"Квадрат Пирсона"при решении задач на смеси,сплавы и растворы

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Ковтун С.Л. 1

---

1МБОУ СОШ № 4,г.Радужный,ХМАО-Югра

Гусейнова Р.А. 1

---

1МБОУ СОШ № 4,гш.Радужный,ХМАО-Югра

Работа в формате PDF

3.4 MB

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

Математика на сегодняшний день всё чаще проникает в повседневную реальную жизнь и научный язык, всё более глубже внедряется в традиционно далекие от неё сферы.

В современном мире существует ряд отраслей промышленности, в которых применяется смешивание растворов, смесей и сплавов. Это – пищевая, фармацевтическая, нефтегазовая, химическая отрасли. В быту люди постоянно сталкиваются с проблемами, как правильно приготовить маринад для консервирования, как смешать в правильных пропорциях клей для обоев, как разбавить уксусную кислоту для употребления в пищу.

Решение задач на смеси, сплавы, растворы вызывают у обучающихся затруднения, поэтому, решать их умеют немногие. В заданиях по математике ВПР за 8 класс есть такие задачи (задача № 11), в КИМах ОГЭ по математике в 9 классе (задание № 21), в КИМах ЕГЭ по математике в 11 классе (на базовом уровне задание № 21, на профильном уровне задание № 9). Для решения обозначенной проблемы необходимо осуществить поиск эффективного способа решения задач на смешивание растворов, смесей и сплавов, что и определяет актуальность данного исследования. Новизна работы заключается в применении метода «квадрат Пирсона» в школьной программе.

В последние годы в научной литературе нашло свое отражение описание метода «квадрат Пирсона» для смешивания двух растворов [1, 2]. Для смесей из трех сплавов вопрос применения данного метода в научном сообществе остается открытым.

Гипотеза: «квадрат Пирсона» можно использовать при решении задач на смешивание трех растворов.

Объект исследования: квадрат Пирсона.

Предмет исследования: применение «квадрата Пирсона» при решении задач на сплавы, смеси и растворы.

Цель исследования: изучить метод «квадрат Пирсона» для решении задач на смеси и сплавы. Исходя из цели исследования были определены задачи:

изучить основные методы решения задач на смеси, сплавы, растворы;

исследовать метод «квадрат Пирсона» и определить его практическое применение при решении задач на смеси, сплавы и растворы;

определить эффективный способ решения задач на сплавы, смеси и растворы.

В ходе исследования использовались теоретические методы исследования – анализ, синтез, классификация, а также эмпирические методы – сравнение, эксперимент.

Глава 1. Основные методы решения задач на сплавы, смеси и растворы.

Чтобы правильно понимать условия задач и тем самым прийти к верному решению, необходимо знать следующие понятия и определения:

все получающиеся сплавы или смеси однородны;

при решении таких задач считается, что масса смеси нескольких веществ равна сумме масс компонентов;

процент – одна сотая любого вещества;  

понятие процентного содержания (концентрации) вещества.

Все задачи на смеси, сплавы, растворы можно разделить на 3 группы:

на вычисление концентрации;

на вычисление количества чистого вещества в смеси (или сплаве);

на вычисление массы смеси (сплава).

Для решения задач на смеси и сплавы существуют много различных методов. Чаще всего используют следующие методы решения задач на сплавы, смеси и растворы:

табличный;

арифметический;

алгебраический;

с помощью формулы[3]

Определение выбора метода решения задач зависит от ее условия и от сложности задачи. Любую задачу можно решить несколькими способами, но не каждый способ будет рациональным и малозатратным.

Примеры решения задач на смеси, сплавы и растворы основными методами рассмотрены в Приложении 1.

Глава 2. Карл Пирсон и его «квадрат»

Существует еще один мало кому известный способ решения задач на смеси и сплавы под названием «квадрат Пирсона» [4].

Первооткрывателем данного метода является британский математик Карл Пирсон [5]. Он родился 27 марта 1857 года в Лондоне. В возрасте 9 лет Пирсон был отправлен в школу университетского колледжа в Лондоне, где он учился до 16 лет. В 1875 году занял второе место на экзаменах в Кембридж и получил стипендию в Королевский колледж.

«Квадрат Пирсона» – это механический способ при решении задач на концентрацию, который позволяет рационально и экономно проводить вычисления, что особенно ценно на ГИА.Этот способ имеет ещё два названия: химики называют этот способ «правило креста» или «конверт Пирсона». «Квадрат Пирсона» имеет предельно общий характер и применяется практически во всех естественных науках [6].

Так что же представляет из себя «квадрат Пирсона» и каков алгоритм решения задач с помощью этого способа? Изучение способа «квадрат Пирсона» позволило составить алгоритм решения задач на смеси и сплавы.

Алгоритм решения задач методом «квадрат Пирсона»:

начертить квадрат и провести в нем диагонали;

в верхнем левом углу квадрата с одной стороны записываем процентное содержание вещества в 1 м растворе (х₁ %), с другой стороны массу этого вещества m_1;

в нижнем левом углу квадрата с одной стороны записываем процентное содержание вещества во 2 м растворе (х₂ %), с другой стороны массу этого вещества m_2;

в точке пересечения диагоналей сверху записываем концентрацию полученной смеси с %, снизу общую массу смеси m (m₁₊ m₂);

находим разность с-х₂ по первой диагонали и записываем её в правом верхнем углу_;

находим разность х₁-с по второй диагонали и записываем её в нижнем правом ;

полученные разности необходимо умножить на соответствующие массы исходных растворов и сумма этих выражений будет равна 0; + ( )=0 (1)

Если заполнить следующую таблицу:

Из таблицы вытекает следующее равенство: + =cm (2) .Можно сделать вывод, что 1 и 2 формулы равносильны.

Таким образом, наряду с основными способами решения задач на смеси, сплавы и растворы существует «квадрат Пирсона».

Глава 3. Практическое применение метода «квадрат Пирсона»

3.1. Применение «квадрата Пирсона» при решении задач на смеси, сплавы и растворы

Изучив теоретическую основу решения задач на смеси и сплавы «квадратом Пирсона», данный метод был апробирован на практике на задачах из банка заданий ОГЭ, ЕГЭ [7,8].

9

5х=10у

х=2у | : у

=

класс, РЕШУ ОГЭ  № 314395 Имеется два сплава с разным содержанием меди: в 1-м содержится 60%, а 2-м – 45% меди. В каком отношении надо взять 1-й и 2-й сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 55% меди?

60x+45у=55(х+у)

60х+45у=55х+55у

60х-55х=55у-45у

Ответ: 2:1

11 класс, профиль, РЕШУ ЕГЭ № 526011Имеется два сплава. 1-й содержит 15% никеля, 2-й  – 35% никеля. Из этих двух сплавов получили 3-й сплав массой 140 кг, содержащий 30% никеля. На сколько кг масса первого сплава была меньше массы второго?

1) 15⸱х+35⸱(140-х)=30⸱140

15х+4900-35х=4200

15х-35х=4200-4900

-20х= -700

х=35 (кг)-1 раствор

2) 140-35=105 (кг)-2 раствор

105-35=70 (кг)

Ответ: 70

9 класс, РЕШУ ОГЭ  № 316357 1 сплав содержит 5% меди, второй  – 13% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 4 кг. Из этих двух сплавов получили 3-й сплав, содержащий 10% меди. Найдите массу 3-го сплава.

1) 5x+13(х+4)=10(2х+4)

5х+13х+52=20х+40

5х+13х-20х=40-52

-2х=-12

х=6 –масса 1 раствора

2) 6+4=10 кг-масса 2 го раствора

6+6+4=16 кг-масса 3 го раствора

Ответ: 16

После практического разбора задач, возник вопрос: «Какой способ все-таки эффективный и малозатратный при решении подобных задач?». Было принято решение провести эксперимент для того, чтобы ответить на этот вопрос. (Приложение 2). Эксперимент проводился в универсальной группе с углубленным изучением химии и биологии 10А класса. Эксперимент длился на протяжении 1 месяца (Приложение 3).

Данный эксперимент показал, что эффективным способом решения задач на смеси и сплавы является «квадрат Пирсона» по сравнению с основными способами решения задач (Приложение 4). И, тем не менее, вопрос какой способ все-таки эффективный оставался открытым, поэтому было принято решение составить сравнительный сборник, в котором м ожно было сопоставить основной способ решения задач на сплавы и «квадрат Пирсона». Цель сборника:показать на примере решения некоторых математических, химических и практико-ориентированных задач, эффективность метода «квадрата Пирсона» по сравнению с традиционными способами решения задач¹.

3.2. Решение задач «квадратом Пирсона» на смешивание 3-х растворов

Для решения задач на смешивание двух растворов однозначно данный метод очень эффективен. Но можно ли применить его при решении задач для смешивания трех растворов?

При решении задач на смешивание 3-х растворов методом «квадрат Пирсона» в квадрате помимо диагоналей, нужно провести 3-й отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей и параллельный горизонтальным сторонам квадрата.

11 класс-ЕГЭ профиль, Ященко И.В., 4 вариант, задание № 11

24⸱3+48⸱х+32 =40⸱(7+х)

72+48х+128=280+40х

48х-40х=280-72-128

8х=80

х=10

Смешали 3 кг 24-процентного раствора, 4 кг 32-процентного раствора и некоторое количество 48-процентного раствора одного и того же вещества. Сколько кг 48-процентного раствора использовали, если в результате получили 40-% раствор вещества?

Ответ: 10

1

+

6х=330, х=55

1 класс, профиль, РЕШУ ЕГЭ № 109255 Смешав 8-% и 26-% растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 16-% раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-% раствора той же кислоты, то получили бы 20-% раствор кислоты. Сколько кг 8-% раствора использовали для получения смеси?

О твет: 55

Таким образом, «квадрат Пирсона» является наиболее эффективным и универсальным способом решения задач на смешивание 2-х и 3-х растворов.

Заключение

 Решение текстовых задач является необходимым умением при изучении математики. Задачи на сплавы, смеси и концентрацию – один из наиболее сложных для учеников видов задач, решение которых вызывает затруднения.

Проведенное исследование позволяет сделать следующие выводы:

для решения задач на смеси, сплавы и растворы существуют как основные методы (табличный, алгебраический, арифметический, с помощью формулы), так и метод «квадрат Пирсона»;

метод «квадрат Пирсона» можно использовать для решения задач при смешивании как 2-х, так и 3-х растворов;

метод «квадрат Пирсона» является эффективным и универсальным способом решения задач на смеси, сплавы и растворы.

Таким образом, гипотеза, выдвинутая в начале исследования, нашла свое подтверждение.

Теоретическая значимость проведенного исследования заключается в использовании метода «квадрат Пирсона» в различных научных областях, в быту, в салонах красоты, в медицине, в лабораториях нефтегазовой отрасли, на производстве различной пищевой продукции. (Приложения 5,6). 

Практическая значимость заключается в составлении сборника задач на сплавы, смеси и растворы, в котором показаны примеры решения математических, химических и практико-ориентированных задач, как традиционными способами решения задач, так и методом «квадрат Пирсона».

Список используемой литературы

Научно-методический журнал «Образование в Кировской области» 2016. № 3 (39).С. 65-69 [Электронный ресурс]. Режим доступа: https://elibrary.ru/download/elibrary_27442570_92876412.pdf(дата обращения 26.12.2022).

Сборник трудов IV Всероссийской научно-практической конференции (с международным участием). Ответственный редактор С.С. Салаватова. 2017 Издательство: Стерлитамакский филиал ФГБОУ ВО "Башкирский государственный университет". [Электронный ресурс]. Режим доступа: https://elibrary.ru/download/elibrary_34898311_57245004.pdf (дата обращения 27.12.2022).

Прокопенко Н.И. Задачи на смеси и сплавы.– М.: Чистые пруды, 2010. (Библиотечка «Первого сентября». Выпуск 31)

Научно-популярный физико-математический журнал "Квант".1973 г, № 3. [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://kvant.mccme.ru/1973/03/kvadrat_pirsona.htm (дата обращения 07.01.2023).

Журнал «Семь искусств». Номер 8(21)-2011. [Электронный ресурс]. Режим доступа: https://7iskusstv.com/2011/Nomer8/OShejnin1.php (дата обращения 07.01.2023)

Научно-методический журнал «Химия. Все для учителя!» № 4 (4) апрель 2011 г. [Электронный ресурс]. Режим доступа: https://www.e-osnova.ru/PDF/osnova_6_4_361.pdf (дата обращения 08.01.2023)

Решу ЕГЭ. Образовательный портал для подготовки к экзаменам.

https://math-ege.sdamgia.ru/test?category_id=88&filter=all.

Решу ОГЭ. Образовательный портал для подготовки к экзаменам.

https://oge.sdamgia.ru/test?theme=79

Приложения

Приложение 1

Основные способы решения задач на сплавы, смеси и растворы

Табличный способ

Задача 1.

Сколько нужно добавить воды в сосуд, содержащий 400 г 70 % -го раствора уксусной кислоты, чтобы получить 8 % раствор уксусной кислоты?

Решение.

Составляем уравнение:

0,08(400 + х) = 0,7·400

36 + 0,08х = 280

0,08х = 280

х = 3500 (г)

Ответ: 3,5 кг воды.

Арифметический способ

Задача 2.

В сосуд, содержащий 8 литров 24-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 4 литра воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение.

Объем увеличился в 1,5 раза (было 8 л., стало 12 л. 12:8 = 1,5), содержание вещества не изменилось, поэтому процентная концентрация получившегося раствора уменьшилась в 1,5 раза. 24:1,5= 16 (%).

Ответ: 16 %.

Алгебраический способ

Задача 3.

Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй  — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?

Решение.

Пусть масса первого сплава х кг, а масса второго − у кг. Тогда массовое содержание никеля в первом и втором сплавах 0,1х и 0,3у соответственно. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. Получаем систему уравнений:

-2у = -300

у=150 (кг)- масса 2 раствора.

х=200-150=50 (кг)-масса 1 раствора.

150-50=100 (кг)

Таким образом, первый сплав легче второго на 100 килограммов.

Ответ: 100.

С помощью формулы

З адача 4.

Смешали 4 литра 15-процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение.

Концентрация раствора равна

Объем вещества в 1 растворе равен 0,15⸱4=0,6 литра.  

Объем вещества во 2 растворе равен 0,25⸱6=1,5 литра.

Таким образом, концентрация полученного раствора равна: 

Ответ: 21 %

Приложение 2

Приложение 3

Эксперимент по выявлению эффективного способа решения задач на сплавы, смеси и растворы

Эксперимент 1 (дата 01.02.23)

Испытуемые: универсальная группа с углубленным изучением химии и биологии 10 а класса, 14 обучающихся. Обучающиеся с хорошими способностями обучения, обучаются на «4» и на «5».

Процедура: эксперимент проводился в 2 этапа.

1 этап

На 1 этапе дали испытуемым решить 3 задачи из открытого банка заданий ЕГЭ с разным уровнем сложности на смеси, сплавы и растворы.

2 этап

На 2 этапе я рассказал о «Квадрате Пирсона», раздал обучающимся памятки с алгоритмом решения задач «квадратом Пирсона» и образцом решения некоторых задач.

Вывод: из 14 обучающихся 10 А класса с решением задач на смеси, сплавы и растворы основными методами («квадрат Пирсона» обучающимся на этом этапе не был знаком) справились:

с задачей № 1 – 3 обучающихся

с задачей № 2 – 1 обучающийся

с задачей № 3 – 0 обучающийся.

Эксперимент 2 (дата 16.02.23)

Испытуемые: универсальная группа с углубленным изучением химии и биологии 10 А класса, 12 обучающихся. Обучающиеся с хорошими способностями обучения, обучаются на «4» и на «5».

Процедура: дали испытуемым решить 3 задачи с разным уровнем сложности на смеси, сплавы и растворы (в эксперимент 2 были включены задачи немного сложнее, чем в эксперименте 1). Право выбора метода решения задач – за учащимися 10А.

Примечание. «–» означает, то традиционные методы решения задач на сплавы, смеси и растворы никто не выбрал.

Вывод: из 12 обучающихся 10 А класса с решением задач на смеси, сплавы и растворы справились:

с задачей № 1 – 10 обучающихся

с задачей № 2 – 7 обучающийся.

с задачей № 3 – 2 обучающийся.

Все 12 обучающихся для решения задач выбрали «квадрат Пирсона».

Эксперимент 3 (дата 01.03.23)

Испытуемые: универсальная группа с углубленным изучением химии и биологии 10 А класса, 12 обучающихся. Обучающиеся с хорошими способностями обучения, обучаются на «4» и на «5».

Процедура: дали испытуемым решить 3 сложные задачи на смеси, сплавы и растворы из различных сфер жизнедеятельности. Право выбора метода решения задач – за учащимися 10А.

Вывод: из 12 обучающихся 10 А класса с решением задач на смеси, сплавы и растворы справились:

с задачей № 1 – 10 обучающихся

с задачей № 2 – 9 обучающийся.

с задачей № 3 – 4 обучающийся.

Практически все обучающиеся выбрали для решения задач выбрали «квадрат Пирсона», 1 обучающийся, решая задачу № 3 выбрал основной метод решения задач, но решил не верно.

Приложение 4

Эксперимент 1

Эксперимент 2

Эксперимент 3

Результаты эксперимента

Приложение 5

Практическое применение «квадрата Пирсона».

Химия

1. Вместе слили два раствора. Первый раствор, процентным содержанием 24%, имеет массу 30 граммов, а второй, процентным содержанием 12% - 75 граммов. Какой будет массовая доля серной кислоты?

2. Определить массу 10% раствора карбоната натрия, который нужно добавить к 1020г 2%-ного раствора, чтобы получить 3%-ный раствор.

Медицина

1. Требуется приготовить 100 г 10%-ного раствора нашатырного спирта. Сколько для этого потребуется воды и 25%-ного раствора нашатырного спирта?

2. Сколько граммов 35%-го раствора марганцовки надо добавить к 325 грамм воды, чтобы концентрация марганцовки в растворе составила 10%?

3. Анализ 150 л нашатырно-анисовых капель показал содержание аммиака 1,62%. Как довести раствор до требований стандарта (1,5%)?

В производстве нефтегазовой отрасли.

Для приготовления 1 литра смешанного спиртового раствора требуется смешать 500 мл- 75 % метилового спирта и 500 мл -99 % этилового спирта? Какова концентрация полученного раствора?

География

Имеется руда из двух пластов с содержанием меди 6% и 11%. Сколько «бедной» руды надо взять, чтобы получить при смешивании с «богатой» 20 т руды с содержанием меди 8%?

Физика

Один газ в сосуде А содержал 21 % кислорода, второй газ в сосуде В содержал 5 % кислорода. Масса первого газа в сосуде А была больше массы второго газа в сосуде В на 300 г. Перегородку между сосудами убрали так, что газы перемешались и получившийся третий газ теперь содержит 14 , 6 % кислорода. Найдите массу третьего газа. Ответ дайте в граммах.

Быт

1. Как из 9%-го раствора уксуса приготовить 2%-ый раствор, необходимый для маринада, т.е. сколько нужно добавить воды в 100 г 9%-го раствора уксуса, чтобы получить раствор для маринада?

2. Сколько граммов воды надо добавить к 180 г сиропа, содержащего  25% сахара, чтобы получить сироп, концентрация которого равна 20%?

3. Галина Ивановна имеет чай трёх сортов – цейлонский по 5 гривен за фунт, индийский по 8 гривен за фунт и китайский по 12 гривен за фунт. В каких долях надо смешать эти сорта, чтобы получить чай стоимостью 6 гривен за фунт?

Салон красоты

В парикмахерской имеется два раствора перекиси водорода: 30-процентный и 3-процентный. В каких соотношениях нужно их смешать так, чтобы получился 12-процентный раствор.

В производстве молочной продукции

Имеется творог двух сортов: жирный содержит 20% жира, а нежирный содержит 5% жира. Определите процент жирности полученного творога, если смешали: а) 2 кг жирного и 3 кг нежирного творога; б) 3 кг жирного и 2 кг нежирного творога.

Строительство

Имеется   27   килограммов смеси цемента с песком с   40%   содержанием цемента. Сколько килограммов песка нужно добавить в эту смесь, чтобы процентное содержание  цемента в ней стало   30% ? 

Приложение 6

Приложение 7