XVIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Магические квадраты
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Актуальность темы и проблемы исследования обусловлена выявленными противоречиями. С одной стороны, еще учёные древности считали количественные отношения основой сущности мира, и многие выдающиеся математики посвятили свои работы магическим квадратам, а с другой стороны эта тема не рассматривается в школьном курсе математики. С одной стороны, раньше многим были известны способы составления магических квадратов, например, Бенджамин Франклин писал: «В дни моей юности я в свободное время развлекался тем, что составлял магические квадраты», а с другой стороны, как показал опрос моих одноклассников, сегодня практически никто составлять магические квадраты не умеет. А между тем, изучение магических квадратов, их свойств может помочь в развитии познавательного интереса к предмету математики, к истории её развития, развитии любознательности и логического мышления.
Напрашиваются и другие вопросы: Когда впервые появились магические квадраты? А что магические квадраты дают, где их используют? Сможет ли составить магический квадрат шестиклассник?
С понятием магического квадрата я впервые встретился в учебнике математики. Меня поразило то, как такая простая фигура как квадрат, вместе с натуральным числовым рядом превратилась в нечто совершенно иное, обладающее новыми, интересными свойствами.
Изучая дополнительную литературу, я заинтересовался историей возникновения, решениями магических квадратов и применением их в жизни и математике.
На основании анализа актуальности, была сформулирована проблема исследования, которая заключается в поиске общих способов построения магических квадратов.
Актуальность выявленной проблемы и ее социальная значимость определили тему исследования: «Магические квадраты» (Поиск общих способов построения магических квадратов.)
Цель исследования: определить общие способы построения магических квадратов
Объект исследования – магические квадраты
Предмет исследования - свойства магических квадратов
Исходя из анализа актуальности, цели, объекта и предмета исследования, мы выдвинули следующую гипотезу: изучение свойств магических квадратов позволит определить общие способы их построения.
Предмет исследования и выдвинутая гипотеза позволили наметить следующие задачи исследования:
− изучить историю возникновения и развития магических квадратов;
− изучить свойства магических квадратов;
− ознакомиться с основными методами построения магических квадратов;
− научиться строить магические квадраты любого порядка;
− оформить результаты исследования в виде текста исследовательской работы.
Глава 1. Теоретические основы исследования
1.1. История возникновения и развития магических квадратов
Понятием «магия» принято считать различные человеческие действия, которые имеют целью влиять сверхъестественным образом на тот или иной материальный предмет или явление.
Числовую фигуру обычно называют магической, если составляющие ее числа не повторяются и при определенных взаимных сочетаниях дают заранее задуманный составителем результат.
Наверное, одной из первых известных человечеству магических фигур является магический квадрат. Он встречаются в культуре, истории, верованиях и в различных мистических учениях многих народов.
Страна, в которой был впервые придуман магический квадрат, точно неизвестна, неизвестен век, даже тысячелетие нельзя установить точно. Вероятно, самым «старым» из дошедших до нас магических квадратов является таблица Ло Шу (ок. 2200 г. до н. э.). Она имеет размер 3x3 и заполнена натуральными числами от 1 до 9. В этом квадрате сумма чисел в каждой строке, столбце и диагонали равна 15. Согласно одной из легенд, прообразом Ло Шу стал узор из связанных черных и белых точек, украшавший панцирь огромной черепахи, которую встретил однажды на берегу реки Ло-Шуй мифический прародитель китайской цивилизации Фуси.
Жители Поднебесной считали таблицу Ло Шу священной, у них даже не возникало мысли о составлении аналогичных квадратов большего размера, поэтому последние стали появляться только три тысячелетия спустя.
В XI в. из Китая магические квадраты распространились сначала в Индию, затем в Японию. Из Индии увлечение магическими квадратами перешло к арабам. Именно от арабов квадраты получили название «магические».
На востоке их считали волшебными, полными тайного смысла символами, и использовали при заклинаниях. Магические квадраты находят при раскопках поселений Золотой Орды, в Китае, Индии и Тибете, в Израиле, Турции и во всех странах Европы.
Европейцев с магическими квадратами познакомил в XV веке византийский писатель Э. Мосхопулос. Первым квадратом, придуманным европейцем, считается квадрат А. Дюрера, изображенный на его знаменитой гравюре «Меланхолия».
Дата создания гравюры - 1514 год - указана числами, стоящими в двух центральных клетках нижней строки.
В западной Европе в средние века магические квадраты были достоянием представителей алхимии и астрологии. Магическим квадратам приписывали различные мистические свойства. Бытовало поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от чумы.
В XIX и XX вв. интерес к магическим квадратам вспыхнул с новой силой. Их стали исследовать с помощью методов высшей алгебры и операционного исчисления.
С развитием вычислительной техники исследования магических квадратов в последние десятилетия приобрели второе дыхание. Вполне объяснимо, что наибольшие успехи в развитии теории и практики магических квадратов были достигнуты в Европе, США и Японии. Появились описания более сложных фигур, таких как: кубы и тессеракты – четырехмерные аналоги магических квадратов. Результаты этих исследований открывают новые методы решения сложных задач современной математики.
1.2 Свойства магических квадратов
Каждый элемент магического квадрата называется клеткой. Квадрат, сторона которого состоит из n клеток, содержит n2 клеток и называется квадратом n –го порядка. В большинстве магических квадратов используются первые n2 последовательных натуральных чисел (т.е. числа от 1 до n2). Такие квадраты называют нормальными.
Две диагонали, проходящие через центр квадрата, называются главными диагоналями.
Сумма чисел, стоящих в каждой строке, каждом столбце и на любой диагонали магического квадрата называется магической константой M. Магическая константа нормального волшебного квадрата зависит только от n и определяется формулой:
M(n)=n(n^2+1)/2.
Нормальные магические квадраты существуют для всех порядков n≥1, за исключением n=2, хотя случай n=1 тривиален — квадрат состоит из одного числа. Минимальным нетривиальным случаем является таблица Ло Шу, он имеет порядок 3. Магическая константа M(3)=3(3^2+1)/2=15
Выводы по первой главе:
В первой главе были рассмотрены вопросы истории возникновения и развития магических квадратов. Определены свойства магических квадратов.
Таким образом, приходим к выводу, что магические квадраты известны человечеству уже на протяжении нескольких тысячелетий, они оказывали существенное влияние на культуру, науку и верования многих народов мира. Магические квадраты обладают свойствами симметрии, которые на протяжении многих веков люди считали сверхъестественными, и благодаря этим свойствам магические квадраты получили свое название – «магические».
Глава 2. Практическая часть исследования
2.1. Общие способы построения магических квадратов
С давних пор математики стремились решить две основные задачи, связанные с магическими квадратами: найти общий метод их построения и описать все возможные магические квадраты.
В XVI веке Корнелий Генрих Агриппа построил квадраты 3–го, 4–го, 5–го, 6–го, 7–го, 8–го и 9–го порядков, которые были связаны с астрологией 7 планет
Основы математической теории построения магических квадратов были заложены французскими учеными в XVII в. Позже она стала излюбленной темой исследований многих авторов. И хотя для каждого вида квадрата были найдены свои способы решения задачи, пока не известен общий, пригодный для квадратов любого порядка, метод их построения.
2.1.1 Заполнение квадратов нечетных порядков (индийский способ)
Этот способ придуман, как полагают, в Индии еще до начала нашего летоисчисления. Порядок квадрата должен быть нечетным. Иначе квадрат магическим не получится.
1. Нарисуем квадратную таблицу порядка n.
2. Единицу впишем в середину верхней строки.
3. Далее, идя вверх по ломаным диагоналям, будем в квадраты ставить подряд натуральные числа.
4. Как только ломаная диагональ замкнется, то есть мы дойдем до натурального числа, кратного n, то следующее по порядку число впишем в поле под клеткой, на которой мы остановились.
5. И так далее, пока не переберем все числа до квадрата n.
То, что получилось - нормальный магический квадрат (рис. 12).
2.1.2. Заполнение квадрата порядка, кратного четырем
Среди квадратов четного порядка наиболее изученными являются квадраты, порядок которых делится на 4, так как они обладают рядом дополнительных свойств, которыми не обладают квадраты других порядков. Неслучайно квадрат А. Дюрера — квадрат 4-го порядка.
Для этих квадратов было разработано множество способов построения. Один из них основан на методе выделения диагональных элементов.
1. Исходный квадрат делится на соответствующее число квадратов порядка 4. В каждом подквадрате закрашиваются диагональные элементы (главная и побочная).
2. Остальные элементы построчно заполняются порядковыми целыми числами в направлении слева -направо и сверху -вниз по закрашенным клеткам и справа -налево и снизу-вверх по не закрашенным клеткам.
3. Переход между цветами при заполнении происходит, если следующая для заполнения клетка меняет цвет.
Нетрудно проверить, что полученные этим способом квадраты являются симметричными.
2.2. Симметричные преобразования магических квадратов
Если в магическом квадрате выделить группу четных или нечетных чисел, то можно увидеть, что полученный рисунок обладает некоторой симметрией.
Эту особенность можно использовать для получения новых магических квадратов, которые невозможно получить с помощью симметрий относительно осей и поворотов. Для этого можно менять столбцы и строки квадрата, но таким образом, чтобы рисунок оставался симметричным.
2.3 Применение магических квадратов
Волшебные или магические квадраты известны уже не одно тысячелетие. От этих форм всегда веяло некой тайной, силой и особой привлекательностью.
А что они магические квадраты дают, где их используют?
Увы, как и много веков назад, волшебные квадраты сейчас используют только современные «маги», астрологи и нумерологии. Для «обычного», здравомыслящего человека составление магический квадратов превратилось в своеобразное решение числовых кроссвордов, а само словосочетание «магический квадрат» стало научным математическим термином.
Практическое использование получили не сами магические квадраты, а методы, и целые разделы современной математики, которые возникли и развивались, благодаря решению задач составления и анализа свойств магических квадратов.
С развитием вычислительной техники исследования магических квадратов в последние десятилетия приобрели второе дыхание. Вполне объяснимо, что наибольшие успехи в развитии теории и практики магических квадратов были достигнуты в Европе, США и Японии.
Не исключено, что и сакраментальный вопрос: "А что они, магические квадраты, дают?" – найдет свое логическое продолжение в виде новых теоретических и прикладных разработок.
Пока же «ценность» теории построения магических квадратов определяется не столько возможностью ее практического использования, сколько ее способностью воспитывать наш ум, доставлять ему питание, поддерживающее его жизнь, отыскивать новые истины и выяснять их назначение без помощи извне.
Выводы по второй главе:
В первой главе были рассмотрены вопросы построения и применения магических квадратов.
Таким образом, приходим к выводу, что для каждого вида квадрата были найдены свои способы построения, пока не найден общий, пригодный для квадратов любого порядка, метод их построения. Рисунок, полученный выделением группы четных или нечетных чисел, в магическом квадрате симметричен, это свойство можно использовать для получения новых магических квадратов, из построенного.
Решение олимпиадных задач с помощью магических квадратов
Задача 1.
Клетки квадрата 4×4 пронумеровали так, что клетка в правом нижнем углу получила номер 1, а все остальные получили разные номера от 2 до 16. Оказалось, что суммы номеров клеток каждой строки, каждого столбца, а также каждой из двух диагоналей квадрата одинаковы («магический» квадрат). Клетки квадрата заполнили буквами некоторого сообщения так, что его первая буква попала в клетку с номером 1, вторая - в клетку с номером 2 и т. д. В результате построчного выписывания букв заполненного квадрата (слева направо и сверху вниз) получилась последовательность букв
Ы Р Е У С Т Е В Ь Т А Б Е В К П.
Восстановите магический квадрат и исходное сообщение.
Решение:
Сначала восстановим магический квадрат. Сумма чисел во всех клетках квадрата равна
1 + 2 + ... +16 = 16 · 17 / 2 = 136,
значит, в каждом столбце (а также в строке, на диагонали) сумма чисел составляет 136:4=34. Попытаемся построить магические квадраты с суммой на линии, равной 34, и единицей в правом нижнем углу. Имеется несколько таких квадратов.
Р
асставляя буквы в соответствии с условием, только в одном случае, отвечающем четвертому квадрату, получаем читаемый текст: ПЕРЕСТАВЬТЕ БУКВЫ.
Задача 2.
Вставь в пустые клетки квадрата числа 4, 6, 9, 10, 11, 12 так, чтобы квадрат стал «магическим».
Решение:
квадрат должен быть заполнен всеми натуральными числами от 4 до 12. найдём их сумму:4+5+6+7+8+9+10+11+12=72
В квадрате 3 строки и сумма в каждой из трёх строк одна и та же. Следовательно, сумма чисел в каждой строке должна равняться 72: 3=24.
Этому же числу равна сумма чисел в каждом столбце и по каждой из двух диагоналей квадрата. Теперь пустые клетки квадрата можно заполнить без особого труда.
|
5 |
10 |
9 |
|
12 |
8 |
4 |
|
7 |
6 |
11 |
Заключение
В условиях отсутствия компьютеров и ограниченного пространства доступных числовых конструкций, магические квадраты десятки веков приводили людей в неописуемый, доходящий до экзальтации восторг, когда они как чуду внимали совершенству незатейливых суммирующих закономерностей.
Сегодня этим уже никого не удивишь. Человек научился строить магические квадраты самой разной природы и порядка. И то, что раньше казалось таинством, сегодня представляется ремеслом.
В работе представлены вопросы, связанные с историей развития одного из интересных вопросов математики, - магических квадратов. Рассмотрены некоторые способы их построения и описаны некоторые их свойства.
Несмотря на то, что собственно магические квадраты не нашли широкого применения в науке и технике, они подвигли на занятия математикой множество незаурядных людей и способствовали развитию многих разделов современной математики: теории групп, матриц, комбинаторного анализа.
Были решены поставленные задачи: изучение истории возникновения, развития магических квадратов и изучение свойств магических квадратов. В работе можно ознакомиться с основными методами построения магических квадратов и научиться их строить. Показана взаимосвязь при решении олимпиадных задач.
Была достигнута цель исследования: были определены общие способы построения магических квадратов произвольного порядка.
Материалы данного исследования могут быть использованы при подготовке к олимпиадам по математике, на математических кружках и факультативах, при проведении внеклассных мероприятий с целью развития и расширения познавательного кругозора, развития логического мышления.
Использованные источники и литература
https://ru.wikipedia.org/wiki/Магический_квадрат
Климченко для любознательных: Кн. для учащихся 5-6 кл.-М.: Просвещение, 1999.
Энциклопедический словарь юного математика. М., Педагогика, 1999г.