XVIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА И ЛИНЕЙНЫЕ ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
АННОТАЦИЯ
«Алгоритм Евклида и линейные диофантовы уравнения» – справедливо считаются одним из интереснейших разделов алгебры. Знания из данного раздела помогут при решении олимпиадных задач. В данной работе мы подробно изучили выше перечисленную тему
Актуальность: тема проекта является актуальной, так как умение решение решать задачи по теме «Алгоритм Евклида и диофантовы уравнения» необходимы каждому ученику, так как присутствуют во многих олимпиадных заданиях и в ряде задач ЕГЭ, лишь поверхностно изучаются в школьном курсе математики, но в школе данному вопросу уделяется недостаточное количество времени.
Цель проекта: погрузиться в такой раздел алгебры, как «Алгоритм Евклида и линейные диофантовы уравнения», изучить диофантовы уравнения и способы их решения. Обобщить полученные знания и представить их в виде буклета для уроков алгебры и математики.
В соответствии с целью были поставлены и решены следующие задачи:
Изучить теоретический материал по теме «Алгоритм Евклида и диофантовы уравнения».
Научиться применять оптимальные способы к решению каждого уравнения.
Систематизировать полученные знания и представить их в виде буклета для использования на дополнительных занятиях по математике.
Объект исследования: линейные уравнения.
Предмет исследования: диофантовы уравнения, типы и способы их решения, алгоритм Евклида.
Методы исследования: изучение, ознакомление, опрос, сравнение, анализ, обобщение.
ВВЕДЕНИЕ
В школе на уроках алгебры мы часто затрагиваем тему уравнений с двумя переменными. Однако многим ученикам сложно решать линейные уравнения из-за недостаточного углубления в тему. Диофантовы уравнения являются одним из типов линейных уравнений. Для решения таких уравнений существует множество методов и в ходе нашего исследования мы задались вопросом: Какой метод решения линейных диофантовых уравнений самый понятный и быстрый?
Актуальность: тема проекта является актуальной, так как умение решение решать задачи по теме «Алгоритм Евклида и диофантовы уравнения» необходимы каждому ученику, так как присутствуют во многих олимпиадных заданиях и в ряде задач ЕГЭ, лишь поверхностно изучаются в школьном курсе математики, но в школе данному вопросу уделяется недостаточное количество времени.
Гипотеза: если учащиеся недостаточно знают такое понятие, как «Алгоритм Евклида и линейные диофантовы уравнения», то пробуждение интереса и совместная работа по этой теме позволит лучше в ней ориентироваться, решать некоторые нестандартные и олимпиадные задания, а также подготовиться к решению ряда задач ЕГЭ.
Цель исследования: погрузиться в такой раздел алгебры, как «алгоритм Евклида и линейные диофантовы уравнения», изучить диофантовы уравнения и способы их решения. Обобщить полученные знания и представить их в виде буклета для уроков алгебры и математики.
Задачи:
Изучить теоретический материал по теме «Алгоритм Евклида и диофантовы уравнения».
Научиться применять оптимальные способы к решению каждого уравнения.
Систематизировать полученные знания и представить их в виде буклета для использования на дополнительных занятиях по математике.
Объект исследования: линейные уравнения.
Предмет исследования: диофантовы уравнения, типы и способы их решения.
Методы исследования:
изучение различных методов решения диофантовых уравнений
ознакомление с алгоритмом Евклида
проведение анкетирования
сравнительный анализ результатов
Практическое применение: данную работу можно применить на уроках алгебры и математики.
I. Теоретическая часть
1.1 Диофант
Диофант – древнегреческий ученый из Александрии. О его жизни нет почти никаких сведений. Известно, что он прожил 84 года. Использовал не геометрический подход, как это было принято у древних греков, а его решения предвосхищают алгебраические и теоретические методы. Сохранилась часть математического трактата Диофанта «Арифметика», книги о многоугольных числах. Именем Диофанта названы 2 больших раздела теории «чисел-теория диофантовых чисел» и «теория диофантовых приближений»[5].
Наиболее интересным представляется творчество Диофанта. До нас дошло 7 книг, которые были объединены в «Арифметику». Стиль и содержание этих книг резко отличаются от классических античных сочинений по теории чисел и алгебре, образцы которых мы знаем по «Началам» Евклида. «Арифметика» являлась результатом многочисленных исследований, многие из которых остались нам неизвестны. Мы можем только гадать о её корнях и изумляться богатству и красоте её методов и результатов.
«Арифметика» Диофанта - это сборник задач, каждая из которых снабжена решением и необходимым пояснением. В собрание входят весьма разнообразные задачи, а их решение часто в высшей степени остроумно. Диофант практиковался в нахождении решений неопределенных уравнений вида , или систем таких уравнений. Типично для Диофанта, что его интересуют только положительные целые и рациональные решения. Иррациональные решения он называет «невозможными» и тщательно подбирает коэффициенты так, чтобы получились искомые положительные, рациональные решения[5].
Поэтому, обычно, произвольное неопределенное уравнение (но, как правило, все-таки с целыми коэффициентами) получает титул "диофантово", если хотят подчеркнуть, что его требуется решить в целых числах.
1.2 Диофантовы уравнения
Диофантовы уравнения – алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, имеющие число неизвестных, превосходящее число уравнений, и у которых разыскиваются целые или рациональные решения. Понятие «Диофантовы уравнения» в современной математике расширено: уравнения у которых разыскиваются решения в алгебраических числах. Диофантовы уравнения:
ах + bу = 1,
где а и b - целые взаимно простые числа, имеют бесконечно много решений: если х0 и у0 - одно решение, то числа х = х0 + bn, y = y0 - an тоже будут решениями.
Чтобы решить линейное диофантово уравнение, нужно найти значения переменных «х» и «у», которые являются целыми числами. Целочисленное решение сложнее обычного и требует определенного набора действий. Сначала необходимо вычислить НОД коэффициентов, а затем найти решение. Если вы нашли одно целочисленное решение линейного уравнения, можно применить простой шаблон, чтобы найти бесконечное множество других решений[5].
Запишем уравнение в стандартной форме:
Линейное уравнение — это уравнение, в котором показатели степени переменных не превышают 1. Чтобы решить такое линейное уравнение, сначала запишите его в стандартной форме. Стандартная форма линейного уравнения выглядит так: Ax + By = C, где A, B и C — целые числа.
Если уравнение дано в другой форме, приведите его к стандартной форме с помощью основных алгебраических действий. Например, дано уравнение : 23x + 4y – 7x = -3y +15. Приведите подобные члены и запишите уравнение так: 16x +7y = 15
Упростите уравнение. Когда вы запишете уравнение в стандартной форме, посмотрите на коэффициенты A, B и C. Если у этих коэффициентов есть НОД, разделите на него все три коэффициента. Решение такого упрощенного уравнения также будет решением исходного уравнения.
Например, если все три коэффициента четные, разделите их как минимум на 2.
Например:
42x + 36y = 48 (все члены делятся на 2)
21x + 18y = 24(теперь все члены делятся на 3)
7x + 6y = 8(это уравнение больше нельзя упростить)[6]
1.3 Алгоритм Евклида
Евклид (325-265 гг. до н.э.) – древнегреческий математик, автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Первый математик Александрийской школы. В своем фундаментальном труде «Начала» описывал планиметрию, стереометрию и теорию чисел[1].
Он смог открыть школу с лучшими математиками и монументальный труд в области математики, в котором заложил планиметрические основы со стереометрией, теорией чисел, законами алгебры и методами нахождения площадей с объемами.
Алгоритм Евклида - это ряд повторных делений, в котором предыдущий остаток используется как следующий делитель. Последний делитель, который делит числа нацело, является наибольшим общим делителем (НОД) двух чисел[1].
Например, найдем НОД чисел 272 и 36 с помощью алгоритма Евклида:
272 = 7*36 + 20 — разделите большее число (272) на меньшее (36) и обратите внимание на остаток (20);
36 = 1*20 + 16 — разделите предыдущий делитель (36) на предыдущий остаток (20). Обратите внимание на новый остаток (16);
20 = 1*16 + 4 — разделите предыдущий делитель (20) на предыдущий остаток (16). Обратите внимание на новый остаток (4);
16 = 4*4 + 0 — разделите предыдущий делитель (16) на предыдущий остаток (4). Так как остаток равен 0, можно сказать, что 4 является НОД исходных двух чисел 272 и 36[2].
II. Практическая часть
2.1 Решение задач с помощью диофантовых уравнений.
Задача 1.
В магазине продаётся шоколад двух видов: молочный и горький. Весь шоколад хранится в коробках. Молочного шоколада на складе имеется 7 коробок, а горького 4. Известно, что горького шоколада было на одну плитку больше. Сколько плиток шоколада находятся в коробках каждого вида?
Пусть х – количество плиток молочного шоколада в одной коробке,
у – количество плиток горького шоколада в одной коробке,
тогда по условию этой задачи можно составить уравнение:
4у-7х=1.
Решим это уравнение, используя алгоритм Евклида.
4у-7х=1;
Выразим 7=4∙1+3, следовательно 3=7-4∙1.
Выразим 4=3∙1+1, следовательно 1=4-3∙1=4-(7-4∙1)=4-7+4∙1=4∙2-7∙1=1.
Получим: х=1; у=2.
Ответ: молочный шоколад лежит в коробке по 1 штуке, а горький по 2 штуки[7].
Задача 2.
В каталоге картинной галереи всего 96 картин. На каких-то страницах расположено 4 картины, а на каких-то 6. Сколько страниц каждого вида есть в каталоге?
Пусть х – количество страниц с четырьмя картинами,
у – количество страниц с шестью картинами,
тогда по условию этой задачи можно составить уравнение:
4х+6у=96
Решим задачу, используя метод относительно одного неизвестного.
4x+6y=96.
Решаем это уравнение относительно того из неизвестных, при котором наименьший (по модулю) коэффициент. В нашем случае это 4х, то есть:
4х=96-6у.
Делим все уравнение на этот коэффициент:
4х=96-6у | :4;
х=(96-6у):4.
Остатки при делении на 4: 1,2,3. Подставим вместо у эти числа.
Если у=1, то х=(96-6∙1):4=90:4 - Не походит, решение не в целых числах.
Если у=2, то х=(96-6∙2):4=21 – Подходит.
Если у=3, то х=(96-6∙3):4=78:4 - Не походит, решение не в целых числах.
Ответ: на 21 странице расположено по 4 картины, а на 2 страницах по 6 картин[3].
Задача 3.
У мальчика было 50 копеек, на которые он хотел купить почтовые марки. В киоске имелись марки по 3 копейки и по 4 копейки, но у киоскера совсем не было мелочи. Помогите мальчику и киоскеру выйти из создавшегося положения.
Пусть х - марок по 3 копейки. Тогда у – марок по 4 копейки. Тогда по условию этой задачи можно составить уравнение:
3х+4у=50
Решим задачу, используя графический метод:
Подберём значения для «x» и найдём значение «у».
Если х = 2, тогда:
у=
у = 14
Если х = 3, тогда:
у=
у = 8,5
Если х = 4, тогда:
у=
У=
у = 3
Тогда, составив график функций, можно заметить что значение х = 3 не подходит для решения задачи, а подходящими значениями являются: х = 2; у = 14 и х = 4; у = 3.
Задача имеет множество вариантов решений.
Ответ: мальчик может купить как 2 марки по 3 копейки и 14 марок по 4 копейки, так и 4 марки по 3 копейки и 3 марки по 4 копейки[7].
2.2 Результаты анкетирования
Мы решили выяснить, что знают учащиеся 8, 10 и 11 классов о диофантовых уравнениях и способах их решений. Для этого мы провели анкетирование 50 человек по следующим вопросам (Приложение 2).
Знаете ли вы, что такое диофантовы уравнения? Как показывает приложение 2, больше половины (66%) ребят ответили, что они не знают, что такое диофантовы уравнения, 34% - знают.
Сталкивались ли Вы с трудностями при решении линейных уравнений с двумя переменными? 48% ребят сталкивались с трудностями, 52% - не сталкивались.
Знаете ли Вы, что такое «Алгоритм Евклида»? 30% ответили, что знают, 70% - что не знают.
Как вы считаете, достаточно ли времени выделяется на уроках алгебры для
изучения линейных диофантовых уравнений и способов их решения? 62% ребят считают, что недостаточно времени, 38% ответили, что достаточно.
В результате анкетирования мы выяснили, что учащимся не достаточно времени для изучения данной темы и многие не ознакомлены с понятием «Алгоритм Евклида».
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В процессе проведения исследовательской работе выяснили, что диофантовы уравнения – это алгебраические уравнения или их системы с целыми коэффициентами, имеющие число неизвестных, превосходящих число уравнений, и у которых разыскиваются целые или рациональные решения. Они уравнения часто применяются в олимпиадных задачах и задачах повышенного уровня сложности. С помощью полученных в процессе работы над проектом знаний нам в дальнейшем будет легче решать трудные задачи, что является важным результатом, так как эта тема встречается даже в государственных экзаменах.
В ходе работы над проектом мы повторили изученные ранее в курсе алгебры линейные уравнения, расширили свои знания по теме «Алгоритм Евклида и линейные диофантовы уравнения». По общим чертам нам удалось сравнить методы решения с помощью диофантовых уравнений, с опорой на составленную классификацию мы разработали буклет по теме «Алгоритм Евклида и линейные диофантовые уравнения» . Также мы научились решать задачи с помощью диофантовых уравнений, рассмотрели применение алгоритма Евклида.
Мы надеемся, что наша работа помогла ребятам глубже познакомиться с темой «Алгоритм Евклида и линейные диофантовые уравнения»,с задачами по этой теме , а таже способами их решения; привлекла интерес ребят к такой науке, как алгебра; расширила знания о диофантовых уравнениях и способах их решения.
Исходя из вышеизложенного, мы можем сказать, что задачи, поставленные перед нами, выполнены, выдвинутая гипотеза подтверждена. Работа по проекту требует дальнейшего продолжения, и мы намерены углубиться в выбранную тему.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.
Вагутен В. Н. «Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики // Квант. 1972 №6»
Гельфонд А. О. «Решение уравнений в целых числах. - М.: Наука, 1978»
Горбачёв Н. В. «Сборник олимпиадных задач по математике. МЦНМО, 2004»
Лепёхин Ю. В. «Математика. Задания для подготовки к олимпиадам. 7-8 / Волгоград: Учитель, 2015»
Михайлов И. «О диофантовом анализе // Квант. 1980 №6. Факультативный курс по математике. 7-9 / сост. И. Л. Никольская. М.: Просвещение, 1991»
Пичурин Л. Ф. «За страницами учебника алгебры 7-9 / М.: Просвещение»
Фарков А. В. «Готовимся к олимпиадам по математике / М.: Издательство «Экзамен». 2007»
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1
Рис. 1. Портрет Диофанта – древнегреческого математика.
Рис. 2. Книга «Арифметика» – древнегреческая рукопись по математике, созданная
Диофантом в III веке.
Рис. 3. Портрет Евклида - древнегреческого математика.
Рис. 4. Алгоритм Евклида
Приложение 2
Анкета для учащихся 8-11 классов
Знаете ли вы, что такое диофантовы уравнения?
А) Да Б) Нет
Сталкивались ли Вы с трудностями при решении линейных уравнений с двумя переменными
А)Да Б)Нет, никогда не сталкивался(ась)
Знаете ли Вы, что такое «Алгоритм Евклида»?
А)Да Б)Нет
Как вы считаете, достаточно ли времени выделяется на уроках алгебры для изучения линейных диофантовых уравнений и способов их решения?
А) Да, достаточно Б) Нет, недостаточно
Приложение 3
Результаты анкетирования:
Рис.1. Результаты вопроса №1
Рис.2. Результаты вопроса №2
Рис.3. Результаты вопроса №3
Рис.4 Результаты вопроса №4
Приложение 4
Рис. 1. Буклет для урок алгебры и математики по теме «Алгоритм Евклида и линейные диафантов уравнения»