XVIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Финансы и математика
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
ВВЕДЕНИЕ
Среди социальных наук экономика в большей степени использует математику.
Решение задач, возникающих, при проведении финансовых операций иногда называют математикой финансов. В основе большинства финансовых операций лежит древняя идея: давать деньги «под процент». Этими операциями занимаются современные банки. Различные способы исчисления этого процента и определяют всё многообразие финансовой деятельности. В настоящее время конкуренция между банками нарастает. И ее результатом часто является мнимое снижение процентных ставок по кредитам. Проценты принимают скрытую форму и меняют своё название. И иногда банки ухитряются придумать столько платежей, что в результате фактический процент по кредиту может вырасти в 2 и более раза.
Целью нашей работы является анализ начисления суммы процента, при различных способах ее исчисления.
Для достижения поставленной цели необходимо выполнить следующие задачи:
проанализировать литературу по теме «Проценты и процентные вычисления»;
познакомится с формулой сложных процентов;
показать прием полученных знаний при кредитовании.
Методы работы: научный (изучение литературы) и исследовательский
ПРОСТОЙ И СЛОЖНЫЙ ПРОЦЕНТЫ
Экономическое значение понятия процент это плата за использование средств, предоставляемых одним лицом (кредитором) другому лицу (заемщику). Величина суммы оплаты долга определяется как процент от суммы долга.
Все знают, как вычисляют проценты. По определению величина М составляет r процентов от другой величины N, если
Значит r процентов от любой величины М определяется дробью
Например, если какая-нибудь величина М увеличивается на r процентов, результат такого увеличения будет
Аналогично при уменьшении величины М на r процентов
Представим, что некоторая сумма денег Р, называемая начальным вкладом, помещается в банк. Спрашивается, какова будет сумма денег S, называемая будущей стоимостью вклада, через n лет, если годовая процентная ставка составляет r процентов. Ответ зависит от того, с каким процентом мы имеем дело - простым или сложным. В случае простого процента на начальный вклад ежегодно начисляется сумма, равная
так что сумма вклада через n лет составит
Простые проценты используются преимущественно при краткосрочных финансовых операциях
Если же при расчетах используются сложные проценты, т.е. «процент от процента», то после первого года будущая стоимость составит
На второй год проценты будут исчисляться уже от этой суммы и величина вклада составит
Значит, через n лет стоимость вклада достигнет величины
Это и есть основная формула для вычисления сложных процентов. Расчеты по этой формуле становятся простыми, если имеется калькулятор с необходимой клавишей, позволяющий вычислить значение показательной функции.
Начисление сложного процента и вычисление накопленной и первоначальной суммы вклада (кредита)
Формула для вычисления сложных процентов связывает четыре переменные величины: начальную стоимость Р, накопленную стоимость S, процентную ставку r и срок n, выраженный в годах. Если известны любые три из них, можно легко найти четвертую.
Пусть вклад Р помещен в банк под r процентов годовых. Спрашивается, сколько лет он должен пролежать, чтобы достигнуть заданной величины S. Эта задача соответствует случаю, когда по известным Р, S и r требуется найти n. Для нахождения решения нужно прологарифмировать обе части основной формулы и воспользоваться свойствами логарифмов. В результате получим:
пользоваться полученной формулой так же легко, как и основной формулой: достаточно иметь калькулятор, позволяющий вычислять значения логарифмической функции, т.е. имеющий клавишу lg.
До сих пор предполагалось, что проценты начисляются ежегодно. Однако они могут относиться к кварталу, месяцу и более коротким промежуткам времени (особенно в условиях инфляции и гиперинфляции). Что же означает фраза «процентная ставка составляет 12% годовых ежеквартально». Это не значит, что к первоначальной сумме каждый квартал прибавляется 12%. По общепринятой терминологии это означает, что ежеквартально начисляется лишь четвертая часть годовой ставки в 12%, т.е.
и подразумевается, кроме того, что процент сложный
Далее можно вычислить еженедельные, ежедневные и ежечасные начисления
(последнее вряд ли может встретиться в практике). Тогда для различных периодов начислений общий годовой рост вклада и соответствующий процент составят:
НЕДЕЛЯ
ДЕНЬ
ЧАС
Что выгодней? Простой процент по вкладам или сложный?
Когда банки принимают средства клиентов во вклады, они могут использовать простой или сложный процент. Своими словами можно сказать, что простой процент, это тот, который начисляется только на сумму внесенного вклада. Процент начисляется за каждый день, но выплачивается один раз по окончании срока вклада. Если используется форма сложного процента, то за время хранения вклада в банке проценты выплачиваются несколько раз.
Например, проценты начисляются ежемесячно в последний день месяца. Они присоединяются к сумме вклада и следующий месяц проценты начисляются на общую увеличенную сумму вклада. Таким образом, если вы размещаете свои средства на одинаковый срок и под одинаковый процент, с той только разницей, что в одном случае процент будет простой, а в другом случае сложный, то по вкладу со сложным процентом вы получите доход больший.
Если на основной вклад Р в течение года т раз начисляются сложные проценты, то при годовой процентной ставке r ожидаемый вклад S через год составит
Эффективная годовая процентная ставка re определяется из условия
т.е. это процент, начисляемый за год лишь один раз и дающий тот же результат, что и сложные проценты с начислением т раз в году.
Приравнивая правые части уравнений,
окончательно находим
Геометрическая прогрессия и сумма одинаковых платежей в течение n лет
Все задачи, разобранные нами до сих пор, сводились к единовременному помещению капитала (взятию кредита) и расчету процентов. Однако на практике встречаются и многоразовые операции.
Предположим, что через равные промежутки времени осуществляются одинаковые платежи. Такая финансовая операция обычно называется аннуитетом. Окончательная сумма складывается из всех платежей плюс сложные проценты, начисленные на эти платежи.
ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ
Какую сумму необходимо ввести в банк, выплачивающий 5% годовых, чтобы иметь возможность в течение последующих 6 лет ежегодно получать по 100(денежные единицы опускаются, и предполагается, что после последней выплаты на счете ничего не остается).
Решение:
таким образом, для обеспечения шести ежегодных выплат по 100, нам придется сделать общий взнос в размере
где Рn - часть взноса, обеспечивающая n-ю выплату
Наглядно решение задачи можно изобразить временной диаграммой (рис.2)
.
Сумма чисел, стоящих в левой колонке на рис.2, дает искомый вклад. Легко, однако, заметить, что последовательность этих чисел образует геометрическую прогрессию. Это дает возможность получить результат в общем виде, а потом применить общую формулу к нашему примеру. Если обозначить: выплаты- R, процентную ставу -г (относится к тому промежутку времени, через который производятся выплаты), число выплат - п ,то величина искомого вклада Р равна:
Подставляя в формулу для суммы членов геометрической прогрессии
Получим
Подставляя численные, значения из нашего примера и воспользовавшись калькулятором, имеем величину искомого вклада
Как и следовало ожидать, эта величина меньше суммы всех выплат, равной 600. объяснение простое: на вклад «набежали» проценты.
Расчет платежей погашения по заданной величине кредита
Приведенная выше формула имеет еще одно полезное применение: расчет платежей погашения по заданной величине кредита. Самый простой пример — взятие ссуды в банке для покупки, какой — либо вещи с последующим погашением долга периодическими равными платежами. Положим, вы берете в банке, сумму для приобретения автомобиля. У банка должен быть свой «интерес», поэтому его условия таковы: срок погашения кредита n лет, процентная ставка — r % годовых ежемесячно.
Спрашивается, каковы должны быть ваши ежемесячные платежи, если по условию они одинаковы по величине. Для решения этих и подобных задач удобно формулу
представить в виде
Где Р - величина кредита, r - процентная ставка, R- искомый размер платежа, а n-общее число платежей.
Виды процентных платежей при уплате кредитов
Наиболее распространенными платежами по кредитам являются аннуитетные платежи и гашение кредита равными долями.
Аннуитетными платежами называются платежи банку одинаковыми суммами. Они применяется при выдаче кредитов на длительный срок (например, ипотека). То есть, заемщик платит каждый месяц одну и ту же сумму.
Если кредит берется в небольшой сумме, то применяется способ гашения кредита равными долями. При таком способе сумма ежемесячной выплаты будет всегда разная, и она будет постепенно уменьшаться.
ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ
Кредит 850000 рублей взят на 30 лет под 11 % годовых. Ежемесячный аннуитетный платеж 10000,00 рублей. За первый месяц начислено процентов 7684,00 (850000* 11 % /365*30). За второй месяц начислено процентов 7664,00 (847684* 11%/365*30) График гашения кредита выглядит следующим образом:
гашение кредита уплата процентов платеж всего
2316,00 7684,00 10000,00
2336,00 7664,00 10000,00
И так далее: в первую очередь уплачиваются проценты банку, которые составляют большую сумму платежа, а оставшаяся сумма направляется на гашение кредита. Постепенно сумма процентов будет уменьшаться, так как уменьшается размер кредита, и к концу 30-летпего периода график гашения будет выглядеть так:
гашение кредита уплата процентов платеж всего
9827,00 172,00 10000,00
9910,00 90,00 10000,00
Если кредит берется в небольшой сумме, то применяется способ гашения кредита равными долями. При таком способе сумма ежемесячной выплаты будет всегда разная, и она будет постепенно уменьшаться.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В заключение можно сказать, что кредит может быть как «плохим», так и «хорошим» в зависимости от того, приносит он деньги в наш карман или забирает деньги из него. И это зависит не столько от банка, сколько от нас, от того как мы дружим с математикой. Например, вы купили автомобиль, который стоит в магазине 200000,00, заплатили за него с учетом процентов банку 222000,00, а через год смогли продать его только за 180000,00. Чистый убыток 42000,00. (222000,00-180000,00)
Или тот же автомобиль купил водитель такси, заработал на нем за год 120000,00 и через год продал его за 150000,00. Чистая прибыль составит 48000,00. (120000+150000-222000).
Или еще пример: если вы уверены, что квартира, которую вы покупаете, будет дорожать на 20 процентов в год, а все затраты по ипотечному кредиту не превысят 18 процентов в год, то такой кредит - прямая выгода. Главное, не полениться, призвать на помощь математику и все заранее просчитать
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1."Элементарная математика в экономике и бизнесе" Е.Вигдорчик Москва "Вита- Пресс" 2003г.
2."Микро и Макроэкономика" ЗАО "Литера Плюс" Санкт-Петербург 2006г.
3."Основы предпринимательства" В.Абчук Москва "Вита-Пресс" 2006г.
4."Основы экономических знаний" Л.Л.Любимов Н.А.Ранеева Москва "Вита-Пресс" 2007г.
5. "Экономика в задачах" А.Мицкевич Москва "Вита-Пресс" 2003
6."Основы экономической теории" С.И.Иванов (ч.1,2) Москва "Вита-Пресс" 2000г.
7. "Банковское дело", Москва, Экономика, 2008г
8. Банковский бюллетень, Москва, Агентство банковской информации
еженедельника "Экономика и жизнь" №8, 2007г.
Интернет ресурсы :http://lib.repetitors.eu/matematika