XVIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Построение правильных многоугольников при помощи циркуля и линейки
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
В начале прошлого столетия великий французский архитектор Корбюзье как-то воскликнул: «Все вокруг геометрия!». Сегодня уже в начале 21-го столетия мы можем повторить это восклицание с еще большим изумлением. В самом деле, посмотрите вокруг – всюду геометрия! Геометрические знания и умения, геометрическая культура и развитие являются сегодня профессионально значимыми для многих современных специальностей, для дизайнеров и конструкторов, для рабочих и ученых.
Правильные многоугольники с глубокой древности считались символом красоты и совершенства.Деление окружности на некоторое число равных частей для построения правильных многоугольников имело важное значение для пифагорейцев, которые утверждали, что числа лежат в основе всех явлений мира.
Геометрические знания и умения, геометрическая культура и развитие являются сегодня необходимыми для многих современных специальностей, для архитекторов и конструкторов, для рабочих и ученых. Со временем, человек научился использовать свойства геометрических фигур в практической жизни. Из всех многоугольников с заданным числом сторон наиболее приятен для глаза правильный многоугольник, у которого равны все стороны и равны все углы. Я увлекаюсь изобразительным искусством, и мне часто приходится рисовать различные многоугольники в своих работах. Отсюда и вытекает актуальность темы моей работы.
Цель проекта: изучить способы построения и научиться строить правильные многоугольники при помощи циркуля и линейки.
Задачи данной работы: изучить историю возникновения построений правильных многоугольников и рассмотреть известные задачи на построение геометрических фигур с помощью циркуля и линейки; научиться выполнять основные геометрические построения.
Объект исследования: алгоритмы построения правильных многоугольников.
Предмет исследования: правильные многоугольники.
Методы исследования:
– анализ источников информации;
– анализ методов построения правильных многоугольников;
– обработка полученных результатов.
Значимость работы состоит в том, что я научился строить правильные многоугольники, и в дальнейшем буду применять эти знания на других уроках и в творчестве.
Из истории геометрического построения циркулем и линейкой
Построением правильных многоугольников ученые занимались с древних времен. Искусство построения геометрических фигур было в высокой степени развито в Древней Греции.
Древнегреческие ученые стали проявлять большой интерес к правильным фигурам еще со времен Пифагора. Учение о правильных многоугольниках, начатое в школе Пифагора, продолженное и развитое в V—IV вв. до н. э., было систематизировано Евклидом и изложено в IV книге «Начал». Кроме построения правильного треугольника, четырехугольника, пятиугольника и шестиугольника, Евклид: решает и задачу построения правильного пятнадцатиугольника при помощи только циркуля и линейки.
Древнегреческие математики еще 3000 лет назад проводили свои построения с помощью двух приборов: гладкой дощечки с ровным краем – линейки и двух заостренных палок, связанных на одном конце – циркуля. Однако этих простейших инструментов оказалось достаточно для выполнения огромного множества различных построений.
Древние греки умели строить правильный треугольник, квадрат, правильные пятиугольник и 15-угольник, а также все многоугольники, которые получаются из них путем удвоения сторон.
Долгое время математики тщетно искали способы построения правильного семиугольника, девятиугольника, одиннадцатиугольника и т. д., не зная даже, возможно ли вообще построение таких многоугольников с по мощью только циркуля и линейки. Эта проблема была решена лишь в конце ХVIII в. 19-летним К. Ф. Гауссом, великим немецким математиком, доказавшим, что с помощью циркуля и линейки можно разделить окружность на такое простое число N равных частей, которое выражается формулой
N = + 1, где n — натуральное число или нуль.
Вот несколько примеров: 1) n = 0, N = 3; 2) n = 1, N = 5; 3) n = 2, N = 17; 4) n = З, N = 257; 5) n = 4, N = 65 537 и т. д.
После открытия Гаусса стало ясно, что, помимо ранее известных правильных многоугольников с 3; 4; 5; 6; 8; 10; 12; 15; 16; 20; 24; 30; 32; 40; ... сторонами, можно построить с помощью циркуля и линейки правильные многоугольники с 17; 34; 68; 126; 252; 257; 65537… сторонами.
Им было доказана невозможность циркулем и линейкой построить правильные многоугольники со следующим числом сторон: 7; 9; 11; 13; 14; 18; 19; 21; 22; 23; 25; 27; 28.
Основные построения
2.1 Построение отрезка, равного данному
Построение отрезка, равного данному отрезку АВ (приложение 1, рис. 1) выполняется с помощью циркуля таким образом: одну ножку циркуля устанавливают на один конец отрезка АВ, а другую — на другой его конец и, не меняя раствора циркуля, переносят его на некоторую прямую так, чтобы конец одной ножки отметил какую-нибудь точку N, тогда конец другой ножки циркуля отметит некоторую точку Р на этой же прямой. Отрезок NP будет равен отрезку АВ.
2.2 Деление отрезка пополам
С помощью циркуля и линейки разбить данный отрезок AB на две равные части. Одно из решений показано на рисунке (приложение 1, рис. 2): циркулем проводим окружности с центром в точках A и B радиусом AB.
Находим точки пересечения P и Q двух построенных окружностей (дуг).
По линейке проводим отрезок или линию, проходящую через точки P и Q. Находим искомую середину отрезка AB — точку пересечения AB и PQ.
2.3 Построение угла, равного данному
Проведем произвольную окружность с центром в вершине А данного угла (приложение 1, рис. 3). Пусть В и С - точки пересечения окружности со сторонами угла. Радиусом АВ проведем окружность с центром в точке О-начальной точке данной полупрямой. Точку пересечения этой окружности с данной полупрямой обозначим С1. Опишем окружность с центром С1 и радиусом ВС. Точка В1 пересечения построенных окружностей в указанной полуплоскости лежит на стороне искомого угла.
2.4 Построение биссектрисы угла
Из вершины A данного угла как из центра описываем окружность произвольного радиуса r (приложение 1, рис. 4). Пусть B и С – точки ее пересечения со сторонами угла. Из точек В и С проведем окружности тем же радиусом r. Пусть точка D – точка их пересечения, отличная от A. Проведем луч AD. Проведем отрезки BD и CD. Δ ABD = Δ ACD, по третьему признаку равенства треугольников. Отсюда ∠ BAD = ∠ CAD и, следовательно, AD – биссектриса угла BAC.
2.5 Построение перпендикулярных прямых
Проводим окружность с произвольным радиусом r с центром в точке O (приложение 1, рис. 5). Окружность пересекает прямую в точках A и B. Из точек A и B проводим окружности с радиусом AB. Пусть тоска С – точка пересечения этих окружностей.Точки А и В мы получили на первом шаге, при построении окружности с произвольным радиусом.
Искомая прямая проходит через точки С и О.
Построение правильных многоугольников
Существуют различные способы построения правильных многоугольников. В данной работе рассматривается способ построения правильных многоугольников, вписанных в круг.
Для выполнения построений мы используем циркуль и линейку.
Циркуль позволяет:
– построить окружность,
– построить дугу окружности,
– отложить на прямой отрезок, равный данному.
Линейка позволяет:
– построить прямую линию,
– построить отрезок, соединяющий две точки,
– найти точку пересечения двух прямых.
Рассмотрим, каким образом можно с помощью циркуля и линейки построить правильный многоугольник, вписанный в окружность.
Построение правильного (или равностороннего) треугольника.
С помощью линейки строим две взаимоперпендикулярные прямые. Точку пересечения прямых обозначаем точку С – центр окружности. С помощью циркуля строим окружность с центром в точке С. Точки пересечения вертикальной осевой линии и окружности обозначим Е и D. Раствором циркуля равным радиусу с центром в точке D, строим окружность делаем. Точки пересечения с первой окружностью обозначим F и G. Соединив линиями точки E, F,G, получим правильный или равносторонний треугольник (приложение 2, рисунок 1).
Построение правильного четырехугольника или квадрата.
С помощью линейки строим две взаимоперпендикулярные прямые. Точку пересечения прямых обозначаем точку А – центр окружности. С помощью циркуля строим окружность с центром в точке А. Точки пересечения прямых и окружности обозначим Е, C, F и D. Эти точки делят окружность на четыре равные части. Соединяем полученные четыре точки E, C, F и D между собой отрезками и получаем правильный четырех угольник или квадрат (приложение 2, рисунок 2).
Построение правильного пятиугольника.
С помощью линейки строим две взаимоперпендикулярные осевые линии окружности. В точке пересечения линий обозначаем точку А – центр окружности. С помощью циркуля строим окружность с центром в точке А. Точки пересечения осевых линий и окружности обозначим B, Е, С D. Раствором циркуля равным радиусу построим окружность с центром в точке В. Соединим точки пересечения дуги и окружности FG. Эта линия разделит радиус BAпополам. Эту точку пересечения обозначим H. Из точки H, раствором циркуля равным длине отрезку HE, проводим окружность, которая пересекает АC в точке J. Длина отрезка EJ будет равна одной пятой длины окружности. Раствором циркуля равным длине отрезка EJ из точки Eпоследовательносделаем засечки на окружности и соединим полученные точки E, C, M, F, N, Bмежду собой отрезками и получаем правильный пятиугольник (приложение 2, рисунок 3).
Построение правильногошестиугольника.
Теперь рассмотрим построение правильного шестиугольника. Есть несколько способов, самый простой из которых предполагает использование циркуля, карандаша и линейки. Вначале рисуем циркулем произвольную окружность, затем в произвольном месте на этой окружности делаем точку. Не меняя раствора циркуля, ставим острие в эту точку, отмечаем на окружности следующую насечку, продолжаем так до тех пор, пока не получим все 6 точек. Теперь остается лишь соединить их между собой прямыми отрезками, и получится искомая фигура (приложение 2, рисунок 4).
Построение правильного семиугольника.
Построим окружность с центром в точке А. Проведем диаметр DB. С центром в точках B и D проведем окружность радиуса АВ. Точки пересечения окружностей обозначим С и Е. Проведем отрезки ВЕ и АС. Точку пересечения обозначим F. От точки В откладываем последовательно дуги радиуса ВF. Получим точки G, J, K, L, I, H. Соединяем точки В, G, J, K, L, I, H, В. Получим правильный семиугольник (приложение 2, рисунок 5).
Заключение
Правильные многоугольники встречаются в природе. Один из примеров – пчелиные соты, которые представляют собой многоугольник, покрытый правильными шестиугольниками. Конечно, геометрию они не изучали, но природа наделила их талантом строить себе дома в форме геометрических фигур. Пчелы, не зная математики, верно «определили», что правильный шестиугольник имеет наименьший периметр среди фигур равной площади.
Красота и разнообразие геометрических форм снежинок по сей день считается уникальным природным явлением. Особенно математиков поразила найденная в середине снежинки «крошечная белая точка, точно это был след ножки циркуля, которым пользовались, чтобы очертить ее окружность».
Красивы паркеты из правильных многоугольников: треугольников, квадратов, пятиугольников, шестиугольников, восьмиугольников. Паркетный пол во все времена считался символом престижа и хорошего вкуса. Применение для производства элитного паркета ценных пород дерева и использование различных геометрических узоров придают помещению изысканности. Узоры вышивок, составленные из геометрических форм и сильно геометризированных мотивов, смотрятся прекрасно.
Этим исследованием я убедился, что геометрия очень важна для людей. Ее нужно изучать. Ее нужно применять.
А построения правильных многоугольников являются одной из важных частей геометрии. Они формируют пространственное и логическое мышление, а также позволяют осознать простые и естественные геометрические закономерности.
Знания о правильных многоугольниках применяются в разных профессиях. Например, ювелир вставляет дорогой камень в золотую оправу. Слесарь подбирает ключ для болтика формы правильного многоугольника и т.д. Решенные нами задачи также показывают, что без знаний о правильных многоугольниках нам не обойтись. Они встречаются в жизни везде. Так, например, если необходимо забором данной длины огородить четырехугольный участок наибольшей площади, то следует выбрать этот участок в виде квадрата.
Все поставленные мною задачи выполнены. Я научился строить правильные многоугольники, а способы построения правильных многоугольников начал применять в своем творчестве.
Список использованных источников и литературы
1. Гнеденко В.В. Белоусов В.Д. Энциклопедический словарь юного математика.
2. Савин А.П. Детская энциклопедия. Я познаю мир. Москва. Астрель. 2003 г.
3. http://cheloveknauka.com/uchenie-o-pravilnyh-mnogougolnikah-v-istoricheskom-razvitii
4. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BB%D1%8C-%D0%A4%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%B8
Приложение 1
Построение отрезка равного данному.
Рисунок 1
Деление отрезка на два равных.
Рисунок 2
Построение угла равного данному.
Рисунок 3
Построение биссектрисы угла.
Рисунок 4
Построение перпендикулярных прямых.
Рисунок 5
Приложение 2
Построение правильных многоугольников.
Правильный треугольник.
Рисунок 1
Квадрат.
Рисунок 2
Пятиугольник.
Рисунок 3
Шестиугольник.
Рисунок 4
Семиугольник.
Рисунок 5