XIX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Задачи на делимость чисел
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение:
Цели:
Узнать кто из древних учёных занимался делимостью чисел? Кто такой Эратосфен? Что такое решето Эратосфена? Что собой представляет таблица простых чисел? Есть ли последнее простое число?
Акуальность: данного исследования состоит в том, что приобретаются новые знания, которые необходимы каждому образованному человеку, потому что задачи на деление можно встретить ежедневно в нашем окружении.
Объект исследования: Задачи на делимость.
Предмет исследования: Математика.
Почему я выбрал эту тему.
На уроках математики мы изучали основные признаки делимости чисел на 2,3,5, 9 и на 10. Но оказывается, признаков делимости гораздо больше. Есть признаки делимости на 4,7,8,11 и другие числа. Неоценимо значение признаков делимости для развития умений устного счета, а также при решении.
старинная восточная притча:
Давным-давно жил-был старик, который, умирая, оставил своим трем сыновьям 19 верблюдов. Он завещал старшему сыну половину, среднему – четвертую часть, а младшему – пятую. Не сумев найти решения самостоятельно (ведь задача в «целых верблюдах» решения не имеет), братья обратились к мудрецу.
- О, мудрец!- сказал старший брат. - Отец оставил нам 19 верблюдов и велел разделить между собой: старшему – половину, среднему – четверть, младшему – пятую часть. Но 19 не делится ни на 2, ни на 4, ни на 5. Можешь ли ты, о, достопочтенный, помочь нашему горю, ибо мы хотим выполнить волю отца?
- Нет ничего проще, - ответил им мудрец. – Возьмите моего верблюда и идите домой.
Братья дома легко разделили 20 верблюдов пополам, на 4 и на 5. Старший брат получил 10, средний – 5, а младший – 4 верблюда. При этом один верблюд остался (10+5+4=19). Раздосадованные, братья вернулись к мудрецу и пожаловались:
- О, мудрец, опять мы не выполнили волю отца! Вот этот верблюд – лишний.
- Это не лишний, - сказал мудрец,- это мой верблюд. Верните его и идите домой.
1. Из истории математики о делимости чисел
Делимость – это способность одного числа делиться на другое без остатка. Признаки делимости были широко известны в эпоху Возрождения, поскольку, пользуясь ими, можно было приводить дроби с большими числителями и знаменателями к несократимому виду.
ЭРАТОСФЕН
(около 275–194 до н. э.), один из самых разносторонних ученых античности. Эратосфен занимался самыми различными вопросами - ему принадлежат интересные исследования в области математики, астрономии и других наук. Трактаты Эратосфена были посвящены решению геометрических и арифметических задач, головоломок и некоторых практических задач. Самым знаменитым математическим открытием Эратосфена стало так называемое «решето», с помощью которого находятся простые числа.
Делитель – это число, которое делит данное число без остатка. Все целые числа (кроме 0 и 1) имеют минимум два делителя: 1 и самого себя. Числа, не имеющие других делителей, называются простыми числами. Числа, имеющие другие делители, называются составными (или сложными) числами. Простых чисел – бесконечное множество. Наименьшим простым числом является 2, это единственное чётное простое число. Все остальные простые числа следует искать среди нечётных чисел, но, разумеется, далеко не всякое нечётное число является простым. Так, например, нечётные числа 3, 5, 7, 11, 13 простые, а такие нечётные числа как 9, 15, 21 - составные, 9 имеет 3 делителя, число 15 – 4 делителя и т. д. Любое составное число можно разлагать на сомножители до тех пор, пока оно не распадётся на одни только простые числа. Простые числа являются как бы первичными элементами, из которых составляются все числа.
В математике Эратосфена интересовал как раз вопрос о том, как найти все простые числа среди натуральных чисел от 1 до N. Эратосфен считал 1 простым числом. Математики считают 1 числом особого вида, которое не относится ни к простым, ни к составным числам. Эратосфен придумал для этого следующий способ. Сначала вычеркивают все числа, делящиеся на 2 (исключая само число 2). Потом берут первое из оставшихся чисел (а именно 3). Ясно, что это число - простое. Вычеркивают все идущие после него числа, делящиеся на 3. Первым оставшимся числом будет 5. Вычеркивают все идущие после него числа, делящиеся на 5, и т. д. Числа, которые уцелеют после всех вычеркиваний, и являются простыми. Так как во времена Эратосфена писали на восковых табличках и не вычеркивали, а "выкалывали" цифры, то табличка после описанного процесса напоминала решето. Поэтому метод Эратосфена для нахождения простых чисел получил название "решето Эратосфена".
БЛЕЗ ПАСКАЛЬ
Большой вклад в изучение признаков делимости чисел внес Б. Паскаль.
БЛЕЗ ПАСКАЛЬ (Blaise Pascal) (1623–1662), французский религиозный мыслитель, математик и физик, один из величайших умов 17 столетия. Юный Блез очень рано проявил выдающиеся математические способности, научившись считать раньше, чем читать. Свой первый математический трактат «Опыт теории конических сечений» он написал в 24 года. Примерно в это же время он сконструировал механическую суммирующую машину, прообраз арифмометра. Работы Паскаля в области точных наук, или ранний период его творчества относится к году. За эти 10 лет разносторонний ученый сделал очень много: он нашел алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число, сформулировал способ вычисления биноминальных коэффициентов, изложил ряд основных положений элементарной теории вероятности, впервые точно определил и применил для доказательства метод математической индукции.
Признак делимости Паскаля.
Натуральное число а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа а на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b, делится на это число. Например: число 2814 делится на 7, так как 2*6 + 8*2 + 1*3 + 4 = 35 делится на 7. (Здесь 6-остаток отделения 1000 на 7, 2- остаток от деления 100 на 7 и 3- остаток от деления 10 на 7).
2. Признаки делимости
Признак делимости на 2.
Число делится на 2 в том и, только в том случае, если его последняя цифра чётная.
Пример: 124, 200, 152, 68, 406.
Признак делимости на 3.
Число делится на 3 в том и, только в том случае, если сумма его цифр делится на 3.
Пример: 144 на 3, т. к. 1+4+4 =9 делится на 3.
Признак делимости на 4.
Число делится на 4 в том и только в том случае, если две его последние цифры образуют двузначное число, делящееся на 4.
Пример: 724 делится на 4, т. к. 24 делится на 4.
Признак делимости на 5.
Число делится на 5 в том и только в том случае, если оно оканчивается на 0 или на 5.
Пример: 720, 655 делятся на 5.
Признак делимости на 6.
Число делится на 6 в том и только в том случае, если оно чётное и делится на 3.
Пример: 720 делится и на 2 и на 3.
Признак делимости на 7.
Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из числа десятков делится на 7.
Пример: 259 делится на 7, т. к. 25 — (2 * 9) = 7 делится на 7.
Признак делимости на 8.
Число делится на 8 в том и только в том случае, если его последние три цифры образуют число, делящееся на 8.
Пример: 6136 делится на 8, т. к. 136 делится на 8.
Признак делимости на 9.
Число делится на 9 в том и только в том случае, если сумма его цифр делится на 9.
Пример: 6102 делится на 9, т. к. 6+1+0+2 = 9 делится на 9.
Признак делимости на 10.
Число делится на 10 в том и только в том случае, если оно оканчивается на 0.
Пример: 720 делится на 10.
Признак делимости на 11.
Число делится на 11 тогда и только тогда, если модуль разности суммы цифр, стоящих на нечетных местах, и суммы цифр, стоящих на четных местах, делится на 11
Пример: 100397 делится на 11, т. к. 1+0+9=10; 0+3+7=10; 10-10=0
3. Применение признаков делимости при решении цифровых головоломок и практических задач.
Задача № 1.
Туристическое агентство «Дуремар» предложило Карабасу три путевки «в страну Дураков» - две взрослые и одну детскую за 3543 золотые монеты. Известно, что детская путевка на 500 золотых монет дешевле. Каким образом Карабас смог понять, что его обманывают?
Решение.
3543+500= 4043, но 4043 не делится на 3.
Задача № 2
У одного гражданина было 7 друзей.
Первый посещал его каждый вечер, второй - каждый второй вечер, третий - каждый третий вечер, четвертый – каждый четвертый вечер и так до седьмого друга, который являлся каждый седьмой вечер.
Часто ли случалось, что все семеро друзей встречались у хозяина в один и тот же вечер?
Решение.
Решается с использованием признаков делимости на 2, на 3, на 4, на 5, на 6, на 7. НОД (2, 3, 4, 5, 6, 7) = 420
Ответ: 1 раз в 420 дней.
Задача № 3
Ваня задумал простое трехзначное число, все цифры которого различны. На какую цифру оно может заканчиваться, если его последняя цифра равна сумме первых двух. Приведите примеры таких чисел.
Решение:
Только на 7.
Ответ 167, 257, 347, 527.
Задача № 4
Запишем подряд цифры от 1 до 9, получим число 123456789. Простое оно или составное? Изменится ли ответ в задаче, если каким-то образом поменять порядок цифр в этом числе?
Решение:
Легко проверить, что сумма цифр этого числа равна 45 и делится на 9. Значит, в силу признака делимости на 9 и само число делится на 9 и потому составное. При любой перестановке цифр числа сумма этих цифр не изменяется, поэтому число будет по-прежнему делиться на 9 (а значит, будет составным).
Задача № 5
Делится ли число 32561698 на 12? Решите эту задачу:
а)
с помощью признака делимости на 4;
б)
с помощью признака делимости на 3.
Решение:
а) Число оканчивается на 98, а 98 не делится на 4. Поэтому по признаку делимости на 4 число на делится на 4. Но любое число, делящееся на 12, должно делиться и на 4.
б) Сумма цифр числа равна 40, а 40 не делится на 3. Поэтому по признаку делимости на 3 число на делится на 3. Но любое число, делящееся на 12, должно делиться и на 3.
Задача № 6
В стране Цифра есть 9 городов с названиями 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Путешественник обнаружил, что два города соединены авиалинией в том и только в том случае, если двузначное число, составленное из цифр — названий этих городов, делится на 3. Можно ли добраться из города 1 в город 9
Решение:
Город 9 соединён авиалиниями только с городами 3 и 6, а города 3 и 6 соединены только между собой и с городом 9. (Это можно проверить непосредственно, а можно упростить проверку, пользуясь признаком делимости на 3.) Поэтому от города 9 нельзя добраться до города 1. Стало быть, невозможно добраться и из города 1 в город 9.
Задача № 7
Замените звездочки в записи числа 72*4* цифрами так, чтобы это число делилось на 45. Укажите все возможные варианты!
Решение:
Число делится на 45 тогда и только тогда, когда оно делится на 5 и на 9 (докажите это с помощью основной теоремы арифметики). Чтобы число делилось на 5, последняя цифра должна быть равна 0 или 5.
Пусть последняя цифра числа равна 0, тогда сумма известных нам цифр числа равна 7 + 2 + 4 + 0 = 13. Чтобы число делилось также и на 9, нужно дополнить сумму цифр до числа, кратного 9. Это удастся сделать, только если взять в качестве третьей цифры числа цифру 5. Этот случай даёт нам число 72540.
Пусть теперь последняя цифра числа равна 5, тогда сумма известных нам цифр числа равна 7 + 2 + 4 + 5 = 18 и уже делится на 9. Чтобы число делилось также и на 9, нужно, чтобы после дописывания ещё одной цифры сумма цифр числа по-прежнему была кратна 9. Это условие будет выполнено, только если взять в качестве третьей цифры числа цифру 0 или цифру 9. Таким образом, этот случай даёт нам ещё два числа: 72045 и 72945.
Заключение:
В результате выполнения данной работы у нас расширились знания по математике. Мы узнали, что кроме известных мне признаков на 2, 3, 5, 9 и 10 существуют еще признаки делимости на 4, 6, 7, 8, 11. Поняли, что в некоторых случаях без признаков делимости просто невозможно обойтись.
Познакомившись с признаками делимости чисел, мы считаем, что полученные знания сможем использовать в своей учебной деятельности, самостоятельно применить тот или иной признак к определенной задаче, применить изученные признаки в реальной ситуации.
Считаем, что применение признаков делимости чисел в изучении математики является эффективным. Знание их значительно ускоряет решение многих заданий интеллектуальных конкурсов, математического конкурса - игры «Кенгуру». В современном мире тоже используют признаки делимости! Например, в банковском деле, при денежных расчетах в магазине.
Список литературы
1. , «История арифметики», Москва, 1965, «Просвещение»
2. Г. И. Глейзер, «История математики в школе 7 – 8 классы», Москва, 1982, «Просвещение»
3. «1001 вопрос и ответ. Большая книга знаний», Москва, 2004, «Мир книги»
4. Энциклопедический словарь юного математика / Сост. .-М.: Педагогика, 1989
5. , «Живая математика», Москва, 1978, «Наука»
6. , «Математическая смекалка», Москва, 1994, «Юнисам»