XVIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Математика в календаре
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Мы привыкли жить по календарю. Молодежь для уточнения даты чаще всего заглядывает в мобильный телефон, а бабушки, по старой доброй традиции, заглядывают в висящий на стене толстенький типографский кирпичик, в котором день за днем отрывают бумажные странички с цифрами, переходя на новый день. В офисах чаще всего можно увидеть настенный календарь, такие календари популярны, потому что удобны в использовании. На углу рабочего стола можно разместить перекидной календарь.
В наше время нет человека, который не знал бы что такое календарь. Мы настолько привыкли использовать календарь в повседневной жизни, что не можем представить жизнь без него. Время – око истории, а хранитель истории - календарь – мудрый спутник жизни. Календарь – это определенная система счисления, поэтому связь с математикой очевидна. Двенадцать систематизированных числовых таблиц интересны не только ученым, историкам, археологам, но и любителям математики.
Цель работы: изучить закономерности календаря, определить их особенности.
Задачи:
Изучить историю возникновения календаря.
Изучить виды календарей.
Изучить математические закономерности в календаре.
Актуальность работы: каждый человек планирует свою жизнь чуть ли не на год вперед, поэтому жизнь без календаря едва ли возможна.
Гипотеза: допустим, что в календаре есть закономерности, которые имеют математическое доказательство.
Методы исследования: анализ, синтез, обобщение.
Объект исследования: календарь.
Предмет исследования: закономерности в календаре.
Научная новизна: на сегодняшний день существуют различные работы, посвященные изучению календаря. Однако я решил самостоятельно изучить эту тему и систематизировать полученные данные.
Глава 1. Что такое календарь?
Если представить себе, что все календари исчезнут. В жизни всех людей начнется путаница: у одного будет праздничный день, а другой соберется на работу, одни начнут сеять, другие – пахать, у одних начнется учебный год, а другие решат отдохнуть на каникулах.
Значит, еще в древности человек столкнулся с проблемой, как определять время, узнавать какой сейчас день, месяц, год. Мы привыкли жить по календарю, и не задумываемся над тем, что так было не всегда.
Много сведений можно получить из словарей, обратимся к ним, за объяснениями значения слова «календарь».[8]
Слово «календарь» происходит от латинского calendae – в Древнем Риме так назывались первые дни каждого месяца (календы). В свою очередь это существительное происходит от архаичного глагола caleo – «провозглашать», «созывать».
Обратимся к современному объяснению слова.
Словарь русского языка Ожегова С. И.:
Календарь - 1. Способ счисления дней в году. 2. Таблица или книжка с перечнем всех дней в году (с различными справочными сведениями). 3. Определение по времени (дням, месяцам) отдельных видов деятельности.[2]
Толковый словарь русского языка Ефремовой Т.Ф:
Календарь - справочное печатное издание в виде таблицы или книжки, содержащей последовательный перечень дней года с праздников, памятных дат, астрономических данных и т.п.).[1]
Большой Энциклопедический словарь:
Календарь — справочное издание, содержит последовательный перечень чисел, дней недели и месяцев года часто с указанием других сведений и иллюстрациями.
Вывод: Календарь - система счисления длительных промежутков времени, основанная на периодичности таких явлений природы, как смена дня и ночи, смен фаз Луны, смена времени года.
Глава 2. История появления календаря
Многие народы вложили свои знания и наблюдения, в то, что сегодня мы называем календарем, поэтому невозможно утверждать, что создание календаря принадлежит какому-либо одному народу.
Первый календарь в Египет появился в III тысячелетии до нашей эры. Жрецы-астрономы заметили, что на ночном небе появляется звезда Сириус (Сотис) и начинается разлив Нила. Эта примета легла в основу создания египетского календаря. Календарь делился на три сезона (сезон разлива Нила, сезон спада вод реки, сезон засухи). Этот календарь насчитывал 365 дней. Египетский календарь был удобен в использовании, но жрецы заметили, что их календарь начинает вырываться вперед: каждый год по 6 часов, но с течением времени ошибка увеличивалась. Ошибку предложил исправить царь Птолемей III Эвергет (ок.284-221 до н. э.; царь в 246- 221 до н. э.): каждые четыре года добавлять один дополнительный день, который компенсировал выравнивание. Жрецы противились этому, поэтому в Египте долгое время календарь был блуждающим.[7]
Календарь в Древнем Риме отличался от календаря Древнего Египта. В Римском календаре начало каждого месяца провозглашалось особо, потому что первого числа каждого месяца выплачивались проценты по долгам. Это случилось в I столетии до н.э. Император Юлий Цезарь был недоволен прежним исчислением времени, поэтому нововведение принял с восторгом. В календаре, который называют Юлианским, три года были простыми, а четвёртый длиннее всех остальных. Предложил его императору астроном по имени Созиген.
Сначала римский календарь стоял из 10 месяцев, который не имели названия и нумеровались по порядку. Новый год начинался с весны, позже этот месяц стал называться в честь бога войны Марса- мартиус.[6]
В этом календаре все нечетные месяца имели 31 день, четные - 30, кроме февраля, в котором 28 дней, а високосный - 29. Но этот календарь, по подсчетам астрономов превышал астрономический на 11 минут 14 секунд.
Именно поэтому, было принято решение о реформе календаря, инициатором которой был римский папа Григорий XIII. Разработка этого календаря принадлежит итальянскому врачу, математику и астроному - Алиозию Лилио. Изменения в календаре были такими: числа сдвинули на 10 дней, а если год заканчивался двумя нулями, а число сотен не делилось на 4, то год назывался невисокосным. Название такого календаря - Григорианский.
Григорианский календарь используют жители России, Европы, США, а также и другие.[4]
Вывод:
значение слова "календарь" за всю историю существования менялось не раз.
в древности проблема времени не была столь актуальная как в современном мире. Календарь в то время, был скорее методом познания окружающей действительности, а также пониманием закономерностей окружающего мира и земного бытия.
Глава 3. Календарь – хранитель дат и событий
С помощью календаря можно не только вести счисление времени, но и изучать исторические события, которые происходили в разные периоды в странах. Как влияют время и события на изображения в календарях?
Изучив этот вопрос, я готов поделиться с вами.
В 70-80 -е гг. выпускались календари с изображением Юрия Гагарина и с символикой строящихся гидроэлектростанций, заводов. Почему? Поищем ответ в событиях, которые произошли в нашей стране.
12 апреля 1961 году прозвучало сообщение, которое за 55 минут облетело весь мир - это сообщение о полете Юрия Алексеевича Гагарина, о первом полете человека в космическое пространство(Приложение 1).
Продолжением великих проектов Советского Союза в этот период по праву являются строительства ГЭС. В индустриальном развитии любого государства большое значение имеет электроэнергия, которая обеспечивает развитие промышленности и сельского хозяйства. В 60-80-х годах Сибирь стала местом «притяжения» молодежи и местом гигантских строек. Самая крупная ГЭС в России на данное время считалась Саяно-Шушенская на реке Енисей.
По своим характеристикам она занимает 9 место в мире и входит в Книгу рекордов Гиннесса. В это время также были построены и введены в эксплуатацию Красноярская ГЭС, Братская ГЭС, Усть-Илимская ГЭС, Волжская ГЭС (Приложение 2).
А для детей на календарях того времени изображали героев известных советских мультфильмов - "Ну погоди!", "Кот Леопольд", "Домовенок Кузя" и другие (Приложение 3).
1980 год. Москва. Олимпийские игры. Этому событию посвящены целые серии календарей, на которых были изображены определенные спортивные события (Приложение 4).
90-е годы – время перемен для нашей страны. Тематика календарей понятна: предвыборные календари, реклама политических деятелей и партий.[3]
Какая тематика календарей сегодняшнего дня:
1) животные - причем обычно тех, кто главенствует, согласно астрологии в каждом конкретном году
2) природа - изображающая времена года
3) цветы - исключительнодляромантиков
4) города - для поддержания строгого вида помещения
Глава 4. Виды календарей.
Календарь – это простое, но очень ценное и полезное изобретение человечества, без которого уже сложно представить нашу жизнь.
Виды календарей:
профессиональные (бухгалтерские, медицинские);
производственные;
исторические;
православные;
лунные;
садоводческие;
календари народных примет;
календари знаменательных дат;
календарь рыболова;
календарь праздников и т.д.
Этот список можно продолжать до бесконечности…
По форме и по размеру:
настольный
настенный
отрывной
перекидной
квартальный
карманный
плакатный
Вывод:
1) самый обычный календарь может нести в себе информацию о том времени, когда он был выпущен. По календарю можно изучать историю.
2) существует огромное множество календарей, которые отличаются дизайном, функциями, материалом и т.д.
Глава 5. Геометрические фигуры в календаре.
Исследуем треугольники в календаре.
1. Любой школьник знает, что самая простая геометрическая фигура - это треугольник. А нет ли в календаре "интересных" треугольников? За основу возьмем календарь 2019 года, месяц январь. Соединим числа 10 января, 30 января и 20 января.
Треугольник, у которого две стороны равны, называют равнобедренным. Измерив стороны, можно легко убедиться в том, что две стороны треугольника равны, значит треугольник 30-10-20 является равнобедренным (рис 1).
Рис.1
Вывод: Соединив числа 10-20-30 на календаре 2019 года получим равнобедренный треугольник.
2. А верно ли утверждение, что для января любого года, соединив числа 10, 20 и 30, опять получим равнобедренный треугольник?
Для проведения эксперимента будем использовать календари 2015, 2014, 2013, 2012, 2011 года. Построим треугольники, соединив числа 30-20-10 в этих календарях (рис.2)
Вывод: Соединив числа 10-20-30 января любого года, получается равнобедренный треугольник (исключение составляют случаи, когда числа 10-20-30 расположены на одной линии)
3.Можно ли найти другие равнобедренные треугольники, кроме треугольника 10-20-30, у которых числа расположены друг от друга на 10 единиц. Соединим числа 1-11- 21; 2-12-22; 3-13-23; 4-14-24; 5-15-25; 6- 16-26; 7- 17-27; 8-18- 28; 9-19-29; 11- 21-31 (рис. 3)
Рис.3
Вывод: соединив в календаре любого месяца любого года, числа отстоящие друг от друга на 10 единиц, то получится равнобедренный треугольник, исключением являются месяцы, в которых числа расположены на одной прямой.[5]
Четырехугольники в календаре.
В календаре кроме интересных треугольников, можно рассказать о квадратах. В любом месяце любого года можно выделить квадраты 2х2, 3х3
(рис.4)
Рис. 4
Пример 1.
Рассмотрим квадрат 2х2, заметим следующее, что сумма чисел, лежащих в одной диагонали, равна сумме чисел другой диагонали.
Введем в выделенном квадрате обозначения (рис. 5):
Рис.5
Запишем сумму одной диагонали: m + (m + 8) = 2m + 8.
Запишем сумму другой диагонали:(m + 1) + (m + 7) = 2m + 8.
Вывод: числа на одной диагонали квадрата календаря равны сумме чисел на другой диагонали.[5]
Пример 2.
Сумма четырех чисел в любом квадрате 2х2 равна удвоенной сумме чисел одной из диагоналей (рис. 5).
Запишем сумму чисел этого квадрата: m+(m+7)+(m+1)+(m+8)=4m+16
Запишем сумму одной из диагоналей, например, m+(m+8)=2m+8. Удвоим это сумму: 2(2m+8)=4m+16
Запишем сумму другой диагонали:(m+1)+(m+7)=2m+8, удвоим ее значение: 2(2m+8)=4m+16
Равенство доказано полностью.
Вывод: сумма всех чисел в любом квадрате 2х2 равна удвоенной сумме чисел любой из диагоналей.[5]
Пример 3.
Рассмотрим квадрат 3х3, заметим следующее, чтобы найти сумму девяти чисел, расположенных в квадрате 3х3, необходимо к меньшему числу прибавить 8 и полученную сумму умножить на 9 (рис. 6).
Рис. 6
Обозначим первое наименьшее из выделенных чисел m, остальные числа соответственно m + 1, m + 2, m + 7, m + 8, m + 9, m + 14, m + 15 и m + 16.
Найдем сумму всех чисел
m +(m + 1)+(m + 2)+(m + 7)+(m + 8)+(m + 9)+(m + 14)+(m + 15)+ (m + 16)=9m + 72 = 9(m + 8)
Вывод: так как m - наименьшее число, значит, чтобы получить выражение 9(m + 8) надо к меньшему числу прибавить 8 и полученную сумму умножить на 9.[5]
Глава 6. Математические фокусы с календарем.
Заметив закономерности в календаре с квадратами 2х2 и 3х3, можно придумывать фокусы с календарем.
Перед каждым фокусом необходимо предупредить зрителей о том, что вы обладаете даром прорицания, умеете производить в уме быстрые вычисления. На самом же деле все фокусы основаны на преобразовании выражений.
Фокус 1. Фокус-предсказание
Фокусник просит выделить в календаре квадрат 4х4, т.е. 16 чисел. Бегло взглянув на выделенный квадрат, фокусник готов сделать предсказание ответа, который он вкладывает в конверт.
Зрителям предлагается проделать следующее: в квадрате 4х4 обвести любое число кружком и вычеркнуть числа, стоящие в одной строке и столбце с выбранным числом. Затем из оставшихся, предлагается опять выбрать произвольное число, обвести его в кружочек и также, как в первом случае вычеркнуть числа, стоящие в одной строке и столбце с этим числом. Проделать тоже самое в третий раз с оставшимися числами. В результате этих операции незачеркнутым останется одно число. Это число нужно обвести в кружок и подсчитать сумму всех четырех чисел, выбранных абсолютно случайно.
В конце фокуса зритель достает конверт, в котором находиться именно та сумма, которую получил зритель.
Ключ фокуса: Сложить два числа, стоящие в противоположных углах квадрата и сумму удвоить.
Фокус 2. Фокус с нахождением суммы
Зрителю предлагается в календаре в любом месяце обвести квадрат 4х4. Фокусник, взглянув на него одну секунду, отворачивается от календаря. Зрителю предлагается подсчитать сумму шестнадцати чисел. Фокусник эту сумму называет быстрее, чем зритель, практически сразу.
Ключ фокуса:
Сложить числа стоящие в углах диагонали и умножить их на 8.
Фокус 3. Вычисление вслепую
Зрителю предлагается выбрать произвольный квадрат 3х3. Фокусник просит самую малость: назвать наименьшее число и уже через несколько секунд готов назвать сумму девяти чисел. Зритель же тратит на это гораздо больше времени.
Ключ фокуса. К наименьшему числу надо прибавить 8 и результат умножить на 9.
Фокус 4. Если внимательно посмотреть на календарь, то числа могут располагаться как в шести, так и в пяти столбцах, не считая февраля.
Зрителю предлагается выбрать на календаре любой месяц, состоящий из пяти столбцов. В каждом столбце фокусник просит отметить по одному числу (при этом фокусник не видит, что отмечает зритель).
Для проведения фокуса зритель должен ответить на вопросы:
каким днем недели начинается месяц (какой день недели приходиться на 1 число месяца)
на какие дни недели приходятся выбранные числа
После чего фокусник готов сообщить сумму выбранных чисел.
Ключ фокуса.
Сумма чисел в строке, которая начинается первым числом месяца, всегда равна 75 (1+8+15+22+29), за исключением февраля не високосного года. Каждое отмеченное число в следующей строке увеличивает эту сумму на единицу, в следующей за ней строке на 2 и т.д.; каждое отмеченное число в предыдущей строке уменьшает сумму на 1, в предшествующей ей строке на 2 и т.д. Пусть, например, вам сообщили, что первое число месяца приходится на четверг, а обведены один понедельник, две среды, один четверг и суббота. Ваши вычисления в уме должны выглядеть так: 75-3-1-1+2+0=72 (рис. 7).
Рис. 7
Вывод: Все фокусы с календарем имеют математическое объяснение.
Заключение.
Выбранная тема работы «Математика в календаре» позволила мне узнать, как создавался календарь, по которому велось и ведется летоисчисление, также был исследован материал об истории создания календаря и виды календарей. Но какие бы не были календари они помогают человеку правильно организовать время, планировать дела, встречи, позволяют не забыть дни рождения родных, праздники, примечательные даты.
Были выявлены следующие интересные математические закономерности, справедливость которых можно доказать.
Материалы исследования закономерностей календаря можно применять как нестандартные задачи на уроках геометрии при изучении темы «Прямоугольные треугольники», на уроках математики в теме «Сложение натуральных чисел», на уроках алгебры при изучении темы «Приведение подобных». Многие сведения можно использовать во внеклассной работе, например, проведя «Вечер математических фокусов, связанных с календарем».
Работая над данной темой, я узнал много нового. В календарях заключены математика и поэзия, наука и религия, история и мифы. По особенностям разных календарей можно определить жизнь народов.
Приложения
Приложение 1
Приложение 2
Приложение 3
Приложение 4
Приложение 5
Библиографический список использованной литературы и электронных ресурсов
1.Ефимова Т.Ф Толковый словарь русского языка. В 4 т. т.3: П-Р. –М.: ОЛМА МЕДИЯ групп, 2008.-576 с.
2. Ожегов С.И. Словарь русского языка: Ок. 57 000 слов/Под ред. чл.-корр. АН СССРН. Ю. Шведовой. – 18-е изд., стереотип.- М.: Рус.яз., 1986.-797 с.
3. История Отечества/ Сост. В.М.Бокова. – М.: Современник, 1997.-271с.
4. Забелин И.Е. История календаря – М.: Книга, 1990.-416 с.
5. Забылин М. Р. Закономерности в календаре – М.: Институт русской цивилизации, 2014.- 688 с.
6. Короткова М.В. Вечные календари – М.: Дрофа, 2003. – 256 с.
7. Топорков А.Л. История календаря // Историческая действительность. СПб., 1992.-156 с.
8. Климишин И. А. Календарь в нашей жизни -М.:Эксмо, 2007.– 352 с.