XIX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
ТВОРЧЕСТВО И МАТЕМАТИКА
Автор работы награжден дипломом победителя I степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
«Творчество и математика в такой же степени
есть создание прекрасного, как творчество
живописца или поэта, - совокупность идей,
подобно совокупности красок и слов,
должна обладать внутренней гармонией».
Годфри Харди, английский математик и философ
ВВЕДЕНИЕ
Начну с того, что к написанию данной исследовательской работы меня подвигла любовь к предмету математика и не меньшая любовь к занятиям рисованием. Я очень хорошо знаю, что размах практического применения математики огромен. Мы в своей жизни постоянно сталкиваемся с математикой. Математика дисциплинирует ум, приучает к логическому мышлению. В ней много цифр, различных знаков и символов.
Если мы посмотрим вокруг, то заметим, что нас окружают предметы, которые имеют свою геометрическую форму. Некоторые тела состоят из простых геометрических форм, а некоторые из сложных. Архитекторы и строители создают здания при помощи вычислений и геометрических законов. Таким образом, наша жизнь без математики немыслима, ведь человек постоянно открывает что-то новое и усовершенствует давно забытое. Математика присутствует даже в искусстве художников. В основном, она присутствует в рисунках авангардистов и художников, рисующих в течении суперматизма. Итак, рассмотрим математику в живописи художников. Эта тема очень интересна и необычна.
Цель работы: доказать взаимосвязь математики и живописи.
Задачи:
-
Изучить связь между искусством и математическими науками;
-
Расширить представления о сферах применения математики;
-
Изучить живопись различных художников, где изображены геометрические формы, алгебраические выражения, странные, непонятные современному обществу цифры, понятия;
-
Рассмотреть применение математики в работах, выполненных учениками 5-7 классов МБОУ Липицкая СОШ.
Методы исследования
-
Работа с учебной и научно-популярной литературой, ресурсами сети Интернет.
-
Наблюдение, сравнение, анализ, аналогия.
-
Опрос
-
Дать описание работам ученицы художественной школы им. Бузовкина А.А.
ГЛАВА I. ВСЕ СОСТОИТ ИЗ ФИГУР
1.1 Геометрические фигуры помогают рисовать
Круг, овал, квадрат, прямоугольник, треугольник. Все, что вы хотите нарисовать, можно разбить на простые фигуры. Изобразить их несложно. Прорисовывая поверх геометрических фигур желаемую картину, мы получаем правильные пропорции.
1.2 Мозаика, узор, орнамент
Мозаика представляет собой кусочки материала, которыми выкладывается поверхность. Как правило, кусочки бывают разноцветными и образуют рисунок или узор. Сложность мозаики не только в выкладывании рисунка, требуется, чтобы между кусочками не оставалось зазоров, и они не перекрывали друг друга.
1.3.Золотое сечение
В 1509 году в Италии появилась книга Луки Пачоли под названием «О божественной пропорции». В ней были установлены математические соотношения, соблюдая которые художник достигнет красоты. Иллюстрации - 60 многогранников и рисунок «Витрувианский человек » принадлежали руке Леонардо да Винчи, который известен, прежде всего, как великий художник. Но он был разносторонним человеком, занимался математикой, физикой, химией, машиностроением, военной техникой, архитектурой. И во всех этих науках Леонардо добился успехов. Этот человек полон загадок, многие из которых до сих пор остались тайной. Его рукописи были зашифрованы, он писал так, что прочесть слова можно было только с помощью зеркала.
Леонардо да Винчи был убежден в единстве живописи и математики. Он изучал пропорцию. В его рисунке «Витрувианский человек» выражена идеальная пропорция тела человека, которая заключена в соотношении стороны квадрата и радиуса окружности. Еще одна идеальная пропорция тела была сформулирована еще во времена Древней Греции:
|
Рост человека = размаху рук (от кончиков пальцев) = 8 ладоням = 6 ступням = 8 лицам |
Можно проверить эту формулу на себе.
Золотое сечение в строении тела человека
-
Отношение расстояний от кончиков пальцев до запястья и от запястья до локтя составляет 1:1,618
-
Отношение расстояний от уровня плеча до макушки головы и от подбородка до макушки головы составляет 1:1,618
-
Отношение расстояний от точки пупа до макушки головы и от уровня плеча до макушки головы составляет 1:1,618
-
Отношение расстояний от точки пупа до коленей и от коленей до ступней составляет 1:1,618
-
Отношение расстояний от кончика подбородка до кончика верхней губы и от кончика верхней губы до ноздрей составляет 1:1,618
-
Отношение расстояний от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки составляет 1:1,618
-
Другие пропорции:
-
Когда художники рисуют человека, они часто делят тело на дробные части. Это помогает им удостовериться, что они соблюли пропорции тела.
-
Голова = 1/8 роста человека
-
Руки = 3/8 роста человека
-
Ноги = 4/8 роста человека
Рис. 1 Пропорции в изображении человека
Что же дают идеальные пропорции? Красоту! Ученые проводили опыт, предложив людям из нескольких прямоугольников выбрать один на свой вкус. Большинство остановило выбор на фигуре, в основе которой лежат идеальные пропорции, названные золотым сечением.
У золотого прямоугольника есть одно замечательное свойство. Если отсечь от него квадрат, останется тоже золотой прямоугольник. Портрет Моны Лизы, написанный Леонардо да Винчи, построен на золотом сечении, ее лицо вписано в золотые прямоугольники разного размера. В «Тайной вечере» золотые прямоугольники определяют размеры картины и положение ее персонажей.
1.4. Лоскутные одеяла
Лоску́тное одеяло — это стеганое одеяло, лицевая сторона которого сшита из разноцветных и пёстрых кусочков ткани (стиль лоскутное шитьё или квилт). Первые упоминания об искусстве соединения различных тканей встречаются в исторических описаниях, датированных XI веком. Ткань — материал недолговечный, поэтому время и место возникновения лоскутной техники весьма условны. Не исключена возможность появления лоскутного рукоделия в нескольких странах одновременно. Однако принято считать, что зародилась эта техника в Англии, а затем постепенно распространилась в других местах. Изделия из лоскута стали появляться на Руси, в Европе, Америке, Австралии.
Причиной появления своеобразного лоскутного шитья явилась бедность. Именно она вынуждала женщин из остатков старой одежды делать новую, а также создавать различные изделия окружающего быта. Неслучайно повышенный интерес к технике лоскутного шитья в разных странах возникал именно в периоды кризисных ситуаций.
Идея же геометрического подбора различных кусочков ткани берёт начало от традиционного народного ремесла. Не исключено, что толчком к появлению лоскутных орнаментов послужило древнее искусство создания мозаичных композиций, дошедшее до нас из глубины веков. Недаром шитье из лоскута называют также «лоскутная мозаика».
С годами отношение к такому виду рукоделия, как к вынужденному выходу из трудных жизненных ситуаций, постепенно отошло в прошлое. В настоящее время к шитью из лоскута относятся как к виду искусства. Художественные изделия из лоскута по праву заняли достойное место среди произведений декоративно-прикладного творчества во многих странах мира.
1.5 Симметрия
В математике существует несколько видов симметрии:
-
Центральная симметрия.
-
Осевая симметрия.
-
Зеркальная симметрия.
Но симметрия (соразмерность, одинаковость в расположении частей какого-либо рисунка относительно точки, прямой, плоскости) – это понятие не только чисто математическое. Она есть и в творениях природы (животные, листья растений, кристаллы), и в творениях конструкторов, архитекторов, скульпторов, художников.
ВЫДАЮЩИЕСЯ ЛЮДИ С ИСТОРИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИЗОБРАЗИТЕЛЬНОГО ИСКУССТВА
Голландский художник М.К. Эшер (1898-1972) в некотором роде является отцом математического искусства. Математические идеи играют центральную роль в большинстве его картин за исключением лишь ранних работ. Большинство идей, часто используемых современными математическими художниками, были использованы Эшером, и его работы часто являются источником вдохновения для современных авторов.
Леонардо да Винчи (Leonardo da Vinci ) (1452-1519) известен своими достижениями в качестве изобретателя и художника. В его записных книгах содержатся первые из известных примеров анаморфного искусства, использующего искаженные сетки перспективы. Его наклонные анаморфные изображения представляют объекты, которые должны рассматриваться по углом, чтобы они выглядели неискаженными.
Иоганн Кеплер (Johannes Kepler) (1580-1630) более известен своими работами в астрономии, но также имел большой интерес к геометрическим тесселяциям и многогранникам. В своей книге "Harmonices Mundi" (1619) он опубликовал примеры заполнения плоскости плитками в виде правильных и звездчатых многоугольников в дополнение к многогранникам, о которых было сказано выше.
Коломан Мозер (Koloman Moser) (1868-1918) - художник-график, преподававший в Вене и работавший в стиле модернизма. Он исполнил пару тесселляций в виде рыб в период 1899-1900 гг., выглядящие вполне в стиле Эшера. Однако, несомненно, Эшер не мог знать о работах Мозера вплоть до 1964 года.
Некоторые известнейшие художники XX века активно использовали математику в искусстве. Пит Мондриан (Piet Mondriaan) (1872-1944) - голландский художник, известный своими геометрическими абстракциями; несколько его работ изображают цветные блоки, разделенные черными линиями.
Сальвадор Дали (Salvador Dali) (1904-1989) - яркий и парадоксальный испанский художник использовал математические идеи в некоторых своих картинах. На картине "Распятие" ("Crucifixion") (1954) изображен гиперкуб, а на картине "La Visage de la Guerre" (1940) изображена фрактальная последовательность уменьшающихся гротескных лиц. Он также создал несколько эротических анаморфиных изображений.
Макс Биль (Max Bill) (1908-1994) - художник-график и скульптор, обучавшийся в Баухаузе (Bauhaus), создавал скульптуры, основанные на ленте Мебиуса, многие из которых высталены в общественных местах.
Виктор Васарели (1908-1997) - художник, родившийся в Венгрии, известен как пионер и практик направления оптического искусства Оп-арт (Op Art). Он использовал окрашенные простые геометрические формы, часто объединенные в массивы, для создания эффекта движения, выпуклости или вогнутости на плоском рисунке.
Бенуа Мандельброт (Benoit Mandelbrot) (1924-...) - математик, в значительной степени ответственный за формализацию и популяризация концепции фракталов. Он открыл множество Мандельброта, наиболее известный фрактальный объект. Он также изобрел термин "фрактал" ("fractal"), полученный из латинского слова "fractus", означающий "разбитый на куски", "сломанный". О его понимании эстетического содержания фракталов говорит следующая цитата: "Может ли чистая геометрия 'человеку с улицы' показаться прекрасной? Точнее, может ли фигура, описываемая простым уравнением или правилом построения, быть воспринята человеком, не связанным с геометрией, как фигура имеющая эстетическое значение, а именно, быть декоративной, а возможно и видом искусства? Если эта геометрическая фигура - фрактал, то ответ - да.
ВЫВОД К ГЛАВЕ 1
С давних пор человек стремится окружать себя красивыми вещами. Предметы обихода жителей древности, которые, казалось бы, преследовали чисто утилитарную цель - служить хранилищем воды, оружием на охоте и т.д., демонстрируют стремление человека к красоте. На определенном этапе своего развития человек начал задаваться вопросом: почему тот или иной предмет является красивым и что является основой прекрасного? Уже в Древней Греции родилось представление о том, что основой прекрасного является гармония. Красота и гармония стали важнейшими категориями познания, в определенной степени даже его целью, ибо в конечном итоге художник ищет истину в красоте, а ученый - красоту в истине.
Великий математик Г. Харди сказал: «Математик так же, как художник или поэт, создаёт узоры. И если его узоры более устойчивы, то лишь потому, что они составлены из идей… Узоры математика так же, как узоры художника или поэта, должны быть прекрасны. Красота есть первое требование: в мире нет места для некрасивой математики»
ГЛАВА 2. ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ ЧАСТЬ
В исследовании приняли участие учащиеся Липицкой школы в количестве 85 человек, обучающихся в 5- 7 классах.
Учащимся был задан вопрос: Можно ли рисовать геометрическими фигурами?
Из диаграммы видно, что 52 учащихся отвели да, 11 ответили нет и 22 сказали- незнаю.
Рис. 2 Диаграмма опроса учащихся
После опроса учащиеся получили задание нарисовать рисунки геометрическими рисунками, учащиеся начальной школы сделали аппликации из бумаги. (см. Приложение 7-8).
Свои работы для исследования «золотого сечения» предоставила ученица нашей школы и ученица художественной школы (Приложение 9).
Также я проверила формулу на себе и одноклассниках в исследовании приняли участие 15 человек), учащихся 7 класса (Приложение 11)
|
РОСТ ЧЕЛОВЕКА = РАЗМАХУ РУК (ОТ КОНЧИКОВ ПАЛЬЦЕВ) = 8 ЛАДОНЯМ = 6 СТУПНЯМ = 8 ЛИЦАМ |
Вывод: Проведенное исследование идеальной пропорции тела, которая была сформулирована еще во времена Древней Греции показало, что - эта формула не верна.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Изучая тему «Математика в живописи, я пришла к выводу, что математика сыграла большую роль в развитии искусства. Отточенная красота математики прослеживается везде. Благодаря математике, наш окружающий мир совершенствуется и улучшается с каждым днем.
Мне было очень интересно изучать данную тему, так как я сама увлекаюсь изобразительным искусством и роль математики в живописи мне очень близка.
В данной работе рассмотрено только несколько законов математики, применяемых живописцами. Но этого уже достаточно, чтобы убедиться во взаимосвязи двух на первый взгляд несовместимых понятий: математика и живопись. В этой работе, я охватила не весь материал, и много чего ещё интересного осталось мною не изучено. Но я на этом не остановлюсь. Я буду изучать данную тему дальше.
Эту тему можно применять на уроках математике при изучении таких тем как:
-
“Точка – царица геометрии”
-
“Графики функций”
-
Тригонометрические функции
-
Подобие треугольников
-
“Вписанные и описанные четырёхугольники и другие (Приложение 10)
Также на внеурочных занятиях по математике, на уроках изобразительного искусства и технологии в начальной школе.
Список использованной литературы
-
Воротников И. Занимательное черчение. // Пособие для учащихся. / Изд. 3-е. – М.: «Просвещение», 1977. – с. 191.
-
Зенкевич И. Эстетика урока математики // Пособие для учителей. – М.: «Просвещение», 1981. – с. 25.
-
Мириманов В. XX век. Сам о себе. Персоналии и течения. Малевич // Искусство. Приложение к газете «Первое сентября». – М., 2001. – № 1. – С. 1
-
Мириманов В. XX век. Сам о себе. Персоналии и течения. У истоков кубизма. Искусство. Приложение к газете «Первое сентября». – М., 2001. – № 7. – С. 5-8.
-
Прохоров А. Золотая спираль. // Квант. Научно-популярный физико-математический журнал АН СССР и АПН СССР. – М.: «Наука», 1984. – № 9. – С. 15-17.
-
Самойлик Г. Леонардо да Винчи. // Математика. Приложение к газете «Первое сентября». – М., 2003. – № 4. – С. 7-10.
-
Чепракова Е., Липкина Т. Присутствие красоты. // Математика в школе. Научно-теоретический и методический журнал МО РФ. – М.: «Школьная пресса», 2001. – № 3. – С. 73-75.
-
Шарыгин И., Ерганжиева Л. Наглядная геометрия. 5-6 классы // Пособие для общеобразовательных учебных заведений. / Изд. 4-е. – М.: «Дрофа», 2001. – с. 192.
-
Ятайкина А., Пашкина О. О золотом сечении и не только о нем. // Математика в школе. Научно-теоретический и методический журнал МО РФ. – М.: «Школьная пресса», 2001. – № 3. – С. 75-76
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1
Геометрические фигуры помогают рисовать
Приложение 2
Мозаика, узор, орнамент
Приложение 3
З олотое сечение
Исследователи обнаружили, что композиция портрета Монны Лизы (Джаконды) основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника.
« Пушкин в селе Михайловском» Н.Ге
Центральным экспонатом картины выступает сам поэт. Он стоит в своем длинном фраке. Его кудрявые волосы слегка растрепаны, а бакенбарды почти до подбородка. В одной руке он держит клочки бумаги, а другой эмоционально жестикулирует.
Напротив него в мягком большом кресле расположился Пущин. Он очень внимателен и сосредоточен. Его нога закинута на другую ногу, а руки сомкнуты на колене. Позади пота за столом сидит его неизменная няня Арина Родионовна. Она так заслушалась, что даже отложила свое вязание. Сквозь большое окно в комнату попадают лучи солнца, освещая стену с картиной, стол, покрытый темной скатертью и няню, сидящую перед столом.
Обстановка на картине очень уютная и теплая. Представляешь ее и кажется, что в голове звучит голос поэта и его замечательные стихи.
Приложение 4
Лоскутные одеяла
Лоскутные одеяла жителей деревни Щеболово, г.о. Серпухов
Приложение 5
Симметрия
Обратите внимание: фигура мадонны и ребенка вписывается в правильный треугольник, который вследствие симметричности особенно ясно воспринимается глазом зрителя. Благодаря этому мать и ребенок сразу же оказываются в центре внимания, как бы выдвигаются на передний план. Голова Мадонны совершенно точно, но в то же время естественно помещается между двумя симметричными окнами на заднем плане картины. В окнах просматриваются спокойные горизонтальные линии пологих холмов и облаков. Все это создает ощущение покоя и умиротворенности, усиливаемое за счет гармоничного сочетания голубого цвета с желтоватыми и красноватыми тонами.
Приложение 6
Выдающиеся люди с истории математического изобразительного искусства
Голландский художник М.К. Эшер и его картины
Леонардо да Винчи (Leonardo da Vinci )и его картины
Сальвадор Дали (Salvador Dali) и его картины
Приложение 6
Выдающиеся люди с истории математического изобразительного искусства
Иоганн Кеплер (Johannes Kepler) имел большой интерес к геометрическим тесселяциям и многогранникам
Коломан Мозер (Koloman Moser) и его картины
Макс Биль (Max Bill) и его картины
Приложение 6
Выдающиеся люди с истории математического изобразительного искусства
Виктор Васарели и его картины
Бенуа Мандельброт (Benoit Mandelbrot)
Приложение 7
Поделки из бумаги учащихся начальной школы
Приложение 8
Рисунки учащихся 5- 7 классов
П риложение 9
Мои рисунки
«Золотое сечение» на примере работ ученицы Художественной школы имени А.А. Бузовкина
Главным композиционным центром этого натюрморта являются белые коньки, именно они и привлекают наше внимание. Все это благодаря хорошо известному нам «Золотому сечению». Коньки расположены в одной из точек, построенных с помощью вычислений. Второстепенные предметы на картине расположены также в пределах этих точек. Эта работа «идеальна», с точки зрения «Золотого сечения».
Эта композиция имеет 3 доминанты: мышь, крот и девочка.
Лица главных героев расположены в треугольниках. Также стороны треугольников пересекаются с насекомыми в углах картины. Эта работа «идеальна», с точки зрения «Правила треугольников».
Приложение 10
Задачи, которые применяем мы на уроках математики
ЗАДАЧА: Рассмотри картинку и разбей изображение на простые фигуры.
ЗАДАЧА: Заполнить поверхность рамки узором.
Нужно определиться с числом повторяющихся элементов узора и их размерами. Измерим длину заполняемой поверхности. В нашем случае – 10 см. Выбрали узор в виде квадрата со стороной 1 см. Тоже самое проделываем по другим сторонам рамки.
Приложение 10
Примерные задания по “учебным картинам” и варианты их использования.
№1. “Точка – царица геометрии”
Используется для вводной беседы по геометрическому материалу в 5 классе (“Точка. Прямая линия”) и в 7 классе (“Начальные геометрические сведения”)
№2. “Графическая капля”
Используется при изучении темы “Графики функций” в 9 классе.
Задание:
-
Найдите графики функций, изображенных на картине и запишите им соответствующие формулы.
№3. “Четырёхугольная кругообразность”
Используется для изучения тем по геометрии в 8 классе “Четырехугольники” и “Вписанные и описанные четырёхугольники”.
Задания:
-
Какие четырёхугольники изображены на картине? Перечислите их, дайте определение каждому, расскажите какими свойствами и признаками они обладают. (Квадрат, параллелограмм, прямоугольник, ромб, прямоугольная трапеция, равнобедренная трапеция).
-
Что вы знаете о вписанных многоугольниках? Около любого четырёхугольника можно описать окружность? Около каких четырёхугольников на картине описаны окружности? (Прямоугольник, квадрат).
-
Какие многоугольники называются описанными около окружности? В какие четырёхугольники можно вписать окружность? Какие описанные четырёхугольники изображены на картине? (Ромб, квадрат).
Приложение 10
№4. “Цилиндрическое направление”
Используется в 8-ом и 9-ом классах для изучения темы “Вектор”.
Задания:
-
Покажите на картине равные векторы; сонаправленные векторы, но не равные.
-
Покажите противоположные векторы; протиположно направленные, но не противоположные.
-
Являются ли “желтые” векторы коллинеарными?
-
Дайте определение коллинеарным векторам.
-
Покажите вектор коллинеарный “зелёному” и т.д.
-
Являются ли “коричневый” и “красный” векторы – равными? и т.п.
№5. “Бесподобное подобие”
Используется на уроках геометрии в 8 классе при изучении темы “Подобные треугольники”.
Задания:
-
Что вы можете рассказать о методе подобия?
-
Приведите примеры подобных фигуг испоьзуя изображение на картине.
-
Подобны ли изображенные на картине прямоугольные треугольники с катетом 1см?
-
Сколько сантиметров в гипотенузе самого большого “красного” равнобедренного треугольника, если катеты самого матенького “чёрного” равны 1см?
-
Что напоминает окрас улитки? Какие вы знаете “подсказки” , чтобы запомнить цвета радуги?
№6. “Единство функциональной зависимости”
Используется в 9–11 классах при изучении тригонометрических функций.
Задание:
-
Напишите все семь формул, задающих указанные на картине функции.
Приложение 11
Проверка идеальной пропорции тела