Топологические головоломки

XIX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Личный портфель

Топологические головоломки

Вольф М.А. 1
1МОУ Кременкульская СОШ
Саттарова А.Г. 1
1МОУ Кременкульская СОШ
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Диплом школьникаСвидетельство руководителя
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

I. Введение

Однажды на уроке математики учитель предложил нам решить головоломку. К планке в трёх точках привязан шнурок. На шнурке висит кольцо, которое надо передвинуть вдоль всей верёвки, не отвязывая её от планки(рис.1).

Рис.1

Один из учеников справился с нелёгкой задачей(рис.2).

Рис.2

Меня заинтересовала предложенная головоломка. Учитель сказала, что это головоломка решается с помощью применения топологических принципов.

Мне захотелось побольше узнать про топологию, чтобы поделиться своими знаниями с другими. Что и побудило меня заняться исследовательской работой.

Объект исследования: топологические головоломки.
Предмет исследования: влияние решения топологических головоломок на развитие логики и мышления.
Цель исследования: расширить знания об истории развития топологии, выяснить, каким образом математика проявляется в топологических головоломках.

Гипотеза: топологические головоломки – это игра для думающих людей, если решать головоломки каждый день, то у нас развивается терпение, внимание, память, логическое мышление.
Задачи:

1. рассмотреть некоторые виды топологических головоломок;

2. познакомиться с методами решения головоломок;

3. познакомить учащихся пятых классов с методами решения головоломок.

Методы исследования:

  • поиск информации из разных источников;

  • практическая работа;

  • анкетирование.

II. Основная часть

Глава 1. Понятие о топологии

    1. Анкетирование

Прежде чем начать изучать информационные источники по выбранной теме, я захотела узнать, кому из моих одноклассников известно понятие «топология» и какие топологические головоломки они знают.

В школе среди учеников 6«В» класса я провела опрос. Учащимся были предложены следующие вопросы:

  1. Какие головоломки вы знаете?

  2. Знаете ли вы, что такое «Топология»?

  3. Решаете ли вы топологические головоломки?

Результаты опроса на диаграмме 1.

Диаграмма 1. Результаты анкетирования

Опрос показал, что 15% учащихся не могут назвать ни одной головоломки и, соответственно не решают их. Хотя в начальной школе у нас был кружок «Кубик Рубика», а на уроке учитель предлагал головоломку со шнурками и кольцом. Кроме того, ни один ученик не знает, что такое «Топология».

Этот опрос показал, что современные дети довольно мало интересуются решением головоломок и редко обращаются к материалу, находящимися за пределами школьной программы.

    1. Понятие о топологии

Топология — это раздел математики, изучающий свойства объектов, которые остаются неизменными даже при их растяжении или скручивании. Эта область знаний развивалась многими учеными, в том числе Леонардом Эйлером, который считается основоположником топологии. Топология имеет широкий спектр приложений, в том числе в физике, технике и информатике.

Математики шутят, что с точки зрения топологии чашка с ручкой и бублик-одно и тоже. Ведь в каждом из них по одной дырке(рис.3)!

Рис.3

Топология относительно новый раздел геометрии. Начало её возникновения связывают с курьёзным случаем. Служанка профессора Лейпцигского университета Августа Фердинанда Мебиуса неправильно сшила концы ленты, за что получила нагоняй от жены профессора и едва не была уволена. Но профессор, повертев в руках ленту, пришёл в восторг. Лента имела только одну поверхность(рис.4)!

Рис.4

Эта история произошла либо в 1863, либо в 1865 году. Открытая поверхность получила математическое обоснование и имя в честь описавшего ее математика и астронома. Лента вдохновила на подвиги не одного добряка-профессора. Взял ее на вооружение и цех парижских портных. Отныне в качестве экзамена для новичка, претендовавшего на зачисление в цех, было пришивание к подолу юбки тесьмы в форме ленты Мебиуса. Оценили по достоинству невольное изобретение Марты и учителя. Неугомонным нерадивым ученикам предлагалось покрасить стороны ленты Мебиуса в разные цвета. Пыхтя от усердия, школяры проводили за этим занятием немало времени.

Чудесные ее свойства тут же породили множество научных трудов, изобретений (весьма полезных и совершенно нереальных), а также многочисленных фантастических рассказов. В рассказе А.Дейча “Лента Мебиуса” описывался случай в Нью-Йоркском метро. Однажды случилось так, что пути метрополитена пересеклись, и весь он стал напоминать огромную ленту Мебиуса. Поезда один за другим стали исчезать, появляясь снова только через несколько месяцев. А Козьма Прутков подарил читателям афоризм: "Где начало того конца, которым оканчивается начало?"

Благодаря ленте Мебиуса возникло множество самых разнообразных изобретений. Так, например, были созданы особые кассеты для магнитофона, которые дали возможность слушать магнитофонные кассеты с “двух сторон” не меняя их местами. Скольких людей приводили в восторг аттракционы “Американские горки”. Лента Мебиуса вполне благополучно наблюдается в форме абразивных ремней для заточки инструмента, красящей лентой для печатающих устройств.

Глава 2. Типы топологических головоломок

2.1. Основные принципы решения топологических головоломок

Топологические головоломки – это игры, в которых необходимо перемещать объекты в определенном порядке, чтобы достичь целевого состояния. Для решения таких головоломок необходимо использовать логическое мышление и способность к анализу пространственных отношений.

Основным принципом решения топологических головоломок является понимание топологических свойств объектов.

Для решения топологических головоломок необходимо понимание топологических свойств объектов в задаче. Часто головоломки включают в себя объекты, которые необходимо перемещать через другие объекты. При этом, необходимо учитывать, что перемещаемый объект не может проходить через препятствия, которые не имеют дырок, а может проходить сквозь препятствия с дырками.

Еще одним важным принципом решения топологических головоломок является умение видеть объекты в трехмерном пространстве. Большинство топологических головоломок представлено в двухмерном формате, но для их решения необходимо учитывать трехмерные отношения между объектами. Например, если объекты пересекаются на уровне, то их перемещение может препятствовать друг другу, даже если они не находятся на одной плоскости.

Кроме того, для решения топологических головоломок необходимо умение анализировать пространственные отношения между объектами на разных этапах игры. Например, перемещение одного объекта может заблокировать доступ к другим объектам, а перемещение объектов в неправильном порядке может привести к тупику.

Таким образом, для решения топологических головоломок необходимо умение видеть объекты в трехмерном пространстве, понимать их топологические свойства и учитывать пространственные отношения между объектами на разных этапах игры. Эти навыки помогут развить логическое мышление и улучшить способность к анализу пространственных отношений.

2.2. Примеры популярных топологических головоломок и их решения

 Существует множество разных топологических головоломок, которые могут помочь развить логическое мышление и способности к решению сложных задач. Рассмотрим несколько примеров популярных головоломок и способы их решения.

1. Головоломка "Узел"

Для решения этой головоломки необходимо разобраться в структуре узла и понять, как его можно развернуть так, чтобы получить одну длинную линию. Сначала нужно развязать петли на концах узла, затем повернуть одну из петель на 180 градусов и соединить ее с другой петлей. После этого нужно повернуть вторую петлю на 180 градусов и соединить ее с первой петлей. Таким образом, узел будет развернут в одну длинную линию.

2. Головоломка "Кольцо"

В этой головоломке нужно разобраться, как можно разъединить два кольца, которые кажутся неразъемными. Сначала нужно повернуть одно кольцо на 90 градусов, затем вставить другое кольцо в отверстие, которое появилось после поворота. После этого первое кольцо можно вернуть на место и оба кольца открепить друг от друга.

3. Головоломка "Кубик Рубика"

Эта головоломка, пожалуй, самая известная из всех топологических головоломок. Для ее решения нужно уметь поворачивать кубик в разные стороны так, чтобы каждая грань была одного цвета. Существуют разные методы решения кубика Рубика, но самый популярный метод называется методом Фридриха. Он основан на последовательном решении определенных этапов, начиная с сборки креста на нижней грани, затем решения углов и ребер верхней грани, и заканчивая сборкой оставшихся ребер.

2.3. Знакомство одноклассников с миром топологии

Познакомившись с головоломками, я смастерил одну из них и, на внеклассном мероприятии познакомил своих одноклассников с миром топологических головоломок.

В самом начале мероприятия я провела краткую экскурсию по истории топологии для учащихся 6 «В» класса. Рассказала о влиянии топологических головоломок на память, логическое мышление и концентрацию внимания.

Затем познакомила одноклассников с некоторыми законами топологии, методами решения головоломок, основными видами. После этого с ребятами провели опыты с листом Мебиуса. Предложил соревнование по решению головоломки «Узел Гудини» (рис.5).

Рис.5

Две пары из семи справились с этой головоломкой одновременно

Надо отметить, что не всем понравился данный вид игры. Но ведь это легко объяснимо: не все могут справиться с логическими задачами.

В конце мероприятия я провела повторное анкетирование учащихся, попросив ответить на следующие вопросы:

1.Понравились ли им топологические головоломки?

2.Будете ли вы дальше продолжать решать головоломки?

Результаты опроса на диаграмме 2.

Диаграмма 2. Результаты повторного анкетирования

Таким образом, опрос показал, что 62% одноклассников понравилось решать топологические головоломки.

III. Заключение

Топологическими головоломками я увлекаюсь недолго, всего четыре месяца. За это время я научился собирать кубик Рубика, решать некоторые головоломки со шнурками и кольцами. Пользу головоломок для себя вижу в том, что мне легче стали даваться логические задачки, я стала более терпеливым и внимательным, повысилась усидчивость. При решении головоломок я стал больше рассуждать, анализировать возможные решения.

Поэтому подтверждаю выдвинутую мною в начале исследования гипотезу: головоломки – это игра для думающих людей, если решать головоломки каждый день, то у нас развивается терпение, внимание, память, логическое мышление.

А также цель исследования: расширить знания об истории развития топологии, выяснить, каким образом математика проявляется в решении головоломок считаю достигнутой.

В дальнейшем планирую освоить больше информации о свойствах фигур с точки зрения топологии.

Список литературы

1. М.Гарднер «Математические чудеса и тайны» , Москва "Наука" 1978 г

2. Энциклопедия для детей «Математика». «Аванта+»2001г.

3. Журнал. Математика в школе № 3 / 2007 г. Лист Мёбиуса. С.31. Н.Никифорова, А.Устинов.

Интернет-ресурсы:

http://sitekid.ru/matematika/lenta_mebiusa.html

http://www.lgroutes.com/femous/Scientific/Mobius.htm

http://im-possible.info/russian/articles/mobius-strip/mobius-strip.html

Просмотров работы: 247