ЦЕЛЕСООБРАЗНОСТЬ ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ И СИММЕТРИИ

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Малясов С.Е. 1

---

1МАОУ "Многопрофильный лицей №148 г.Челябинска"

Чабаева Е.В. 1

---

1МАОУ "Многопрофильный лицей №148 г.Челябинска"

Работа в формате PDF

1.5 MB

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Аннотация

Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.

Актуальность:тема «Золотое сечение» не только интересна, но и по-прежнему актуальна, ведь золотая пропорция не потерялась во времени, а скорее наполнилась современными обстоятельными примерами. Золотое сечение, безусловно, можно назвать «Божественной пропорцией». Золотая пропорция окружает нас повсюду. Золотое сечение является золотым стандартом и именно оно управляет всей нашей жизнью. Газета, которую вы читаете, монитор вашего компьютера, ваша кредитная карточка, лепестки цветка, листья дерева, здание на улице, – все это определяется одним принципом, одной пропорцией, одной гармоничной величиной.

Цель работы (гипотеза) - изучить сведения о золотом сечении и симметрии, определить целесообразность золотого сечения в природе и изготовить кубик для работы с детьми по данной теме.

В ходе работы мы изучили понятие «золотое сечение» и «симметрия», познакомились с историей возникновения данных терминов, а также рассмотрели присутствие золотого сечения и симметрии в жизни человека и окружающей природе. В практической части мы решили создать «умный» кубик для практической работы с детьми по этой интересной теме.

В своей работе мы рассмотрели пропорцию, научились находить пропорцию человеческого тела, видеть золотое сечение и разные виды симметрий в окружающей нас природе. Проведенные наблюдения доказали, что многое в окружающем мире подчиняется правилу золотого сечения.

Мы увидели, что строение многих встречающихся в природе живых организмов и неживых объектов, не имеющих никакой связи и подобия между собой, спланировано по определенной математической формуле. Формула золотого сечения и золотые пропорции очень хорошо известны всем людям искусства, так как это главные правила эстетики. Любое произведение искусства, спроектированное в точном соответствии с пропорциями золотого сечения, являет собой совершенную эстетическую форму.

Золотое сечение очень интересное и глубокое понятие, вкладывающие в себя основы симметрии и асимметрии. С помощью него можно проделывать интереснейшие опыты: находить «золотое» сечение в лицах людей, в фасадах зданий, в картинах художников. По нашему мнению, понятие «золотое сечение» должен знать любой человек интересующийся математикой, архитектурой, живописью.

Содержание

Введение

Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.

Актуальность:тема «Золотое сечение» не только интересна, но и по-прежнему актуальна, ведь золотая пропорция не потерялась во времени, а скорее наполнилась современными обстоятельными примерами. Золотое сечение, безусловно, можно назвать «Божественной пропорцией». Золотая пропорция окружает нас повсюду. Золотое сечение является золотым стандартом и именно оно управляет всей нашей жизнью. Газета, которую вы читаете, монитор вашего компьютера, ваша кредитная карточка, лепестки цветка, листья дерева, здание на улице, – все это определяется одним принципом, одной пропорцией, одной гармоничной величиной.

Цель проекта: изучить сведения о золотом сечении и симметрии, определить биологическую целесообразность золотого сечения в природе, изготовить кубик для работы с детьми по данной теме.

Задачи:

Изучить понятие «золотое сечение» и «симметрия»

Познакомиться с историей возникновения данных терминов

Рассмотреть присутствие золотого сечения и симметрии в жизни человека и окружающей природе

Создать «умный» кубик для практической работы с детьми по данной теме

Методы:

Анализ литературы

Работа с учебной и научно-популярной литературой

Работа с источниками сети Интернет

Наблюдение, сравнение, аналогия

Консультации с руководителем

Глава 1. Теоретическая часть

Золотое сечение и числа Фибоначчи

Золотое сечение — это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему. Это отношение составляет 1,618. У прямоугольника, построенного по этому правилу, меньшая сторона будет 1, а большая — 1,618. Линия горизонта будет располагаться не посередине работы, а чуть выше. В процентном значении части будут относиться друг к другу как 62% на 38%.

Феномен золотого сечения — одно из ярких, давно уже замеченных человеком проявлений гармонии природы. Он рассматривается в общей картине исторического становления архитектуры, обнаруживается в формах живой природы, в области музыкальной гармонии. Он рассматривается также и как объективная характеристика искусства и как явление в области восприятия. Сегодня мы не можем с абсолютной достоверностью определить, когда и кем понятие золотого сечения было выделено в человеческом знании из интуитивной и опытной категории.

Давайте выясним, что общего между древнеегипетскими пирамидами, фреской Леонардо да Винчи «Тайная Вечеря», подсолнухом, улиткой, сосновой шишкой и пальцами человека? Ответ на этот вопрос сокрыт в удивительных числах, которые были открыты итальянским математиком средневековья Леонардо Пизанским, более известным под именем Фибоначчи (род. ок. 1170 — умер после 1228). Путешествуя по Востоку, он познакомился с достижениями арабской математики; способствовал передаче их на Запад. Именно этот человек становится первым средневековым учёным, познакомившим Европу с арабской системой исчисления, которой мы пользуемся всю нашу жизнь. После его открытия числа эти так и стали называться именем известного математика. Удивительная суть последовательности чисел Фибоначчи состоит в том, что каждое число в этой последовательности получается из суммы двух предыдущих чисел.

Итак, числа, образующие последовательность:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, …

называются «числами Фибоначчи», а сама последовательность — последовательностью Фибоначчи.

В числах Фибоначчи существует одна очень интересная особенность. При делении любого числа из последовательности на число, стоящее перед ним в ряду, результатом всегда будет величина, колеблющаяся около иррационального значения 1.61803398875… Более того, после 13-ого числа в последовательности этот результат деления становится постоянным до бесконечности ряда… Именно это постоянное число деления в средние века было названо Божественной пропорцией, а в наши дни именуется как золотое сечение или золотая пропорция. В алгебpе это число обозначается гpеческой буквой фи (Ф)

Итак, Золотая пропорция = 1 : 1,618

144 = 1,618; 377 / 233 = 1,618; 610 / 377 = 1,618; 987 / 610 = 1,618….

История Золотого сечения

Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании.

Платон (427...347 гг. до н.э.) также знал о золотом делении. Его диалог "Тимей" посвящен математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора и, в частности, вопросам золотого деления. В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые пропорции. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления.

В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в "Началах" Евклида. Во 2-й книге "Начал" дается геометрическое построение золотого деления. После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам "Начал" Евклида.

В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому сечению среди ученых и художников в связи с его применением как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре. Леонардо да Винчи, художник и ученый, видел, что у итальянских художников эмпирический опыт большой, а знаний мало. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли и Леонардо оставил свою затею. По мнению современников и историков науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшим математиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем. Его считают творцом начертательной геометрии.

Лука Пачоли прекрасно понимал значение науки для искусства. В 1496 г по приглашению герцога Моро он приезжает в Милан, где читает лекции по математике. В Милане при дворе Моро в то время работал и Леонардо да Винчи. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли "Божественная пропорция" с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Книга была восторженным гимном золотой пропорции. Среди многих достоинств золотой пропорции монах Лука Пачоли не преминул назвать и ее "божественную суть" как выражение божественного триединства Бог Сын, Бог Отец и Бог Дух Святой (подразумевалось, что малый отрезок есть олицетворение Бога Сына, больший отрезок - Бога Отца, а весь отрезок - Бога Духа Святого).

Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится до сих пор, как самое популярное. Леонардо да Винчи применял этот изобразительный принцип в своём творчестве. Его фреска «Тайная вечеря» вся состоит из элементов, вписанных в геометрические фигуры, построенные по правилу золотого сечения (Приложение 1).

В то же время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами трудился Альбрехт Дюрер. Он делает наброски введения к первому варианту трактата о пропорциях. Альбрехт Дюрер подробно разрабатывает теорию пропорций человеческого тела. Важное место в своей системе соотношений Дюрер отводил золотому сечению. Pост человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица – ртом и т.д. (Приложение 2).

Великий астроном XVI в. Иоган Kеплер назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение). Кеплер называл золотую пропорцию продолжающей саму себя «Устроена она так, – писал он, – что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности».

Вновь "открыто" золотое сечение было в середине XIX в. В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд "Эстетические исследования". Он абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и искусства. Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа - важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13 : 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8 : 5 = 1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1 : 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела - длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д.

Справедливость своей теории Цейзинг проверял на греческих статуях. Наиболее подробно он разработал пропорции Аполлона Бельведерского. Подверглись исследованию греческие вазы, архитектурные сооружения различных эпох, растения, животные, птичьи яйца, музыкальные тона, стихотворные размеры. Цейзинг дал определение золотому сечению, показал, как оно выражается в отрезках прямой и в цифрах. Когда цифры, выражающие длины отрезков, были получены, Цейзинг увидел, что они составляют ряд Фибоначчи, который можно продолжать до бесконечности в одну и в другую сторону. Следующая его книга имела название «Золотое деление как основной морфологический закон в природе и искусстве». В 1876 г. в России была издана небольшая книжка, почти брошюра, с изложением этого труда Цейзинга. Автор укрылся под инициалами Ю.Ф.В.

1.3. Золотое сечение вокруг нас

В каждой науке есть т.н. «метафизические» знания, без которых невозможно существование самой науки. Например, если исключить из математики понятия натурального и иррационального чисел или аксиомы геометрии, математика сразу же перестанет существовать. С таким же правом к разряду «метафизических» знаний может быть отнесено и «золотое сечение», которое считалось «каноном» античной культуры, а затем и эпохи Возрождения. Однако, как это ни парадоксально, в современной теоретической физике и математике «золотая пропорция» никак не отражена.

Тело человека и золотое сечение

Художники, ученые, модельеры, дизайнеры делают свои расчеты, чертежи или наброски, исходя из соотношения золотого сечения. Они используют мерки с тела человека, сотворенного также по принципу золотой сечения. Пропорции различных частей нашего тела составляют число, очень близкое к золотому сечению. Если эти пропорции совпадают с формулой золотого сечения, то внешность или тело человека считается идеально сложенными. Принцип расчета золотой меры на теле человека можно изобразить в виде схемы:

M/m=1,618

Первый пример золотого сечения в строении тела человека:
Если принять центром человеческого тела точку пупа, а расстояние между ступней человека и точкой пупа за единицу измерения, то рост человека эквивалентен числу 1.618.

Кроме этого есть и еще несколько основных золотых пропорций нашего тела:

расстояние от уровня плеча до макушки головы и размера головы равно 1:1.618;

расстояние от точки пупа до макушки головы и от уровня плеча до макушки головы равно 1:1.618;

расстояние точки пупа до коленей и от коленей до ступней равно 1:1.618;

расстояние от кончика подбородка до кончика верхней губы и от кончика верхней губы до ноздрей равно 1:1.618;

расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1.618; (Приложение 3)

Все кости человека выдержаны в пропорции золотого сечения. И чем ближе пропорции к формуле золотого сечения, тем более идеальным выглядит внешность человека.

Золотое сечение в ухе человека (анатомия)

Во внутреннем ухе человека имеется орган Cochlea («Улитка»), который исполняет функцию передачи звуковой вибрации. Эта костевидная структура наполнена жидкостью и также сотворена в форме улитки, содержащую в себе стабильную логарифмическую форму спирали = 73º 43’ (соотношение 1.6).

Золотое сечение в современном дизайне (в т.ч. компьютерная графика)

Простейшее правило идеальной пропорции, которое мы чаще всего видим на картинах, макетах, полиграфической продукции, — деление пространства на девять частей. Поворачивая прямоугольник макета в каждом из направлений по вертикали и горизонтали, проводится линия по каноническим пропорциям 62% на 38%. Если объяснять проще: линия на листе проходит не посередине, а чуть выше. Лист нужно перевернуть и снова нарисовать линию, и так четыре раза. В точках пересечений линий располагают композиционно значимые элементы — именно туда прежде всего падает взгляд зрителя.

Золотое сечение в физике

Последовательность чисел Фибоначчи и формула золотого сечения непосредственным образом затрагивает и сферу физики и физических законов:

«Представим две соприкоснувшиеся между собой стеклянные пластины. Теперь направим на них луч света. Часть луча пройдет сквозь стекло, другая часть поглотиться, оставшаяся же часть отразится от стекла. Произойдет явление «множественного отражения». Количество путей, которые проходит луч внутри стекла, прежде чем пройти и выйди сквозь стекло, зависит от количества лучей, который не прошли сквозь стекло, а подверглись отражению. Если подсчитать количество лучей, отразившихся от стекла и прошедших сквозь него, то опять же мы получим последовательность чисел Фибоначчи в соотношении 1:1.618.»

Симметрия

Симметрия (от греч. symmetria — соразмерность) — однородность, пропорциональность, гармония, инвариантность структуры материального объекта относительно его преобразований. Это признак полноты и совершенства. Лишившись элементов симметрии, предмет утрачивает свое совершенство и красоту, т.е. эстетическое понятие.

Эстетическая окрашенность симметрии в наиболее общем понимании — это согласованность или уравновешенность отдельных частей объекта, объединенных в единое целое, гармония пропорций. Многие народы с древнейших времен владели представлениями о симметрии, как эквивалентности уравновешенности и гармонии. В геометрических орнаментах всех веков запечатлены неиссякаемая фантазия и изобретательность художников и мастеров. Их творчество было ограничено жесткими рамками, требованиями неукоснительно следовать принципам симметрии. Трактуемые несравненно шире, идеи симметрии нередко можно обнаружить в живописи, скульптуре, музыке, поэзии. Операции симметрии часто служат канонами, которым подчиняются балетные па: именно симметричные движения составляют основу танца. Во многих случаях именно язык симметрии оказывается наиболее пригодным для обсуждения произведений изобразительного искусства, даже если они отличаются отклонениями от симметрии или их создатели стремятся умышленно ее избежать.

История возникновения симметрии

Познавательную силу симметрии оценили философы Древней Греции, используя ее в своих натурфилософских теориях. Так, например, Анаксимандр из Милета, живший в первой половине VI в. до н. э., использовал симметрию в своей космологической теории, где в центре мира поместил Землю — главное, по его мнению, тело мира. Она должна была иметь совершенную, симметричную форму, форму цилиндра, а на периферии вращаются огромные огненные кольца, закрытые воздушными облаками и дырками, которые и кажутся нам звездами. Земля расположена точно в центре, и здесь симметрия имеет смысл равновесия.

Весы известны человеку с III в. до н. э. В состоянии равновесия массы грузов на разных концах коромысла одинаковы — положение коромысла симметрично относительно центра тяжести. Симметрия — это не только равновесие, но и покой: стоит добавить на одну из чашек весов дополнительный груз, как они придут в движение. Нарушено равновесие, исчезла симметрия — появилось движение.

Эмпедокл считал Вселенную сферой — воплощением гармонии и покоя. Сферос —огромный однородный шар, порождение двух противоположных стихий — Любви и Вражды. Первая стихия соединяет, вторая — разъединяет. Их гармония — симметрия — приводит к устойчивому, циклическому равновесию мира — Сферосу. Преобладание одной или другой стихией — асимметрия — приводит к циклическому ходу мирового процесса.

Идею симметрии использовали и атомисты — Левкипп и Демокрит. По их учению, мир состоит из пустоты и атомов, из которых построены все тела и души. Таким образом, древнее искусство использовало пространственную симметрию.

Гармония (симметрия) состоит из противоположностей. В пространственной симметрии противоположности явно видны. Например, правая и левая кисти рук человека. Таких противоположностей древние ученые насчитали десять пар, например, чет — нечет, прямое — кривое, правое — левое и т.д.

Леонардо да Винчи не обошел своим вниманием и симметрию. Он рассмотрел равновесие шара, имеющего опору в центре тяжести: две симметричные половины шара уравновешивают друг друга и шар не падает.

В науку симметрия вошла в 30-х гг. XIX в. в связи с открытием Гесселем 32 кристаллографических классов и появлением теории групп как области чистой математики. Кристаллы наделены наибольшей величиной симметрии из всех реальных объектов, они блещут своей симметрией. Кристаллы — это симметричные тела, структура которых определяется периодическим повторением в трех измерениях элементарного атомного мотива.

Симметрия является основным предметом изучения кристаллографии. Она — основной теоретический принцип и практический метод классификации кристаллов. Симметричной в кристаллографии считается фигура, которая делится без остатка на равные и одинаково расположенные части. Величина симметрии определяется наибольшим числом равных и одинаково расположенных частей фигуры, на которые она делится без остатка.

Э. Галуа предложил классифицировать алгебраические уравнения по их группам симметрии. Ф. Клейн предложил взять идею симметрии в качестве единого принципа при построении различных геометрий.

Выйдя за пределы геометрии, эта идея, развиваясь, сделала очевидным тот факт, что принцип симметрии служит той единственной основой, которая может объединить все разрозненные части огромного здания современной математики. Клейн развил свою концепцию в физике и механике. Программа Клейна как задача поиска различных форм симметрии выходит за рамки не только геометрии, но и всей математики в целом, превращается в проблему поиска единого принципа для всего естествознания.

Симметрия в науке и технике

С симметрией мы встречаемся везде – в природе, технике, искусстве, науке. Издавна человек использовал симметрию в архитектуре. Древним храмам, башням, средневековым замкам, современным зданиям она придает гармоничность и законченность. Симметрия буквально пронизывает весь окружающий нас мир.

Симметрия в науке

В физике существует понятие «центр тяжести тела». Центр тяжести - это
геометрическая точка, через которую проходит равнодействующая всех сил тяжести, действующих на частицы этого тела при любом положении последнего в пространстве. Центр тяжести плоской фигуры, обладающей симметрией, совпадает с центром симметрии, если фигура имеет ось симметрии, то центр лежит на оси симметрии

Представьте себе двух игроков — A и B. Игроки поочередно кладут фишки на круглый стол до тех пор, пока не покроют его полностью. Выигрывает тот, кто кладет на стол последнюю фишку. Вопрос: кто из игроков выиграет партию? Известно, что игру начинает игрок A. Ключ к решению задачи дает симметрия. Игрок A ставит фишку в центр стола и выигрывает. В самом деле: куда бы теперь ни положил свою фишку игрок B, игрок A найдет свободным место, расположенное симметрично относительно центра стола. Эта простая задача дает представление о силе методов, основанных на симметрии.

Великий ученый И. Кеплер изучая симметрию снежинок, заложил основы кристаллографии. Литература, музыка, графика, математика, физика, химия и биология — все это связано с симметрией. Симметрию могут иметь не только геометрические фигуры, но и уравнения. Симметрия уравнения определяется группой преобразований, которые оставляют это уравнение инвариантным, т. е. не меняют его формы. Симметрия — любимица физиков. Она научила их классифицировать кристаллы и элементарные частицы, решать уравнения, вычислять вероятности квантовых переходов, выводить законы сохранения, объединять бозоны с фермионами, заглядывать в пространства высоких размерностей, делать более головокружительные обобщения.

Понятие симметрии в науке постоянно развивалось и уточнялось. Наука открыла целый мир новых, неизвестных раньше симметрии, поражающий своей сложностью и богатством, - симметрии пространственные и внутренние, глобальные и локальные; даже такие вопросы, как возможность существования антимиров, поиски новых частиц, связаны с понятием симметрии.

Симметрия в технике

Вспомните технические объекты - самолеты, мосты, автомашины, ракеты, молотки, гайки - практически все они от мала до велика обладают той или иной симметрией. Случайно ли это? В технике красота, соразмерность механизмов часто бывает связана с их надежностью, устойчивостью в работе.

Симметричная форма дирижабля, самолета, подводной лодки, автомобиля и т.д. обеспечивает хорошую обтекаемость воздухом или водой, а значит, и минимальное сопротивление движению. В технике существует своего рода постулат: наиболее целесообразные и функционально совершенные изделия являются наиболее красивыми. Большинство самых необходимых для нас предметов — от книги, ложки, чайника и молотка до газовой плиты, холодильника и пылесоса — тоже обладает симметрией.

Большинство транспортных средств, от детской коляски до сверхзвукового реактивного воздушного лайнера, предназначенных для движения по земной поверхности или параллельно ей, так же имеют осевую симметрию.

Виды симметрии в технике

Осевая симметрия — симметричность относительно поворота на угол 360° вокруг какой-либо оси Центральная симметрия – это симметрия объекта при повороте на 180º.

Зеркально поворотная осевая симметрия – поворот на 360° и отражение в плоскости, перпендикулярной данной оси.

На заре развития авиации наши знаменитые учёные Н. Е. Жуковский и С. А. Чаплыгин исследовали полёт птиц, чтобы сделать выводы относительно наивыгоднейшей формы крыла и условий его полёта. Большую роль в этом сыграла, конечно, симметрия. Даже современные боевые истребители, такие как Су-27, МиГ-29 и Т-50 в основе своей спроектированы по законам симметрии.

Целесообразность золотого сечения и симметрии в природе

Внимательно приглядевшись к окружающей нас природе, можно увидеть общее даже в самых незначительных вещах и деталях. Форма листа дерева не является случайной: она строго закономерна. Листок как бы склеен из двух более или менее одинаковых половинок, одна из которых расположена зеркально относительно другой. Симметрия листка упорно повторяется, будь то гусеница, бабочка, жучок и т.п.

Радиально-лучевой симметрией обладают цветы, грибы, деревья, фонтаны. Здесь можно отметить, что на несорванных цветах и грибах, растущих деревьях, бьющем фонтане или столбе паров плоскости симметрии ориентированы всегда вертикально.

Таким образом, можно сформулировать в несколько упрощенном и схематизированном виде общий закон, ярко и повсеместно проявляющийся в природе: все, что растет или движется по вертикали, т.е. вверх или вниз относительно земной поверхности, подчиняется радиально-лучевой симметрии. Этому всеобщему закону подчиняются не только цветы, животные, легкоподвижные жидкости и газы, но и твердые, неподатливые камни. Этот закон влияет на изменчивые формы облаков. В безветренный день они имеют куполовидную форму с более или менее ясно выраженной радиально-лучевой симметрией.

От подсолнухов до морских звезд — симметрия проявляется в природе повсюду. Это верно не только для строения тел живых организмов. Молекулярные машины, поддерживающие жизнь наших клеток, также поразительно симметричны. Но почему? Есть ли в эволюции встроенное предпочтение симметрии? Международная группа исследователей считает, что да. Они объединили идеи из биологии, информатики и математики, чтобы объяснить, почему так происходит. Ученые пришли к выводу, что симметрия, как и другие простые структуры, возникает так часто потому, что эволюция отдает большое предпочтение простым алгоритмам — наборам инструкций или рецептам для создания конкретной структуры.

Симметрия в природе необходима, чтобы сохранять устойчивость. Внешняя симметрия насекомых и животных помогает им держать равновесие при движении, извлекать максимум энергии из окружающей среды и рационально ее использовать. (Приложение 5)

Не меньшей ценностью обладает и золотое сечение в природе.

Приведем такой пример золотого сечения – микроскопическая молекула ДНК в которой хранятся все сведения о физиологических особенностях живых существ также содержит в себе закон золотой пропорции. Молекула ДНК состоит из двух вертикально переплетенных между собой спиралей. Длина каждой из этих спиралей составляет 34 ангстрема, ширина 21 ангстрема. (1 ангстрем — одна стомиллионная доля сантиметра). 21 и 34 — это цифры, следующие друг за другом в последовательности чисел Фибоначчи, то есть соотношение длины и ширины логарифмической спирали молекулы ДНК несет в себе формулу золотого сечения 1:1,618 (Приложение 4)

Необычные свойства числовой зависимости стали причиной мистического отношения к золотому сечению:

практически все живые организмы можно привести к принципу числовой зависимости. Например, тело человека, количество семечек в подсолнухе, структуру ДНК, произведения искусства и вирусную бактерию;

данная зависимость чисел характерна только для биологических существ и кристаллов, все остальные неживые объекты природы крайне редко обладают золотой пропорцией;

именно математическая пропорция в строении биологических объектов оказалась оптимальной для выживания.

Глава 2. Практическая часть

2.1. Создание практической работы для детей по теме «Золотое сечение и симметрия»

Нас очень заинтересовала данная тема и мы решили создать образовательный макет «Умный куб». Это куб, на сторонах которого будут размещены интересные задачи по теме «олотое сечение и симметрия.

Что нам понадобится и как его сделать?

Для изготовления этого куба 10х10 нам понадобится картон, клей, карандаш, канцелярский нож, ножницы и линейка.

Сначала строим развертку. После построения развертки, вырезаем ее по наружному контуру. Чтобы линии, по которым будут сгибаться стороны куба были ровными и четкими, проводим под линейку по линии сгиба канцелярским ножом не прорезая картон. Наносим клей на предусмотренные для этого полоски, и склеиваем фигуру.

После печатаем условия задач и располагаем их на сторонах куба.

И вот, умный куб готов! (Приложение 6)

Заключение

Значение золотого сечения и симметрии в современной науке очень велико. Золотая пропорция используется практически во всех областях знаний

В своей работе мы рассмотрели пропорцию, научились находить пропорцию человеческого тела, видеть золотое сечение и разные виды симметрий в окружающей нас природе. Проведенные наблюдения доказали, что многое в окружающем мире подчиняется правилу золотого сечения.

Мы увидели, что строение многих встречающихся в природе живых организмов и неживых объектов, не имеющих никакой связи и подобия между собой, спланировано по определенной математической формуле. Формула золотого сечения и золотые пропорции очень хорошо известны всем людям искусства, так как это главные правила эстетики. Любое произведение искусства, спроектированное в точном соответствии с пропорциями золотого сечения, являет собой совершенную эстетическую форму.

Золотое сечение очень интересное и глубокое понятие, вкладывающие в себя основы симметрии и асимметрии. С помощью него можно проделывать интереснейшие опыты: находить «золотое» сечение в лицах людей, в фасадах зданий, в картинах художников. По нашему мнению, понятие «золотое сечение» должен знать любой человек интересующийся математикой, архитектурой, живописью.

Список литературы

К понятию о Золотом сечении / О. В. Максименко, В. С. Пастор, П. В. Ворфоломеева [и др.]. — Текст : непосредственный // Юный ученый. — 2016. — № 6.1 (9.1). — С. 35-39. — URL: https://moluch.ru/young/archive/9/619/

Научная статья – Золотое сечение Фибоначчи. Божественная мера красоты. http://thejizn.com/2017/04/01/golden-ratio-fibonacci-mera-krasoty/

Кеплер И. О. «О шестиугольных снежинках». – М., 1982

Золотое сечение Энциклопедия по машиностроению XXL https://mash-xxl.info/info/250426/

Энциклопедия для детей. Биология. С. Исмаилова. – Издательство «Аванта+». – Москва 1997г.

Эстетика урока математики. И.Г. Зенкевич. – Издательство «Просвещение». – Москва 1981г.

Приложение 1

Фреска Тайная Вечеря, Леонардо да Винчи

Приложение 2

Приложение 3

Приложение 4

Приложение 5

Приложение 6

Задачи для «умного» куба