XVIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Финансовая математика в 6 классе: практическое значение изучения сложного процента

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Ружина В.Н. 1

---

1ГБОУ Школа № 2070

Созина И.А. 1

---

1ГБОУ Школа № 2070

Работа в формате PDF

297.2 KB

Автор работы награжден дипломом победителя I степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение: На сегодняшний день математика – один из самых важных предметов для формирования финансовой грамотности. В математике есть тема проценты, которую изучают в 6 классе. Эта научная работа посвящена теме "сложные проценты", мы научимся рассчитывать сложный процент, рассмотрим специальную формулу для его вычисления. В ходе работы рассмотрим примеры заданий на сложный процент из курса математики 6 класса, применим полученные навыки для анализа доходности банковского вклада с капитализацией.

Основная проблема исследования: что такое сложный процент, его расчет и практическое применение.

Актуальность: В настоящее время активно внедряется в школьную программу обучение финансовой грамотности. Не секрет, что ребёнок с 14 лет может осуществлять трудовую деятельность, и иметь счет в банке, открыть депозит (вклад) с указанного возраста. Многочисленные банки предлагают детские карты с 5-10-летнего возраста, то есть дети получают доступ также и к электронным платежным средствам. Однако самым важным звеном в формировании грамотного обращения с финансами является математическая грамотность – финансовая математика. Наиболее интересным инструментом в приумножении капитала является сложный процент, изучение которого входит в программу математики 6 класса.

Цель проекта: изучить сложный процент, как он работает, и продемонстрировать практическое значение в формировании финансовой грамотности.

Задачи:

изучить понятие "сложный процент";

научится решать задачи с применением сложного процента;

оценить информированность школьников 6 класса о возможностях применения сложного процента;

проанализировать вклады в банках с применением сложного процента, рассчитать доход по предлагаемому банком вкладу.

Объект исследования: финансовая математика

Предмет исследования: сложный процент

Гипотеза: знания и навыки, получаемые в ходе изучения математики в школе являются значимыми для формирования финансовой грамотности современного человека.

Обзор литературы: Настоящая эпоха характеризуется быстрым темпом развития событий, использованием электронных компьютерных технологий, резким приростом информационной составляющей. На школьников буквально обрушивается "водопад" разносторонней информации, доверие к которой необходимо постоянно подтверждать. Так, с 14 лет подростки имеют возможность трудоустройства и получения дохода, размещения депозитов. Различные финансовые организации выпускают детские банковские карты. В связи с этим остро возник вопрос о внедрении в школьный учебный процесс обучения основам финансовой грамотности. В соответствии с Концепцией национальной программы повышения уровня финансовой грамотности населения Российской Федерации в 2014 году был создан учебно-методический комплект для факультативных занятий "Финансовая грамотность" в общеобразовательных школах. В курсе приводится специальная терминология и предлагаются задания на расчет семейного бюджета, финансового планирования, суммы накоплений, инвестирования, оценку выгоды или убытка и так далее [7].

Однако, по-настоящему основа финансовой грамотности – математика. Именно в ходе ее изучения школьники получают знания и инструменты для расчета основных финансовых показателей [2]. При изучении математики в школе поэтапно закладываются основы финансовой грамотности, многие темы включают задания на подсчет необходимой суммы для приобретения товаров. Начиная с первого класса, в начальной школе при изучении сложения и вычитания задания включают расчет сдачи после приобретения товаров (конфет, овощей и фруктов, а также предметов быта). В средней школе математика большее внимание уделяет значимым для самостоятельного ведения хозяйства проблемам, в том числе темам экономики. Основы финансовой грамотности в 6 классе закладываются при изучении многих тем. Одной из значимых, является изучение темы процентов. В повседневной жизнедеятельности проценты встречаются в расчете скидок в магазинах, определении суммы налога, дохода по размещенным вкладам в банке и т. д. При рассмотрении основных учебников и учебных пособий для 6 класса можно выявить, что тема процентов встречается во всех учебно-методических комплексах по математике, использующихся в настоящее время школами. Так, учебник математики Никольского С.М. (2022) [3] знакомит учеников с темой процентов в главе 1 "Отношения, пропорции, проценты", параграфе 1.6 "Понятие о проценте" и параграфе 1.7 "Задачи на проценты" (стр 23-30), сложный процент рассматривается в главе 4 "Десятичные дроби", параграф 4.8 "Сложные задачи на проценты" (стр.163-167). Проверка сформированности знаний в этой области содержится в заданиях Основного и Единого государственных экзаменаов (ОГЭ и ЕГЭ). В ЕГЭ задания по теме процентов в базовой математике, как правило включает расчет простого процента, в то время как профильный уровень представлен заданиями на сложный процент - экономическими задачами, в большинстве своем, на банковские вклады и кредиты.

Методы исследования: Теоретические методы: анализ, обобщение, систематизация информации. Эмпирические методы: анкетирование учащихся, решение задач с применением формулы сложного процента, анализ предложений по вкладам и расчет дохода вклада в банке с использованием алгоритма вычисления сложного процента, выбор вклада в банке для получения заранее определенного дохода под конкретные нужды.

Глава 1. Понятие "сложный процент" и задачи с его применением.

1.1. Понятие "сложный процент".

Понятие "процент" в математической науке и практике известно достаточно давно и прошло сквозь века до наших дней из древнего Рима от латинского термина "per cent", то есть "на сотню". Процентом называют одну сотую часть некого числа. Используют проценты в разных сферах деятельности, например при расчёте скидки по акции, части дохода, части вещества в составе сплавов, растворов и т.д.

Сложный процент – это процент на изменяющуюся сумму. В финансовой сфере это инструмент, с помощью которого увеличивается доход на вложенные деньги. При равных процентных ставках сложный процент является более выгодным и дает существенный прирост капитала с увеличением количества периодов, поэтому его называют "восьмым чудом света" или "рецептом миллиона" [1,4].

Рассчитать сложный процент достаточно легко, используя традиционную формулу процента: если 1% – это 1/100 часть, то можно умножить исходное число на 0,01 и полученную цифру прибавить к исходной сумме, далее продолжаем расчет тем же способом столько раз, сколько периодов, но в качестве начальной суммы берем последнее полученное число.

Для упрощения вычислений можно пользоваться специальной формулой сложного процента:

S = а · (1 + P/100)ⁿ ,

где S — размер капитала в конце срока инвестирования, Р — процентная ставка, а — начальная сумма вложений, а n — количество периодов реинвестирования.

1.2. Решение задач с применением сложного процента.

Для рассмотрения сложного процента мы выбрали в курсе 6 класса задания экономической тематики, касающиеся банковских вкладов.

Пример 1. (Задание №869, из учебника Математика 6 класс, Никольский С.М. и соавт., 2022 [4,стр.166]).

Некоторую сумму положили в банк под 20% годовых. Во сколько раз увеличится вложенная сумма за 5 лет, если начисляют простые проценты?

Некоторую сумму положили в банк под 20% годовых. Во сколько раз увеличится вложенная сумма за 4 года, если начисляют сложные проценты?

Решение:

Так как вложенная сумма в условиях задачи не указана, то обозначим ее для удобства буквой латинского алфавита. Пусть вложенная сумма будет – а рублей. Тогда, за 1 год прибыль составит 20% – (20 · а : 100), за 5 лет сумма дохода увеличится в 5 раз (5 · (20а : 100)), так как проценты простые, то есть без капитализации. Применяя формулу простого процента, получаем:

n · 20 : 100 · а = а · (1+5 · 20 : 100) = а · (1 + 1) = 2а

Таким образом, вложенная сумма увеличится в два раза.

При рассмотрении второй части задачи поступим также. Пусть вложенная сумма будет – а рублей. Тогда, так как предусмотрена капитализация, то используем формулу сложного процента и получаем:

а · (1 + 20 : 100)⁴ · 20 = а · (1 + 2 : 10)⁴ · 20 =2,736·а

Таким образом, вложенная сумма увеличится в 2,736 раз за 4 года.

Пример 2. (Задание №2, из сборника самостоятельных и контрольных работ к учебникам 5 – 6 классов, Кубышева М. А., 2021 [5,стр. 47]).

Вкладчик положил на счёт в банк 9000 руб. под 20% годовых. Какая сумма будет на его счёте через 2 года, если банк начисляет: а) простые проценты; б) сложные проценты?

Решение:

В первую очередь нам нужно узнать сумму, составляющую 20%. Для этого 9000 · 20 : 100 = 1800руб. Так как банк начисляет простой процент, то сумма, с которой начисляется процент на второй год, не меняется, т.е. за два года получаем доход 1800 · 2 = 3600руб. В итоге, сумма на вкладе составит: 9000+3600=12600руб.

Эту задачу можно решить с использованием формулы простого процента:

9000 · (1 + 2 · 0,20) = 12600руб.

В первую очередь нам нужно узнать сумму, составляющую 20%. Для этого 9000 · 20 : 100 = 1800 руб. Так как банк начисляет сложный процент, то сумма, с которой начисляется процент на второй год, увеличивается на 1800 руб. Доход за второй год будет 10800 · 20 : 100 = 2160руб. В итоге, сумма на вкладе составит: 9000+1800+2160=12960руб.

Эту задачу можно решить с использованием формулы сложного процента:

9000 · (1 + 0,20)² = 12960руб.

Пример 3. (Задание №1, из сборника самостоятельных и контрольных работ к учебникам 5 – 6 классов, Кубышева М. А., 2021 [5,стр. 47]).

Каким был начальный вклад, если при ежемесячном увеличении на 18% он за 6 месяцев возрос до 7280 руб.?

Решение:

Для решения этой задачи удобно воспользоваться формулой сложного процента. Пусть начальная искомая сумма будет а рублей, тогда:

7280 = а · (1 + 0,18)⁶

а = 7280 : (1 + 0,18)⁶ = 2696,74 руб.

Представленные задания позволяют понять схему применения сложного процента, однако, в большинстве случаев, условия не отражают реальность. Поэтому считаем важной задачей анализ доходности актуальных вкладов в банках.

Глава 2. Анализ информированности учащихся о возможностях применения сложного процента.

С целью изучения информированности учащихся 6 классов в отношении возможностей применения получаемых знаний о сложном проценте на уроках математики нами был разработан опросник, включающий знание определения понятий "процент" и "сложный процент", возраста, с которого ребенок может открыть вклад в банке, вычисления дохода по вкладу со сложным процентом, а также знание областей применения сложного процента. Электронная версия опросника создана при помощи конструктора Яндекс.Формы. В анонимном анкетировании приняли участие 11 учеников 6 физико-математического класса ГБОУ Школа № 2070 г.Москвы. Средний возраст учеников составил 12 лет.

При анализе ответов нами было выявлено, что практически все участники (90,9%) знают о возможности открытия вклада с 14 лет, большинство учеников правильно ответили, что такое "процент" (10 участников, 90,9 %). Правильное определение "сложного процента" (процент на изменяющуюся сумму) выбрали 45,5% респондентов. Остальные выбрали вариант "процент на процент" ( 4 участника, 36,4%), что указывает на внимание учащихся в отношении учета полученного в первом периоде дохода, однако не точно отражает определение понятия сложный процент, так как проценты в последующие периоды начисляются не только на процент, но также и на начальную сумму, и 2 участника (18,2%) ответили абсолютно неправильно. Большинство респондентов затруднились с ответом относительно применения сложного процента. На вопрос: "Для меня сложный процент – это..." наиболее типичными ответами были "процент на процент" в 54,6% (у 4 участников (36,4%) и у 2 участника (18,2%) в развернутом ответе), то есть они не представили ответа, отражающего цель использования сложного процента. Также в двух случаях были ответы "доход", в одном – "доход" и в одном – "процент на изменяющуюся сумму".

Задание на расчет дохода по вкладу со сложным процентом было создано специально с числами для легкого счета в уме. Правильные ответы на задание были получены от 7 учеников, что составило 63,6%.

Данные опроса показали, что, несмотря на знание темы проценты, у респондентов отмечается недостаточно практики в отношении финансовой составляющей, не все учащиеся представляют возможности применения сложного процента в жизни как одного из важных финансовых инструментов приумножения капитала.

Глава 3. Анализ банковских вкладов с применением сложного процента как основа формирования финансовой грамотности учащихся.

3.1. Анализ вкладов в банках с применением сложного процента и расчет дохода по предлагаемому банком вкладу.

По данным интернет – портала "Сравни.ру" www.sravni.ru в Москве на 03.01.2023 года предлагалось 682 различных вклада в банках, из них 320 - вклады с капитализацией. Капитализация процентов по вкладу существенно может повлиять на конечную сумму и повысить доход. В большинстве задач в учебнике математики показывают преимущество вкладов с капитализацией процентов. Однако, анализ представленных предложений банков показал, что встречаются ситуации, требующие внимательное отношение к условиям вклада и расчет для получения большей выгоды. Так, рассчитаем доходность вклада с ежемесячной капитализацией на примере вклада "Доходный Промо" (Россельхозбанк) по условиям, представленным на сайте "Сравни.ру" на 03.01.2023. Параметры вклада представлены на рисунке 1.

Рис. 1. Вклад со сложным процентом (по данным сайта "Сравни.ру" www.sravni.ru ).

Расчеты доходности вклада: Рассчитаем доходность вклада на примере суммы 50000 рублей (таблица 1). Для выбранной суммы с возможностью ежемесячной капитализации условиями вклада предусмотрена ставка 7,4% годовых, а при выплате процентов в конце срока - 7,70%. Представленный вклад не предполагает пополнения или частичного снятия, если капитализация ежемесячная, то все средства реинвестируются, то есть работает сложный процент. При выплате процентов в конце срока капитализации не предполагается, то есть будет простой процент. Вклад рассчитан на 300 дней, то есть на 10 месяцев – неполный год. При расчетах использовалось округление до сотых.

Таблица 1

Расчет доходности вклада "Доходный Промо"с ежемесячной капитализацией

Используя формулу сложного процента, расчет можно осуществить следующим образом:

S = а · (1 + (P : 100) : 12)ⁿ ,

где S _- размер суммы в конце срока инвестирования, Р — процентная ставка, S — начальная сумма вложений, а n — количество периодов реинвестирования (капитализации). Так как капитализация происходит ежемесячно, то сумму дохода по процентам в формуле делим на 12 месяцев, и получаем:

S = 50000 · (1 + (7,4% : 100) : 12)¹⁰ = 53170,32 р.

Таким образом, через 10 месяцев доход по предлагаемому банком вкладу при начальной сумме в 50000 р. составит 3170,32 р.

При отсутствии ежемесячной капитализации при той же годовой ставке доход по вкладу был бы следующим. Если в начале инвестирования сумма 50000руб., то доход за 1 период при той же процентной ставке составляет 50000х7.4%:100%:12=308,33руб. Доход за весь срок вклада: 308,33р. х 10 = 3083,33 р. Сумма в конце вклада: 53083,33р.

То есть, при одинаковой процентной ставке преимуществом обладал бы вклад с возможностью ежемесячной капитализации (табл. 2).

Таблица 2

Сравнение доходности вкладов с капитализацией и без капитализации

Наибольшую выгоду можно получить по вкладу с капитализацией и возможностью пополнения [1,6]. Однако, так как по условиям данного вклада предусматривается ставка 7,7% при выплате процентов в конце срока вклада, то рассчитаем, какой доход будет в случае без капитализации, но с более высокой процентной ставкой. Доход составит: 50000 · 7.7% : 100% : 12 = 320,83 руб.

Доход за весь срок вклада будет: 320,83 · 10 = 3208,30 руб.

Разница между двумя вариантами размещения вклада суммой 50000 руб. составит 124,97 руб. Следовательно, для данного вклада будет более выгодным размещение с капитализацией процентов в конце срока.

Проведенное исследование и сравнение доходности вкладов показали, что подобная практика является одним из ключевых звеньев в освоении и закреплении как решения задач на проценты так и понимание значения этой темы учениками для формирования практической составляющей финансовой грамотности.

3.2. Практика использования школьных знаний о сложном проценте для получения повышенного дохода.

Как правило, детям дают небольшое количество средств на карманные расходы, однако, очень часто бывают ситуации, когда то, что хочешь купить, гораздо дороже твоих карманных денег. За короткий период времени нужные средства накопить невозможно. Однако, используя теорию сложного процента, можно подобрать вклад для получения дополнительного дохода. В качестве примера практического применения темы про сложный процент, приводим расчёт получения дохода при размещении вклада в банке для приобретения одежды. Я очень хочу чтобы у меня была "Кигуруми", которая стоит 2300 рублей. Копить деньги для приобретения одежды эффективно, но медленно. Из карманных денег я могу использовать 500 рублей в месяц. То есть, для накопления нужной суммы мне потребуется 5 месяцев, при этом мои накопления будут истрачены на приобретение одежды. Одним из способов получения дополнительного дохода и ускорения покупки будет размещение вклада в банке с ежемесячной капитализацией и возможностью пополнения. В качестве примера такого вклада для наших потребностей можно использовать предложение от Газпромбанка (условия вклада от 20.01.2023, размещенные на сайте "Сравни.ру" www.sravni.ru), представленное на рисунке 2.

Рис. 2. Вклад со сложным процентом и возможностью пополнения ( по данным сайта "Сравни.ру" www.sravni.ru ).

Согласно условиям вклада, наибольший доход можно получить при размещении вклада на 3 месяца. Проведем расчеты, исходя из возможности получения дохода по вкладу в 2500 рублей за 3 месяца. Только карманных денег в этом случае будет недостаточно. Но, если воспользоваться помощью родителей, и они смогут временно выделить из своих сбережений 100000 рублей для размещения на вклад со сложным процентом и с возможностью пополнения ежемесячно на 500 рублей из карманных денег, то на этот доход через 3 месяца мы сможем приобрести одежду без существенного расхода семейных сбережений, так как исходная родительская сумма и сумма дохода, оставшаяся после приобретения одежды обратно вернутся в фонд семейных сбережений. Мои карманные сбережения также будут участвовать в формировании сложного процента (табл.3).

Таблица 3

Расчет дохода по вкладу с капитализацией и возможностью пополнения

Из таблицы видим, что за 3 месяца было вложено было 101500 руб., доход составил 2533,43 руб., остаток дохода после приобретения товара 233,43 руб.

Выводы:

Проведенное исследование показало, что школьники с 6 класса уже обладают важными ресурсами для достижения желаемого. Используя теорию сложного процента и свободное после уроков время, школьники могут подобрать самый выгодный вклад для размещения карманных и семейных средств и получения дополнительного дохода. Этот доход может быть использован как на приобретение желаемых вещей, книг, так и являться базой для капитализации и дальнейшего обучения инвестированию и управлению финансами. Таким образом, заявленная гипотеза о том, что знания и навыки, получаемые в ходе изучения математики в школе, являются значимыми для формирования финансовой грамотности современного человека, в ходе проведённого исследования подтверждена. Темы курса математики 6 класса являются важными не только для прохождения ОГЭ и ЕГЭ, но также закладывают основу для возможности вести самостоятельную рабочую деятельность с 14 лет, грамотно распоряжаться полученной заработной платой и управлять финансами с получением прибыли, даже несмотря на небольшие начальные средства. Выполнение задач в ходе проработки данного научно – исследовательского проекта позволило глубже понять тему "сложный процент", её глубокий практический смысл, а также важность для разрешения реальных жизненных ситуаций.

Список литературы:

Афанасьева, Юлия Сложный процент в инвестициях - что это, и как работает / Юлия Афанасьева. — Текст : электронный // ФИНАМ : [сайт]. — URL: https://www.finam.ru/publications/item/slozhnyiy-procent-v-investiciyax-chto-eto-i-kak-rabotaet-20220418-144300/ (дата обращения: 03.01.2023).

Вендина А.А, Малиатаки В.В. УРОКИ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ КАК ОСНОВА ФОРМИРОВАНИЯ ФИНАНСОВОЙ ГРАМОТНОСТИ ШКОЛЬНИКОВ // Вестник Академии права и управления. 2015. №1 (38). URL: https://cyberleninka.ru/article/n/uroki-matematiki-i-informatiki-kak-osnova-formirovaniya-finansovoy-gramotnosti-shkolnikov (дата обращения: 22.01.2023).

Никольский С. М. Математика. 6 класс: Учебник для общеобразовательных организаций // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2022.- 256 с.

Осадчий В.В. СЛОЖНЫЙ ПРОЦЕНТ В ИНВЕСТИРОВАНИИ, КАК ВОСЬМОЕ ЧУДО СВЕТА / Актуальные вопросы современной экономики. 2021. № 3. С. 100-105.

Сборник самостоятельных и контрольных работ к учебникам математики 5 - 6 классов / Кубышева, А. М, Г. В. Дорофеева, Л. Г. Петерсон. — 2 - е изд. — Москва : БИНОМ, 2021. — 80 c.

Сложный процент - простыми словами. — Текст : электронный // MOEX Школа московской биржи: [сайт]. — URL: https://school.moex.com/articles/slozhnyj-procent-prostymi-slovami?ysclid=lbs4b8nmx4594510981 (дата обращения: 03.02.2023).

Форкунова Л.В., Богданова Е.Н. Формирование математической составляющей финансовой грамотности учащихся общеобразовательной школы: современное состояние, проблемы и решения // Вестн. Том. гос. ун-та. 2019. №440. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/formirovanie-matematicheskoy-sostavlyayuschey-finansovoy-gramotnosti-uchaschihsya-obscheobrazovatelnoy-shkoly-sovremennoe (дата обращения: 03.01.2023).