XIX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Разработка программы для расчёта траекторий космических летательных аппаратов с учётом поправок общей теории относительности
Автор работы награжден дипломом победителя I степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Проектная работа посвящена поправкам общей теории относительности (далее - ОТО) в астрофизических расчётах.
Современные астрофизические приборы и аппараты, дающие высокую точность в измерениях в сравнении с приборами прошлого века, становятся чувствительными к небольшим поправкам от различных эффектов, например, поправкам ОТО относительно классической теории гравитации И. Ньютона. Игнорирование этих поправок может иметь серьёзные последствия. Например, если спутники GPS не будут учитывать поправки ОТО на поверхности Земли, то, согласно многим исследованиям, будет невозможно пользоваться системами GPS. Поэтому, нами разработаны программы, которые строили траектории тел в ОТО и Ньютоновской гравитации, и показали, как на точность измерений влияют поправки ОТО.
Актуальность нашей работы обусловлена постоянной необходимостью быстрого расчёта орбит большого количества космических аппаратов вне Земли. Если не учитывать поправки ОТО, эти спутники будут некорректно работать или упадут на поверхность планеты, т. к. из-за искривления пространства-времени их орбита также несколько меняется, что заметно современным приборам из-за высокой точности измерений. В связи с этим, будет разработана программа, моделирующая орбиту тела (или траекторию его движения) согласно теориям Альберта Эйнштейна. Последующий за созданием программы анализ позволит выяснить насколько существенны изменения траекторий от поправок теории относительности.
Целью работы является написание рабочих прототипов программ, проведение тестов с последующим анализом и сравнением результата с траекторией объекта в Ньютоновской гравитации и ОТО.
Задачи:
1. Изучение трактовок ОТО и СТО для получения необходимого базиса знаний по теме работы и выведение необходимых уравнений.
2. Изучение продвинутого математического аппарата и программирования для написания программ.
3. Написание программ, строящих траектории космических объектов в ОТО и классической теории гравитации И. Ньютона.
4. Анализ влияния поправок на движение тела и сравнение траектории тел в ОТО и Ньютоновской гравитации.
Практическая значимость нашей работы заключается в создании программ для расчёта траекторий космических летательных аппаратов на языке программирования python и сравнения траекторий движения космических тел в ОТО и классической теории гравитации. Полученная нами информация (анализ влияния ОТО) может пригодиться в публицистических целях: как наглядное и краткое пособие для учеников про реальное влияние эффектов ОТО на мир, а наши программы позволят пользователю быстро построить траекторию движения произвольного космического тела.
Этапы работы:
1 этап - Аналитический: сбор и анализ информации по теме работы.
2 этап - Систематизирующий: систематизация информации по теме работы.
3 этап - Практический: написание программы, анализ получаемых результатов, создание систематизирующей таблицы.
4 этап - Заключительный: подведение итогов работы, анализ её результатов, публикация работы.
Методы исследования:
Эмпирические: виртуальный эксперимент, компьютерное моделирование.
Теоретические: анализ, синтез, сравнение, обобщение, классификация, работа с понятиями.
Глава 1. Поправки ОТО
Нами были выбраны источники информации, авторы которых являются научными публицистами и популяризаторами науки в обществе, в связи с чем их труды лучше раскрывают природу вопроса, чем другие научные работы, и могут быть понятны ученикам старшей школы. Например, Мартин Гарднер (автор более 70 книг о физике, некоторые из которых стали бестселлерами), является одним из таких популяризаторов, что означает, что он пишет понятным для учеников языком.
Ещё одним критерием отбора источников информации является оценка книг научным сообществом. Выбранные нами книги В. Л. Гинзбурга (лауреат Ленинской и Сталинской премий первой степени, а также доктор физико-математических наук и лауреат Нобелевской премии по физике (2003 г.)), Д. В. Сивухина (кандидат физико-математических наук) и М. Гарднера признаны международной учёной общественностью одними из лучших трудов по теории относительности - кроме их громадного успеха среди читателей, они были награждены различными наградами (вплоть до Нобелевской премии), а труды Пенроуза (лауреат Нобелевской премии по физике (2020 г.)) и Филоновича (доктор физико-математических наук) объясняют ОТО проще и понятнее.
1.1. Математический аппарат исследования
Тема поправок ОТО связана с искривлением пространства времени, что делает необходим знание некоторых примеров производных и интегралов, которые широко используются в данной теме (см. Список использованных источников).
Основной интеграл, который определяет влияние ОТО на окружающий мир, описывает расстояние между двумя телами в искривлённом пространстве-времени. Р. Пенроуз и Д. В. Сивухин описывают необходимость этого интеграла так: «Согласно Альберту Эйнштейну, его значение всегда больше, чем разность координат двух объектов».
Где r1 - координата в начале движения, r2 - координата в конце движения, rg - радиус Шварцшильда (см. тезаурус), dr - дифференциал по r, r - переменная. r2 - r1 - расстояние между начальной и конечной координатой. В системе координат (r, φ).
Пояснение:
Исходя из эффектов ОТО (искривления пространства времени), расстояние до объекта (r1 - r2) меняется, поэтому разность координат будет неверным способом вычисления расстояния между телами. Выше представленный интеграл позволяет рассчитывать это расстояние в искривлённом пространстве, т. к. учитывает увеличения этого расстояния из-за кривизны пространства-времени, которое выражается тензором кривизны (Приложение 3). Его левая часть определяет расстояние между телами в ОТО.
Отдельного внимания стоит система координат. В программах будет использоваться как классическая (х, у, z), так и сферическая (r, φ, θ); φ - полярный угол (от начала оси до точки), θ - аналог в вертикале. Но в связи с тем, что учёт выхода орбиты в трёхмерное пространство из-за вращения центрального тела излишне усложнит процесс интегрирования, мы будем принимать .
1.2. ОТО и Специальной теории относительности (СТО)
Согласно Анри Пуанкаре (автор более 500 всемирно признанных научных трудов, глава более 30 академий мира в начале 20 века, лауреат множества престижных премий) окружающий мир - четырёхмерное искривлённое пространство-время. К трём ранее известным осям пространства добавляется новая - ось времени. При этом А. Эйнштейн (автор множества монументальных физических теорий, положивших начало современным представлениям о физике, в том числе ОТО и СТО) писал, что гравитационные силы имеют ту же природу, что и инерциальные, из чего следует, что гравитационные эффекты обусловлены деформацией самого пространства-времени, например, из-за массы тела. Пространство-время всегда искривленно под действием масс тел, именно её искривление вызывает гравитационное притяжение тел.
При условии равенства гравитационной и инертной масс (которое было проверено до 10-15 на 2022 год), ускорение тела будет зависеть только от свойств пространства в данной точке. В связи с этим, А. Эйнштейн предположил, что все тела движутся по инерции и предложил использовать геодезические линии для траекторий тел в ОТО (Приложение 3).
Кривизна пространства-времени непосредственно влияет на траектории тел. Так, например, если два тела летят параллельно вблизи другого массивного тела, их траектории отклонятся друг от друга из-за эффекта девиации геодезических линий (Приложение 3).
Преобразования Г. Галилея и классическая теория гравитации И. Ньютона (Приложение 3), которые используются в школьном курсе физике за 10 класс, не подходят для уравнений движения, приведенных в нашей работе, но для сравнения нами будет использоваться следующее уравнение, описывающее силу тяготения в классической теории гравитации, если звезда находится в начале координат. Выражения для сферической системы координат будут также выводится из него:
где F - сила (вектор), r - координата (в знаменателе скаляр, в числителе вектор), G - гравитационная постоянная (см. тезаурус), m - масса тела, M - масса точки, создающей поле гравитации).
В ОТО, из текстов С. Р. Филоновича: Согласно Альберту Эйнштейну, необходимо учитывать, что максимально возможная скорость тела - световая (3*108 м/с). Достичь её может только частица с нулевой массой, иначе для разгона понадобится бесконечное количество энергии. Поэтому, в отличии от классической теории гравитации И. Ньютона (известного Английского математика 17 века, автора множества теорем и множества физических постулатов и теорий, которые были основой современных теорий в физике), где нет определённого предела скоростей и любое действие (т. е. эффект силы или распространение полей) мгновенно распространяется в пространстве, в ОТО никакое действие не может распространятся быстрее скорости света.
Более того, теперь нами учитывается, что пространство является четырёхмерным и искривлённым. Кроме поправок ОТО, вращение центрального тела также будет немного искривлять орбиты. Из 2 тома учебника за авторством Л. Д. Ландау и Е. М. Лившица (известных на весь мир советских физиков, лауреатов Нобелевских премий, основателей академий) по теории поля, нами были взяты уравнения для такого случая, которые расписаны подробнее ниже:
- параметр метрики
- момент импульса аппарата
- энергия спутника в классическом пределе
- формула полной энергии
с - скорость света, Т - время обращения аппарата вокруг звезды
(см. Радиус Шварцшильда и Гравитационная постоянная в Приложении 3).
Важно отметить основные следствия ОТО. Во-первых, ОТО совпадает с теорией гравитации Ньютона с некоторыми поправками, которые растут при увеличении кривизны пространства-времени (например, в связи с увеличением массы тела). Такими поправками обусловлены несколько классических эффектов, одним из самых известных среди них является сдвиг перигелия Меркурия (Приложение 1).
В практической части нашей работы исследуются эти поправки.
1.3. Программирование в ОТО
Для вычисления траекторий тел в ОТО и классической теории гравитации И. Ньютона, а также поправок к последней от ОТО, будет использоваться язык программирования python. В этом языке программирования заметно проще строить графики траекторий с помощью библиотеки matplotlib.pyplot (Приложение 1), а также он очень удобен в этом вопросе, т. к. специализируется на подобных построениях. Нами были также использованы некоторые прочие библиотеки. В приложении есть более подробная информация по питону и различных используемых библиотеках.
1.4. Выводы
В итоге, ОТО совпадает в некоторой степени с классической теорией гравитации И. Ньютона, с учётом поправок, которые были нами вычислены в созданной программе. Конкретно для ОТО использовались дифференциальные уравнения для сферически-несимметричного случая вращения тела вокруг другого массивного тела.
Глава 2. Создание программ и анализ поправок
Для анализа орбит при ОТО и классической теории гравитации И. Ньютона были созданы две программы по, соответственно, двум гравитационным теориям. В дальнейшем, были проведены сравнения орбит тел в этих двух программах. Отдельно, в ОТО был учтён сферически несимметричный случай: программа учитывала искривление орбиты от вращения центрального тела (Солнца или другой звезды).
Вследствие законов Кеплера все орбиты лежат в одной плоскости, поэтому наши графики в Ньютоновской гравитации будут двумерными. В ОТО существует влияние от вращения центрального тела на орбиту, из-за чего орбиты в ОТО трёхмерные. Но, чтобы избежать излишнего усложнения программы, мы упустим влияние на ось аппликат. Во всех случаях звезда находится в начале координат (0, 0).
2.1. Разработка программы в гравитации И. Ньютона
1) Для начала была создана программа в классической теории гравитации. Для этого был взят второй закон Ньютона, в котором ускорение расписано как производная второго порядка от координаты:
(где F - сила (вектор), a – ускорение(вектор), v – скорость (вектор) r- координата (вектор), d – дифференциал, t- время)
Будем считать, что поле создаётся точечной массой (M) в начале координат. В таком случае сила тяготения расписывается так:
(где F - сила (вектор), r - координата (в знаменателе скаляр, в числителе вектор), G - гравитационная постоянная (см. тезаурус), m - масса тела, M - масса точки, создающей поле гравитации).
Если приравнять вышеприведённые уравнения, получится искомое.
В данном случае массы можно сократить как константы.
Распишем (для удобства интегрирования) как четыре дифференциальных уравнения 1 порядка в двумерной системе координат:
Далее в программе распишем их интегрирование методом Рунге-Кутта (4 порядка). В приложении есть описание этого метода интегрирования и полная запись получившейся программы. Также, там приложены примеры результата работы программы.
2) Отдельно была сделана аналогичная программа в трёхмерной системе координат. Для этого интегрировались 6 дифференциальных уравнений:
3) Так как в программе про ОТО используется сферическая система координат, нами была переделана программа для классической теории гравитации в сферическую систему координат. Для этого уравнения были переписаны под изменение времени и изменение полярного угла. Полученный уравнения представлены ниже:
В данном случае для интегрирования использовалась функция интегрирования quad из библотеки scipy, в связи с недостаточной точностью метода Рунге-Кутты. (см. Программу и описание библиотеки scipy в Приложении 2).
2.2. Разработка программы в ОТО
В созданной программе учитывается влияние от вращения центрального тела. Для получение необходимых уравнений преобразуем представленные раннее:
Интегрирование данных уравнений затратно во времени, поэтому для оптимизации программы они были обезразмерены на радиус звезды. Это позволило программе не выполнять множество алгебраических действий, не влияющих на результат.
После этого уравнения были проинтегрированы методом квадратур Гаусса-Чебышева (Приложение 3). При этом, поправки в значение полярного угла от ОТО были выше на один порядок чем предел точности интегрирования (поправки от ОТО дали отличие полярного угла от числа π равное 3,9994 * 10 ^ (-5), в то время как предел точности интегрирования данным методом равен 5,71 * 10 ^ (-6) при эксцентриситете ).
Из последнего утверждения следует, что программа вычислила поправку к полярному углу от ОТО, и эта поправка не является неточностью интегрирования.
2.3. Сравнение траекторий движения
Введём в программу параметры зонда “Паркер” (Приложение 3): масса - 555 кг, расстояние до звезды - 140 млн км, начальная скорость – 17 000 м/с.
Отдельно рассмотрим эксцентриситет орбиты. Он будет использоваться для расчёта орбиты как в программе по Ньютоновской гравитации в сферических координатах, так и в программе по ОТО. Он вычисляется по формуле:
В случае с зондом меньшая полуось равна перигелию (15 млн км), большая полуось равна афелию (140 млн км) - при первом подлёте к Солнцу. Тогда эксцентриситет орбиты равен 0,988520.
После подстановки значений в программу, были выведены результаты, представленные в Приложении 2. В случае с классической теорией гравитации, смещение перигелия за время работы программы составило -8,67 * 10-13 (с хорошей точностью смещения перигелия нет), а в случае с ОТО 5,63 * 10-5, если использовать данные зонда Паркер и параметры Солнца. Эффекты ОТО вызвали значительное смещение перигелия (в сравнении с классической теорией гравитации). Если использовать параметры сверхмассивных чёрных дыр, различия в траектории будут настолько значительными, что разница будет визуально видима на графиках. Смещение графика на каждом обороте вокруг центрального тела вызвано эффектами ОТО (график представлен в Приложении 2).
2.4. Выводы
Созданные нами программы, оперирующие в сферической системе координат, успешно рассчитали и вывели орбиты. Их показания различаются, что связано с поправками от ОТО, а не с неточностью интегрирования.
Заключение
-
После изучения трактовок ОТО были найдены и выведены уравнения для интегрирования в программах для случая с вращающимся телом в центре.
-
Для оптимизации программ были найдены и использованы дополнительные библиотеки с функциями, которые позволили быстрее выполнять математические действия.
-
Были созданы 2 программы, строящие траектории тел в классической теории гравитации, в двумерной и трёхмерной системах координат соответственно. Для выявления поправок ОТО, была создана программа для классической теории гравитации, строящая траектории тел в сферической системе координат. Была создана программа в ОТО, строящая траектории тел в сферической системе координат.
-
Последняя программа (по ОТО) выявила поправки от ОТО, которые выше предела точности интегрирования. По результату сравнения в ОТО было выявлено смещение перигелия, в то время как в классической теории гравитации И. Ньютона этого смещения нет.
Список использованных источников и литературы:
-
Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы интегрирования. М.: Наука, 1987.
-
Гинзбург В. Л. Кто и как создал теорию относительности. М.: Наука, 1974.
-
Ландау Л. Д., Лившиц Е. М. Теория поля (2 том). М.: Наука, 1972.
-
Мартин Гарднер. Теория относительности для миллионов. М.:“Атомиздат”, 1967.
-
Пенроуз Р. Структура пространства-времени. М.: “Мир”, 1972.
-
Паршин Д. А., Зегря Г. Г. Кинематика материальной точки. Санкт-Петербург: Российская Академия Наук, 2010.
-
Сивухин Д. В. Независимость скорости света от движения источника. М.: Наука, 1980;
-
Словари терминов для ОТО. [электронный ресурс]. Режим доступа: Словарь терминов. Теория относительности для миллионов (wikireading.ru), свободный. - Загл. с экрана;
-
Филонович С. Р. Самая большая скорость. М.: Наука, 1983.
Приложение
Приложение 1
А. Сдвиг перигелия Меркурия:
Эффект, открытый в 1859 году французским физиком Леверье. Орбита Меркурия с течением времени смещается под некоторым углом ( ).Это смещение противоречит предположениям Классической теории Гравитации и является эффектом ОТО.
Б. О питоне:
Нами был выбран язык программирования Python из-за его нацеленности на построение графиков (и, соответственно, построение графиков орбит и траекторий). В приложении к практической части представлен код программ. Мы выбрали оптимальные библиотеки для построения графиков и интегрирования.
В. Ссылки на список команд питона:
Python Commands List: With Examples - InterviewBit
Learn Python - Free Interactive Python Tutorial
Г. Библиотека matplotlib.pyplot:
Эта библиотека позволяет строить двумерные и трёхмерные графики по данным, представленным в виде массива или списка numpy. Все графики в программе построены на основе этой библиотеки.
Д. Библиотека scipy.optimize root
Этот раздел библиотеки команд scipy позволяет решать уравнения внутри программы. Он использовался в программе для нахождения границ интегрирования, которые меняются в зависимости от входных данных.
Е. Библиотека scipy.integrate quad
Этот раздел библиотеки команд scipy позволяет интегрировать уравнения при заданных условиях интегрирования. Он использовался в программе про Классическую теорию Гравитации в сферических координатах вместо метода Рунге-Кутта, в связи с неточностью последнего метода интегрирования при значения полярного угла близких к π.
Приложение 2
А. Программа в классической теории гравитации И. Ньютона:
Полный код программы (2-мерная система координат):
Newton's_Gravity_Code.txt
Полный код программы (3-мерная система координат):
Newton's gravity Code (3d).txt
Полный код программы (сферическая система координат):
Newton's_Gravity Code (r, φ).txt
Б. Пример работы программ в координатах (x, y)
Первая программа:
Вторая программа:
В. Программа в ОТО
Полный код программы (сферическая система координат):
General_Relativity Code (r, φ).txt
Г. Результаты сравнения - Графики с зондом Паркер и сверхмассивной чёрной дырой TON-618
1) График по Ньютоновской теории гравитации:
Двумерный график орбиты (данные зонда Паркер):
2) График по ОТО:
Двумерный график орбиты (данный зонда Паркер):
3) График по данным от сверхмассивной чёрной дыры TON-618. Сдвиг перигелия орбиты визуально виден:
Приложение 3
Тезаурус работы
1. Явления и теории
Геодезические линии для траекторий тел в ОТО - геодезические линии, соответствующие мировым линиям физических тел, скорость которых меньше скорости света, оказываются линиями наибольшего собственного времени тела.
Девиация Геодезических Линий - наблюдаемое отклонение Геодезических линий от нормы (от предполагаемой нормы).
Классическая теория гравитации И. Ньютона - закон, описывающий гравитационное взаимодействие тел в рамках классической механики. Этот закон был открыт Ньютоном около 1666 года, опубликован в 1687 году в «Началах» Ньютона. На данный момент признаётся устаревшим.
Метод Квадратур Гаусса-Чебышева - метод интегрирования, в котором большая точность достигается путём введения отдельной функции, в которой интеграл видоизменяется за счёт усложнения аргумента. (Использовался в программе в связи с необходимостью интегрировать очень большое и сложное уравнение, что встроенные в библиотеки питона функции по интегрированию не смогли сделать)
Метод Рунге-Кутта (4 порядка) - метод интегрирования, разбивающий шаг интегрирования на 4 точки, значение интеграла в каждой из которых вычисляется по определённой формуле.
Общая Теория Относительности - общепринятая в настоящее время теория тяготения, описывающая тяготение как проявление геометрии пространства-времени. Предложена Альбертом Эйнштейном в 1915–1916 годах.
Радиус Шварцшильда - представляет собой характерный радиус, определённый для любого физического тела, обладающего массой: это радиус сферы, на которой находился бы горизонт событий, создаваемый этой массой (с точки зрения ОТО), если бы она была распределена сферически симметрично, была бы неподвижной (в частности, не вращалась, но радиальные движения допустимы) и целиком лежала бы внутри этой сферы. Введён в научный обиход немецким учёным Карлом Шварцшильдом в 1916 году.
Тензор кривизны пространства-времени - величина, определяющая кривизну пространства-времени. Кривизна пространства-времени — физический эффект, проявляющийся в девиации геодезических линий, то есть в расхождении или сближении траекторий свободно падающих тел, запущенных из близких точек пространства-времени.
Специальная Теория Относительности - теория, описывающая движение, законы механики и пространственно-временные отношения при произвольных скоростях движения, меньших скорости света в вакууме, в том числе близких к скорости света (в рамках специальной теории относительности классическая механика Ньютона является приближением низких скоростей).
2. Определения понятий
Скорость света - аксимальная скорость, которую может достичь частица (из СТО). Численно равна 299 млн м/c.
Пространство-время - физическая модель, дополняющая пространство равноправным временным измерением и таким образом создающая теоретико-физическую конструкцию, которая называется пространственно-временным континуумом.
Четырёхмерное пространство - пространство, в котором есть четыре мировых оси.
Инертная масса тела - масса тела, определённая через 2 закон Ньютона.
Гравитационная масса тела - Масса тела, определённая через силу тяготения.
Перигелий - ближайшая к звезде точка орбиты небесного тела.
Гравитационная постоянная - фундаментальная физическая постоянная, константа гравитационного взаимодействия.
Зонд Паркер - автоматический зонд NASA для изучения короны Солнца. Самый близкий к Солнцу рукотворный объект. При превом пролёте вокруг звезды (всего их больше 17 и они отличаются друг от друга) имел перигелий в 15 млн км и афелий в 140 млн км (первым пролётом считается достроенная до эллипса часть орбиты пути зонда от Земли до первого максимального приближения к Солнцу).
Афелий - самая дальняя от звезды точка орбиты небесного тела.