XVIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Треугольники Рёло в архитектуре
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Актуальность нашего исследования обусловлена необходимостью популяризации знаний о треугольниках Рёло. Информация об этой фигуре представляет интерес для будущих архитекторов, художников и дизайнеров, будет способствовать раскрытию их творческого потенциала. Использование треугольников Рёло позволяет фантазировать, экспериментировать, создавать новые формы в архитектуре и искусстве, реализовывать нестандартные идеи. Это отвечает современной тенденции в искусстве и архитектуре, которая заключается в отказе от простых, привычных форм. Кроме того, использование треугольников Рёло может обогатить современные архитектурные стили: постмодернизм, хай-тек, деконструктивизм, метаболизм. И, конечно, при быстро развивающихся технологиях нельзя обойти стороной фигуру постоянной ширины - треугольник Рёло, позволяющий сократить затраты при строительстве зданий и улучшение эксплуатационных качеств архитектурных строений.
Объект исследования: фигура треугольник Рёло.
Предмет исследования: характерные черты и функциональные особенности треугольников Рёло в архитектуре.
Цель: изучить способы применения треугольников Рёло в архитектуре, определить полезные эксплуатационные качества таких конструкций, которые создают наилучшие условия для быта и труда людей.
Новизна исследования состоит в том, что необычной и красивой формы элемент – треугольник Рёло, который прост в изготовлении и построении, может улучшить эксплуатационные качества архитектурных строений.
Задачи:
рассмотреть понятие треугольника Рёло, его построения различными способами;
установить факты применения данной геометрической фигуры в архитектуре;
определить полезные для жизнедеятельности человека функциональные особенности треугольников Рёло в архитектурных строениях.
Проблема: Некоторым современным архитекторам трудно идти в ногу со временем, так как научно-технический прогресс неумолимо движется вперед, идеи быстро устаревают, вкусы и предпочтения публики скоротечно меняются. Им необходимо принимать все более необычные и интересные решения, чтобы удивлять людей в будущем.
Гипотеза: Если использовать треугольники Рёло в архитектуре, можно обеспечить разнообразие форм, дополнить архитектурные стили новыми элементами и улучшить таким образом эксплуатационные качества архитектурных строений.
Глава 1. Теория о треугольниках Рёло
История открытия
П о мнению некоторых ученых, впервые продемонстрировал идею треугольника из равных дуг окружности Леонард Эйлер в XVIII веке. Однако Рёло встречается и раньше, в XV веке: их использовал в своих рукописях Леонардо да Винчи. Вычисления на этот счет представлены в его манускриптах A и B, которые хранятся в Институте Франции и в Мадридском кодексе.
П римерно в 1514 году Леонардо да Винчи создал одну из первых в своём роде карт мира. Поверхность земного шара на ней разделена экватором и двумя меридианами под углом 90° на восемь сферических треугольников, которые были показаны на плоскости карты треугольниками Рёло, собранными по четыре вокруг полюсов.
И только позже, в конце XIX века, немецкий ученый Франц Рёло, решающий проблемы эстетичности технических объектов в промышленном дизайне, подробно исследовал данную фигуру. Он рассматривал вопрос о том, сколько контактов необходимо, чтобы предотвратить движение плоской фигуры, и на примере искривлённого треугольника, вписанного в квадрат, показал, что даже трёх контактов может быть недостаточно для того, чтобы фигура не вращалась. В своих конструкциях он придавал большое значение внешним формам машин, за что Рёло при жизни называли «поэтом в технике». Поэтому треугольник несет имя этого выдающегося ученого.
Понятие треугольника Рёло
Т реугольник Рёло представляет собой область пересечения трёх равных кругов с центрами в вершинах правильного треугольника и радиусами, равными его стороне.
Построить данную кривую можно как вручную (при п омощи линейки и циркуля), так и на компьютере в специальных программах.
Необходимо построить правильный треугольник.
Из каждой его вершины начертить окружность с радиусом, равным длине стороны треугольника.
3. Область, которая образовалась при пересечении окружностей, а также замкнутая кривая, которая ограничивает данную область, называется треугольником Рёло.
Свойства треугольника Рёло
С войство кривых постоянной ширины
Теорема Барбье. Все кривые постоянной ширины h имеют одинаковую длину, равную πh.
С имметрия
Треугольник Рёло обладает осевой симметрией. Он имеет три оси симметрии, каждая из которых проходит через вершину треугольника и середину противоположной.
Свойства, общие для всех фигур постоянной ширины
Поскольку треугольник Рёло является фигурой постоянной ширины, он обладает всеми общими свойствами фигур этого класса.
с каждой из своих опорных (параллельных) прямых треугольник Рёло имеет лишь по одной общей точке
расстояние между двумя любыми точками треугольника Рёло не может превышать его ширины
отрезок, соединяющий точки касания двух параллельных опорных прямых к треугольнику Рёло, перпендикулярен к этим опорным прямым;
через любую точку границы треугольника Рёло проходит по крайней мере одна опорная прямая
через каждую точку границы треугольника Рёло проходит объемлющая его окружность радиуса , причём опорная прямая, проведённая к треугольнику Рёло через точку , является касательной к этой окружности
треугольник Рёло, как и любую другую фигуру постоянной ширины, можно вписать в квадрат.
Экстремальные свойства
Наименьшая площадь
Среди всех фигур постоянной ширины у треугольника Рёло наименьшая площадь. Это утверждение носит название теоремы Бляшке — Лебега. Чтобы найти площадь треугольника Рёло, можно сложить площадь внутреннего равностороннего треугольника и площадь трёх оставшихся одинаковых круговых сегментов, опирающихся на угол в 60°{\displaystyle S_{\bigcirc }=a^{2}\cdot {{\pi } \over {4}}=a^{2}\cdot 0{,}78539\ldots }
Наименьший угол
120֩
Через каждую вершину треугольника Рёло, в отличие от остальных его граничных точек, проходит не одна опорная прямая, а бесконечное множество опорных прямых. Пересекаясь в вершине, они образуют «пучок». Угол между крайними прямыми этого «пучка» называется углом при вершине. Для фигур постоянной ширины угол при вершинах не может быть меньше 120°. Единственная фигура постоянной ширины, имеющая углы, равные в точности 120° — это треугольник Рёло.
Наименьшая центральная симметрия
Наиболее известное свойство треугольника Рело – очертание четырёхугольника сложенным вращением этого треугольник. Если вращать треугольник А1В1С1 вокруг центра О1 описанной вокруг него окружности с радиусом О1А1, а центр треугольника О1 вращать в противоположную сторону в три раза быстрее по окружности с центром N, то треугольник очертит фигуру, которая незначительно отличается от четырёхугольника. А именно, за один оборот центра О1 направо по окружности с радиусом О1N два угла четырёхугольника будут оформлены вершиной А треугольника Рело и по одному – вершинами В и С, т.е. через каждую четверть оборота вокруг центра N треугольника Рело будет находиться в положении А2В2С2, А3В3С3 иА4В4С4.
Выполненные на рисунке построения показывают небольшую кривизну сторон четырёхугольника, о которой также указываю инженеры. По их данным, наибольшее отклонение стороны от идеальной прямой имеет место в середине стороны. Треугольник Рело при вращении контактирует с точкой D серединой своей стороны.
Вычисляя кривизну, получаем:
DE~ 0.025R+ 0.293r
Таким образом, отклонение DE стороны квадрата от сделанной прямой зависит, в первую очередь, от радиуса и не может быть устранено, потому что R и r не могут равняться нулю.
Глава 2. Практическое применение треугольников Рёло
2.1. Архитектура в XIII-XIV веке
Г отика – это один из архитектурных стилей, в котором применяется кривая, называемая треугольником Рёло. Еще в XIII веке в форме Рёло построили окна церкви Богоматери, возведенной в стиле “шельдская готика”. Этот шедевр архитектуры находится в самом сердце города Брюгге, Бельгия. Центральный неф выше боковых, над трифориумом расположен ряд небольших окон со стрельчатыми, готическими арками. Стрельчатые арки в виде треугольников Рёло носят как эстетический, так и практический характер. Благодаря устремленным в небо шпилям и стремящимся вверх окошкам, здание будто движется вверх. Сглаженные, более мягкие очертания данных стрельчатых арок придает утонченности внешнему строгому виду церкви. Более того, маленькие тройные окна в верхнем ряду, в сочетании с вогнутыми арками, обеспечивают поступление нужного солнечного света.
Следующим примером применения треугольников Рёло служат стрельчатые арки Кафедрального Собора Святого Бавона. Он считается главным храмом Гента, расположенным в Бельгии. Элементы внутреннего убранства и даже очертания нефов напоминают Рёло. Данный собор построен в стиле брабантская готика. Точная дата неизвестна, согласно историческим источникам, самое раннее упоминание об этой церкви относится к первой половине X века, однако некоторые ученые склонны предполагать, что в том виде, в каком он дошел до нас, собор датируется не ранее чем 14 столетием. В кафедральном соборе Св. Бавона 4 органа (2 в основном зале храма, а 2 поменьше — в помещениях, отданных под склеп), поэтому здесь довольно часто проходят концерты, послушать которые могут все желающие. Более того, благодаря именно полукруглым сводам храма достигается определенное колебание волн, засчёт чего звук кажется более объемным и четким. Итак, за счет использования треугольников Рёло при строительстве Кафедрального Собора Святого Бавонаархитекторы добились лаконичности, упорядоченности и равновесия во внутренней и внешней организации.
2.2. Треугольники Рёло в современности
Н овое здание делового центра Кёльна (Германия) на правом берегу р. Рейн – «Кёльнский треугольник» — представляет собой узкую, одетую в сплошное стекло 103-метровую башню, при взгляде на которую кажется, что она неподвластна законам аэродинамики и оптики. Стекло, не искажающее перспективы – вот что можно сказать об этом здании, авторами которого являются архитекторы Gatermann + Schossig.
В плане башня представляет собой, так называемый, треугольник «Рело», в связи с чем помещения в нём обладают различной глубиной, в зависимости от того, каков периметр стеклянной стены. Монолитная стеклянная скорлупа, в которую заключен небоскрёб, спроектирована, как энергосберегающий двойной фасад. Решающую роль в реализации этой возможности сыграл триплекс с плёнкой SentryGlas Plus. Зимой стеклянные фасады помогают нагревать помещения в здании за счёт солнечного света.
Несмотря на внешнюю хрупкость, ощущение воздушности и прозрачности, фасад здание очень прочный и способен держать форму даже при механических повреждениях.
Е ще одно завораживающее здание – это Музей "Мерседес-Бенц" в Штутгарте футуристического направления архитектуры. Для посещения его открыли в 2006 году. Созданное из стекла и бетона, оно кажется трехэтажным, но, попав внутрь, посетитель проходит девять этажей, где рассказывается вся история бренда. В основу концепции положена форма трилистника, состоящего из трех равноудаленных друг от друга кругов. В результате их пересечения образуется внутренний треугольный атриум, трактовать его форму можно как намек на логотип компании или как форму двигателя Вранкеля в виде треугольника Рёло.
Несмотря на это, его декоративное применение целесообразно в рамках некоторых архитектурных стилей. Плавный контур выпуклого треугольника способен смягчить строгость классических линий, этим можно воспользоваться при строительстве частного дома – сооружения, которое владелец может создать на основе собственной фантазии.
В семирно известная корпорация Tangram 3DS LLC, которая занимается компьютерной графикой и 3-d визуализацией и мультипликацией, сделала попытку расширить сферу деятельности. Совместно с VFX Direct и E. Kevin Schopfer AIA, RIBA они разработали привлекающий всеобщее внимание концептуальный проект под названием NOAH (New Orleans Arcology Habitat).
Смелый проект представляет собой треугольное здание высотой 365 метров, своеобразную городскую платформу, расположенную на воде. Необычная форма здания, в данном случае, несет функциональную нагрузку, ведь треугольник является одной из самых устойчивых фигур, а в Орлеане, подверженному ураганам, способность противостоять природной стихии является главенствующей. Треугольник также позволяет сделать здание сквозным, деля NOAH на три отдельных "башни", сходящиеся наверху. Назначение этой системы состоит в том, чтобы рассеивать сильные ветра, уменьшая нагрузку на здание. Для этой же цели внешние края здания изогнуты и наклонены, а центральные части «стен» подаются вперед, что создает ощущение объемности.
В последние годы центром высотного строительства стала Азия, а в Европе и США ставку делают не столько на высоту построек, сколько на их технологичность и эффективность – тем удивительнее башни Аль-Бахар в Абу-Даби. Две 29-этажные высотки, использующие мотивы традиционной архитектуры, опровергают сам термин «недвижимость». Ведь их фасады движутся.
Чтобы защитить внутренние помещения от 50-градусной жары, инженеры придумали поместить поверх фасада покрывало из золотистых сот, которые открываются и закрываются в зависимости от освещенности. Степень открытия скорлупок-сот определяется компьютером: от полностью открытого состояния утром до полного закрытия в полдень.
Такой фасад выполняет не только защитную функцию, но и эстетическую. За счет технологии машрабии солнечное тепло проникает внутрь на 50 процентов меньше, обеспечивается беспрепятственная вентиляция помещений, а также снижается необходимость использования искусственного освещения. Чтобы повысить общий комфорт сотрудников, работающих в ADIC, архитекторы использовали слегка тонированные стекла для усиления защитного эффекта.
Башня Аль Бахар – хороший пример сочетания современных технологий и древних арабских традиций строительства и архитектуры, которые в течение столетий позволяли местным жителям выживать даже в самых экстремальных погодных условиях.
По замыслу команды проектировщиков, подвижные элементы конструкции раскрываются и складываются на протяжении суток, в зависимости от положения солнца, таким образом вдвое уменьшая количество тепла, проникающего в помещение. Данная система работает за счет возобновляемой энергии, получаемой от фотогальванических панелей. Дело в том, что каждая башня имеет наклонную крышу, направленную к югу, которая оборудована фотоэлементами, производящими около пяти процентов всей потребляемой зданием энергии.
Мы измерили длину, ширину и высоту элементов и выяснили, что они равны. Соответственно равны радиусы. Данные элементы рельефные и под определенным углом падения солнечных лучей создается эффект фигуры треугольника Рёло. Это дает основание предполагать, что в основе данных элементов лежат радиусы этого треугольника. И пусть четко выраженной фигуры не наблюдается, но внешне они напоминают именно округлый треугольник Рёло.
Мнения авторитетных архитекторов насчет треугольников Рёло
Искусствовед Дмитрий Антропов сказал: «…Использование стрельчатой арки позволяло распределять массу не на всю стену, а на отдельные опоры». Таким образом, конструктивные особенности «круглого треугольника» позволяли сделать здание не только красивым, но и более безопасным. В готической архитектуре, как отмечено выше, постоянно встречаются элементы, образованные по принципу треугольника Рёло:
стрельчатые арки;
раскладка окон или оконные решетки на соборах и церквях;
тимпаны – как ниши или как части фронтона.
Архитектор Владимир Головчин: «Я всегда был неравнодушен к готике. Треугольник Рёло – наиболее часто встречающийся элемент декора в этом стиле. Весьма выигрышно с таким треугольником в основании выглядят высотные здания. Они видны издалека и в отличие от зданий, у которых грани плоские, привлекают игрой света на скругленных сторонах. Если посмотреть на современные тенденции в самолетостроении, складывается впечатление, что и формы летательных аппаратов стремятся к Рёло. Здесь инженерное ремесло пересекается с трудом архитектора».
4.3. Архитектор и дизайнер Максим Казанский: «Благодаря кривой Рёло, здания получают футуристичные очертания. Есть в ней что-то инопланетное, близкое к НЛО. Мне, как дизайнеру, этот треугольник близок, прежде всего, как часть схемы цветовой модели RGB».
Заключение
Треугольники Рёло играют важную роль в архитектуре. Мы выявили примеры использования их в разные периоды времени и выяснили, что, если в Средневековье данные фигуры использовали как часть фасада или орнамента, то в современное время Рёло используются в сечениях целых зданий, выступают основополагающим компонентом. Причем различаются способы использования Рёло, в зависимости от региона. Так, в Европе, где важна компактность и маневренность, треугольник выступает в качестве основы, в Америке, из-за природных условий, важное место играет практичность и износостойкость, поэтому использованы только линии Рёло. А в Арабских Эмиратах, одной и самых богатых стран, любящей экзотические и парадоксальные идеи, Рёло служит одновременно и украшением, и несет практическую нагрузку, защищает от жары и солнца.
Таким образом, все задачи данной исследовательской работы выполнены, цель достигнута и гипотеза нашла свое подтверждение в ходе исследования.
Библиографический список
Бутузов В.Ф., Кадомцев С.В. Планиметрия // Пособие для углубленного изучения математики. М.: Физматлит, 2005. - 488с.
Зетель С.И. Новая геометрия треугольника // Пособие для учителей. 1962. 2-е издание
Радемахер Г., Тёплиц О. Кривые постоянной ширины // Числа и фигуры. Опыты математического мышления / Пер. с нем. В. И. Контовта. — М.: Физматгиз, 1962. — С. 195—211. — 263 с. — («Библиотека математическогокружка», выпуск 10).
Яглом И. М., Болтянский В. Г. Фигуры постоянной ширины // Выпуклые фигуры. — М.—Л.: ГТТИ, 1951. — С. 90—105. — 343 с. («Библиотека математического кружка», выпуск 4).
https://multiurok.ru/files/nauchno-issliedovatiel-skaia-rabota-trieughol-nik-riolo.html Научно-исследовательская конференция «Треугольники Рёло»
https://ru.wikipedia.org/wiki/Треугольник_Рёло