Всё, что вы хотели узнать о числе π, но боялись спросить

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Крохалева Я.Д. 1

---

1МАОУ "СОШ № 4"

Махиянова А.Н. 1

---

1МАОУ "СОШ № 4"

Работа в формате PDF

1.1 MB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

Мир чисел бесконечен и неисчерпаем. Но чем дальше мы углубляемся в него, тем сложнее его понять.

В бесконечном множестве   чисел, так же как среди звезд Вселенной, выделяются отдельные числа и целые их «созвездия» удивительной красоты, числа с необыкновенными свойствами и своеобразной, только им присущей гармонией. Надо только уметь увидеть эти числа, заметить их свойства. Всмотритесь в натуральный ряд чисел – и вы найдете в нем много удивительного и диковинного, забавного и серьезного, неожиданного и курьезного.

Среди бесконечного разнообразия чисел число π пользуется особой славой. О нем пишут стихи, о нем сочиняют афоризмы, его изображают на полотнах и — о, веяние времени! —сегодня во всемирной компьютерной сети Internet ему посвящают сайты.

А что же сами математики? Не уподобляются ли они известному сапожнику, который ходит без сапог? — Нет: в последнее время число π стало привлекать и их.

С одной стороны, о числе π сейчас осведомлены, по крайней мере, уже шестиклассники. С другой стороны, любая маломальская попытка разобраться с каким-либо свойством или даже с самим понятием числа π неизбежно выводит за пределы школьного курса математики. На огромные трудности в постижении числа π ссылаются и специалисты-математики — профессионалы, работающие в области теории чисел.

Переходя из класса в класс, я познакомилась с натуральными, дробными, десятичными, отрицательными, рациональными числами. В 6 классе при изучении темы «Длина окружности и площадь круга» я познакомилась с числом Пи. Было акцентировано внимание на то, что довольно часто будем встречаться с ним на уроках в старших классах. Число π является одним из интереснейших чисел, встречающихся при изучении математики. Оно встречается в разных школьных дисциплинах. С числом π связано много интересных фактов, поэтому оно вызывает интерес к изучению.

Услышав об этом числе много интересного, я сама решил путём изучения дополнительной литературы и поиска в Интернете узнать как можно больше информации о нём и ответить на проблемные вопросы: Как давно люди знали о числе пи? Для чего необходимо его изучение? Какие интересные факты с ним связаны? Верно ли, что значение π равно приближённо 3,14?

Актуальность темы данного проекта объясняется обширным историческим материалом и теснейшей связью с математикой, который способствует повышению интереса к предмету.

Цель: расширить свои знания о необычном математическом числе π, проследить загадочную связь числа π с глубокой древности до современности.

Гипотеза: Число Пи применяется не только для вычисления длины окружности.

Объект исследования: число π.

Предмет исследования: интересные факты, связанные с числом π.

Задачи:

- дать определение числа π;

- практически вычислить приближенное значение отношения длины окружности к диаметру;

- изучить литературу с целью получения информации об истории числа π;

- установить некоторые факты из «современной биографии» числа π;

- сделать выводы.

Обозначение числа π

Совместны у круга начало и конец.

Гераклит

Число π – самое известное, самое изученное, самое знаменитое и самое упоминаемое число. Важность числа невозможно преувеличить. Его десятичная запись начинается так: 3,141592653589793238462643...

Число π – математическая константа, которая выражает отношение длины окружности к её диаметру. Обозначается греческой буквой - π. Для простейших вычислений используют приближенные значения: 3,14 или 3,1416. Однако в некоторых расчетах нужна большая точность.

Мы знаем, кто построил первый автомобиль, кто изобрел телевиденье, а вот кто первый догадался о связи между длиной окружности и ее диаметра не знает никто. Обозначение числа пи происходит от начальной буквы греческих слов περιφέρεια — окружность, периферия и περίμετρος — периметр.

Некоторые могут подумать, раз это отношение обозначается греческой буквой, стало быть, его вывел некий греческий математик. На самом деле об этом история умалчивает. Зато имеются данные о том, кто впервые использовал в своих работах это обозначение.

Обозначение числа Пи буквой π впервые использовал английский математик (преподаватель) Уильям Джонс в 1706 году в своей работе "Synopsis Palmariorum Matheseos" (что в переводе на русский язык означает "Обозрение достижений математики"). Немного позже швейцарский математик Леонард Эйлер (1707-1783) использовал это обозначение в своих работах, получивших всемирное признание. Вскоре после этого появилась тенденция к обозначению числа Пи греческой литерой π.

Рис. 1

Если разложить на плоскости четыре диаметра любого круга, и поставить точку отсчета, а от нее раскрутить длину окружности, конечная точка остановится чуть меньше 3,5 (рис. 1). А если быть точнее 3,14… — это и получается число Пи!

Пи – это число, значение которого не может быть точно выражено в виде дроби , где m и n – целые числа. Следовательно, его десятичное представление никогда не заканчивается и не является периодическим. Такие числа называются иррациональными, т. е. число Пи – иррациональное число.

Практическая часть

На уроке математики при изучении темы «Длина окружности и площадь круга» я познакомилась с числом Пи и мне стало интересно, а правда ли, что у всех круглых тел отношение длины окружности к диаметру приближенно равно 3,14. Я решила это проверить. Для практической части своей работы я выбрала несколько круглых предметов (банка, часы, монета, шар, елочная игрушка, ведро) и провела измерения с каждым из них. (Приложение 1)

Для измерений я использовала: нить, линейки, калькулятор.

По результатам практической работы (таблица 1) можно сделать вывод, что, действительно, отношение длины окружности к диаметру в каждом из случаев приближенно равно 3,14.

Таблица 1

История числа π

История числа насчитывает не одно тысячелетие, почти столько, сколько существует наука математика. 3,14 - одно из приближенных значений π.

Считается, что число π было впервые открыто вавилонскими магами. Оно использовалось при строительстве знаменитой Вавилонской башни, история которой вошла в Библию. Однако, недостаточно точное исчисление привело к краху всего проекта.

Число π известно уже почти 4000 лет. Одна вавилонская табличка (около 1900–1680 гг. до н. э.) указывает, что они обозначали это число как π = 3,125, что уже достаточно точное приближение к современному.

"Папирус Ахмеса" (папирус Ринда или папирус Райнда, около 1650 г. до н. э.) даёт нам представление о математике древнего Египта. Египтяне рассчитывали площадь круга по формуле, по которой приблизительное значение для Пи было 3,1605.

Конечно, значение числа рассчитали не сразу. В разные эпохи и у разных народов число π имело разное значение. Одним из первых заметил и высчитал зависимость между длиной окружности и её диаметром Архимед, он и дал первое приближение такого числа. Он открыл способ, который стал основой многих последующих вычислений, вписывал в окружность и описывал вокруг нее правильные многоугольники. Сначала он удвоил число сторон правильных описанного и вписанного шестиугольников, затем двенадцатиугольников и т.д., доведя вычисления до периметров правильного вписанного и описанного многоугольников с 96 сторонами. В результате Архимед рассчитал значение числа π как отношение 22 / 7 ≈ 3,142857142857143.

Начиная с конца XVII века, для вычисления π применяются более эффективные методы высшей математики. Леонард Эйлер вычислил π с точностью до 153 десятичных знаков. После опубликования его работы (1736г.) стало общепринятым обозначение π (первая буква в греческом слове «periferia» - окружность), которое встречается впервые в 1706 г. у английского математика У. Джонса.

К концу XIX в., после 20 лет упорного труда, англичанин Вильям Шенкс нашёл 707 знаков числа. Однако в 1945 г. обнаружено с помощью ЭВМ, что Шенкс в своих вычислениях допустил ошибку в 520-м знаке и дальнейшие его вычисления оказались неверными.

С появлением компьютеров значение числа π было вычислено с достаточно большой точностью. В США, например, был получен результат с более 30 млн. знаков. Если распечатать значение числа, полученное в США, то оно займёт 30 томов по 400 страниц в каждом. Вычисление такого числа знаков для π не имеет практического значения, а лишь показывает огромное преимущество и совершенство современных средств и методов вычисления по сравнению со старыми.

Так за полвека вырастала запись точного значения числа π с помощью компьютера:

1958 год - 10000 десятичных знаков;

1961 год - 100000 десятичных знаков;

1973 год - 10000000 десятичных знаков;

1986 год - 29360000 десятичных знаков;

1987 год - 134217000 десятичных знаков;

1989 год - 1011196691 десятичный знак;

1991 год - 2260000000 десятичных знаков;

1994 год - 4044000000 десятичных знаков;

1995 год - 4294967286 десятичных знаков;

1997 год - 51539600000 десятичных знаков;

1999 год - 206 158 430 000 десятичных знаков.

В 2009 году французский программист Фабрис Беллар поставил рекорд вычисления числа π с точностью до 2,7 трлн. знаков после запятой.

2 августа 2010 года американский студент Александр Йи и японский исследователь Сигэру Кондо рассчитали последовательность с точностью в 5 триллионов цифр после запятой.

19 октября 2011 года Александр Йи и Сигэру Кондо рассчитали последовательность с точностью в 10 триллионов цифр после запятой.

В 2020 году, по случаю празднования дня рождения числа Пи (14 марта) компания Google представила данное число с 31,4 триллионами знаков после запятой. Вычислить его с такой точностью сумела сотрудница Google в Японии Эмма Харука-Ивао.

Точное значение числа Пи в десятичной системе записать невозможно, однако ученые с античных времен получают все более точные его значения. Современные компьютерные технологии позволили осуществить в этом прорыв, после которого количество известных знаков после запятой пошло на миллиарды.

Мировой рекорд по запоминанию знаков числа Пи после запятой принадлежит 21-летнему индийскому студенту Раджвиру Мина, который в марте 2015 года воспроизвёл 70 тысяч его знаков. В 2006 году японец Акира Харагути заявил, что запомнил число до 100-тысячного знака после запятой, однако проверить это официально не удалось.

Число в формулах

Государь, чей оракул находится в Дельфах,

Не говорит и не скрывает, но знаками указывает.

Гераклит

В современной математике число π — это не только отношение длины окружности к диаметру, оно входит в большое число различных формул

Простейшие формулы прежде всего относятся к так называемым коническим сечениям— кривым, получаемым в результате рассечения конуса плоскостью. В следующих формулах обозначает радиус, а - диаметр.

Формула длины окружности: ,

Формула площади круга:

Формула объема шара:

Площадь поверхности сферы:

Площадь эллипса с полуосями a и b:

Объем эллипсоида с полуосями a, b и c:

Общая площадь поверхности цилиндра с высотой h:

Объем цилиндра с высотой h:

Объем конуса с высотой h:

Мнемонические правила запоминания числа π

В практических расчетах редко бывает нужда знать более трех – пяти цифр числа Пи. Если со временем они забудутся и надо вспомнить, задайте себе вопрос:

«Что я знаю о кругах?»

3, 1 4 1 6

В вопросе скрыто – по числу букв в каждом слове – содержится ответ:

 3,1416.

Существуют стихи, в которых первые цифры числа Пи зашифрованы в виде количества букв в словах:

Это я знаю и помню прекрасно:

3 1 4 1 5 9

Пи многие знаки мне лишни, напрасны.

Доверимся звеньям громадным

Тех, пи кто сосчитал, цифр армаду.

Учи и знай в числе известном за цифрой цифру, как удачу, примечать (3,14159265358)

Гимназистам дореволюционной России предлагалось двустишие (с твердым знаком):

Кто и шутя и скоро пожелаетъ

3, 1 4 1 5 9

Пи узнать – вмигъ уж знаетъ.

6 5 2 6

Стихотворение для запоминания:

Раз у Коли и Арины

Распороли мы перины

Белый пух летал, кружился,

Кружился,

Ублажился,

Нам не дал,

Головную боль старух

Ух, опасен пуха дух!

Георгий Александров

Стихотворение для запоминания в памяти 8 – 11 знаков числа Пи:

Чтобы нам не ошибаться,
Надо правильно прочесть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть.

Надо только постараться
И запомнить всё как есть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть.

***

Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девять, два, шесть, пять, три, пять.
Чтоб наукой заниматься,
Это каждый должен знать.

***
Можно просто постараться
И почаще повторять:
«Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девять, двадцать шесть и пять».

Запоминанию может помогать соблюдение стихотворного размера:

Три, четырнадцать, пятнадцать, девять два, шесть пять, три пять

Восемь девять, семь и девять, три два, три восемь, сорок шесть
Два шесть четыре, три три восемь, три два семь девять, пять ноль два
Восемь, восемь и четыре, девятнадцать, семь, один

Не исключена пригодность и рифмованной шутки из учебника Магницкого для закрепления в памяти рационального выражения π – «числа Архимеда»- π ≈ 22/7.

Двадцать две совы скучали

На больших сухих суках.

Двадцать две совы мечтали

О семи больших мышах,

О мышах довольно юрких,

В аккуратных белых шкурках.

Слюнки капали с усов

У огромных серых сов.

Пи-мания

Число π особенное. Мы уже говорили, что оно самое известное, самое изученное, самое знаменитое и самое упоминаемое. Энтузиазм, страсть и настоящую одержимость этим числом называют «пи-манией». Она одновременно академична и экстравагантна, интересна и занимательна. Читатель может удивиться, что мы уделяем столько внимания этому вопросу, слабо связанному с математикой. Такова реальность: π — это намного больше, чем просто число.

Число π не обошли вниманием даже маркетологи (Приложение 2). Изображение π можно встретить на футболках (даже для домашних животных!), пуговицах, запонках, чашках, чайниках, часах, ковриках для компьютерной мыши, фартуках, плюшевых мишках, подушках, шкатулках, кафельной плитке, кепках, плакатах, автомобильных аксессуарах и многом, многом другом.

День числа π — 14 марта. Этот праздник придумал американец Ларри Шоу, который заметил, что дата 14 марта в американском формате записывается как 3/14, что соответствует приближенному значению числа π. Это может показаться абсурдным, но праздник получил широкую известность и мгновенно распространился в университетских кругах.

Фирменное блюдо этого праздника — круглая пицца, так как она хранит в себе секреты числа π.

День числа π совпадает с днем рождения Альберта Эйнштейна, что в немалой степени способствует популярности праздника. Число π можно встретить на бутылках вина, кругах сыра и даже на упаковках парфюмерии.

Знак π приобрел популярность достаточно давно: еще в 1915 году 22-я эскадрилья королевских ВВС использовала его в качестве эмблемы. При первоначальном размещении акций Google номер последней акции был равен 14 159 265 (вспомним, что Л = 3,14159265...).

Число Пи и искусство

Число π увековечено на фризе Дворца открытий в Париже (Приложение 3), что как нельзя лучше соответствует духу этого места. На фризе высечено более 600 знаков, рассчитанных Уильямом Шэнксом в 1873 году. На самом деле этот английский математик вычислил 707 знаков, но Дэниел Фергюсон в 1944 году обнаружил в его расчетах ошибку, начиная с 528 знака.

Настоящее произведение искусства, основанное на π и его знаках, находится в Торонто (Приложение 3). Канадская художница Арлин Стамп создала гигантскую мозаику, которая находится в вестибюле станции метро Даунсвью. Мозаику образуют прямоугольники разной ширины, которые накладываются друг на друга. Если не знать заранее, то сложно заметить, что ширина наложения прямоугольников друг на друга не случайна. Каждый прямоугольник накладывается на следующий по определенному правилу: ширина прямоугольника принята за 1, а видимая часть каждого следующего прямоугольника пропорциональна соответствующему знаку Л. Мозаика начинается с 1 — первого знака после запятой в записи 3,1415926535. —и продолжается в точном соответствии с последующими знаками.

Так как эти цифры случайны (или кажутся случайными), непосвященный зритель не может догадаться, что расположение частей мозаики подчиняется какому-то правилу. Однако, как в свое время обнаружил математик Иварс Петерсон, кажущаяся случайность распределения цифр подчиняется определенному закону.

На входе в Техническую школу Генри Эббота в Данбери, штат Коннектикут, США, установлена скульптура в форме Л высотой почти 20 метров авторства Барбары Грайгатис (Приложение 4). Скульптура освещается ночью и напоминает будущим инженерам о том, что им еще не раз предстоит встретиться с этой константой во время учебы.

В американском городе Сиэтле скульптура в виде Пи установлена на парадной лестнице у входа в Музей искусств (Приложение 4).

Также, необычный арт-объект в форме трехметровой буквы Пи был установлен в Волгограде на площадке перед Музеем занимательных наук Эйнштейна (Приложение 5).

Пи-музыка

Математика – царица наук, тесным образом перекликается с музыкой. Несомненно, математика пронизывает музыку.

В своих трудах ученые неоднократно делали попытки представить музыку как некую математическую модель. Приведем, к примеру, одну из цитат из работы Леонарда Эйлера “Диссертация о звуке”, написанная в 1727 году: “Моей конечной целью в этом труде было то, что я стремился представить музыку как часть математики и вывести в надлежащем порядке из правильных оснований все, что может сделать приятным объединение и смешивание звуков”.

Музыку числа Пи исполняют многие композиторы. А в Санкт-Петербургском политехническом университете музыку числа Пи исполнил эстрадно-симфонический оркестр Политеха.

Математическая константа превратилась в удивительно гармоничную мелодию. Бесконечное число Пи, переложенное на ноты и аранжированное петербургским музыкантом Дмитрием Мисюрой, стало новым музыкальным шедевром, исполненным Эстрадно-симфоническим оркестром Санкт-Петербургского политехнического университета Петра Великого.

Пифагор считал, что «гармония чисел сродни гармонии звуков и что оба этих занятия упорядочивают хаотичность мышления и дополняют друг друга». Перевод числа в музыку с точностью до 122 знака после запятой осуществил американский музыкант Дэвид Мак Дональд, а переложение фортепианной пьесы для оркестра позволило услышать новые краски в этом мире озвученных цифр.

Из обычной последовательности звуков-чисел музыканты сотворили выразительную пьесу, «раскрасив» ряд выразительными средствами

Хор Санкт-Петербургского политехнического университета также позволил услышать музыку Пи в другом свете.

Заключение

Постижение числа π можно сравнить с процессом бесконечного приближения к пределу. С каждым новым шагом мы все ближе и ближе приближаемся к заветной цели, однако вожделенный предел по-прежнему продолжает оставаться от нас на расстоянии бесконечного количества шагов.

Мне было интересно работать над этой темой. В процессе работы я узнала много интересного, я научилась подбирать материал, обрабатывать его, выделять главное.

Я изучила историю возникновения числа Пи, на практике вычислила приближенное значение отношения длины окружности к диаметру некоторых предметов, установила некоторые факты из «современной биографии» числа π.

Цель работы – расширить свои знания о необычном математическом числе π, проследить загадочную связь числа π с глубокой древности до современности достигнута. По итогам данной работы я могу заметить, что число Пи применяется не только для вычисления длины окружности и играет важную роль в нашей жизни. Таким образом, гипотеза, которую я предположила, полностью нашла свое подтверждение.

Данная работа имеет практическую значимость как пособие для учителя математики, так и ученика, которое позволяет всесторонне изучить число , а также познакомиться с его тайнами и значением в жизни человека.

Для себя я сделала следующие выводы: Изучение числа π еще далеко незавершенный этап. И человечество ждёт многие научные открытия, связанные с этим числом.

Литература

Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Математика. 6 класс: учеб. для общеобразоват. организаций, М.: Просвещение, 2019, 287 с.

Жуков А.В., Вездесущее число «пи», Издательство «Едиториал УРСС», г. Москва, 2004, 216 с.

Жуков А.В., О числе , М.: МЦНМО, 2002, 32 с.

Перельман Я.И., Занимательная геометрия, М.: РИМИС, 2010, 320 с.

Сайт: - Club или Клуб фанатиков числа : http://www.arbuz.uz/z_piclub.html

Хоакин Наварро, Секреты числа , Пер. с исп. – М.: Де Агостини, 2014, 144 с.

Приложение 1

Практическая часть

Приложение 2

Приложение 3

Дворец открытий в Париже

Вестибюль станции метро Даунсвью, Канада

Приложение 4

Вход в техническую школу Генри Эббота в Данбери,

штат Коннектикут, США

Сиэтл, США, музей искусств

Приложение 5

Волгоград, площадка перед Музеем

занимательных наук Эйнштейна