XVIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Математические софизмы и задания "Найди ошибку"
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
«Правильно понятая ошибка – это путь к открытию»
И. П. Павлов
ВВЕДЕНИЕ
Бесконечно разнообразны ошибки, которые совершались и совершаются в различных математических рассуждениях. Рассмотреть такие ошибки полезно по двум причинам: во-первых, хорошо ознакомившись с какой-нибудь такой ошибкой, мы защитим себя от повторения такой ошибки в будущем; во- вторых, сам процесс разыскания ошибки легко сделать весьма увлекательным, и изучение ошибок становится средством поднять интерес к изучению математики.
Рассуждение, в котором допущена та или иная ошибка, в большинстве случаев легко довести до получения явно неверного вывода. Получается видимость доказательства какой-нибудь нелепости, или так называемый софизм.
Разбор и решение любого рода математических задач, а в особенности нестандартных, помогает развивать смекалку и логику.
Цель исследования софизмов заключается в приобщении к критическому мышлению, умению не только воспроизводить определенные логические мыслительные процессы, но и критически осмысливать каждый этап рассуждений в соответствии с усвоенными принципами математического мышления.
Наверняка, каждый человек слышал хоть раз в жизни подобную фразу:
«Дважды два равно пяти» или «Два равно трем». На самом деле таких примеров очень много. Что они обозначают? Имеют ли какое-то логическое объяснение или это вымысел?
Именно это я хочу рассмотреть в этой работе, название которой «Математические софизмы и задания «Найди ошибку». Целью моей работы является исследование разнообразных математических софизмов для формирования критического мышления, приобретения необходимых в жизни навыков правильного мышления и разбор собственных заданий «Найди ошибку» по различным темам курса алгебры и геометрии. 1
СОФИЗМЫ
Софизм (в переводе с греческого sophisma - уловка, выдумка, головоломка), формально кажущийся правильным, но по существу ложное умозаключение, основанное на преднамеренном неправильном подборе исходных положений. Каков бы не был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Особенно часто в математических софизмах выполняются «запрещенные» действия или не учитываются условия применимости теорем, форму и правил. Иногда рассуждения ведутся с использованием ошибочного чертежа или опираются на приводящие к ошибочным заключениям «очевидности». Встречаются софизмы, содержащие и другие ошибки.
ИСТОРИЯ СОФИЗМОВ
В истории развития математики софизмы играли существенную роль. Они способствовали повышению строгости математических рассуждений и содействовали более глубокому уяснению понятий методов математики. Роль софизмов в развитии математики сходно с той ролью, какую играют непреднамеренные ошибки математических исследований, допускаемые выдающимися математиками. Именно уяснение ошибок математических рассуждение часто содействовало развитию математики. Пожалуй, особенно поучительна в этом отношении история аксиомы Евклида о параллельных прямых. Сформировать эту аксиому можно так: через данную точку лежащую вне данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной. Это утверждение на протяжении более двух тысяч лет пытались доказать, но все попытки не увенчались успехом. Полученные «доказательства» оказались ошибочными. И все же, несмотря на ошибочность этих «доказательств», они принесли большую пользу развитию геометрии. Они подготовили одно из величайших достижений в области геометрии и всей математики – создание неевклидовой геометрии. Честь разработки новой геометрии принадлежит Н.И. Лобачевскому и венгерскому математику Яношу Бойяи.
Понятие софизмов включает в себя несколько видов софизмов: арифметические, алгебраические и геометрические.
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СОФИЗМЫ
Арифметические софизмы - это числовые выражения, имеющие неточность или ошибку, незаметную с первого взгляда. Рассмотрим такие примеры.
Пример 1
« 5 = 6 »
Решение:
Попытаемся доказать, что 5 = 6. С этой целью возьмем числовое тождество:
35 + 10 – 45 = 42 + 12 – 54.
Вынесем общие множители левой и правой частей за скобки. Получим:
5 (7 + 2 – 9) = 6 (7 + 2 – 9).
Разделим обе части этого равенства на общий множитель
Получаем 5 = 6.
Где ошибка?
Ответ: общий множитель (7 + 2 – 9) = 0, а делить на 0 нельзя.
Пример 2
« 2 * 2 = 5 »
Решение:
Имеем числовое равенство (верное): 4 : 4 = 5 : 5.
Вынесем за скобки в каждой части его общий множитель. Получим:
4 (1 : 1) = 5 (1 : 1).
Числа в скобках равны, поэтому
4 = 5 или 2 * 2 = 5.
Где ошибка?
Ответ: допущена ошибка в вынесении общего множителя за скобки в левой и правой частях тождества 4 : 4 = 5 : 5. Общий множитель нельзя вынести.
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СОФИЗМЫ
Алгебра - один из больших разделов математики, принадлежащий наряду с арифметикой и геометрией, к числу старейших ветвей этой науки. Задачи, а также методы, отличающие ее от других отраслей математики, создавались постепенно, начиная с древности. Алгебра возникла под влиянием нужд общественной практики, в результате поисков общих приемов для решения однотипных арифметических задач. Приемы эти заключаются обычно в составлении и решении уравнений, т.е. алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.
Пример 1
«Любое число равно его половине»
Возьмем два равных числа а и b, а =b обе части этого равенства умножим на а и затем вычтем из произведений по b2 . Получим: а2 – b2 = ab - b2 или (а + b)(a - b)=b(a - b).
Отсюда а + b = b, или а + а = а, так как b = a.
Значит, 2а = а, .
Где ошибка?
Ответ: нельзя делить на (а – b), так как ( a – b) = 0.
Пример 2
«Любое число равно нулю»
Возьмем произвольное положительное число а и рассмотрим сумму х и бесконечного числа слагаемых, равных а:
х = а + а + а + а + … . (1)
Очевидно, что мы можем представить эту сумму как
х = а + (а + а + а +…), (2)
в которой сумма, стоящая в скобках, так же ровна х, как сумма бесконечного числа слагаемых, равных а. Так что можем записать, что х = а + х, откуда заключаем, что а=0
Где ошибка?
Ответ: ошибка допущена в равенстве (1), в котором бесконечная сумма чисел а обозначена конечным числом х.
Пример 3
«Всякое число равно своему удвоенному значению»
Запишем очевидное для любого числа а тождество:
а2 – а2 = а2 – а2.
Вынесем множитель а в левой части за скобку, а правую часть разложим на множители по формуле разности квадратов, получим:
а (а - а) = ( а + а) ( а – а ). (1)
Разделив обе части на ( а – а ), получим:
а = а + а , а = 2а.
Где ошибка?
Ответ: используется распространенная ошибка, а именно деление на 0 в неравенстве (1) (а—а=0).
Пример 4
«Все числа равны между собой»
Возьмем любые два числа х , у.
Рассмотрим тождество:
х2 - 2ху + у2 = у2 - 2ху + х2. Имеем: ( х – у )2 = ( у – х )2.
отсюда: х – у = у – х или 2х = 2у, а значит, х = у.
Где ошибка?
Ответ: ошибка заключается в том, что из равенства ( х – у )2 = (у – х )2 следует, что х = у, а это равенство справедливо для любых чисел х, у.
Пример 5
Если «а» больше «b», в тогда «а» всегда больше, чем «2b».
Возьмем два произвольных положительных числа а и b, такие, что а > b. Умножив это неравенство на b, получим новое неравенство аb > bb, а отняв от обеих его частей аа, получим неравенства аb – аа > bb – аа, которое равносильно следующему: а ( b – a ) > ( b + a ) ( b - a ). (1)
После деления обеих частей неравенства (1) на (b – а), получим а > b + a (2).
А прибавив к этому неравенству почленно исходное неравенство а > b, имеем 2а > 2b + a, откуда а > 2b. Итак, если а > b, то а > 2b.
Где ошибка?
Ответ: ошибка совершена при переходе от равенства (1) к (2). Так как а > b, то b – a < 0, следовательно, при делении неравенства (1) на b – а, мы должны
поменять знак неравенства на противоположный.
Пример 6
« 8 = 6 »
Решим систему уравнений:
Решим подстановкой у из второго уравнения в первое, получаем
х + 8 – х = 6, откуда 8 = 6.
Где ошибка?
Ответ: второе уравнение системы можно записать как х + 2у = 8, так что исходная система запишется в виде:
В этой системе уравнений коэффициенты при переменных одинаковы, а правые части не равны между собой, из этого следует, что система не имеет ни одного решения.
Графически это означает, что прямые у = 3 - и у = 4 - параллельны и не совпадают. Перед тем, как решать систему линейных уравнений, полезно проанализировать, имеет ли система единственное решение, бесконечно много решений или не имеет решений вообще.
Пример 7
«Неравные числа равны»
Возьмем два неравных между собой произвольных числа а и b.
Пусть их разность равна с, то есть а – b = с. Умножив обе части этого равенства на ( а – b ), получим ( а – b )2 = с ( а – b ). Раскрыв скобки, придем к равенству а2 – 2аb + b2 = ca – cb. После преобразования получаем а2 – аb - ас= аb – b2 – bc. Выносим общий множитель а слева и общий множитель b справа, получим: а ( а – b – c ) = b ( a – b – c ).
Разделив последнее равенство на ( а – b – c ), получаем : а = b.
Где ошибка?
Ответ: здесь ошибка совершена при переходе от равенства а ( а – b – c ) = b ( a – b – c ) к равенству а = b. Действительно, согласно условию разность двух произвольных чисел а и b равна с, то есть а – b = с, откуда а – b - c = 0. Можно записать равенство а ( а – b – c ) = b ( a – b – c ) в виде: а*0 = b*0. Переход от этого равенства к равенству, а=b осуществляется путем деления обеих частей на равное нулю число а – b – с = 0.Следовательно, здесь мы имеем деление нуля на нуль, которое не имеет смысла, поскольку равенство, а*0=b*0 выполняется при любых а и b. Поэтому, вывод о том, что числа а и b равны, неверен.
Пример 8
« 7 = 13 »
Рассмотрим уравнение: . (1)
Оно может быть решено следующим образом. Приведя левую часть уравнения к общему знаменателю, получим
= , откуда – = , или
= . (2)
Поскольку числители дробей в левой и в правой частях уравнения равны, то для того чтобы имело место равенство обеих частей уравнения, необходимо, чтобы были равны и знаменатели дробей. Таким образом, приходим к равенству
7 = 13.
Где ошибка? Ответ: область допустимых значений исходного уравнения (1) состоит из всех значений переменой х, кроме х=7, х=13. В этом софизме неявно подразумевается, что равенство (2) является не уравнением, а тождеством, равным при любых значениях х, что неверно. Поэтому, утверждение софизма неверно.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СОФИЗМЫ
Геометрические софизмы – это умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, связанное с геометрическими фигурами и действиями над ними.
Пример 1
«Катет равен гипотенузе»
Доказательство
Угол С равен 90°, ВД - биссектриса угла СВА, СК = КА, ОК перпендикулярно СА, О – точка пересечения прямых ОК и ВД, ОМ перпендикулярно АВ, ОL перпендикулярно ВС. Имеем: ∆LВО равен ∆МВО, ВL=ВМ, ОМ = ОL = СК = КА, ∆КОА = ∆ОМА (ОА- общая сторона, КА = ОМ, ∠ОКА и ∠ОМА- прямые), ∠ОАК= ∠МОА, ОК=МА=СL, ВА= ВМ+МА, ВС=ВL+LС, но ВМ=ВL, МА=СL, и потому ВА=ВС.
В
M
L
С К D A
К D
Где ошибка?
Ответ: ошибка заключается в том, что рассуждения, о том, что катет равен гипотенузе, опирались на ошибочный чертеж. Точка пересечения прямой, определяемой биссектрисой ВD и серединного перпендикуляра к катету АС, находится вне треугольника АВС.
Пример 2
«Отрезки параллельных прямых, заключенные между сторонами угла, равны»
Рассмотрим произвольный угол с вершиной в точке Е и пересечем их стороны двумя параллельными прямыми, отрезки которых АВ и СD заключены между сторонами этого угла.
Как известно параллельные прямые отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки, следовательно, откуда АЕ · DE = BE · CE.
Умножив обе части последнего равенства на отличную от нуля разность
АВ – СD , запишем AE · DE · AB – AE · DE · CD = AE · DE · CD – BE · CE · CD,
ИлиАВ (AE · DE – BE · CE) = CD (AE · DE – BE · CE).
Разделив обе части последнего равенства на (AE · DE – BE · CE) получим равенство АВ = СD.
Е
D А
B С
Где ошибка?
Ответ: так как АЕ · DE = BE · CE, то АЕ · DE – ВЕ · СЕ = 0, то ошибка в делении на 0.
Пример 3
«Катет прямоугольного треугольника равен его гипотенузе»
Пусть BO (рис.1) – биссектриса угла B, D – середина катета AC, DO ┴ AC, OE ┴ BC, OF ┴ BA.
Так как О - на биссектрисе угла B,
то Δ BFO = Δ BEO (по гипотенузе и острому углу). Поэтому
BF = BE. (1)
Далее, OA = OC, ибо каждая точка перпендикулярна к отрезку AC,
9проходящего через середину AC, равноудалена от А и С. Так как ОF = OE,
то Δ AOF = Δ СОЕ, и поэтому АF = СЕ. (2)
С
n DD D
кладывая почленно (1) и (2), получим AB = CB, то есть катет равен гипотенузе, что и требовалось доказать.
n O
O O
В В
E A C
F F О Е
А D С Рис. 2
Рис. 1
Где ошибка? Ответ: точка О не может быть внутри Δ ABC. Тогда можно показать, что если точка О лежит вне Δ ABC или на его стороне, то опять AB = CB (рис.2). Именно, показываем, что BF = BE, АF = СЕ. Отсюда AB = CB.
Пример 4
«Прямой угол равен тупому!»
Пусть угол АDC - прямой, угол DCВ - тупой, СВ=DА, СМ=DМ, АF=ВА, МО ┴ СD, FО ┴ АВ. Следовательно, ∆DMO = ∆СМО (по двум катетам). Поэтому, ∠ МDО= ∠ МСО. (1) OD=ОС, ∆ AFO =∆ ВFО (по двум катетам).
Следовательно, АО=ОВ и ∆ АDО= ∆ ВСО (по трем сторонам).
Значит, ∠АDО = ∠ВСО. (2)
A F B
D M C
O
∠АDO –∠ МDО =∠ ВСО – ∠МСО, то есть ∠АDC=∠ BCD.
Таким образом, прямой угол равен тупому углу. Что и требовалось доказать.
ЗАДАНИЯ «НАЙДИ ОШИБКУ»
В процессе изучения и исследования математических софизмов мне стало интересно, а как можно предупредить ошибки учеников моего класса в решении примеров на уроках. Ведь часто при неправильном решении получается явно неверный результат, который не могут увидеть сами ученики. Поэтому, я заинтересовалась заданиями с ошибками в решении. Используя учебную литературу, я попробовала самостоятельно составить задания, в которых есть ошибка.
Пример 1
Решить неравенство:
( 4 - х2 )3 ( х – 3 )2 ≥ 0.
( х2-4)3 ( х – 3 )2 ≤ 0,
( х – 2 )3( х + 2 ) 3 ( х – 3 ) 2 ≤ 0.
Найдем нули выражения
х – 2 =0, х + 2 =0, х – 3 = 0,
х = 2, х = -2, х = 3.
- + - +
х
-2 2 3
х (-∞; -2] υ [2; 3]
Где ошибка?
Ответ: в выражении второй множитель в квадрате. Поэтому, при переходе через точку х=3 знак выражения не должен измениться.
+ - + +
х
-2 2 3
х [-2; 2] Ответ: [-2; 2]
Пример 2
Найти производную функции f(х) = sin6 .
f'ꞌ(х) = (sin6)' =6sin5 · · · (5х2-6х) = =6sin5 = 3sin5 .
Где ошибка?
Ответ: ошибка заключается в нахождении производной степенной функции.
f'ꞌ(х) = (sin6)' =6sin5 · · · (5х2-6х) = =6sin5 =sin5 .
Пример 3 Решить биквадратное уравнение:
9х4 – 2х2 - 7 = 0.
Введем замену х2 =z, решаем квадратное уравнение:
9z2 - 2z – 7 = 0, k=
Д1 = k2 - ac = (-1)2- 9 · (-7) = 1 +63 = 64 > 0, имеет 2 корня
z1,2 = =
z1= -1, z2= ,
х2 = - 1, х2 = ,
не имеет решения, х = ± .
Где ошибка? Ответ: при нахождении корней уравнения допущена ошибка: k=-1, а в формуле корней знак не изменен. Правильное решение:
z1,2 = = ,
z1= 1,z2=- ,
х2= 1 , х2 = - ,
х = ± 1, не имеет решения. Ответ: ± 1
Пример 4
Решить тригонометрические уравнения:
а) 2соsх = 1.
соsх = ,
х = аrccos + 2n, n Z,
x = + 2n, n Z.
Где ошибка?
Ответ: ошибка заключается в неправильном определении табличного значения косинуса.
х = аrccos + 2 n, n Z
x = + 2 n, n Z
б) 3sin 2x - 2sinx -1 = 0.
Введем замену sinx=t , тогда получим и решим квадратное уравнение:
3t2 -2t -1 = 0.
По свойству коэффициентов a+ b +c = 0 получаем:
t1 = 1, t2 = - ,
sinx= 1, sinx= - ,
х =(-1)n + n, n Z. х= (-1)narcsin(- ) + n, n Z,
х= - (-1)n arcsin + n, n Z.
Где ошибка?
Ответ: 1) ошибка заключается в нахождении корня тригонометрического уравнения sinx= 1. Это частный случай. Поэтому, х = + 2n, n Z.
2) ошибка при определении корня уравнения sinx= - . Отрицательное значение синуса увеличивает степень числа (-1) на единицу.
Правильный ответ: х= (-1)n+1 arcsin + n, n Z
Пример 5. Задача.
Стороны параллелограмма АВСD относятся как 2:3, а его периметр равен 20 см, угол между сторонами равен 60°. Найдите его площадь.
А В
С D
Решение.
АВ : АD = 2 : 3.
х – коэффициент пропорциональности,
тогда АВ = 2х (см), АD = 3х (см)., РАВCD = 2(АВ + АD), получим
(2х + 3х) · 2 = 20,
5х = 10,
х = 2 (см).
АВ = 2 · 2 = 4 (см), АD = 2 · 3 = 6 (см).
SАВCD = аbsinα = АВ · АD · sin60°,
SАВCD = 4 · 6 · = 12 (cм2).
Где ошибка?
Ответ: ошибка в определении значения синуса. Правильно sin60° = .
Поэтому, SАВCD = 4 · 6 · = 12 (cм2).
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Исследовать софизмы очень интересно и необычно. Перед тобой открывается какой-то особый мир рассуждений, которые поистине кажутся верными.
Изучая и исследуя математические софизмы, я научилась контролировать логические рассуждения при решении задач и примеров.. Поэтому, я могу найти ошибку в своем решении и увидеть ошибку в решении других учеников во время урока.
Мне было очень интересно изучать и исследовать математические софизмы, а особенно придумывать новые задания, содержащие ошибку и анализировать их.
Такие задания помогут мне еще лучше подготовиться к государственному экзамену по математике и сдаче ЕНТ.
Литература
1. М. Б. Балк, Г. Д. Балк, «Математика после уроков», «Просвещение», Москва, 1971
2. сайт ppt4.web.ru\matematisheskie-sofizmy.htlm
3. А. Н. Шыныбеков, учебник «Геометрия 8», «Атамура», Алматы, 2004
4. А. Н. Шыныбеков, учебник «Алгебра 8», «Атамура», Алматы, 2004
5. А. Е. Абылкасомова, З .А Жумагулова, К. Д. Шойынбеков,
6. В. Е. Корчевский, учебник «Алгебра и начала анализа 10», «Мектеп», Алматы, 2014
7. И. П. Рустюмова, С. Т. Рустюмова, «Тренажер по математике для подготовки к Единому Национальному Тестированию (ЕНТ)», Алматы,2011