XIX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Фракталы - гармония хаоса

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Алексеев Р.А. 1

---

1МБОУ гимназия №1 г.Задонска

Небабина С.Ю. 1

---

1МБОУ гимназия №1 г.Задонска

Работа в формате PDF

2.8 MB

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

1. Введение

Природа всегда поражала исследователей своей красотой и необычайностью своих изобретений. Фракталы – одно из чудес природы, о котором слышали немногие, но кто хотя бы раз видел фракталы – удивительно красивые и таинственные геометрические объекты, тот надолго заболел этим интересным и захватывающим научным открытием.

В отличие от конца XIX начала XX веков, в наше время фракталы довольно хорошо изучены и широко применяются в различных областях человеческой деятельности. С помощью теории фракталов стали объяснять эволюцию галактики и развитие клетки, возникновение гор и облаков, движение цен на бирже и развитие общества и семьи. Фрактальные алгоритмы используются в информационных технологиях. Программисты и специалисты в области компьютерной техники без ума от фракталов, так как эти объекты бесконечной сложности и красоты могут быть сгенерированы простыми формулами на простых домашних компьютерах.

Увидев однажды изображения, построенные на основе фракталов, я задумался: «Смог бы я сам на домашнем компьютере создать нечто подобное?». Поставив перед собой эту проблему, я выдвинул гипотезу: фракталы – геометрические объекты, которые может построить любой школьник с помощью компьютерных технологий.

Цель: «Научиться строить фрактальные изображения с помощью компьютерных программ».

Объект исследования: изобретение человека, математические абстракции, геометрические объекты.

Задачи:

1. Проработать литературу по теме исследования и понять, что такое фрактал.

2. Рассмотреть природные явления и объекты с точки зрения проявления в них фракталов.

3. Привести примеры применения фракталов в жизни современного человека.

4. Исследовать программные продукты, позволяющие создавать фракталы на компьютере.

5. Изучить приемы создания фракталов с помощью графического редактора Gimp и построить собственный.

Актуальность: фракталы помогают научному обществу изучить более сложные объекты, процессы и явления природы, а также творческим людям выразить свои мысли и чувства, строя причудливые и фантастические картины.

3. Что такое фрактал?

Задумывались ли вы когда-нибудь, что общего у дерева, берега моря, облаков или кровеносных сосудов у нас в организме?

Однако на самом деле существует одно свойство структуры, присущее всем перечисленным предметам: они самоподобны. От ветки, как и от ствола дерева, отходят отростки поменьше, от них — еще меньшие, и т. д., то есть ветка подобна всему дереву. Подобным же образом устроена и кровеносная система: от артерий отходят артериолы, а от них — мельчайшие капилляры, по которым кислород поступает в органы и ткани. Это свойство объектов американский математик Бенуа Мандельброт в 1982г назвал фрактальностью, а сами такие объекты — фракталами (от латинского «fractus» – разбитый, дробленый, изломанный).

Работая в IBM математическим аналитиком, он изучал проблему больших потерь данных при передаче их на расстояние из-за возникающих шумов в электронных схемах. Просматривая результаты измерения шума, Мандельброт обратил внимание на одну закономерность – графики шумов в разном масштабе выглядели одинаково независимо от того был ли это график шумов за один день, неделю или час. Постепенно сопоставив факты, он пришел к открытию нового направления в математике – фрактальной геометрии.

Изучением и описанием этого явления в математике занимались многие ученые еще задолго до открытия Мандельброта. О принципах самоподобия упоминалось еще в трудах Лейбница и Кантора. Многие пытались построить числовые множества на основе простой рекурсивной формулы. Но для этого нужно проделать огромное количество вычислений, что вручную сделать практически нереально.

Все изменилось, когда появились компьютеры. Мандельброт был первым, кто использовал компьютер для просчета классического фрактала. Но он не просто обработал многомиллионную числовую последовательность, а еще и перенес результаты на график. Вот тут и помогло, данное ему от природы не стандартное видение окружающего. Бенуа неоднократно говорил, что он не занимается формулами, а просто играет с картинками. Этот человек мыслил очень образно, а любую алгебраическую задачу переводил в область геометрии, где, по его словам, правильный ответ всегда очевиден.

То, что он получил, представлено в приложении 1.

Впоследствии это изображение было раскрашено и стало одним из самых популярных изображений, какие только были созданы человеком и получило название «Множество Мандельброта» (приложение 2).

4. Природные явления и объекты с точки зрения проявления

в них фракталов.

В природе фрактальными свойствами обладают многие объекты, например: кроны деревьев, цветная капуста, облака, кристаллы, снежинки, элементы которых выстраиваются в одну сложную структуру.

Ярким примером фрактала в природе является «Романеску», она же «романская брокколи» или «цветная коралловая капуста» (приложение 3). Если срезать один из цветков, очевидно, что в руках остаётся всё та же цветная капуста, только меньшего размера. Можно продолжать резать снова и снова, даже под микроскопом – однако все, что мы получим – это крошечные копии цветной капусты.

Фрактальные морские животные. Осьминог – морское придонное животное из отряда головоногих (приложение 4). Взглянув на его фотографию, очевидно фрактальное строение его тела и присосок на всех восьми щупальцах этого животного. Моллюск Главк – родственник улиток, это брюхоногий голожаберный моллюск (приложение 5). Этот фрактал встречается во всех океанах тропического пояса. Каждый из нас хотя бы раз в жизни держал в руках и с неподдельным детским интересом рассматривал морскую раковину (приложение 6). Когда смотришь на это спиралевидное образование беспозвоночных моллюсков, нет никаких сомнений в его фрактальной природе. Еще одни типичнейшим представителем фрактального подводного мира является коралл (приложение 7).

Папоротник так же является хорошим примером фрактала среди флоры (приложение 8). Павлины всем известны своим красочным опереньем, в котором спрятаны сплошные фракталы (приложение 9). Лёд, морозные узоры на окнах это тоже фракталы (приложение 10).

Фракталы на кухне. Фрактал, от которого плачут. Салатный лук сиреневого цвета навел на размышления о природной фрактальности этого овоща (приложение 11). Конечно, фрактал он незамысловатый, обычные окружности разного диаметра, можно даже сказать примитивнейший фрактал.

5. Применение фракталов в жизни современного человека.

Фракталы в народном творчестве. Присмотревшись внимательней, с уверенностью можно сказать, что традиционная русская игрушка-сувенир «Матрешка» - типичный фрактал. Принцип фрактальности очевиден, когда все фигурки деревянной игрушки выстроены в ряд, а не вложены друг в друга. (приложение 12).

На первый взгляд человек не обладает выраженной фрактальной внешностью. Но стоит заглянуть внутрь – все встает на свои места. Кровеносная, дыхательная, нервная система, сетчатка глаза – это самый беглый список биологических фракталов, которые присутствуют в каждом человеке (приложение 13).

Со времени возникновения теории прошло не более трети века, но за это время фракталы для многих исследователей стали внезапным ярким светом в ночи, которые озарил неведомые доселе факты и закономерности в конкретных областях данных. С помощью теории фракталов стали объяснять эволюцию галактик и развитие клетки, возникновение гор и образование облаков, движение цен на бирже и развитие общества и семьи. В физике фракталы используют при моделировании нелинейных процессов, таких как турбулентное течение жидкости, пламя, облака. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов. В компьютерной графике фракталы широко применяются для построения изображений природных объектов, таких как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей, при этом добиваясь очень правдоподобной реалистичности и небольших объемов данных.

Фракталы в литературе. Среди литературных произведений находят такие, которые обладают фрактальной природой, т.е. вложенной структурой самоподобия и бесконечно повторяющимися элементами текста: «У попа была собака…», «Притча о философе, которому снится, что он бабочка, которой снится, что она философ, которому снится…», «У Пегги был весёлый гусь…» и «Дом, который построил Джек» (приложение 14).

Фракталы в психологии. Оказывается, фракталы очень активно используются психологами в диагностике физического и эмоционального состояния человека. Один из таких методов называется – метод фрактального рисунка.

Учеными давно установлено, что человек обладает энергетической оболочкой – аурой. Вокруг каждого человека наблюдается свое неповторимое сочетание цветов и в разном физическом и эмоциональном состоянии это сочетание разное.

Основа метода такова: человек начинает рисовать, закрыв глаза, спокойно, с большим количеством пересечений по горизонтали, вертикали и диагонали, выполняя круговые, овальные и любые другие геометрические фигуры, не допуская частых поворотов. Затем с закрытыми глазами выбрать по очереди разноцветные карандаши и каждым выбранным закрасить некоторое количество ячеек, но не более 10-15. Цвета, преобладающие во фрактальном рисунке, являются цветами, преобладающими и в ауре автора. По полученному рисунку специалист может четко охарактеризовать характер, обозначить проблемы человека, а также откорректировать их. Также этот метод после апробации на многих людях показал, что он не только значительно улучшает эмоциональное, психологическое и физическое состояние, но и способствует духовному росту и развитию внутренних способностей личности (приложение 15).

Еще одна методика, которая меня заинтересовала, использующая фракталы, называется «Драконовы ключи». Эта методика в первую очередь диагностика интеллекта и эмоциональной сферы ребенка, а также развитие и коррекция коммуникативных навыков.

Данная методика состоит из серии рисунков основанных на фрактальной схеме матрицы. Все рисунки сконструированы таким образом, что взаимодействие с ними проявляет и активизирует разнообразные и разноуровневые скрытые творческие возможности человека (приложение 16).

Эффект не заставит себя долго ждать. Это проявляется в потоке вопросов, фантазий, а иногда дети даже поют, играя и изучая рисунки. У ребенка появляются собственные творческие стремления и не только в сфере рисования. Конструкция рисунков, заданная фрактальность их деталей развивает мелкую моторику рук и повышает способность к концентрации.

6. Компьютерные программы, позволяющие создавать фракталы

Фрактальная живопись – одно из направлений современного арта, популярное среди цифровых художников. Фрактальные картины необычно и завораживающе действуют на зрителя, рождая яркие пылающие образы. Сказочные абстракции создаются посредством скучных математическим формул, но воображение воспринимает их живыми.

Одним из самых простых способов сегодня получить фрактальный узор – это воспользоваться различными программами, которых в современном компьютерном мире огромное количество от простейших онлайновых редакторов до мощнейших платформ с огромным набором возможностей графики.

 Примером онлайнового векторного редактора является разработка от молодого талантливого программиста Toby Schachman. В ней имеется всего две простейших формы — четырехугольник и круг. Их можно добавлять на холст, масштабировать и вращать. Перекрываясь по принципу булевых операций сложения, эти простейшие элементы образуют новые, менее тривиальные формы. Далее эти новые формы можно добавлять в проект, а программа будет повторять генерирование этих изображений до бесконечности. (приложение 17)

 В тех случаях, когда необходимо построить математически точный фрактал, на помощь придет кроссплатформенный редактор XaoS. Эта программа дает возможность не только строить самоподобное изображение, но и выполнять с ним различные манипуляции. Например, в режиме реального времени вы можете совершить «прогулку» по фракталу, изменив его масштаб. (приложение 18)

 По сравнению с другими генераторами изображений фракталов Fractal Zoomer имеет несколько преимуществ. Во-первых, он совсем небольшой по размеру и не требует установки. Во-вторых, в нем реализована возможность определять цветовую палитру рисунка и можно выбирать оттенки в цветовых моделях RGB, CMYK, HVS и HSL. Fractal Zoomer может визуализировать 85 различных фрактальных функций, причем в меню программы наглядно показываются формулы. (приложение 19)

 Когда употребляется термин «фрактал», чаще всего подразумевается плоское двухмерное изображение. С помощью программы Mandelbulb3D можно создать 3D-объекты. Она представляет собой самый настоящий трехмерный редактор, который моделирует фрактальные поверхности разных форм. Поскольку в природе мы часто наблюдаем фрактальные узоры, то искусственно созданный фрактальный трехмерный объект кажется невероятно реалистичным и даже «живым». (приложение 20) Он может походить на растение, может напоминать странное животное, планету или что-нибудь другое. Этот фрактальный редактор еще и позволяет создавать анимацию.

 Еще один мультипроцессорный генератор трехмерных фракталов - Incendia.

Incendia поддерживает двойное сглаживание изображения, содержит библиотеку из полусотни различных трехмерных фракталов и имеет отдельный модуль для редактирования базовых форм, поддерживается создание анимации. (приложение 21) Incendia позволяет экспортировать фрактальную модель в популярные форматы трехмерной графики, экспортированные модели могут быть использованы в 3D-проектах при работе с такими трехмерными редакторами, как Blender, 3ds max и прочие.

 Еще хотелось бы рассказать о необычном приложении, работа над которым только ведется. Проект под названием Aural придумал тот же человек, что и Incendia. Правда, на этот раз программа не визуализирует фрактальное множество, а озвучивает его, превращая в электронную музыку. Aural — это аудиоредактор, генерирующий мелодии с использованием фрактальных алгоритмов, то есть, по сути, это звуковой синтезатор-секвенсор.

7. Создание собственных фракталов с помощью графического редактора Gimp.

Эксперимент

Теперь, когда я понял что такое фрактал и как его строить, я попробовал создать свои собственные фрактальные изображения в программе Gimp

С начала я создал основную деталь. Для этого на черном фоне я сделал круглое выделение и залил его градиентом «основной в фоновый». Затем применил к нему следующие настройки: "Фильтры" - "Свет  и тень" - "Хach-эффект". На следующем слое выделение залил белым и применил настройки "Фильтр" - "Визуализация" - "Облака" - "Разностные облака", режим облачного слоя сменил на "Направленный свет" и слил все слои, кроме фона.

Затем скопировал слой с деталью 3 раза и расположил детали вокруг увеличенной основной и снова объединил все слои, кроме фона.

Затем, много раз выполнив последовательность действий:

1. Дублировать слой с элементом (кругами).
   2. Повернуть полученный элемент на несколько градусов (я возьму 10).
   3. Немного уменьшить изображение (беру 5 единиц)
   4. Чуть сдвинуть элемент.
   5. Повторять последовательность этих действий, каждый раз дублируя последний полученный слой, я получил следующий элемент.

В результате получилось:

Дальше я скопировал этот элемент 2 раза и повернул:
 

С этим элементом я поступил так: скопировал слой, уменьшил, повернул и тонировал и так несколько раз. Слои относительно центра не смещались. В итоге получился вот такой «цветочек»:

Е сли с этом цветком делать то же, что и с элементом из кругов, то можно получить рисунок, которым можно украшать картинки, использовать в качестве фона, элементом украшения одежды и кучи всего другого)

Заключение.

Помимо той полезной роли, которую играет фрактальная геометрия при описании сложности природных объектов, она предлагает ещё хорошую возможность популяризации математических знаний. Понятия фрактальной геометрии наглядны и интуитивны. Её формы привлекательны с эстетической точки зрения и имеют разнообразные приложения. Поэтому фрактальная геометрия, возможно, поможет опровергнуть взгляд на математику как на сухую и недоступную дисциплину и станет дополнительным стимулом для учащихся в освоении этой интересной и увлекательной науки.

Даже сами учёные испытывают почти детский восторг, наблюдая за быстрым развитием этого нового языка — языка фракталов.

Инженеры проектируют акустические системы в виде раковины, создают антенны с геометрией снежинок и так далее. Ученые уверены, что фракталы хранят в себе еще немало секретов, и многие из них человеку еще лишь предстоит открыть.

    Роль фракталов в машинной графике сегодня достаточно велика, и я убедился в этом, выполняя исследовательскую работу, в ходе которой научился строить некоторые виды фракталов, узнал, что существуют специальные программы для моделирования фракталов, убедился в том, что область применения фракталов чрезвычайно велика. Они приходят на помощь, например, когда требуется, с помощью нескольких коэффициентов, задать линии и поверхности очень сложной формы.

Нельзя не отметить широкое применение фракталов в компьютерных играх, с помощью фракталов создаются множество спецэффектов, различных сказочных и невероятных картинок и т.д. Также с помощью фрактальной геометрии рисуются деревья, облака, берега и вся другая природа.(приложение 22) Фрактальная графика необходима везде, и развитие "фрактальных технологий" – это одна из немаловажных задач на сегодняшний день.

Фрактальная наука еще очень молода, и ей предстоит большое будущее. Красота фракталов далеко не исчерпана и еще подарит нам немало шедевров – тех, которые услаждают глаз, и тех, которые доставляют истинное наслаждение разуму.

Список литературы.

1. http://ru.wikipedia.org;

2. http://lib.mexmat.ru/books/419/s2

3. http://ru.wikipedia.org/wiki/Фрактал

4. http://3dfractal.ru/stati-o-fraktalah/31.html

5. http://images.yandex.ru/yandsearch?text=фракталы&stype=image&lr=213&noreask=1&source=wiz

6. http://ru.wikipedia.org/wiki/%D4%F0%E0%EA%F2%E0%EB

7. http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_physics/5123/ФРАКТАЛЫ

8. http://fract.narod.ru;

9. http://sakva.narod.ru/fractals.htm#History;

10. http://www.fractalus.com/galleries/

Приложение 1.

Приложение 2.

Приложение 3. Приложение 4.

Приложение 5. Приложение 6.

Приложение 7. Приложение 8.

Приложение 9. Приложение 10.

Приложение 11. Приложение 12.

Приложение 13.

Приложение 14.