Геометрические методы при решении алгебраических задач

XIX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Личный портфель

Геометрические методы при решении алгебраических задач

Иванов В.А. 1
1МБОУ "Балезинская СОШ №1"
Проценко Д.Р. 1
1МБОУ "Балезинская СОШ №1"
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Диплом школьникаСвидетельство руководителя
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Все мы знаем, что геометрия и алгебра составляют вместе единое целое, называемое математикой. Также хорошо известно, что алгебраические методы широко используются при решении геометрических текстовых задач. Мы же в своей работе покажу как геометрические идеи и методы упрощают процесс решения не геометрических, а алгебраических задач. Кроме того, в своём исследовании мы подтвердили мысль о том, как широк и многообразен круг негеометрических задач, удачно решаемых применением тех или иных геометрических методов и геометрических идей.

Мой руководитель поставил передо мной следующую цель: подобрать и решить интересные алгебраические задачи, в которых используются геометрические методы и приёмы.

Основными задачами поставленной цели стали:

  1. Пользуясь дополнительной литературой по математике, найти и изучить способы и методы решения алгебраических задач.

  2. Исследовать каждую задачу, решив её геометрическими способами.

  3. Выявить и применить при решении более сложных задач наиболее рациональные способы и методы их решения.

  4. Оформить решения задач в исследовательской работе

К первой группе задач мы отнесли системы алгебраических уравнений, а также задачи на доказательство алгебраических неравенств.

Ко второй группе задач отнесены те задачи, в которых нужно находить наименьшее или наибольшее значение функции. Задания с параметрами.

Основная часть

Приведём формулировку и решение первой задачи:

«Вычислите величину »

1. Из ∆ ABD:

По теореме косинусов:

2. Из ∆ ABC:

По теореме косинусов:

3. Из ∆ DBC:

По теореме косинусов:

Приведём формулировку и решение второй задачи.

Доказать, что для всех , выполняется неравенство:

Заметим, что если , то

Поэтому значение левой части неравенства в этом случае не меньше, чем

Чтобы убедиться в истинности неравенства при , рассмотрим ∆ ACD,в котором , , а

В силу теоремы косинусов имеем:

Аналогично, если , , а

Заметим на рисунке , поэтому

Следовательно, с помощью неравенства треугольника получаем:

Приведём формулировку и решение третьей задачи.

«Доказать неравенство:
»

Рассмотрим ∆ ABC:

Пусть , , следовательно, (по теореме Пифагора).

На лучах, делящих угол ACB на три равные части, выбираем точки D1 и D2 так, что , .

По теореме косинусов, из ∆ACD1, CD1D2, D2CB имеем:

Так как периметр ломаной линии всегда не меньше, чем длина отрезка, соединяющего начало и конец этой ломаной, то

Отсюда, в силу соотношений следует неравенство:

и .

Приведём формулировку и решение четвёртой задачи.

«Найдите наименьшее значение функции

».

Решение:

Выделим полные квадраты в подкоренных выражениях:

Каждое из слагаемых правой части последнего равенства представляет собой расстояние от точки A(x; 0) оси абсцисс до некоторой точки с фиксированными координатами, не зависящей от переменной x. Таким образом, решить задачу – значит найти такую точку A оси абсцисс, сумма расстояний от которой до двух данных точек минимальна. Если данные точки B и C лежат по разные стороны от оси абсцисс, то искомая точка, очевидно, есть точка пересечения прямой ВС с осью абсцисс, поскольку для любой другой точки А1 оси абсцисс сумма расстояний от неё до точек В и С будет больше в силу неравенства треугольника: ,

. Абсциссы точек В и С известны – это 1 и 8, а квадраты их ординат равны соответственно 4 и 25. Выберем знаки ординат точек В и С так, чтобы эти точки оказались лежащими по разные стороны от оси абсцисс: В(1; -2) и С(8; 5). Найти уравнение прямой ВС не представляет труда (это можно сделать разными способами): . Тогда абсцисса точки А равна 3, а искомый минимум равен

, то есть .

Ответ:

Приведём формулировку и решение пятой задачи.

«Решите систему уравнений.

Решение:

Рассмотрим на координатной плоскости Oxy точки А (6; 0), В (0; 4), С (9; 0), D (0; 3). Решить систему значит найти все точки М (x; y), для каждой из которых , . Но , . Следовательно, (то есть точка М принадлежит отрезку АВ), (то есть точка М принадлежит отрезку CD). Поэтому точку М можно найти как точку пересечения отрезков АВ и CD. Уравнения прямых АВ и СD, координаты двух точек каждой из которых известны, находятся без труда: – уравнение прямой АВ; – уравнение прямой CD. Для вычисления абсциссы точки М осталось решить уравнение: , откуда . Ордината точки М находится подстановкой полученной абсциссы в уравнение любой из прямых АВ или CD: .

Ответ: (3; 2).

Приведём формулировку и решение шестой задачи.

«Найдите все значения параметра, при каждом из которых имеет единственное решение система уравнений».

Решение: первое уравнение системы является уравнением окружности с центром C(0; 4) и радиусом 4. Левая часть второго уравнения равна сумме расстояний от точки M(x; y) координатной плоскости XOY до точек A(0; 12) и B(a; 0) этой плоскости. Заметим, что длина отрезка AB равна

то есть равно правой части второго уравнения системы. Поэтому , откуда следует, что точка M(x; y) принадлежит отрезку AB. Теперь условие задачи можно перевести с языка формул на язык расстояний: решить задачу – значит найти все значения параметра a, при каждом из которых существует единственная точка M(x; y) координатной плоскости Oxy, которая принадлежит как окружности с центром C(0; 4) и радиусом 4, так и отрезку с концами A(0; 12) и B(a; 0). Таким образом, требуется найти такое положение точки B(a; 0) на оси абсцисс, при котором прямая AB касается окружности в точке M(x; y). Последнее возможно в двух случаях, при этом соответственные значения параметра равны по абсолютной величине и противоположны по знаку. В любом случае отрезок CM является радиусом, проведённым в точку касания, то есть . Но , значит, .

Поэтому (где точка О – начало координат)

Следовательно,

Ответ: .

Приведём формулировку и решение седьмой задачи.

«Найдите все значения параметра a, при каждом из которых имеет три различных решения система уравнений».

Решение: первое уравнение системы является уравнением окружности с центром в точке (4; 4) и радиусом 3. График функции является параллельным переносом на вектор графика функции . Поскольку график функции представляет собой прямой угол с вершиной b в точке (0; 0) и сторонами, лежащими на прямых и выше оси абсцисс, график функции также представляет собой прямой угол, но с вершиной в точке (a; 1) и сторонами,

параллельными прямым и . Сразу же заметим, что прямая , на которой лежит вершина угла, является касательной к окружности.

Ровно три общие точки фигуры имеют в следующих случаях.

  1. Вершина прямого угла лежит в точке M касания окружности и прямой , а его стороны пересекают окружность в двух точках (первый случай). Это возможно, только если .

  2. Одна из сторон прямого угла пересекает окружность в двух точках, а другая касается окружности в точке A (второй случай), если в точке B (третий случай). Найдём значение параметра для этих двух случаев. Поскольку радиус окружности, проведённый в точку касания окружности и прямой, перпендикулярен прямой, четырёхугольник BQAC является квадратом со стороной 3 и диагональю . Тогда . Следовательно, для случая касания в точке B получаем . Для касания стороны угла и окружности в точке A аналогично получаем ещё одно значение параметра: .

При или прямой угол имеет не более двух общих точек с окружностью.

При или прямой угол имеет четыре общие точки с окружностью.

Ответ: ; 4; .

Приведём формулировку и решение восьмой задачи.

«Найдите наименьшее значение параметра а, при котором уравнение

имеет хотя бы один корень».

Решение: решить задачу – значит найти наименьшее значение функции

или

Введём векторы и . Тогда , , вектор имеет координаты {1; 3} и .

Поэтому в силу неравенства и того, что , получаем .

Последнее неравенство обращается в равенство, только если векторы и сонаправлены. Но в том и только в том случае, если отношения их соответствующих координат равны между собой и равны отношению их длин, откуда (заметим, что при векторы не являются сонаправлеными, следовательно, и деление на возможно). Корнем последнего уравнения является .

Значит, наименьшее значение функции достигается при и равно .

Ответ: .

Приведём формулировку и решение девятой задачи.

«Найдите наименьшее значение параметра а, при котором уравнение

имеет хотя бы один корень».

Решение: рассмотрим функцию:

и найдём её наименьшее значение.

Введём векторы и . Тогда , вектор имеет координаты {3; 4} и .

Поэтому в силу неравенства получаем, что , причём знак равенства достигается, только если , откуда

Решением уравнения и всей системы является (заметим, что ни при , ни при векторы не являются сонаправленными, следовательно, ; и деление на и возможно).

достигается при и равна 5.

Ответ: 5

Приведём формулировку и решение десятой задачи.

«Решить систему уравнений:

»

Решение: рассмотрим векторы , тогда для них имеет место неравенство , то есть , (если (x; y) – решение заданной системы)

, значит, неравенство Коши – Буняковского должно выполняться в варианте равенства, а это означает, что векторы коллинеарны, следовательно, , откуда , а значит, так как , то решением системы будет пара и пара (это при дополнительном условии, что ). Рассмотрение случаев, когда или , даёт, очевидно, решения (0; 1), (0; -1), (1; 0), (-1; 0).

Заключение

Таким образом, я нашёл и решил 10 нестандартных алгебраических задач трудно решаемых или вообще не решаемых алгебраическими способами. Все эти задачи мне удалось решить, используя геометрические методы и идеи. Так как мне удалось не только решить эти задачи, но и соответствующим образом оформить результаты исследования, то я считаю, что добился основной цели исследования и всех сопутствующих к ней задач.

Литература

  1. С. А. Шестаков: «ЕГЭ 2017. Математика. Задачи с параметром. Задача 18 (профильный уровень)».

  2. Р. К. Гордин: «Геометрия. Планиметрия. 7-9 классы: пособие для учащихся».

  3. С. А. Гомонов: «Замечательные неравенства: способы и примеры применения. 10 – 11 кл.»

Просмотров работы: 131