XVIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Золотое сечение

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Сидоренко Т.С. 1

---

1МАОУ «СОШ № 77»

Бурдина Л.В. 1

---

1МАОУ «СОШ № 77»

Работа в формате PDF

854.2 KB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

Геометрия владеет двумя сокровищами,

одно из них – это теорема Пифагора,

а другое – деление отрезка в среднем и крайнем отношении.

Первое можно представить мерой золота,

второе же больно напоминает драгоценный камень.

Иоганн Кеплер

Теорему Пифагора знает каждый школьник, а что такое золотое сечение - далеко не все.

Золотое сечение - это универсальное проявление структурной гармонии. Оно встречается в природе, науке, искусстве - во всем, с чем может соприкоснуться человек.

Наиболее емкое определение золотого сечения гласит, что большая часть относится к меньшей, как большая - ко всему целому. Приблизительная его величина - 1,6180339887. В округленном процентном значении пропорции частей целого будут соотноситься как 62% на 38%. Это соотношение действует в формах пространства и времени.

Древние видели в золотом сечении отражение космического порядка. Современная наука рассматривает золотое сечение как «ассиметричную симметрию», называя его в широком смысле универсальным правилом, отражающим структуру и порядок нашего мироустройства. Золотое сечение, обозначаемое числом Ф (в честь великого древнегреческого скульптора Фидия, который использовал это число в своих скульптурах) признано самым красивым во вселенной.

Гипотеза и следования - золотое сечение – универсальное правило, широко распространенное в природе и жизни человека.

Цель исследования - проверить соблюдение золотых пропорций в теле человека.

Объект исследования – анатомия кистей рук людей как проявление закона золотого сечения.

Для достижения поставленной цели и проверки гипотезы исследования необходимо решение следующих задач:

1. Изучить литературу по вопросу возникновения и развития золотого сечения.

2. Исследовать применение математики в различных областях науки и искусства.

3. Провести измерения и расчеты.

Методы исследования:

Изучение литературы.

Проведение измерений.

Статистическая обработка результатов.

Исследование проводилось на стыке нескольких дисциплин: биологии, анатомии, математики, архитектуры и искусства. Все измерения и статистическая обработка результатов проведены лично автором.

Обзор литературы

Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор. Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храма фараона, а также в пропорциях фигур есть соответствие величинам золотого деления [1]. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления.

О золотом делении знал Платон. Его диалог «Тимей» посвящен математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора и, в частности, вопросам золотого деления.

В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые пропорции. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В помпейском циркуле, который хранится в музее в Неаполе, заложены пропорции золотого деления.

В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в «Началах» Евклида. Во второй книге «Начал» дается геометрическое построение золотого деления [15]. После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипеикл во II в. до н.э., Папп в III в. н.э. и др.

В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам «Начал» Евклида. Переводчик Дж. Кампано из Наварры (XIII в.) сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным.

В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди ученых и художников в связи с его применением, как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли «Божественная пропорция» с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Книга была восторженным гимном золотой пропорции. Среди многих достоинств золотой пропорции монах Лука Пачоли не преминул назвать и ее «божественную суть» как выражение божественного триединства Бог сын, Бог отец и Бог дух святой (подразумевалась, что малый отрезок есть олицетворение Бога сына, большой отрезок – Бога отца, а весь отрезок – Бога духа святого) [10].

Леонардо да Винчи много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название Золотое Сечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное [18].

В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд «Эстетические исследования». Он абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и искусства [6].

Непосредственным образом с правилом золотого сечения связано имя итальянского математика Леонардо Фибоначчи. В результате решения одной из задач ученый вышел на последовательность чисел, известную сейчас как ряд Фибоначчи:0,1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. На отношение этой последовательности к золотой пропорции обратил внимание Кеплер: «Устроена она так, что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности» [8]. Сейчас ряд Фибоначчи - это арифметическая основа для расчетов пропорций золотого сечения во всех его проявлениях.

Основная часть

Золотое сечение в архитектуре

Пропорции пирамиды Хеопса (прил. 1, рис. 1) свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. В пирамиде присутствует прямоугольный золотой треугольник, сторонами которого являются высота и половина стороны основания строения.

Возникает вопрос об уровне древнеегипетской математики. Выходит, что теорема Пифагора была им известна за два тысячелетия до рождения самого учёного.

Установлено, что сооружения пирамидальной формы с золотым сечением оказывают на находящихся в них феноменальное воздействие: растения лучше растут, металлы становятся прочнее, вода долго остаётся свежей. Учёные много лет работают с этими загадками, но тайна остаётся.

Пирамида приводит структуру пространства в слаженное состояние. Всё, что попадает в зону действия, тоже организуется подобным образом: психоэмоциональное состояние людей улучшается, вредные для человека излучения уменьшаются, исчезают геопатогенные зоны. Если размер фигуры увеличивается в два раза, то влияние пирамиды усиливается в сто раз. В таком здании золотое сечение сохраняет жизненную гармонию.

Многие египетские архитектурные памятники построены на основе пропорции «золотого сечения» и чисел Фибоначчи. С числами 55, 89, 144 связаны не только внешние пропорции пирамид, но и внутренние, такие как зал фараона в пирамидах Хеопса, Хефрена и Микерина [4].

Золотая, или божественная пропорция, являясь чисто математическим соотношением, получила широкое применение в творениях скульпторов и архитектуре Древней Греции. У древних греков все какие-нибудь крупные архитектурные сооружения (храмы, стадионы, амфитеатры) построены таким образом, что в них многообразно представлена «золотая пропорция». В фасаде древнегреческого храма Парфенона (прил. 1, рис. 2) присутствуют золотые пропорции. Фригийские гробницы, театр в Эпидавре и театр Диониса в Афинах – яркие образцы ваяния и зодчества, исполненные глубокой гармонии на основе золотого сечения. Если в Древнем Египте закон золотого деления использовался спорадически (от случая к случаю), то в Древней Греции – постоянно.

В дальнейшем архитекторы разных эпох в самых разных странах использовали в своей работе золотые пропорции.

Выдающийся мастер архитектуры русский академик И.В. Жолтовский провел исследование с точки зрения золотого сечения большого количества построек различных эпох, особенно классических греческих зданий и зданий эпохи Ренессанса. В результате длительных поисков Жолтовскому удалось найти так называемые производные золотого сечения, которые позволяют делить отрезок в более «мягких», убывающих пропорциях. Эти новые производные он назвал функциями золотого сечения. И.В. Жолтовский отмечал, что золотое сечение дает слишком быстрый рост, слишком контрастные деления. А функция позволяет строить более мягко возрастающие и убывающие отношения. Золотое сечение он считал присущим природе, а его воздействие на человека объяснял тем, что он сам - частица природы и то, что составляет гармонию в природе, свойственно и ему. «Гармония, - писал И.В. Жолтовский – вот что лежит в основе всех видов искусства на всем протяжении истории».

Одним из примеров использования золотых пропорций является Московский Государственный Университет на Воробьевых горах. Этот образец послевоенной советской архитектуры построен с 1949 по 1953 годы. В годы строительства это было самое высокое здание в Европе. Над его проектом работал коллектив под управлением Б.М. Иофана. Университет представляет собой композицию из пяти составляющих с центральной башней (прил. 1, рис. 3). Длина здания равна 1472 ед. и начинает ряд: 909, 562, 347, 214, 132, 81, 50. Золотому сечению подчиняются, в основном высотные размеры. Из ширины башни проистекает другой ряд: 538, 332, 205, 126, который видим в широтных размерах. Золотой прямоугольный треугольник гипотенузой проходит через угол здания и захватывает пристройки.

Исследователи золотого сечения без устали изучают и замеряют шедевры архитектуры, утверждая, что они стали таковыми, потому что созданы по золотым канонам.

2. Применение золотого сечения в искусстве

В эпоху Возрождения художники открыли, что любая картина имеет определенные точки, невольно приковывающие наше внимание, так называемые зрительные центры. При этом абсолютно неважно, какой формат имеет картина - горизонтальный или вертикальный. Таких точек всего четыре, и расположены они на расстоянии 3/8 и 5/8 от соответствующих краев плоскости. Данное открытие у художников того времени получило название «золотое сечение картины». Поэтому, для того чтобы привлечь внимание к главному элементу картины, необходимо совместить этот элемент с одним из зрительных центров.

В эпоху Возрождения золотое сечение было очень популярно среди художников. Например, в большинстве живописных пейзажей линия горизонта делит полотно по высоте в отношении, близком к коэффициенту золотого сечения. А, выбирая размеры самой картины, старались, чтобы ее стороны находились в золотом отношении. Такой прямоугольник стали называть «золотым».

Великий Леонардо да Винчи является едва ли не самым известным поклонником «золотого принципа» в живописи. Композиция многих его картин построена именно на основе «Божественной пропорции» (прил. 1, рис. 4, 5, 6) [2].

Художник В.И. Суриков говорил, что «в композиции есть непреложный закон, когда в картине нельзя ничего ни убрать, ни добавить, даже лишнюю точку поставить нельзя, это настоящая математика» [9]. Долгое время художники следовали этому закону интуитивно, но после Леонардо да Винчи процесс создания живописного полотна уже не обходится без решения геометрических задач. Например, Альбрехт Дюрер для определения точек золотого сечения использовал изобретенный им пропорциональный циркуль.

Шедевр великого мастера Возрождения Альбрехта Дюрера гравюра «Меланхолия» является своеобразным учебником перспективы и геометрии живописи (прил. 1, рис. 7). В картине показана перспектива круглого жернова, который изображается в виде эллипса. Перекладины лестницы параллельны линии горизонта, поскольку лестница прислонена к плоскости, параллельной плоскости картины. В правом верхнем углу гравюры изображен магический квадрат, составленный из первых чисел натурального ряда, сумма которых по любой строке, столбцу или диагонали одна и та же [14].

Следовали канонам золотого сечения в своих произведениях Рафаэль, Боттичелли и другие художники.

Композиции картин русских художников, таких как И.И. Шишкин, И.Е. Репин, В.И. Суриков, К.А. Васильев и других, построены по принципам золотого сечения. Искусствовед Ф.В. Ковалев, подробно исследовав картину Н.Н. Ге «Александр Сергеевич Пушкин в селе Михайловском», отмечает, что каждая деталь полотна, будь то камин, этажерка, кресло или сам поэт, строго вписаны в золотые пропорции.

Литературоведы обратили внимание, что наиболее популярное количество строк в стихотворениях позднего периода творчества А.С. Пушкина соответствует ряду Фибоначчи- 5, 8, 13, 21, 34.Действует правило золотого сечения и в отдельно взятых произведениях русского классика. Так кульминационным моментом «Пиковой дамы» является драматическая сцена Германа и графини, заканчивающаяся смертью последней. В повести 853 строки, а кульминация приходится на 535 строке (853:535=1,6) - это и есть точка золотого сечения.

Выдающийся советский режиссер С.М. Эйзенштейн занимался исследованием золотого сечения в кино. Он сознательно использовал золотое сечение при структурном построении фильма «Броненосец Потемкин», а также при формировании отдельных кульминационных кадров фильма.

В 1925 году искусствовед Л.Л. Сабанеев, проанализировав 1770 музыкальных произведений 42 авторов, показал, что подавляющее большинство выдающихся сочинений можно легко разделить на части или по теме, или по интонационному строю, или по ладовому строю, которые находятся между собой в отношении золотого сечения. Причем, чем талантливее композитор, тем в большем количестве его произведений найдено золотых сечений. У А.С. Аренского, Л. Бетховена, А.П. Бородина, Ф.Й. Гайдна, В.А. Моцарта, А.Н. Скрябина, Ф.Ф. Шопена и Ф.П. Шуберта золотые сечения найдены в 90% всех произведений. По мнению Л.Л. Сабанеева, золотое сечение приводит к впечатлению особой стройности музыкального сочинения.

И сегодня в любом искусстве стараются следовать пропорциям золотого сечения, так как они, по мнению искусствоведов, облегчают восприятие произведения и формируют у человека эстетическое ощущение.

3. Примеры золотого сечения в природе

Даже не вдаваясь в расчеты, золотое сечение можно без труда обнаружить в природе. Под него попадают соотношение хвоста и тела ящерицы, расстояния между листьями на ветке, есть золотое сечение и в форме яйца, если условную линию провести через его наиболее широкую часть (прил.1, рис. 8) [17].

Белорусский ученый Э.М. Сороко, который изучал формы золотых делений в природе, отмечал, что все растущее и стремящееся занять свое место в пространстве, наделено пропорциями золотого сечения. По его мнению, одна из самых интересных форм - это закручивание по спирали.

Еще Архимед, уделяя внимание спирали, вывел на основе ее формы уравнение, которое и сейчас применяется в технике. Позднее Гете отмечал тяготение природы к спиральным формам, называя спираль «кривой жизни». Современными учеными было установлено, что такие проявления спиральных форм в природе как раковина улитки, расположение семян подсолнечника, узоры паутины, движение урагана, строение ДНК и даже структура галактик заключают в себе ряд Фибоначчи [13].

Золотое сечение в теле человека

Леонардо да Винчи наглядно продемонстрировал связь золотого сечения и пропорций тела человека [19]. Сделал он это в своем чернильном рисунке «Витрувианский человек», где была отражена гармония и соразмерность частей тела относительно друг друга (прил. 1, рис. 9).

В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор А. Цейзинг опубликовал свой труд «Эстетические исследования» [6]. Он проделал колоссальную работу. А. Цейзинг измерил около двух тысяч человеческих тел, а также множество античных статуй и пришел к выводу, что золотое сечение выражает среднестатистический закон. В человеке ему подчинены практически все части тела, но главный показатель золотого сечения - это деление тела точкой пупа (прил. 1, рис. 10).

Верхушка головы до пупа относится к уровню пупа и до подошвы ног, как 38:62, то есть 0,63157894.

Расстояние от уровня плеча до макушки головы и размера головы равно 1:1,618, то есть 0,618.От верхушки головы и до кончиков пальцев к кончикам пальцев и до ступни, относится, как 62:38, то есть 1,6315. От плеча до локтя к локтю и до кончиков пальцев относится, как 38:62, то есть 0,6315.От локтя до кисти руки к кисти руки и до кончиков пальцев относится, как 62:38, то есть 1,631. Расстояние от уровня плеча до макушки головы и размера головы равно 1:1,618, то есть 0,618.

В лице человека тоже есть золотые пропорции (прил. 1, рис. 11). От верхушки головы и до бровей к бровям и до подбородка относится, как 38:62, то есть 0,631.От кончика носа до губ к губам и до подбородка относится, как 38:62, то есть 0,631.

Длина пальцев рук человека также соответствует золотой пропорции (прил. 1, рис. 12). От начала кисти руки до середины пальцев к началу кисти руки до костяшек относится, как 62:38, то есть 1,631.От начала кисти руки и до первых костяшек к костяшкам и до середины пальцев относится, как 38:24, то есть 1,583. Каждый палец нашей руки состоит из трех фаланг. Сумма двух первых фаланг пальца в соотношении со всей длиной пальца и дает число золотого сечения (за исключением большого пальца). Кроме того, соотношение между средним пальцем и мизинцем также равно числу золотого сечения.

В результате измерений А. Цейзинг установил, что пропорции мужского тела (13:8), ближе к золотому сечению, чем пропорции женского тела (8:5). У новорожденного пропорции тела составляют отношение 1:1, к 13 годам они равны 1,6, а к 21 году равны мужской.

Самая главная книга всех современных архитекторов справочник Э. Нойферта «Строительное проектирование» содержит основные расчеты параметров туловища человека, заключающие в себе золотую пропорцию.

4. Использование золотого сечения в современном мире

После эпохи Ренессанса золотое сечение было забыто на более чем 200 лет. И лишь в 19-20 веках снова начало активно использоваться. В архитектуре, картинах, литературных произведениях и эталонах красоты. Сейчас пропорциями золотого сечения активно пользуются дизайнеры. Золотое сечение позволяет выстроить гармоничный центр, то, на что человек будет обращать больше всего внимания. Золотые пропорции используются при создании логотипов. Так, например, были созданы известные логотипы Twitter, Pepsi, Apple и Toyota. На примере логотипа социальной сети Twitter мы можем проследить соблюдение пропорций (прил. 1, рис. 13). Логотип, состоящий из кругов, легко воспринимается людьми и узнаваем. И главное, логотип передает основную идею социальной сети - свободу и скорость коммуникации.

Логотипы, сайты, интерфейсы, основанные на золотом сечении довольно популярны, так как они приятны глазу и человек сразу видит продуманность и гармоничность в них. Также это объясняется с эстетической точки зрения. Большинство шедевров в основе имеют золотую пропорцию, а они считаются эталоном красоты и лежат в основе множества современных вещей [7].

5. Практическая часть

Для подтверждения гипотезы исследования были проведены измерения пальцев рук. Данный объект был выбран для исследования как наиболее доступный и удобный для измерения. Другие части тела (лицо, туловище, ноги) не были выбраны для исследования в связи с неудобством и сложностью измерения, возможным стеснением испытуемых, а также с эстетической точки зрения.

Измерения были проведены у девочек и мальчиков в возрасте от 15 до 18 лет (учащиеся кружка «Сам себе психолог») и взрослых женщин и мужчин (педагоги кружка и родители учащихся). В каждой группе было по 7 человек. Измерения проводили на правой руке.

Каждый палец нашей руки состоит из трех фаланг. Сумма двух первых фаланг пальца в соотношении со всей длиной пальца и дает число золотого сечения (за исключением большого пальца).

Мы измерили длину двух передних фаланг и самого пальца. Пальцы были пронумерованы: указательный палец – 2, средний палец – 3, безымянный палец – 4, мизинец – 5. Результаты представлены в табл. 1-4 (прил. 2) и рис. 1-4.

Рис. 1. Наличие пропорций золотого сечения у девочек от 15 до 18 лет

Рис. 2. Наличие пропорций золотого сечения у мальчиков от 15 до 18 лет

Рис. 3. Пропорции золотого сечения у женщин

Рис. 4. Пропорции золотого сечения у мужчин

Рис. 5. Пропорции золотого сечения в пальцах рук человека

Проведенные нами измерения показали, что у 60,71% девочек в возрасте от 15 до 18 лет и у такого же процента женщин обнаружены пропорции золотого сечения в пальцах рук. Золотые пропорции в анатомии пальцев рук выявлены у 53,57% мальчиков в возрасте от 15 до 18 лет и 57,14% мужчин.

Необходимо отметить, что пропорция 1,6 у всех четырех пальцев была обнаружена только у одного человека – одной женщины. У остальных испытуемых золотой пропорции соответствовали 2-3 пальца. В то же время не выявлен ни один человек, у которого не было бы золотой пропорции совсем.

Заключение

Золотое сечение - это универсальное проявление структурной гармонии, один из основополагающих принципов природы. Человек в своей деятельности и искусстве многое берет от природы. Многие скульпторы, художники и архитекторы добились успеха, так как использовали в своих работах законы золотого сечения.

Принцип золотого сечения претендует на универсальный признак красоты. Человеческое представление о красивом сформировалось под влиянием того, какой порядок и гармонию человек видит в природе. Исследования показывают, что чем симметричнее тело и лицо, тем более красивыми они выглядят в глазах людей. Причина в том, что симметрия частей тела напрямую зависит от синхронной активности генов, определяющих развитие человека. Если эти гены успешно работают, несмотря на все неблагоприятные воздействия окружающей среды, значит, и весь геном человека можно назвать хорошим, и наоборот.

В результате проведенного исследования можно сделать следующие выводы:

Данные литературы подтверждают гипотезу, что золотое сечение – универсальное правило, широко распространенное в природе и жизни человека.

В теле современного человека соблюдаются пропорции золотого сечения.

Список литературы

Аракелян, Г. Математика и история золотого сечения / Г. Аракелян. - Логос, 2014. - 404 с.

Баткин, Л.М. Леонардо да Винчи и особенности ренессансного творческого мышления / Л.М. Баткин. - М.: Искусство, 1990. – 415 с.

Бежан, А. Физика жизни: эволюция всего на свете / А. Бежан. – М.: АСТ, 2022. – 304 с.

Васютинский, Н.А. Золотая пропорция / Н.А. Васютинский. – М.: Мол. гвардия, 1990. – 238 с.

Волошинов, А.В. Математика и искусство / А.В. Волошинов. - М.: Просвещение, 1992. – 335 с.

Железняк, Г.В. Расшифрованные космические знания / Г.В. Железняк, А.В. Козка. – Харьков: 2007. – 62 с.

Зарудко, В.В. Золотое сечение. Традиция и современность / В.В. Зарудко. - М,: 2003. – 211 с.

Кеплер, И. О шестиугольных снежинках / И. Кеплер. – М., 1982.

Ковалев, Ф.В.Золотое сечение в живописи: учеб. Пособие/ Ф.В. Ковалев. - Киев, 1989. - 143 с.

Корбалан, Ф. Золотое сечение. Математический язык красоты/Пер.с англ. – М., 2014. -160 с.

Лукашевич, И.Г. Математика в природе /И.Г. Лукашевич.- Минск, 2013. - 48с.

Пидоу, Д. Геометрия и искусство / Д. Пидоу. – М.: Мир, 1979. -332 с.

Смирнов, В.С. Золотое сечение – основа математики и физики будущего. Спираль развития Вселенной / В.С. Смирнов. – СПб.: Типография ИПТ, 1997. – 113 с.

Соловьева, Г.Н. Альбрехт Дюрер. Трактаты, дневники, письма / Г.Н. Соловьева. – СПб.: Азбука, 2000. – 662 с.

Стахов, А.П. «Принцип Золотой Пропорции» в «Началах» Евклида и «Обобщенный Принцип Золотого Сечения» // Академия Тринитаризма.- М. – Эл. № 77 - 6567, публ. 13523 - 06.07.2006.

Стахов, А.П. Коды золотой пропорции / А.П. Стахов. - М.: Радио и связь,1984. – 152с.

Урманцев, Ю.А. Симметрия природы и природа симметрии /Ю.А.Урманцев. - М.: Мысль,1974. – 229с.

Филиппов, М.М. Леонардо да Винчи как художник, ученый и философ: Биографический очерк / М.М. Филиппов - СПб., 1892. - 88 с.

Чанки, М. Леонардо / М. Чанки. - М.: Белый город, 2000. – 63 с.

Энциклопедия для детей. Математика. - М.: 1998. – 685 с.

Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика / Авт.-сост. А.П. Савин и др. - М.: АСТ: Астрель, 2002. – 475с.

Приложения

Приложение 1

Рис. 1. Золотое сечение в пирамиде Хеопса

Рис. 2. Золотые пропорции храма Пафенона

Рис. 3. Московский Государственный Университет на Воробьёвых горах

Рис. 4. Тайная вечеря

Рис. 5. Мона Лиза

Рис. 6. Иоанн Креститель

Рис. 7. Меланхолия

Рис. 8. Золотое сечение в природе

Рис. 9. Витрувианский человек

Рис. 10. Золотое сечение в теле человека

Рис. 11. Золотые пропорции в лице человека

Рис. 12. Золотое сечение в кисти человека

Рис. 13. Логотип социальной сети Twitter

Приложение 2

Таблица 1

Результаты измерений у девочек от 15 до 18 лет

Таблица 2

Результаты измерений у мальчиков от 15 до 18 лет

Таблица 3

Результаты измерений у женщин (старше 19 лет)

Таблица 4

Результаты измерений у мужчин (старше 19 лет)