XVIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Нестандартные задачи по геометрии
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Геометрию считают трудным предметом. А трудность ее в том, что по сравнению с алгеброй она мало алгоритмизировaнa. Почти каждую содержательную задачу можно решить несколькими способами, используя рaзличные методы. Поэтому геометрия содержит в себе потенциал для развития гибкости ума, пластичности мышления и конструктивных способностей учащихся, для воспитания у них чувства прекрасного.
Для многих людей раздел математики - геометрия - кажется очень скучной, но, на самом деле, есть много интересных задач, любопытных и неожиданных. Я хочу познакомить вас с нестандартными задачами в геометрии. Нестандартные задачи — задачи, для которых нет общего алгоритма решения. В курсе геометрии выделяют следующие виды нестандартных задач:
– на доказательство;
– на построение;
– на вычисление;
– занимательные.
«Нестандартность» – свойство относительное. Для обучающегося,
который впервые встречается с задачей, требующей применения новой для
него идеи, задача является нестандартной.
Нестандартная задача – это задача, о которой решающему ее не
известны ни идея решения, ни даже то, на каком известном разделе теории
основано хотя бы одно из возможных решений.
Нестандартные задачи, выполняют несколько функций:
– развивают и поддерживают интерес обучающихся к учебе,
помогают реализовать их склонности и возможности;
– позволяют сочетать различные виды групповой и коллективной
учебной работы;
– развивают творческие способности;
– способствуют лучшему пониманию и осмыслению изучаемого
материала;
– являются хорошим средством от информационной перегрузки.
Цель моей работы: ознакомиться с понятием «нестандартные задачи» и
рассмотреть их роль в изучении математики. Изучение различных методов решения сложных и нестандартных задач.
Объектом исследования являются нестандартные задачи.
Предметом исследования являются задачи, для которых нет общего алгоритма решения.
Гипотеза исследования: решение нестандартных задач позволяет накапливать опыт в сопоставлении, наблюдении, выявлять закономерности, высказывать предположения, доказывать их.
Для достижения поставленной цели требуется решить следующие задачи:
1.Ознакомиться с понятием «нестандартная задача», проведя анализ различных источников, исследующих его.
Познакомиться с различными видами сложных и нестандартных задач;
Изучить различные методы решения задач;
4.Патриотическое воспитание.
Методы: наблюдение, поиск, отбор, анализ, исследование.
Исследование:
1. Были изучены ресурсы сети Интернет и печатные издания;
2. Выписаны области науки и жизнедеятельности человека, в которых используется нестандартные задачи;
3. Рассмотрены разные способы решения нестандартных задач;
Теоретический обзор материала по теме исследования
2.1. Понятие «нестандартные задачи» и их классификация
Мы часто на уроках математики и особенно геометрии слышим: нестандартная задача, нестандартная ситуация, нестандартный подход, не
стандартное решение. У разных авторов свой подход к трактовке этих понятий.
Ю. М. Колягин пишет: «Нестандартная задача – это задача, решение которой для данного ученика не является известной цепью известных действий». Это очень простая трактовка нестандартной задачи, она мало что дает, но с другой стороны, она дает возможность понять,как следует воспринимать нестандартную задачу.
Б. А. Кордемский использует другое название для нестандартных задач – внеучебные математические задачи.
Он писал, что это «совокупность своеобразных задач, дополнительных к тем, которые учащиеся решают в процессе систематического изучения математики». Также удобная трактовка, но мало что объясняющая для понимания сущности нестандартной задачи.
И. Ф. Шарыгин в предисловии к своей книге писал: «...в книге есть задачи и более высокого уровня, назовем этот уровень творческим». Эти задачи он называет задачи проблемы.
Г. А. Балл в книге «Теория учебных задач» для обозначения нестандартных задач пользуется термином «нерутинные задачи». С одной стороны, эта трактовка заслуживает внимания, поскольку она первая, в которой говорится о сущности нестандартной задачи, однако отметим, что здесь же автор пытается выявить особенности нестандартной задачи, с которыми, видимо, следует еще достаточно долго разбираться.
Л. М. Лоповок делит задачи по роли, которую они играют, на репродуктивные, задачи с известным алгоритмом и проблемные. «Проблемная задача характерна тем, что алгоритм ее решения до начала решения нам неизвестен, трудно даже установить, достаточно ли наших знаний и умений для выполнения задания. Главная задача –открыть способ решения и убедиться в его пригодности.
Следует иметь в виду, что определить, является ли данная задача проблемной или нет, можно только относительно конкретного школьника, только с учетом его знаний и умений в момент постановки задачи». М.К. Потапов, Г.В. Дорофеев, Н.Х. Розов отмечали, что есть несколько
видов нестандартных задач. Например, некоторые задачи внешне выглядят
крайне необычно, поэтому поначалу не совсем понятно, как к ним подойти. Другие же замаскированы: на первый взгляд, это стандартное квадратное уравнение, но обычным методом оно не решается. А для решения третьего типа необходимо четкое и тонкое логическое мышление. Такие «нестандартные задачи» нуждаются в высокой логической культуре, определенной сообразительности, психологической подготовленности, а также в свободном владении разными разделами математики! Однако, они не выходят за рамки школьной программы.
Нестандартные задачи не нужно путать с задачами повышенной трудно-
сти. Нестандартная же задача подразумевает наличие исследовательского характера. Однако, в случае, если решение задачи для одного ученика является нестандартным, потому что он незнаком с методами решения данного вида задач, то для другого – решение задачи является обычным образом, так как ученик уже решал подобные задачи.
Таким образом, мы можем сделать вывод, что «нестандартность» задачи
условна. «Нестандартная» задача для одного ученика может не являться таковой для иного, наиболее подготовленного. Следовательно, определяя «нестандартную задачу», нужно указывать субъект, который решает данную задачу.
Несмотря на то, что общепринятой классификации нестандартных задач не
существует, Б.А. Кордемский выделил следующие типы нестандартных
задач:
– Задачи, смежные со школьным курсом математики, но высокого уровня
сложности (олимпиадные задачи). Они предлагаются школьникам с определившимся интересом к математике; эти задачи связаны с определённым разделом школьной программы. Соответствующие упражнения углубляют учебный материал, обобщают и дополняют положения школьного курса, развивают навыки в
решении сложных заданий, расширяют математический кругозор.
– Задачи вида математических развлечений. Они не имеют прямого отношения к школьной программе и не предполагают серьезной математической подготовки. Сюда включены и задачи с трудным решением, и даже такие, у которых
до сих пор решения нет. «Нестандартные задачи, поданные в увлекательной форме, вносят эмоциональный момент в умственные занятия. Не связанные с
необходимостью всякий раз применять для их решения заученные правила и
приёмы, они требуют мобилизации всех накопленных знаний, приучают к поискам своеобразных, не шаблонных способов решения, обогащают искусство решения красивыми примерами, заставляют восхищаться силой разума».
К данному типу задач относятся:
– головоломки на смекалку и различные числовые ребусы;
– логические задачи, не требующие вычислений, но основывающие на построении череды точных рассуждений;
– задачи, у которых решение основывается на объединении практической
смекалки и математического развития: переливания и взвешивание при сложных условиях;
– математические софизмы – неверное умозаключение, которое создает
видимость правильного;
– задачи-шуточки;
– комбинаторные задачи, рассматривающие разные комбинации из предложенных объектов, которые удовлетворяют некоторым условиям.
Основательный подход известных математиков к изучению роли нестандартных задач показал то, что нестандартные задачи играют неотъемлемую роль в формировании мышления, интуиции, терпения, творческих способностей и многих других нужных качеств, необходимых человеку.
Нестандартные задачи характеризуются поучительными функциями. Это
функции обучающие и развивающие. Кроме этого, они несут в себе воспитывающие, контролирующие и оценочные функции. Если отдельно рассмотреть воспитывающую функцию нестандартных
задач, то такие качества как упорство, настойчивость, целеустремленность, ответственность просто необходимы для рационального использования своей деятельности, так как решение нестандартных задач требует значительного времени и интеллектуальных затрат. А самостоятельно решенная, трудная или сложная задача, дает положительное эмоциональное подкрепление необходимое для дальнейшей мотивации учебной деятельности.
Нестандартные задачи:
– учат школьников применять не только готовые методы, но и самостоятельно искать новые пути решения задач, т.е. способствуют умению находить необычные способы решения задач;
– влияют на развитие сообразительности и смекалки учащихся;
– разрушают неверные представления в знаниях и умениях учащихся,
предполагают нахождение других связей в знаниях, к переносу знаний в иные условия, к овладению многообразными средствами умственной деятельности;
– создают благотворные условия для улучшения прочности и глубины знаний учащихся, обеспечивают осмысленное усвоение математических понятий.
Нестандартные задачи, соответствующие возрасту учащихся:
– должны быть понятны и доступны для решения;
– не иметь готовых, выученных алгоритмов;
– должны быть интересны и содержательны;
– для их решения должно быть достаточно тех знаний, которые были усвоены по школьной программе.
2.2. Решение нестандартных математических задач
Решение задач нестандартного типа дело очень непростое, требующее особого типа мышления, концентрации, силы духа, воли, вдохновленное идеей и смыслом чего–либо постичь. Порой для решения таких задач требуются минимальные сведения из курса школьной математики, а вот логика, смекалка и сообразительность будут просто необходимы.
Структура процесса решения задачи: 1) постановка вопроса (умение увидеть проблему);
2) мобилизация необходимых знаний (личного опыта или опыта, обобщенного в специальной литературе) для постановки гипотезы, определения путей и способов решения задачи;
3) специальные наблюдения и эксперименты, их обобщение в виде выводов и гипотез;
4) оформление возникших мыслей (образов) в виде математических, графических, предметных структур;
5) проверка социальной ценности продукта.
Рассмотрим решение следующих задач:
Задача на доказательство, где нужно доказать, что сумма внешних углов треугольника взятых по одному разу у каждой вершины равна 360 градусов.
Доказать можно несколькими способами:
Д-во: т.к. по теореме внешний угол треугольника равен сумме двух углов не смежных с ним то, ∠1 равен сумме углов 5 и 6.
∠ 2 равен сумме углов 4 и 6.∠3 равен сумме углов 4 и 5.
Следовательно,∠ 1+ ∠2+∠ 3 можно записать следующим образом ∠ 5+∠6+∠4+∠6+∠4+∠5. Заметим, что углы 4,5 и 6 , то есть внутренние углы повторяются по два раза, а зная о сумме внутренних углов треугольника можем сделать вывод, что сумма внешних углов треугольника взятых по одному разу у каждой вершины равна 360 градусов.
Д-во: т.к. внешние углы треугольника смежные с внутренними, то ∠1 равен 180- ∠4.∠2 равен 180-∠5. ∠3 равен 180-∠6.Следовательно, ∠ 1+ ∠2+∠ 3 можно записать следующим образом 180- ∠4+180-∠5+180-∠6=540- ∠4-∠5-∠6.
Зная, что сумма внутренних углов треугольника равна 180 градусам можно сделать вывод, что сумма внешних углов треугольника взятых по одному разу у каждой вершины равна 360 градусов.
Задача на вычисление, где нужно найти угол А.
Решить можно несколькими способами:
Р-е:∠DFE=70 градусов- внешний при вершине F, то есть равен ∠ DBF+ ∠FDB по теореме о внешнем угле треугольника . По рисунку ∠DBF=30 градусов, значит ∠FDB= 70-30=40 градусов. ∠FDB- внешний угол при вершине D.
Следовательно, вновь используя теорему о внешнем угле треугольника мы получаем ответ: ∠A=40-20=20 градусов.
Р-е: из рисунка видно, что ∠ DFE и ∠EFC- смежные. Значит, ∠EFC=180-70=110 градусов. Используя теорему о сумме углов треугольника можем найти ∠CEF. ∠CEF=180-20-110=50 градусов. ∠CEF.и ∠AEF- смежные, то есть ∠AEF=180-50=130 градусов.
Следовательно , вновь используя теорему о сумме углов треугольника мы получаем ответ: ∠A=180-130-30=20 градусов.
Символом двух прекрасных праздников, таких как 23 февраля - день защитника отечества, и 9 мая - День победы уже много лет является пятиконечная армейская звезда. Этот символ используется в символике армии, с его помощью обозначают звание военного. Пятиконечная звезда - это по сути своей символ эпохи и великого государства. Поэтому предлагаюрешить занимательную нестандартную задачу про пятиконечную звезду.
Нужно найти чему равна сумма ∠ a+∠b+∠c+∠d+∠e-?
Рассмотрим один из способов решения:
Решение: ∠ AMN-внешний угол при вершине М ΔEMC, значит по теореме о внешнем угле∠ AMN=∠E+∠C
∠ANM- внешний угол при вершине N ΔDNB, значит по теореме о внешнем угле ∠ ANM=∠D+∠B
По теореме о сумме углов треугольника ∠A+ ∠AMN+∠ANM=180 градусов, следовательно ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180 градусов.
Рассмотрим задачу про шестиконечную звезду.
Нужно найти чему равна сумма∠ A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F-?
Решение: в Δ ABC ∠A+∠B+∠C= 180 градусов ( по теореме о сумме углов треугольника).В Δ DEF ∠D+∠E+∠F=180 градусов ( по теореме о сумме углов треугольника).
Следовательно, ∠ A+∠B+∠C+∠D+∠F= 180+180=360 градусов
Задача 5.
Может ли в треугольнике сторона быть вдвое больше другой и вдвое меньше третьей?
Ответ: Нет, не может. Если взять одну сторону-2 x, тогда вторая сторона –x;третья сторона -4x.Проверим по неравенству треугольника:
4x<2x+1x- неверно
1x<4x+2x-верно
2x<4x+1x- верно
Задача 6.
Докажите, что сумма высот треугольника меньше его периметра.
Д-во: т.к. 1) АА1-высота получаем , что треугольник ВАА1- прямоугольный . По следствию из теоремы о соотношении между сторонами и углами треугольника АВ>AA1.
2)ВВ1-высота получаем , что треугольник СВВ1- прямоугольный . По следствию из теоремы о соотношении между сторонами и углами треугольника ВС>ВВ1.
3) СС1-высота получаем , что треугольник АСС1- прямоугольный . По следствию из теоремы о соотношении между сторонами и углами треугольника АС>СС1.
Следовательно, АВ+ВС+АС>AA1+ВВ1+СС1 ЧТД
Задача 7.
В треугольнике две стороны равны 1 и 6. Найдите третью сторону, если известно, что ее длина равна целому числу.
Решение: Допустим третья сторона -2. Проверим с помощью неравенства треугольника.
1<2+6-верно
2<1+6-верно
6<1+2-неверно
Можно сделать вывод, что третья сторона сложенная с единицей должна быть больше 6,тоесть 6 и более.
Допустим третья сторона -7. Проверим с помощью неравенства треугольника.
|7-6|<1-неверно.
|7-1|<6-неверно.
|6-1|<7-верно.
Следовательно, третья сторона-6.
Ответ:6
Задача 8.
Даны четыре точки A ,B, C и D. Докажите что AD<AB+BC+CD.
Д-во: Проведём отрезок BD, который делит фигуру на 2 треугольника .
Воспользуемся неравенством треугольника:
AB+BD>AD
CD+BC>BD
Сложим обе части неравенства
AB+BD+CD+BC>AD+BD Вычтем из обоих частей BD
AB+CD+BC>AD ЧТД
Заключение
На основании проделанного нами исследования, было установлено, что нестандартные задачи – это такие задачи, которые не решаются привычными методами и преобразованиями. Такие задачи, как правило, находятся в конце математического теста и являются заданиями на пятерку, так как они обладают более повышенным уровнем сложности.
Итак, нестандартные задачи служат совершенствованию математического образования. Они могут быть представлены в школьном курсе математике, в олимпиадах, в олимпиадах международного уровня. Нестандартные задачи способствуют:
1.Совершенствованию интеллектуальных возможностей учащихся, «подведение» их к индивидуальному математическому творчеству за счёт обогащения навыков самостоятельной работы.
2. Знакомству с новыми подходами при решении математических задач.
3. Нарушению стереотипности восприятия учебной информации и формированию умения видеть «новое в известном». 4. Патриотическому воспитанию. Сегодня очень важно воспитывать любовь к Родине, преданность своему Отечеству, стремление служить его интересам и готовность, вплоть до самопожертвования, к его защите.
Использованная литература и интернет ресурсы
Банк нестандартных задач. – [Электронный ресурс]. URL:http://yulib94.
wixsite.com/ bankzadach
Васильева Г.Н. Современные технологии обучения математике.
Часть 1 [Электронный ресурс]: учебное пособие / Г.Н. Васильева, В.Л.
Пестерева. — Электрон. текстовые данные. — Пермь: Пермский
государственный гуманитарно-педагогический университет, 2013. — 114 c. -2227-8397. — Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/32091.html14.
Галкин Е.В. Нестандартные задачи по математике. Алгебра: Учеб. пособие для учащихся 7-11кл. / Е.В. Галкин. – Челябинск: «Взгляд», 2004. – 448 с.
Дрозина В.В. Механизм творчества решения нестандартных задач. Руководство для тех, кто хочет научиться решать нестандартные задачи: учебное пособие / В.В. Дрозина, В.Л. Дильман – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008.
– 255 с.
Канель-Белов А.Я. Как решают нестандартные задачи: 4-е изд. / А.Я.
Канель-Белов, А.К. Ковальджи. – М.: МЦНМО, 1997. – 96 с
Кириченко И.В. Головоломки для детей и взрослых / И.В. Кириченкою
– Донецк: ИКФ «Сталкер», 1997. — 496 с
Маркушевич А.И. На путях обновления школьного курса математики:
Сб. ст. и материалов / А.И. Маркушевич, Г. Г. Маслова, Р. С. Черкасов. – М.: Просвещение, 1978. – 303 с
Пойа Д. Как решать задачу / Д. Пойа. – М.: Либроком, 2010. – 208 с.
Фридман Л.М. Как научиться решать задачи: Кн. для учащихся старших классов средних школ / Л.М. Фридман, Е.Н. Турецкий. – М.: Просвещение,
1989. - 192 с.