Аликвотные дроби

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Паташури С.Р. 1

---

1МБОУ «Гимназия №3»

Белова Т.А. 1

---

1МБОУ Гимназия №3

Работа в формате PDF

287.9 KB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

Множественные историко-математические изучения демонстрируют нам, что дробные числа возникли у разных народов в древние времена вскоре после натуральных чисел. Рождение дробей связывают с практическими потребностями: задачи, где нужно производить деление на части, были весьма распространены.

Наряду с необходимостью считать вещи, люди в древности испытывали потребность в измерении числовых величин, таких как длина, площадь, объем и время. Измерения не всегда выражаются в натуральных числах. Нужно учитывать и части употребляемой меры.

В Древнем Египте использовались только простейшие дроби с числителем 1 (то ,что мы называем "долями").

Математики именуют эти дроби аликвотными (лат. aliquot-несколько). Их также называют основными дробями или единичными дробями.

Аликвотные дроби применяют тогда, когда требуется что-то разделить на несколько частей с минимальным количеством действий для этого. Задачи с использованием в решении аликвотных дробей составляют просторный класс необычных задач.

Такие дроби чаще всего используются для решения задач, наиболее часто встречающихся на международных и всероссийских олимпиадах. Методы решения подобных задач можно проследить в нашей работе.

Основная часть

Актуальность работы: данная тема, которая представлена в нашей работе, помогает нам расширить знания по истории развития математики и помогает решать сложные олимпиадные задачи по математике более рациональными способами.

Цель работы: изучить практическую значимость применения египетских дробей в современной математике.

Задачи:

Найти в различных источниках информацию об истории появления аликвотных добей.

Изучить свойства аликвотных дробей.

Рассмотреть основные операции с аликвотными дробями

Научиться использовать аликвотные дроби при решении задач.

Предмет исследования: разложение дробей на сумму аликвотных

Объект исследования: аликвотные дроби

Гипотеза: благодаря интересным сведениям об аликвотных дробях и формулам по разложению дробей на аликвотные дроби, можно научиться более рационально решать сложные олимпиадные задачи.

Практическая значимость: задачи с использованием аликвотных дробей составляют обширный класс нестандартных задач.

Проблема: проблема данной темы заключается в том, что у большинства учеников, которые сталкиваются с сложными задачами, которые можно решить с помощью аликвотных дробей, возникают трудности в процессе их решения. Наша работа поможет им разобраться с этими задачами и научиться их решать.

История аликвотных дробей

1.1. Возникновение аликвотных дробей

Всем нам хорошо известно, что вначале появились натуральные числа, в области, которых всегда были выполнимы два математических действия: это сложение и умножение. Но, к сожалению, деление не всегда было осуществимо. И возникновение данной проблемы, еще в древности (при решении практических задач: разделение участка на несколько частей, деление добычи и т. ) привело к появлению дробных чисел. Многочисленные историко-математические изучения показывают нам, что дробные числа появились у разных народов в древние времена вскоре после натуральных чисел. Происхождение дробей связывают с практическими потребностями. Наряду с надобностью считать предметы, у людей с древних времен возникла нужда определять длину, площадь, объем, время и иные величины. Результаты измерения не всегда получается выразить натуральным числом. Приходится учитывать и части употребляемой меры. Таким образом, во всех цивилизациях понятие дроби возникло из процесса дробления целого на равные части. Первой дробью, с которой познакомились люди, была половина. Русский термин «дробь», как и его аналоги в других языках, происходит от лат. fractura, который, в свою очередь, является переводом арабского термина с тем же значением: ломать, раздроблять. Поэтому, вероятно, первоначальными дробями повсюду были дроби вида . В дальнейшем с помощью этих дробей составлялись дроби вида - рациональные числа. Однако этот путь был пройден не всеми цивилизациями: например, он так и не реализовался в древнеегипетской математике.

1.2. Аликвотные дроби в Древнем Египте

Система записи дробей, правила действий с ними заметно различались как у разных народов, так и в разные времена у одного и того же народа. Значительную роль играли также многочисленные заимствования идей при культурных контактах различных цивилизаций.

В древнем Египте пользовались лишь простейшими дробями, у которых числитель равен единице (те, которые мы называем «долями»).

Математики именуют такие дроби аликвотными (от лат. aliquot – несколько). Так же используется название основные дроби или единичные дроби.

Египтяне все дроби записывали как суммы долей. Дроби ( где n - натуральные число ), которым египтяне отдавали предпочтение, в современной математике именуются аликвотными ( от латинского aliguot- " несколько''). То есть аликвотными дробями называются дроби с числителем 1. И даже сами аликвотные дроби они часто стремились представить в виде суммы меньших аликвотных дробей. Например,

1/2=1/3+1/6, 1/4=1/5+1/20

Египтяне ставили иероглиф

(ер, «[один] из» или ре, рот) над числом для обозначения единичной дроби в обычной записи, а в священных текстах использовали линию. К примеру:

Египтяне применяли только две дроби не являющиеся долями – две трети и три четверти. Эти дроби часто встречались в вычислениях. Для них существовали особые символы, был специальный знак и для дроби 1/2.

Е гиптяне также использовали письменность, основанную на иероглифах "Ока Гора" (Уаджет). Ассоциация солнца с образом глаза характерна для древних. В египетской мифологии часто упоминается бог Гор, олицетворяющий крылатое солнце, который является одним из самых распространенных священных символов. В битве с врагами Солнца, воплощенными в образе Сета, Гор сначала терпит поражение. Сет вырывает у него Глаз — чудесное око — и разрывает его в клочья. Тот — бог учения, разума и правосудия — снова сложил части глаза в одно целое, создав "здоровый глаз Гора". Изображения частей разрубленного Ока использовались при письме в Древнем Египте для обозначения дробей от ¹/₂ до ¹/_{64 .} [7].

Сумма шести знаков, входящих в Уаджет, и приведенных к общему знаменателю: 32/64 + 16/64 + 8/64 + 4/64 + 2/64 + 1/64 = 63/64

Причиной появления этих дробей являлась необходимость разбить единицу на доли. Это нужно было для того, чтобы поделить добычу после охоты, ведь, нужно было знать, сколько частей составляет целое и кому какая часть добычи будет принадлежать, чтобы поделить основную меру объёма в Древнем Египте - «хекат».

Подобные дроби использовались совместно с другими формами записи египетских дробей для того, чтобы поделить хекат, основную меру объёма в Древнем Египте. Эта комбинированная запись также применялась для измерения объёма зерна, хлеба и пива. Если после записи количества в виде дроби Глаза Гора оставался какой-то остаток, его записывали в обычном виде кратно ро, единице измерения, равной 1/320 хеката.

При этом «рот» помещался перед всеми иероглифами.

Хекат ячменя: ¹/₂ + ¹/₄ + ¹/₃₂ (то есть ²⁵/₃₂ сосуда ячменя).

Хекат равнялся примерно 4,785 литрам

Сейчас сумма нескольких аликвотных дробей называется египетской дробью. Другими словами, любая дробь суммы имеет числитель, равный единице, и знаменатель, представляющий собой натуральное число.

Проводить всевозможные вычисления, выражая все дроби через единичные, было, конечно, очень трудно и отнимало немало времени. Поэтому египетские ученые позаботились о том, чтобы облегчить работу писцов. Они составили особые таблицы разложений дробей на простейшие. Математические документы древнего Египта это не научные трактаты по математике, а практические учебники с примерами, взятыми из жизни. Среди задач, которые должен был решать ученик школы писцов, - вычисления и вместимости амбаров, и объема корзины, и площади поля, и раздела имущества среди наследников, и другие. Писец должен был запомнить эти образцы и уметь быстро использовать их для расчетов.

Одним из первых известных упоминаний о египетских дробях является Математический папирус Ринда. Три более древних текста, в которых упоминаются египетские дроби — это Египетский математический кожаный свиток, Московский математический папирус и Деревянная табличка Ахмима.

Самый большой математический документ - папирус по руководству к вычислениям писца Ахмеса - найден в 1858 году английским коллекционером Райндом. Папирус составлен в XVII веке до нашей эры. Его длина 20 метров, ширина 30 сантиметров. Он содержит 84 математических задачи, их решения и ответы, записанные в виде египетских дробей

1.3 Задача из папируса Ахмеса

О дна из часто встречающихся задача из папируса Ахмеса, демонстрирующая применение аликвотных дробей: «Разделить 7 хлебов между 8 людьми».
Если резать каждый хлеб на 8 частей, придется провести 49 разрезов.
А по-египетски эта задача решалась так. Дробь 7/8 записывали в виде долей: 1/2 + 1/4 + 1/8. Значит, каждому человеку надо дать полхлеба, четверть хлеба и восьмушку хлеба; поэтому четыре хлеба разрезаем пополам, два хлеба - на 4 части и один хлеб - на 8 долей, после чего каждому даем его часть.

2.Формулы аликвотных дробей.

Чтобы представить какое либо число в виде суммы аликвотных дробей, иногда требуется проявлять, исключительную изобретательность. Скажем, число 2/43 выражается так: 2/43= 1/42 +1/86 +1/129 +1/301. Производить арифметические действия над числами, раскладывая их в сумму долей единицы, весьма неудобно.

Следовательно в течении решения задач для разложения аликвотных дробей в виде суммы меньших аликвотных дробей возникла идея систематизировать разложение дробей в виде формулы. Эта формула действует, если необходимо разложение аликвотной дроби на две аликвотные дроби.

Формула выглядит следующим образом:

1/n=(1/(n+1)) +(1/n*(n+1))

Но если преобразовать нашу формулу, то приобретем следующее полезное равенство:

1/(n*(n+1))=1/n -1/(n+1)

Т.е аликвотную дробь можно представить разностью двух аликвотных дробей, или разность двух аликвотных, знаменателями которых, являются последовательные числа равна их произведению.

Возвратимся к формуле и докажем это равенство:

1/n=(1/(n+1)) +(1/n*(n+1))

(1/(n+1)) +(1/n*(n+1)) , приведя дроби к общему знаменателю, получаем:

( n+1 )/((n+1)*n) после сокращения получаем:

Итак, получается, что 1/n=1/n. Наша формула верна.

Аликвотные дроби на практике

3.1. Разложение обыкновенных дробей на аликвотные

Алгоритм сложения и вычитания аликвотных дробей нам хорошо знаком. Например, + = ; - = . Исходя из этого, я считаю, что обыкновенную дробь можно представить в виде суммы двух или более аликвотных дробей.

Рассмотрим примеры:

Представим дробь в виде суммы аликвотных дробей.

= + x; x = - ; x =

= + y; y = - ; y = ,

из этого следует, что = + + .

Рассмотрим дробь , где знаменатель представлен в виде произведения двух множителей, а числитель равен сумме этих чисел, тогда такую дробь всегда можно представить в виде суммы двух аликвотных дробей = + .

= = +

= = +

Для того чтобы представить какое-либо число в виде суммы аликвотных дробей, иногда приходится проявлять, определенную изобретательность. Скажем, число выражается так + + . Производить арифметические действия над числами, раскладывая их в сумму долей единицы, очень неудобно. Поэтому в процессе решения задач для разложения аликвотных дробей в виде суммы меньших аликвотных дробей появилась идея систематизировать разложение дробей в виде формулы. Эта формула действует, если требуется разложение аликвотной дроби на две аликвотные дроби:

= +

Но если преобразовать нашу формулу, то получим следующее полезное равенство:

= -

Значит аликвотную дробь можно представить разностью двух аликвотных дробей.

Вернемся к формуле и докажем это равенство: 

= +                                                             

+ , приведя дроби к общему знаменателю, получаем:

, после сокращения получаем: .

Итак, получается, что = . Наша формула верна.

3.2. Решение задач с аликвотными дробями

1. Стас принёс в школу 5 яблок. Как разделить их поровну между 12 мальчиками, не разрезая ни одного из них на 12 части?

Решение. Каждый должен получить по яблока. Но , значит, 3 яблока нужно разделить на 4 части и 2 яблока на 6 частей.

2. В детский сад утром привели 90 детей. В 17.00 забрали из сада половину детей. В 18.00 забрали третью часть детей. В 19.00 забрали шестую часть детей. Сколько детей забирали из сада в разное время?

Решение. , 1/2=45 детей, 1/3=30 детей, 1/6=15 детей.

Ответ. В 17.00 из сада забрали 45 детей, в 18.00 – 30 детей, в 19.00 – 15 детей.

3. Рассмотрим задачу из сборника «Международные математические олимпиады» (Фомин А. А., Кузнецова Г. М.).

Пусть p и q – натуральные числа такие, что

= 1 - + - + … - + . Докажите, что число p делится 1979.

Решение:

Для решения воспользуемся справедливым равенством

a - b = a + b – 2b.

1 - + - … - + = 1 + + + … + + - 2 ( + + + … + ) = 1 + + + … + + – (1 + + + … + ) = + + … + + .

Число слагаемых в полученной сумме четно (658 слагаемых), а сумма дробей, равностоящих от концов, равна

+ =

+ = , в общем виде это можно записать так

+ = , где k = 1, 2, 3, …, 329, 330.

+ + … = .

Т аким образом, после сложения всех дробей

= , где А – некоторое натуральное число.

p = 1979A, из этого следует, что р 1979.

4.Природный звукоряд

Всем известно, что Пифагор был ученым и, в частности, автором знаменитой теоремы. Однако менее известно, что он также был блестящим музыкантом. Именно это сочетание талантов позволило ему первым додуматься о существовании природного звукоряда. Ему еще предстояло доказать это. Для своих опытов Пифагор соорудил полуинструмент-полуприбор под названием "монохорд". Это был продолговатый ящик с натянутой поверх него струной. Под струной, на верхней крышке ящика, Пифагор расчертил шкалу, чтобы легче было зрительно делить струну на части. Пифагор много экспериментировал с монохордом и, наконец, сумел математически описать действие звучащей струны. Работа Пифагора легла в основу того, что сегодня известно как музыкальная акустика. Семь нот в октаве были признаны столь же естественными для музыки, как десять пальцев в арифметике. Уже тетива самого первого лука, колеблясь после выстрела, издавала тот готовый музыкальный звук, который мы используем почти без изменений по сей день.

С физической точки зрения тетива и струна - это одно и то же. Да, и люди создали струну, обратив внимание на особенностях тетивы. Звучащая струна колеблется не только целиком, но одновременно и половинками, третями, четвертями и т.д. Давайте теперь подойдем к этому явлению с арифметической точки зрения. Половинки колеблются вдвое чаще, чем целая струна, трети — втрое, четверти — вчетверо. Другими словами, во сколько раз меньше колеблющаяся часть струны, во столько же раз больше частота её колебаний. Предположим, что вся струна колеблется с частотой 24 Гц. Если посчитать дробные колебания до шестнадцатых, то получится последовательность чисел, показанная в таблице. Эта последовательность частот так и называется — натуральный, т.е природный, звукоряд.

5.Дроби на Руси

Первый математик, прославивший свое имя в России, Кирик из Новгородского монастыря, занимался проблемами хронологии и календарей. . В его рукописной книге «Учение им же ведати человеку числа всех лет» (1136 г. ), т. «Наставление, как человеку познать счисление лет» используется деление часа на пятые, двадцать пятые и другие доли, которые он называл «дробными часами» или «часцами».

В первых учебниках математики (VII в. ) дроби называли долями, позже «ломаными числами». Русское слово "дробь" возникло в VIII веке и происходит от глагола "дробить" — разбивать, ломать на части. При записи числа применялась горизонтальная черта.

В старых руководствах есть следующие названия дробей на Руси:

1/2 - половина, полтина

1/3 – треть

1/4 – четь

1/6 – полтреть

1/8 - полчеть

1/12 –полполтреть

1/16 - полполчеть

1/24 – полполполтреть (малая треть)

1/32 – полполполчеть (малая четь)

1/5 – пятина

1/7 - седьмина

1/10 – десятина.

Заключение

При разработке этой темы, мы обнаружили, что первыми дробями, которыми оперировали люди, были аликвотные дроби. Задачи с использованием аликвотных дробей составляют большую часть нестандартных заданий.

Разложение дробей на две аликвотные дроби систематизировали в виде формулы, преобразовав которую, легко решали олимпиадные задачи по математике разных лет

Таким образом, долгое время аликвотные дроби (с числителем, равным единице) были единственными дробями, с которыми люди умели работать, а правила действия с произвольными дробями были разработаны "относительно недавно".

Изучив и исследовав аликвотные дроби, я узнала, что они являются началом обыкновенных дробей.

Научилась складывать и вычитать эти дроби, решать задачи на аликвотные дроби. Моя гипотеза оказалась верной, дроби можно использовать для решения олимпиадных задач.

Аликвотные дроби часто бывают более удобными при решении задач и используются в окружающем нас мире, в разных областях, не только в математике.

Список используемой литературы

Материал из Википедии – свободной энциклопедии.

Глейзер Г. И. История математики в школе: IV – VI кл. Пособие для учителей. — М.: Просвещение, 1981.

Фомин А. А., Кузнецова Г. М. «Международные математические олимпиады». Москва. ДРОФА, 2006 год.

Гаврилова Т. Д. «Занимательная математика». 5-11 класс. Волгоград. Учитель, 2008 год.

Энциклопедический словарь юного математика для среднего и старшего школьного возраста. М.: Педагогика,1989

Бородин А.И. Из истории арифметики. Головное издательство «Ваша школа» - К.,1986.