Математические закономерности музыкальных гамм

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Петрушанко Д.С. 1

---

1Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение г. о. Королёв Московской области «Гимназия №11 с изучением иностранных языков»

Митрохина Ольга Николаевна 1

---

1Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение г. о. Королёв Московской области «Гимназия №11 с изучением иностранных языков»

Работа в формате PDF

801.7 KB

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

Работа посвящена рассмотрению логики построения и выявлению математических закономерностей музыкальных гамм от пифагорова строя до современного равномерно-темперированного строя.

Вопрос о закономерностях построения музыкальных рядов (гамм) и способов построения наиболее благозвучного и удобного для создания и изменения высоты звучания различных мелодий звукоряда был актуален в течение многих веков [1-3]. В настоящее время используется равномерно-темперированный строй, в котором отношение звуковых частот соседних нот является величиной фиксированной [1-3]. Однако, несмотря на удобство для создания и изменения высоты звучания мелодий, данный строй не является идеальным.

В результате проведения работы были проанализированы математические закономерности, связывающие интервальные коэффициенты различных гамм, рассчитаны частоты для пифагорейской гаммы и диатонической гаммы чистого строя. По данным частотам автором была проведена настройка струнного инструмента – гуслей и проведено сравнение звучания гаммы, а также интервалов октавы, квинты, кварты и терции для современного равномерно-темперированного строи и чистого строя.

Основными анализируемыми параметрами являлись интервальные коэффициенты, определяемые как отношение частот различных тонов звукоряда к основному тону. Описаны геометрические прогрессии, связывающие данные коэффициенты в случае разных гамм. Продемонстрировано, что каждый из описанных строев имеет свои закономерности построения, различается по симметрии и пропорциональности входящих в него тонов. Рассмотрены сильные и слабые стороны каждого музыкального строя. Проведенное практическое применение рассчитанных частот для настройки девятиструнных гуслей позволило продемонстрировать, что гамма чистого строя, основанная на чистых интервалах (октава, квинта, кварта, терция), дает самое благозвучное звучание.

Основная часть

Возникновение музыкальных звукорядов - гамм

1.1 Звуки, которые может воспринимать человек

Звуки, которые мы слышим – это колебания воздуха с определенной частотой. Человек может слышать звуки в диапазоне от 16 до 20000 Гц. Однако, хорошо различать звуки, отличающиеся друг от друга по частоте всего на одно колебание в секунду, мы можем только до 4000 Гц. Музыкальный строй — это система сопоставления нот (знаков, обозначений) и звуковых частот. Периодом музыкального строя является октава. В диапазоне частот до 4000 Гц укладывается чуть более 7 октав. Это всего около 90 звуков. Из этих звуков или тонов и состоит вся музыка.

1.2 Октава и ее составляющие

Октава - интервал между нотами, частоты которых отличаются в 2 раза. Традиционная октава состоит из 12 ступеней. Например, на клавиатуре рояля она представлена семью основными (белыми) клавишами и пятью дополнительными (чёрными). Самая нижняя нота - ля субконтроктавы. Вот частота этой ноты и ее октавных повторений:

27,5 Гц 55 Гц 110 Гц 220 Гц 440 Гц 880 Гц 1780 Гц 3520 Гц 7040* Гц *7040 Гц выходит за пределы четкого различения звуков. Получается 7 октав.

Ля первой октавы 440 Гц используется для настройки инструментов.

Рисунок 1. Клавиатура фортепиано и разделение на октавы.

1.3 Музыкальная гамма

Гаммой, или звукорядом, называется последовательность звуков (ступеней) некоторой музыкальной системы (лада), расположенных, начиная от основного звука (основного тона), в восходящем или нисходящем порядке. Название "гамма" происходит от греческой буквы Г γ (гамма), которой в средние века обозначали крайний нижний тон звукоряда, а затем и весь звукоряд.

Вопрос о том, как составить звукоряд, то есть создать последовательность нот (звуков), которые будут использоваться затем для создания музыки решался в разные времена по-разному. Мы рассмотрим гаммы (звуковые ряды) времен Пифагора, Средних веков и нашего времени. Каждая из них имеет свою логику построения и свои математические закономерности.

В музыке очень важно то, как воспринимает слушатель сочетания звуков. Создание благозвучного звукоряда и легло в основу гамм. Согласованное звучание звуков называется консонанс, а несогласованное – диссонанс. Простейший вариант—пара звуков (интервал).

1.4 Законы гармонии пифагорейцев

Пифагорейцы с помощью инструмента монохорда, нашли приятные для слуха (чистые) интервалы.

Монохорд состоит из струны, длина колеблющейся части которой может меняться. Используя два монохорда, можно оценить, как звучит сочетание различных по частоте звуков. С помощью монохорда были получены законы Пифагора – Архита:

1. Высота тона (частота колебаний f) звучащей струны обратно пропорциональна ее длине l:

f=a/l, а - коэффициент пропорциональности, зависящий от физических свойств струны.

2. Две звучащие струны дают консонанс лишь тогда, когда их длины относятся как 1:2, 2:3, 3:4.

Эти интервалы - "совершенные консонансы“ позже получили латинские названия (расположены по убыванию благозвучия):

Октава l₂/l₁=1/2, соответственно f₂/f₁=2.

Квинта l₂/l₁=2/3, соответственно f₂/f₁=3/2.

Кварта l₂/l₁=3/4, соответственно f₂/f₁=4/3,

Установив данные соотношения, пифагорейцы ввели понятие интервального коэффициента как отношение составляющих интервал тонов I₂₁=f₂/f₁. Октава делится на два неравных консонанса квинту и кварту, а квинта - на консонанс кварту и диссонанс тон.

Тон-интервал и был принят за интервал между соседними по высоте звуками (ступенями) при построении пифагоровой гаммы: (3/2):(4/3) =9/8.

Рисунок 2 Древнегреческий инструмент монохорд.

Лидийская гамма пифагорова строя

2.1 Строение лидийской гаммы пифагорова строя (натуральный мажор)

Основа всей древнегреческой музыки – тетрахорд – четырехструнный звукоряд в пределах кварты. Имеется только три возможности для положения полутона в пределах тетрахорда, что и определяло характер и название тетрахорда:

дорийский: полутон - тон – тон (1/2-1-1);

фригийский: тон - полутон - тон (1-1/2-1);

лидийский: тон - тон - полутон (1-1-1/2).

Тетрахорды соединялись, в пределах октавы можно расположить два тетрахорда, разделенных интервалом в тон.

Объединяя с помощью разделительного тона два одноименных тетрахорда, получили октаву, которую греки называли "гармония".

Три основных видов греческой гармонии (октавы) по числу тетрахордов:

Лидийская гармония

Дорийская гармония 1 1

Фригийская гармония

1 - тон, 1/2 - полутон, жирным шрифтом выделен разделительный тон.

Лидийская гармония в современных гаммах соответствует обычному натуральному мажору: 2 тона - полутон, 3 тона - полутон, то есть на белых клавишах фортепиано до-ре-ми-фа-соль-ля-cи-дo (Рис. 1), а дорийская и фригийская гармонии - почти натуральному минору.

Чтобы получить математическое выражение лидийской гаммы примем частоту нижнего тона за единицу.

f₁ = 1, находим первый тетрахорд: f₁ = 1, f₂ = ⁹/₈, f₃ = ⁹/₈*⁹/₈=⁸¹/₆₄, f₄=⁴/₃.

Второй тетрахорд получается сдвигом первого на квинту: f₅ = ³/₂f_l = ³/₂, f₆ = ³/₂f₂ = ²⁷/₁₆, f₇ = ³/_2, f₃ = ²⁴³ /₁₂₈, f₈ = ³/_2, f₄ = 2.

Таким образом, для интервальных коэффициентов лидийской гаммы пифагорова строя имеем

Это канон Пифагора. По преданию, канон Пифагора впервые нашел практическое применение при настройке лиры легендарного Орфея.

2.2 Пересчет интервальных коэффициентов в частоты

Пересчитаем эти интервальные в частоты, взяв частоту для Ля 440 Гц. Соответственно, частота До 440* =261 Гц, далее умножая частоту До на интервальные коэффициенты Ре 261*

Таблица 1. Расчётные частоты для лидийской гаммы пифагорова строя.

2.3 Хроматическая лидийская гамма Пифагорова строя

В качестве дополнительных ступеней возьмем пониженные звуки ре-бемоль, ми-бемоль, соль-бемоль, ля-бемоль, си-бемоль и один повышенный звук -фа-диез. Они будут отличаться на полтона от ближайшей ступени.

2

)⁵

)³

1 )² )⁴

То есть структура Пифагоровой граммы состоит из трех геометрических прогрессий:

b0, b1, b2, b3: 1, )² ·2^-1 , )⁴ · 2^-2 , )⁶ · 2^-3 , то есть b0=1

а0, а1, а2, а3, а4, а5: )^-5 ·2³ , )^-3 · 2² , )^-1 · 2, , )³ ·2^-1 , )⁵ · 2^-2 , где а0= )^-5 ·2³

с0, с1, с2, с3: )^-6 ·2⁴ , )^-4 · 2³ , )^-2 · 2², , где с0= )^-6 ·2⁴

Видно, что для всех трех рядов геометрическая прогрессия имеет вид: b^k=b0q^k _, a^k=a0q^k , c^k=c0q^k ,

^где q= )² ·2^-1

2.4 Симметрия хроматической лидийская гамма Пифагорова строя

Сделанное представление позволяет легко увидеть, что произведение членов, равноудаленных от конца звукоряда равно 2,

тоесть

b0c3=a0a5=b1c2=a1a4=b2c1=a2a3=c0b3=2

Это свидетельствует от глобальной симметрии гаммы относительно значения .

Однако данное значение ) отсутствует в ступенях гаммы. При этом фа диез )^-6 ·2⁴ и соль бемоль )⁶ · 2^-3 имеют разные частоты, чтобы они совпали возьмем их среднее геометрическое: = . То есть гамма симметрична относительно этой ступени.

Легко также видеть, что отношение октава/квинта (2/( )) равно отношению кварта/тон ( То есть музыкальная гамма очень пропорциональна.

2.5 Проблема неравномерности и пифагорова комма

Расстояние между ступенями гаммы пифагорова строя неодинаково. Поэтому сыграть не от ноты до, а от ноты ре лидийский лад уже не получится. Такая же сложность возникает при переносе любой мелодии на другую ноту. Это очень неудобно, так как смена тональности часто необходима при исполнении произведений, например, вследствие особенностей различных голосов и инструментов.

Деление тона на полутон смягчило эту ситуацию, но не решило ее полностью, поскольку половина тона

//64) . Поэтому если за единый отрезок взять пол тона, то через 12 полутонов мы немного не попадем в октаву - 2, а окажемся выше

(

(

Cсуществование этого несоответствия (коммы) приводило в некоторых случаях к возникновению диссонансов, а сложность перехода в другую тональность из –за неравномерности побуждала искать новые музыкальные ряды.

Диатоническая 7-ступенчатая гамма чистого строя

3.1 Строение диатонической 7-ступенчатой гаммы чистого строя

Джозеффо Царлино (1517-1590) выдающийся итальянский композитор и музыкальный теоретик в XVI веке создал новый квинтово-терцовый строй, названный чистым строем. Царлино выявил консонантность большой терции (5/4), и построил "совершенную гармонию" - объединив большую терцию и квинту в гармоническое трезвучие. За основу чистого строя взято мажорное трезвучие (1-5/4-3/2 или, домножив на 4, -4-5-6). Если отложить такое же трезвучие слева и справа, то получим:

- -1- - - -

4-5-6 4-5-6 4-5-6

Сведем полученные звуки в одну октаву, домножив на два интервальные коэффициенты нот, которые лежат ниже основного тона (1) (октавой ниже) и разделив на 2 те, которые более чем в 2 раза выше основного тона (октавой выше): ( *2= ), ( *2= = ), ( :2= получим чистый строй лидийской гаммы (натурального мажора):

до ре ми фа соль ля си до

Красным выделены те интервальные коэффициенты, которые отличаются от пифагорова строя.

3.2 Симметрия диатонической 7-ступенчатой гаммы чистого строя

Эта гамма является самой благозвучной, имеет самые простые интервальные коэффициенты. является самой пропорциональной:

до ре ми фа соль ля си до

Пересчитаем эти интервальные в частоты, взяв частоту для Ля 440 Гц. Соответственно, частота До 440* = 264 Гц, далее умножая частоту До на интервальный коэффициент - Ре 264*

Таблица 2 Частоты тонов для диатонической гаммы чистого строя

Видно, что соотношения частот и сами частоты отличаются от современного равномерно темперированного строя.

Эта гамма является самой пропорциональной:

1. Среднее арифметическое и среднее гармоническое основного тона (1) и октавы (2) дают квинту и кварту:

(квинта)

среднее гармоническое (b= ) (кварта)

2. Среднее арифметическое и среднее гармоническое основного тона (1) и квинты ( ) образуют большую и малую терции:

(большая терция)

среднее гармоническое (b= ) = (малая терция)

среднее гармоническое (b= ) =

3. Среднее арифметическое и среднее гармоническое основного тона (1) и большой терции ( ), дает оба интервала тона чистого строя:

Таким образом, главные интервалы чистого строя (большая и малая терция, кварта, квинта) получаются как последовательная цепь средних пропорциональных, началом которой является пропорциональное деление октавы на квинту и кварту.

Рис 2. Интервальные коэффициенты хроматической гаммы чистого строя.

Видно, что данные коэффициенты не образуют геометрической прогрессии.

Однако эта гамма обладает глобальной геометрической симметрией относительно , то есть произведение одинаково отстоящих от края интервальных коэффициентов дает .

1*2= * = * = * = * = * =2

При этом локальной симметрией гамма не обладает.

Чистый строй, несмотря на свою пропорциональность и благозвучие, не решил проблему перехода из тональности в тональность, поскольку также как и для пифагорова строя интервальные коэффициенты различны и, следовательно, расстояние между нотами немного разное.

4. Равномерно-темперированная хроматическая гамма

4.1 Строение равномерно-темперированной хроматической гаммы

В настоящее время точно неизвестно, кто предложил разделить октаву на ровные 12 частей.

Французский математик Марин Мерсенн в свое труде "Универсальная гармония" (1636-1637г.) предложил сузить полутона так, чтобы они точно укладывались в октаву. К 1700 г. немецкий органист Андреас Веркмейстер разделил октаву геометрически на 12 равных частей. Таким образом, строй стал назваться равномерно-темперированным от слова темперация – соразмерность. При этом пифагорова комма также разделилась на 12 частей и стала незаметной.

Равномерность строя, заключающаяся в одинаковых интервальных коэффициентах (высотных расстояниях) между звуками, дает возможность переходить из лада в лад и из тональности в тональность. Это дает возможность сыграть мелодию, понизив или понизив ее на нужное число тонов и переведя в другую тональность.

Появление в первой половине XVIII века сочинения Иоганна Себастьяна Баха "Хорошо темперированный клавир" канонизировало равномерно темперированный строй — музыкальный строй, в котором отношение звуковых частот соседних нот является величиной фиксированной.

Рассмотрим, как формируются интервальные коэффициенты в этом случае. Будем обозначать отношение большей частоты к меньшей через q, q >1.

Возьмем за точку отсчета – ноту ля первой октавы с частотой f1.

Тогда при движении по клавиатуре вправо — правая ветвь последовательности частот — возрастающая геометрическая прогрессия {f1, f1q, f1q², ...}, её знаменатель равен q.

Левая ветвь — убывающая геометрическая прогрессия f1, f1/q, f1/q², ... со знаменателем 1/q. Тогда для ноты, через n нот вправо от ноты ля: f_n = f₁*qⁿ⁻¹.

По определению октавы f_n+12 =2 · f_n, а по свойству геометрической прогрессии f_n+12 = f_n·q¹².

Следовательно, 2 · f_n= f_n·q¹² и q¹² =2, q= =1,059463...

Поэтому фиксация одной ноты, например, ноты ля по камертону определит положение всех других нот.

Рассмотрим равномерно-темперированную 12-ступенчатую хроматическую гамму, приняв основной тон за 1, тогда выражение для интервальных коэффициентов одной октавы будет иметь вид где n = 0, 1, 2, 3…12.

Рис 3. Интервальные коэффициенты равномерно-темперированной гаммы

Видно, что соотношения частот для квинты и кварты ( к) для такого звукоряда будут отличаться от наиболее гармоничных, характерных для пифагорова и чистого строя.

[Привлеките внимание читателя с помощью яркой цитаты из документа или используйте это место, чтобы выделить ключевой момент. Чтобы поместить это текстовое поле в любой части страницы, просто перетащите его.]ывпа

[Привлеките внимание читателя с помощью яркой цитаты из документа или используйте это место, чтобы выделить ключевой момент. Чтобы поместить это текстовое поле в любой части страницы, просто перетащите его.]

строя. Ступени равномерно-темперированной гаммы образуют геометрическую прогрессию со знаменателем .

4.2 Симметрия равномерно-темперированной хроматической гаммы

Локальная симметрия:

Поскольку _{= =})(

=_, значит частота каждой ступени гаммы является средним геометрически частот своих соседей.

То есть хроматическая гамма обладает локальной геометрической симметрией с коэффициентом симметрии (отношением входящих в пропорцию членов)

Глобальная симметрия:

Произведения частот ступеней гаммы, равноудаленных от концов, равны квадрату среднего члена b6 (1).

Таким образом, седьмая ступень гаммы b6, является центром глобальной геометрической симметрии хроматической гаммы.

Таблица 3 Современная таблица частот для звуков (тонов) первой октавы (равномерно-темперированный строй)

Рис 4. Первая и вторая октава фортепиано.

5. Оценка звучания гамм и интервалов

Для того, чтобы оценить, как звучат рассмотренные гаммы и интервалы для разного строя мы использовали девятиструнные гусли, восемь струн которых настроили в соответствии с рассчитанными нами частотами для пифагорейского строя (Таблица 1), чистого строя (Таблица 2) и известными частотами современного равномерно-темперированного строя (Таблица 3).

Настройка гуслей выполнялась с помощью приложения Spectroid, установленного на смартфоне. Приложение Spectroid анализирует звуковой спектр и позволяет находить его максимум в режиме реального времени.

Сопоставление частот (Таблицы 1-3) показывает, что наиболее сильно от равномерно-темперированного по частотам отличаются частоты чистого строя. Для пифагоровой лидийской гаммы разница в частотах составляет не более 1 Гц, поэтому на гуслях сложно было бы осуществить такую настройку. Таким образом, мы сделали настройку гусель по чистому строю (Таблица 2) и равномерно-темперированному строю (Таблица 3).

Рис 5. Девятиструнные гусли и их применение в нашей работе (см. аудио-файлы по ссылке https://disk.yandex.ru/d/_S6v3Sq4AxzP_w).

Было выявлено различное звучание гамм и интервалов в
чистом строе и равномерно-темперированном строе.

Из представленных аудио образцов (с ними можно ознакомиться по ссылке https://disk.yandex.ru/d/_S6v3Sq4AxzP_w) следует, что гаммы в чистом и равномерно-темперированном строе звучат несколько по-разному. Особенно заметна разница в этих строях при последовательном прослушивании интервалов. Большая консонантность (благозвучность) интервалов слышна в чистом строе.

Заключение

В результате проведенной работы можно сделать следующие выводы:

1. Выбор из всего многообразия хорошо различимым человеком звуков (около 4000) только небольшого количества нот (около 90) связан с тем, что благозвучием обладают только сочетания нот с определенным соотношением частот. Выбор этого соотношения несколько менялся с развитием человечества.

2. Рассмотрены основные виды составления звуковых рядов, хроматических гамм – равномерно-темперированной, пифагоровой и чистого строя, и закономерности соотношения частот звуков в них, характеризующихся интервальными коэффициентами.

3. Показано, что равномерно-темперированная гамма (самая современная) описывается геометрической прогрессией и обладает локальной и глобальной геометрической симметрией. При этом в ней только не точно соблюдены пропорции деления октавы на квинту и кварту, большую и малую терции. Достоинством данного звукоряда является то, что благодаря симметрии в нем возможны модуляции в любые тональности.

4. Продемонстрировано, что пифагорова гамма и гамма чистого строя обладают глобальной геометрической симметрией, но локальная симметрия в них выполнена приблизительно. В этих гаммах точно соблюдено условие пропорционального деления октавы на квинту и кварту. Гамма чистого строя является наиболее пропорциональной, в ней есть несколько дополнительных пропорций. Интервальные коэффициенты пифагоровой гаммы описываются несколькими геометрическими прогрессиями. Однако, вследствие неравномерности интервальных коэффициентов, модуляции в другие тональности в пифагоровом и чистом строе затруднены

5. Для каждого из проанализированных звуковых рядов были посчитаны частоты нот, проведена настройка струнного инструмента - гусель и воспроизведены гаммы и интервалов (октавы, квинты, кварты, терции) для чистого строя и равномерно-темперированного строя. Продемонстрировано различное звучание гамм и большая консонантность (благозвучность) интервалов в чистом строе по сравнению с равномерно-темперированным.

Список использованных источников и литературы

Волошинов, А. В. Математика и искусство – Москва: Просвещение, 1992 – 335 с.

Математическаясоставляющая / Редакторы-составители Н. Н. Андреев, С. П. Коновалов, Н.М. Панюнин; Художник-оформитель Р. А. Кокшаров. – 2-е изд., расш. и доп. – Москва: Фонд ≪Математические этюды≫, 2019 – 367 с.

Шилов, Г. Е. Простая гамма: устройство музыкальной шкалы – 2-е изд. – Москва: Наука, 1980. – 24 с.