из курса химии; применимость способа для любого типа задач.

Таблица – 1

Конечно, то что «квадрат Пирсона» подходит для решения не всех задач это очень большой минус, но в большинстве случаев он является более рациональным, чем традиционный, потому что схема решения очень простая и времени на решение задачи уходит меньше.

Заключение

В моей работе было рассмотрено 2 способа решения задач на смеси и сплавы и проведён эксперимент по решению прототипов заданий из открытого банка ОГЭ и ЕГЭ этими двумя способами. Гипотеза, выдвинутая вначале исследования - подтвердилась, действительно не все задачи можно решить, используя «квадрат Пирсона». Задачи на смеси и сплавы - это важная часть подготовки ученика к экзаменам.

Данного типа задачи часто используются в разных отраслях нашей жизни. Они помогают избегать нам неудачные ситуации, предугадывая правильный ответ. Знания по данной теме помогут мне в подготовке к ОГЭ по математике, а также в различных жизненных ситуациях.

Я считаю, что в данной работе я достигла поставленной цели. Решив несколько разнотипных задач на смешивание жидкостей, на сплавы, я пришла к выводу, что «Квадрат Пирсона»- это способ, который позволяет рационально и экономно проводить вычисления при решении текстовых задач. А зная, два способа решения задач на растворы, один из них всегда можно применить в нужной ситуации.

Литература

Азия А. П. Вольпер И.М. «Квадрат Пирсона, журнал «Квант», №3 1973 год Источник: http://kvant.mccme.ru/1973/03/kvadrat_pirsona.htm

Габриелян О.С. Химия. 8 класс: учеб. для общеобразоват. учеб. заведений – М.: Дрофа, 2017.

Гущин Дмитрий. Источник:https://ege.sdamgia.ru/

Пирсон Карл. Источник: https://ru.wikipedia.org/wiki/Пирсон,_Карл

Открытый банк заданий ОГЭ и ЕГЭ по математике. http://85.142.162.119/os11/xmodules/qprint/index.php?proj=AC437B34557F88EA4115D2F374B0A07B

Приложение 1

Анкета

Вопросы:

1. Решаете ли вы задачи на уроках математики и химии задачи на смеси и сплавы?

Да Нет

2.Умеете ли вы решать задачи на смеси и сплавы? Да Нет

3.Легко ли вам решать задачи на смеси и сплавы? Да Нет

4. Знаком ли вам квадрат Пирсона? Да Нет

Результаты опроса: