XVIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Чудеса фракталов
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Геометрия. Её принципам учат школьников и студентов по всему миру. Теорема Пифагора. Площадь поверхности и объем. Число Пи. Эта классическая, или евклидова, геометрия идеально подходит для мира, созданного людьми. Но если рассмотреть структуры, существующие в природе, то для всего того, что находится за пределами созданной человеком идеальной конструкции, многие из этих правил перестают работать. Облака – это не идеальные сферы, горы – несимметричные конусы, а молния не движется по прямой. Природа неоднородна, и до недавнего времени эту неоднородность невозможно было измерить. Открытие фрактальной геометрии сделало возможным математически исследовать виды неровностей, существующих в природе.
Фракталы отличаются от простых фигур классической или евклидовой геометрии - квадрат, круг, шар и так далее. Они способны описывать многие объекты неправильной формы или пространственно неоднородные явления в природе, такие как береговые линии и горные хребты.
Хотя ключевые концепции, связанные с фракталами, изучались математиками в течение многих лет, и существует много давно известных примеров, таких как кривая Коха или «снежинка», Мандельброт был первым, кто указал, что фракталы могут быть идеальным инструментом в прикладной математике для моделирование самых разных явлений от физических объектов до поведения фондового рынка. С момента своего появления в 1975 году концепция фрактала породила новую систему геометрии, которая оказала значительное влияние на такие разнообразные области, как физическая химия, физиология и механика жидкости.
Фрактальная геометрия с ее концепциями самоподобия и нецелочисленной размерности находит все более широкое применение в механике, особенно при работе с физическими системами, состоящими из, казалось бы, случайных функций. Например, фрактальное моделирование использовалось для построения распределения скоплений галактик по Вселенной и для изучения проблем, связанных с турбулентностью жидкости. Фрактальная геометрия также внесла свой вклад в компьютерную графику. Фрактальные алгоритмы позволили создавать реалистичные изображения сложных, крайне нерегулярных природных объектов, таких как пересеченная местность гор и запутанные системы ветвей деревьев.
Исходя из сказанного целью моего исследования является оценка возможности и перспектив использования фрактальной геометрии в науке и технике.
Объект исследования: фракталы в математике и в реальном мире.
Предмет исследования: фрактальная геометрия.
Для достижения поставленной цели нужно выполнить следующие задачи исследования:
Изучить информацию о фракталах и понять, что такое фракталы, где их можно встретить в повседневной жизни и как они используются в науке и технике.
Понять математическую суть фракталов и принципы их создания.
Изучить методы построения фракталов и реализовать их на практике в графической, трехмерной и музыкальной формах.
Оценить, чем фракталы могут быть полезны для горнодобывающей отрасли.
Изучение информации о фракталах
Фракта́л (лат. Fractus – дроблёный, сломанный, разбитый) – это множество, обладающее свойством самоподобия (объект, в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого, то есть целое имеет ту же форму, что и одна или более частей). В математике под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность, либо метрическую размерность, отличную от топологической, поэтому их следует отличать от прочих геометрических фигур, ограниченных конечным числом звеньев. Самоподобные фигуры, повторяющиеся конечное число раз, называются предфракталами [1].
Для начала исследуем интересный математический объект, называемый множеством Кантора. Это простой пример фрактала с довольно странными свойствами. Еще в конце 19-го века Георг Кантор нашел пример весьма интересного множества. Возьмем единичный отрезок, разделим его на три части и удалим среднюю из них. Оставшиеся два кусочка также делим на три части и удаляем серединку. Далее раз за разом повторяем ту же самую процедуру. В итоге получим фрактал, представленный на рисунке 1.
Возникает интересный вопрос: чему равна сумма длин всех удаленных отрезков?
Из рисунка видно, что это число стремиться к единице и это с учетом того, что у нас осталось несчетное множество точек!
Само слово «фрактал» появилось благодаря гениальному ученому Бенуа Мандельброту.
Бенуа Мандельброт родился в Варшаве в 1924 году в семье литовских евреев [2]. Но уже в 1936 году семья Бенуа Мандельброта эмигрировала во Францию, в Париж. В Париже он попал под влияние своего дяди Шолема Мандельбройта, известного парижского математика, члена группы математиков, известной под общим псевдонимом «Николя Бурбаки».
После начала войны Мандельброты бежали на свободный от оккупации юг Франции, в городок Тюль. Там Бенуа Мандельброт пошел в школу, но вскоре потерял интерес к учебе. Поэтому к шестнадцати годам он еле знал алфавит и таблицу умножения до пяти.
При жизни Бенуа Мандельброт неоднократно говорил, что он не занимается формулами, а просто играет с картинками. Этот человек мыслил очень образно, а любую алгебраическую задачу переводил в область геометрии, где, по его словам, правильный ответ всегда очевиден.
В 1961 году Бенуа Мандельброт работал научным сотрудником в Исследовательском центре Томаса Дж. Уотсона в Йорктаун-Хайтс, штат Нью-Йорк. Талантливый молодой ученый, которому еще предстояло найти свою профессиональную нишу, Мандельброт был именно таким интеллектуальным индивидуалистом, благодаря которому IBM стала известна тем, что приняла на работу. Задача была достаточно простой: IBM участвовала в передаче компьютерных данных по телефонным линиям, но что-то вроде белого шума продолжало нарушать поток информации, прерывая сигнал, и IBM обратилась к Мандельброту за новым взглядом на проблему.
С детства Мандельброт всегда мыслил визуально, поэтому вместо того, чтобы использовать устоявшиеся аналитические методы, он инстинктивно смотрел на белый шум с точки зрения форм, которые он генерировал, - ранняя форма ныне известной практики IBM по визуализации данных. График турбулентности быстро выявил своеобразную характеристику. Независимо от масштаба графика, представляли ли он данные в течение одного дня, одного часа или одной секунды, картина возмущения была на удивление одинаковой. Работала более крупная структура.
Эта проблема была знакома Мандельброту, и он вспомнил совет, который его дядя-математик, Золем Мандельбройт, дал ему много лет назад во Франции: попытаться сделать что-то из малоизвестных теорий итераций, созданных французскими математиками Пьером Фату и Гастоном Жюли. Их работа заинтриговала математиков всего мира и вращалась вокруг простейшего уравнения: z = z² + c. С переменной z и параметром c это уравнение отображает значения на комплексной плоскости, где ось x измеряет действительную часть комплексного числа, а ось y измеряет мнимую часть (i) комплексного числа.
Мандельброт не мог найти никакого прорыва, но интеллектуальная свобода, которую он нашел в IBM, позволила ему полностью включиться в этот новый проект. В 1980 году, опираясь на технологии и талант IBM, Мандельброт использовал мощные компьютеры для итерации уравнения или использования первого результата уравнения в качестве следующего ввода. С помощью этих компьютеров Мандельброт обрабатывал и манипулировал числами тысячу раз, миллион раз и выводил результаты в виде графиков.
В результате получилась неуклюжая форма, похожая на жука (рисунок 2), и это, мягко говоря, сбивало с толку. Но когда Мандельброт пригляделся, он увидел детализированные края этого образования, содержащие меньшие, повторяющиеся версии более крупного жукоподобного образования. Более того, каждая уменьшенная версия содержала более сложные детали, чем предыдущая версия. Эти структуры не были совершенно одинаковыми, но общая форма была поразительно похожа, отличались лишь детали. Как оказалось, специфика этих деталей ограничивалась только мощностью машины, вычисляющей уравнение, и подобные формы могли существовать вечно, раскрывая все больше и больше деталей в бесконечном масштабе. Это была определенная геометрия, у этой шероховатости были свои правила и параметры, но это была форма геометрии, ранее не идентифицированная научным сообществом.
Возникла геометрия космоса, которая нарушила все евклидовы законы рукотворного мира и подчинялась свойствам природного мира. Мандельброт утверждал, что если бы кто-то идентифицировал существенную структуру в природе, концепции фрактальной геометрии можно было бы применить, чтобы понять ее составные части и сделать предположения о том, чем она станет в будущем. Этот новый взгляд на окружающее, это новое восприятие реальности привели с тех пор к ряду замечательных открытий в отношении мира природы и человека и показали, что они не так разъединены, как считалось раньше.
Основной и общеизвестный труд Мандельброта - «Фрактальная геометрия природы» 1982 г. [3].
Применение фракталов
Фракталы находят все большее и большее применение в науке. Основная причина этого заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика.
В радиоэлектронике выпускают антенны, имеющие фрактальную форму. Занимая мало места, они обеспечивают вполне качественный прием сигнала. В основе лежит кривая Коха [4], построение которой указано на рисунке 3.
Некоторое время назад в Quaternary International [5] появилась статья немецких геологов. В этой работе они применили упомянутый выше фрактальный анализ в помощь археологам. Дахшура - известная ныне на весь мир достопримечательность Египта к югу от Каира. В далеком прошлом это было священное место, некрополь - здесь хоронили правителей Древнего и Среднего царств примерно 4,5 тысячи лет назад. Согласно современным представлениям, именно здесь египтяне оттачивали навыки строительства пирамид - в Дахшуре сохранились пирамиды странных форм. Например, Ломаная пирамида Снофру - это пирамида, наклон сторон которой резко меняется на полпути к вершине.
Сам некрополь относительно небольшой - площадью 1,3 на 5 километров. За 4,5 тысячи лет следы людского вмешательства на этой территории почти полностью стерлись. Однако геологи предположили, что даже если видимых следов вмешательства не осталось, следы строительства, которое велось на территории некрополя, можно обнаружить в структуре рельефа и естественных водных каналов в регионе.
После того, как Лорен Карпентер, соучредитель Pixar Animation Studios [6], прочитал книгу Бенуа Мандельбро «Фракталы: форма, шанс и измерение», он начал экспериментировать с фракталами, чтобы его компьютерная графика выглядела более реалистично. Этот метод привел к появлению программ, которые сейчас широко используются в индустрии компьютерной графики для создания специальных эффектов, включая вымышленные пейзажи и воображаемые миры, такие как последовательность планет Бытия в «Звездном пути II: Гнев Хана» и поврежденная Звезда Смерти в «Возвращении джедая».
Фрактальное сжатие преобразует изображения, состоящие из случайной информации, в фрактальный код, сохраняя лишь небольшое репрезентативное количество информации, которая позже используется для воссоздания исходного изображения. Поскольку фрактальное изображение теперь представляет собой код, а не пиксели, размер файла резко уменьшен, и изображение можно масштабировать до любого размера без потери резкости.
Фрактальная геометрия используется в биологических науках для точного моделирования человеческих легких, сердцебиения и кровеносных сосудов, неврологических систем и множества других физиологических процессов. Врачи и исследователи теперь используют математику, лежащую в основе фрактальной геометрии, для построения моделей, которые, как они надеются, будут идентифицировать микроскопические закономерности заболеваний и аномалий раньше, чем когда-либо прежде.
В свете финансового кризиса, начавшегося в 2007 году, многие теоретики рынка обращаются к учению Бенуа Мандельброта, чей фрактальный подход к колебаниям цен показал, что крах не так уж маловероятен, как предсказывает общепринятое мнение. Мандельброт отверг теорию эффективных рынков как упрощенную и чрезмерно обобщенную, отметив, что мир не является упорядоченным или бесконечно стабильным – это естественная неизбежная сила.
Ученые недавно показали, что распределение крупных ветвей по более мелким в одном дереве точно повторяет распределение больших деревьев по более мелким деревьям во всем лесу. В настоящее время проводятся исследования по использованию этой информации для измерения того, сколько углекислого газа способен переработать один лес. Оттуда ученые смогут применить свои открытия к каждому лесу на Земле, определяя количество углекислого газа, которое весь мир может безопасно поглотить.
Математическая суть фракталов и принципы их создания
Так что же лежит в основе этих сложных и красивых объектов? Оказывается, что очень простая формула:
Но есть тут и сложность – константа С – это комплексное число. Но для упрощения понимания мы не будем это учитывать. На плоскости (рисунок 4) нарисуем круг единичного радиуса. Понятно, что если мы будем рассматривать множество точек z, расположенных внутри круга, то по формуле очень быстро уйдем к нулю. Если будем рассматривать числа больше единицы, то так же быстро уйдём в бесконечность. Числа же на линии так и останутся на ней, ведь 1 в квадрате всегда 1. Так вот вся фишка фракталов в том, чтобы подобрать такие значения числа Z и константы С, чтобы получилось красивое множество Жюлиа [7].
Гипотеза Коллатца
В 1932 году немецкий математик Лотар Коллатц придумал простую задачу, которая до сих пор не доказана и не опровергнута. Берем любое целое число больше 0 и если оно чётное то делим его на 2 а если нечётное это умножаем на 3 и прибавляем единицу. Возьмем, например, число 3, оно нечетное. Значит умножаем его на 3 и прибавляем 1, получается 10. 10 уже чётное, поэтому делим его на 2 получается 5. 5 - нечетное поэтому умножаем его на 3 и прибавляем 1, получается 16. И так далее пока не получится 2. Но если поделим двойку на 2, то получается единица, которая нечетная. Умножаем на 3, прибавляем 1, получается 4. Но мы уже знаем, что 4 превращается в 2, а 2 превращается в 1, то есть мы попали в бесконечный цикл. Если мы возьмем другое число, например 42, то через некоторое количество шагов оно превратится в 16, но мы уже знаем, во что превращается 16. Точно так же мы можем добавлять другие числа и у нас будет разрастаться вот такое дерево (рисунок 5). Гипотеза Коллаца говорит о том, что любое число присоединена к этому дереву.
Непонятно и необъяснимо то, что числа в этой цепочке расположены вообще в каком-то странном порядке. Например, число 3 дальше, чем 5. А если посмотреть на число 27, то оно находится очень далеко. При этом мы перейдем число 9232 на пути к указанному циклу.
Создание фракталов
В практической части своего исследования я решил создать разные виды фракталов. Я изучил несколько имеющихся генераторов Art Dabbler, Ultra Fracta, Fractal Explorer, ChaosPro, Apophysis, Mystica и Incendia, с помощью которых нетрудно создать бесконечное множество удивительных по красоте фрактальных изображений. Программы имеют очень простые и удобные интерфейс с возможностью автоматического построения фракталов, но все они меня не устроили, т.к. в них нет возможности создавать фракталы, а только корректировать и модернизировать готовые заготовки. На рисунке 6 приведены скриншоты фракталов, которые я создал в программе Incendia
Но мне хотелось самому создать эти интересные объекты. Оказалось, что если воспользоваться основным принципом и свойством фракталов, то довольно просто в графическом редакторе создавать известные изображения. В основе создания лежит сам принцип геометрии – самоподобие «объекта-родителя» «объекту-наследнику». Т.е. нужно создать родительский объект, а затем многократно объединяя их и ориентируя в пространстве растить всё более и более крупные объекты. И этот процесс можно продолжать бесконечно. В приложении 2 размещен алгоритм со скриншотами того, как я создаю треугольник Серпинского, а на рисунке 7 представлена часть созданных мною известных фракталов по представленной выше методике.
Дальнейшим развитием своей работы я вижу создание программы на Питоне, которая будет генерировать фракталы.
Удивлением для меня стало открытие того, что фракталы умеют петь. На рисунке 8 приведен скриншот фрагмента создания на синтезаторе музыки фрактальной мелодии. Она не идеальна и конечно построена неправильно, ведь у меня нет музыкального образования, но интересна тем, что «озвучивает» фракталы.
Чем фракталы могут быть полезны для горнодобывающей отрасли?
В конце своего исследования я задумался, а чем фракталы могут быть полезны для нашего региона? И оказывается, что для нужд современной горнодобывающей отрасли фрактальный анализ используют для упрощения расчетов, связанных с повышением безопасности ведения работ и оценкой мест перспективного освоения запасов, а также для разработки новых конструкционных материалов (рисунок 9).
Например, для изучения характеристик проницаемости сети трещин после добычи используется экспериментальный метод моделирования физического подобия и сочетается фрактальная теория, а также устанавливается уравнение фрактальной проницаемости газа для сброса давления [8].
Фрактальный подход позволяет интерпретировать масштабный эффект прочности в горных породах, причина которого связана с механизмом разрушения, структурно-масштабными характеристиками материала и геометрией дефектных множеств.
Отмечается, что с достаточной для практических приложений точностью топология поверхности режущих инструментов может быть описана фрактальными закономерностями.
На основе фрактальной геометрии учёными строится карта расположения участков аномальных концентраций золота [9].
Фрактально-геометрическое описание случайных факторов поведения неупорядоченных систем в последнее время активно применяется в нефтедобыче. Фрактальная самоподобность, которая сохраняет свою структуру на разных уровнях масштабирования, характерна для множества реальных систем, в том числе для объектов нефтяных месторождений. В работе [10] рассматривается возможность фрактального подхода к анализу процесса выработки запасов нефти из залежи.
Заключение
Проведенное исследование позволило сформулировать следующее:
Начиная с середины прошлого века с появлением исследований Б. Мандельброта сформировалось новое направление – фрактальная геометрия, которая нашла обширное применение в науке и исследованиях, т.к. зачастую позволяет быстрее и проще провести изучение объектов, разрабатывать их имитационные модели, а также получать новые результаты на более высоком техническом уровне. При этом оказалось, что это не виртуальный математический аппарат, а реально существующее в природе явление и в простой форме описывает многие объекты в отличии от других подходов, которые потребовали бы значительных ресурсов.
Несмотря на внешнюю сложность и многообразие фракталов в их основе лежит довольно простая математическая основа, позволяющая строить сколь угодно сложные трехмерные и очень красивые объекты.
Фракталы можно создавать в математической, графической, трехмерной и музыкальной формах. Для этого могут подходить как простейшие графические редакторы, так и специализированные генераторы. Кроме этого, очень перспективным является использование универсальных языков программирования.
Для нужд современной горнодобывающей отрасли фрактальный анализ используют для упрощения расчетов, связанных с повышением безопасности ведения работ и оценки мест перспективного освоения запасов, а также для разработки новых конструкционных материалов.
Список использованной литературы
Википедия - свободная энциклопедия. Фрактал: электрон. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%B0%D0%BB (дата обращения: 19.02.2023).
Википедия - свободная энциклопедия. Мандельброт, Бенуа: электрон. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%B1%D1%80%D0%BE%D1%82,_%D0%91%D0%B5%D0%BD%D1%83%D0%B0 (дата обращения: 19.02.2023).
Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. - Москва: Институт компьютерных исследований, 2002, 656 стр.
Научная библиотека избранных естественно-научных изданий. Фрактальная геометрия природы: электрон. https://scask.ru/a_book_fract.php?id=7 (дата обращения: 19.02.2023).
Ramisch A. et al. Fractals in topography: Application to geoarchaeological studies in the surroundings of the necropolis of Dahshur, Egypt //Quaternary International. – 2012. – Т. 266. – С. 34-46.
Pixar Animation Studios: электрон. https://www.pixar.com (датаобращения: 19.02.2023).
V. S. Sekovanov, Smooth Julia sets, Fundamentalnaya i prikladnaya matematika, vol. 21 (2016), no. 4, pp. 133-150.
Трубецкой К. Н. и др. Фрактальная структура нарушенности каменных углей и их предрасположенность к газодинамическому разрушению // Доклады академии наук. – Федеральное государственное бюджетное учреждение" Российская академия наук", 2010. – Т. 431. – №. 6. – С. 818-821.
Павлов А.М. Фрактальные свойства геологической среды как показатель сложности условий эксплуатации золоторудных месторождений / Горный информационно-аналитический бюллетень (научно-технический журнал). – 2011. № 6. – С. 60-66.
Иманов А.М. Возможности фрактального подхода при анализе процесса выработки запасов нефти из залежи // Геология, геофизика и разработка нефтяных и газовых месторождений. – 2007. – № 4. – С. 35-38.
Приложение 1
Рисунок 1 - Иллюстрация Канторова множества
Рисунок 2 – Множество Мандельброта
Рисунок 3 – Построение «кривой Коха» и «звезда Коха»
Рисунок 4 – Суть главной формулы фракталов
Рисунок 5 – Ход решения гипотезы Коллатца
Рисунок 6 – Скриншоты фракталов, созданных в программе Incendia
Рисунок 7 – Созданные в графическом редакторе известные фракталы
Рисунок 8 – Скриншот фрагмента создания на синтезаторе музыки фрактальной мелодии
Рисунок 9 – Применение фракталов в горнодобывающей промышленности
Приложение 2
|
Действие |
Скриншот результата |
|
поставьте четыре точки в основании треугольника и по четыре точки для каждой из сторон |
|
|
выделяем, копируем |
|
|
подставляем к одной из вершин у основания |
|
|
и такой же треугольник к следующей вершине |
|
|
копируем получившийся треугольник и подставляем к вершине |
|
|
повторяем предыдущий шаг |
|
|
Получаем треугольник Серпинского |