XIX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Символы и значения многогранников в произведениях изобразительного искусства

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Третьяков Н.А. 1

---

1МАОУ "Школа№1 им.В.И.Муравленко"

Мерзлякова И.И. 1

---

1МАОУ "Школа №1 им.В.И.Муравленко"

Работа в формате PDF

396.7 KB

Автор работы награжден дипломом победителя I степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

Два года назад, когда наша семья проездом были в Москве, мы зашли на выставку «Изобретения Леонардо да Винчи». Рассматривая модели, выполненные по чертежам Леонардо, чертежи, рукописи моё внимание привлекли рисунки, похожие на новогодние игрушки. Рисунки с необычным названием оказались иллюстрацией к книге Луки Пачоли «Божественная пропорция». Красивые многогранники в рисунках великого мастера казались мне истинным произведением искусства. Многогранники окружают нас с детства. Игра в кубики, детские пирамидки знакомы каждому. Но кто из нас задумывался о том, откуда взялись эти удобные и всем понятные формы? Почему веками люди восхищаются изяществом простых, но в то же время, красивых форм? Существуют множество версий строения Вселенной, связанных с правильными и полуправильными многогранниками. Загадочность и красота многогранников привлекло моё внимание, как и многих известных художников. На рисунках Леонардо да Винчи были мне не понятные, необычные формы многогранников. Я решил больше узнать о них, познакомиться с историей их появления, исследовать их роль в изобразительном искусстве.

Тема исследования: формы и видымногогранников.

Цель исследования: изучить основные свойства и виды многогранников и провести сравнительный анализ основных форм многогранников.

Задачи:

- изучить научную литературу;

- определить основные функции многогранников ;

- провести сравнительный анализ основных форм многогранников в произведениях искусства.

Объект исследования: многогранники в произведениях искусства.

Предмет исследования: функции многогранников в искусстве.

Актуальность исследования:

Мы в 6 классе с предметов геометрия ещё не знакомы. Общаясь с учениками из 7, 8 классов многие из них считают геометрию довольно сложным и непонятным предметом. Учителя говорят, что для понимания этого предмета нужно развивать пространственное воображение, которое развито далеко не у многих. Наше исследование может быть интересным для преподавания практических занятий по геометрии путем раскрытия многих интересных фактов и показав на практике все изящество многогранников и подобрав примеры в другой области искусство.

Методологической базой Ашкинузе В.Г. Многоугольники и многогранники. Энциклопедия элементарной математики, книга IV(Геометрия), М.:Физматгиз, 1963г., Волошинов А.В. Математика и искусство М. Просвещение, 1996 г., Смирнова И.М. В мире многогранников. М., 1990г., Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия. М., 1992.

В работе применяются различные методы исследования, выбор которых обусловлен характером материала и конкретными задачами анализа: поиск и анализ информации, наблюдение, сопоставительный анализ.

Этапы исследования:

подготовительный – изучение документов;

сравнительно-сопоставительный метод.

Практическая значимость: Материалы данного исследования могут быть использованы на уроках геометрии, технологии, в создании проектов, на занятиях в центрах гуманитарного развития «Точка роста».

Глава1. Теоритические аспекты исследования многогранников.

1.1. История многогранников.

О многогранниках упоминалось ещё за 3 тысячи лет до н.э. Модели «удивительных изображений» можно найти на резных шарах из камней из мест в Шотландии, которые появились задолго до того, как их открыл Платон. Разновидные игральные кости того времени, также по форме напоминают правильные многогранники.
Начиная с седьмого века до нашей эры, в Древней Греции существовали различные философские школы. Самой известной школой была Пифагорейская. Отличительным знаком или можно сказать «брендом» пифагорейской школы была пентаграмма. В математике это правильный невыпуклый звездчатый пятиугольник. По мнению древних греков, пентаграмме присваивалась способность защита человека от злых духов.

Пифагорейцы и сам Платон полагали, что материя состоит из четырех основных элементов: огня, земли, воздуха и воды. Существование пяти правильных многогранников они относили к строению материи и Вселенной. Согласно этому мнению, атомы основных элементов должны иметь форму различных правильных тел. 4 многогранника олицетворяли четыре сущности или «стихии». Тетраэдр - стихия огня, так как его вершина устремлена вверх. Икосаэдр – вода, так как он самый «обтекаемый». Куб – земля. Он самый «устойчивый». Октаэдр – воздух, так ка он самый «воздушный». Пятый многогранник – додекаэдр воплощал в себе «всё сущее», символизировал всё мироздание. Он считается главным. Этим красивым телам посвящена 13-я книга "Начал" Евклида. Их еще называют телами Платона.

Дальнейшее развитие математики связано с именами Платона, Евклида, Архимеда, Кеплера. Все использовали в своих философских теориях правильные многогранники.

Открытие тринадцати полуправильных выпуклых многогранников приписывается Архимеду, впервые перечислившего их в недошедшей до нас работе. Ссылки на эту работу имеются в трудах математика Паппа [1, c 81].

1. 1. Виды многогранников

Правильные многогранники

Имеется несколько эквивалентных определений правильных многогранников. Одно из них звучит так: многогранник называется правильным, если существуют три концентрические сферы, одна из которых касается всех граней многогранника, другая касается всех его ребер и третья содержит все его вершины. Это определение напоминает одно из возможных определений правильного многоугольника: многоугольник называется правильным, если он вписан в некоторую окружность и описан около другой окружности, причем эти окружности концентричны. Другое определение: правильным многогранником называется такой выпуклый многогранник, все грани которого являются одинаковыми правильными многоугольниками и все двугранные углы попарно равны.

Одно из древнейших упоминаний о правильных многогранниках находится в трактате Платона (427-347 до н. э.) "Тимаус". Поэтому правильные многогранники также называются платоновыми телами (хотя известны они были задолго до Платона).

Правильный многогранник это фигура, обладающая следующими свойствами:

- он выпуклый;

- все его грани являются равными правильными многоугольниками;

- в каждой его вершине сходится одинаковое число граней;

- все его двугранные углы равны.

Существует всего 5 видов правильных многогранников.

Названия этих фигур запомнить очень легко. В переводе с греческого «эдра» означает грань, «тетра» - 4, «гекса» - 6, «окта» - 8, «икоса» - 20, «додека» - 12.

Основными характеристиками многогранника являются число и вид граней, число вершин и число ребер. Эти характеристики для правильных многогранников представлены в таблице .

Изучив, внимательно содержание таблицы мы установили закономерность: если число ребер рассматриваемого многогранника увеличить на 2, то получится число, равное сумме числа граней и вершин этого многогранника. Сформулируем это правило так: « Сумма числа граней и вершин равна числу рёбер, увеличенному на 2», то есть Г + В = Р + 2 .

Таким образом, мы открыли формулу, которая впервые была выведена Рене Декартом в 1640 году, а позднее вновь открыта Эйлером в 1752 году, имя которого с тех пор она и носит. Формула Эйлера верна для любых выпуклых многогранников.

Полуправильные многогранники

Архимедовы тела или полуправильные многогранники. Они обладают двумя свойствами:
1) Все грани являются правильными многоугольниками двух или более типов (если все грани – правильные многоугольники одного типа, это – правильный многогранник).
2) Для любой пары вершин существует симметрия многогранника (то есть движение, переводящее многогранник в себя) переводящая одну вершину в другую. В частности, все многогранные углы при вершинах конгруэнтны. [2, c 57]

Существует 13 полуправильных многогранников.

Правильные звездчатые многогранники

Кроме полуправильных многогранников из правильных многогранников - Платоновых тел, можно получить так называемые правильные звездчатые многогранники. Их всего четыре, они называются также телами Кеплера-Пуансо. Кеплер открыл малый додекаэдр, названныйим колючим или ежом, и большой додекаэдр. Пуансо открыл два других правильных звездчатых многогранника, двойственных соответственно первым двум: большой звездчатый додекаэдр и большой икосаэдр.

Звездчатые многогранники очень декоративны, что позволяет широко применять их в ювелирной промышленности при изготовлении всевозможных украшений. Применяются они и в архитектуре. Многие формы звездчатых многогранников подсказывает сама природа. Снежинки - это звездчатые многогранники. С древности люди пытались описать все возможные типы снежинок, составляли специальные атласы. Сейчас известно несколько тысяч различных типов снежинок.

Среди звездчатых форм икосаэдра встречаются некоторые соединения платоновых тел. Среди них: соединения пяти октаэдров, энантиоморфные формы соединения пяти тетраэдров и соединения десяти тетраэдров. Если бы Платон смог видеть эти формы, они привели бы его в восхищение. После того как были открыты эти и ряд других многогранников, ученые, естественно, задумались над вопросом: сколько существует звездчатых форм икосаэдра? Было доказано, что существует всего 59 звездчатых форм икосаэдра, из которых 32 обладают полной, а 27 неполной икосаэдральной симметрией. [5,c 87]

2. Многогранники в искусстве

   1. Творчество Леонардо да Винчи.

Математика играет важную роль в изобразительном искусстве. При изображении перспективы, реалистическое изображение трёхмерной сцены на плоском холсте или листе бумаги. Изображение объемных фигур вызвало интерес к изучению и изображению многогранников. Особенно проявляли интерес художники эпохи Возрождения. Они изучали явления природы, стремясь найти обоснованные с точки зрения науки способы их изображения. Изучение перспективы, пропорций и светотени в основе которых были развитие таких наук как математика, анатомия, оптика, становятся основой искусства Возрождения и появление новых взглядов на изобразительное искусство. Эти знания позволяли художнику создавать трёхмерное пространство на плоскости, добиваться объема и рельефности фигур. Для многих живописцев многогранники являлись моделью для оттачивания своего мастерства в изображении перспективы. Многие художники восхищались симметрией и лаконичностью многогранников. Во многих работах великого Леонардо да Винчи (1452-1519 г.г.) присутствует изображение многогранников. Рисунки многогранников украшают книгу Луки Пачоли (1445 -1514 г.г.) «О божественной пропорции», которые он выполнил по просьбе своего друга.

В эпоху Возрождения изображения многогранников на картинах имеет символический смысл. Если внимательно рассмотреть портрет Луки Пачоли, который написан около 1500 года, то в левом углу мы увидим загадочный прозрачный объект, на который устремлён взгляд ученого. Это ромбокубоктаэдр – полуправильный многогранник, состоящий из 18 квадратов и 8 треугольников. Он стеклянный и наполовину заполнен водой, а на его гранях можно разглядеть отражения архитектурного пейзажа. Полуправильный многогранник рядом с учёным, который изображен на нём в рясе монаха-францисканца с атрибутикой учёного: циркулем, угломером и т.д. Кроме того, буквы и символы на портрете тоже вызывают массу предположений, не исключено, что они составляют какой-то ребус. Возможно, что этот многогранник отражает то место, где Лука приобрёл известность как учёный и тем самым его можно считать символом уравновешенности и спокойствия.

1. 2. А льбрех Дюрер «Меланхолия»

Знаменитый художник, увлекавшийся геометрией, Альбрехт Дюрер (1471- 1528) написал трактат, в котором представил пять правильных многогранников, модели которых служат хорошими моделями перспективы. В известной гравюре «Меланхолия» на переднем плане изобразил многогранник.

С уществует версия, что именно эта глыба неправильной формы является защитой от уныния, беспокойства, депрессии. По одной из версий, Дюрер увидел однажды минерал подобной формы, добытый недалеко от Нюрнберга. Его поразило, что сама природы придала столь причудливую, почти рукотворную форму камню, именно поэтому он решил его изобразить. Вероятнее всего, это был плавиковый шпат (флюорит), этот минерал часто образует кубические, октаэдрические и более сложные формы кристаллов. Их до сих пор добывают в Южной Германии.

На гравюре изображен камень в форме тетрагонтритетраэдр (кубическая сингония). замкнутый двенадцатигранник, представляющий собой как бы тетраэдр, каждая грань которого покрыта тремя треугольниками. Стоит также отметить, что согласно представлениям литотерапии (лечения камнями), флюорит используется для снятия стресса, депрессии и достижения душевного равновесия. Из флюорита делали шары для предсказания будущего и амулеты для тех, кто «общается с тонкими мирами» (ученым, творческим людям, практикующим магам). Возможно, Дюрер слышал об этом, и потому разместил этот камень на гравюре.

2.3. Работы Сальвадора Дали и Эшера.

Многогранники в своём творчестве использовал и  великий мастер сюрреализма Сальвадор Дали. Его картина «Тайная вечеря» была создана мастером в 1955 году. Полотно написано сложной техникой, для его создания были использованы фотоматериалы. Он создает традиционный сюжет, представляя его с футуристической точки зрения.

Художник изобразил собрание за единым столом Христа и его последователей. Обстановка и герои у Дали совсем другие. Все на полотне минималистично и аутентично.
В центре внимания расположен стол, покрытый клеенчатой тканью белого цвета. Все персонажи картины облачены в белоснежные туники, они сидят, смиренно опустив свои головы, вслушиваясь в речи всемогущего.

Картина определенно несет в себе нравственное послание. Она полна света и легкости. Через прозрачные окна в форме додекаэдра нам отрывается пейзаж неземной красоты: ясное голубое небо потянуто персиковыми облаками, расположенными над серебристыми массивами гор. Видно, что помещение, где происходит действие картины, находится высоко, скорее всего, это верхний этаж какого-то современного звания. Таким образом, нам демонстрируют величие и высоту морали нравственного учения.

Математические изобразительное искусство процветает сегодня, и многие художники создают картины в стиле Эшера (Ма́уриц Корне́лис Э́шер (17 июня 1898 – 27 марта 1972) — нидерландский художник-график. Он известен, прежде всего, своими концептуальными литографиями, гравюрами на дереве и металле, в которых он мастерски исследовал пластические аспекты понятий бесконечности и симметрии, а также особенности психологического восприятия сложных трёхмерных объектов) и в своем собственном стиле. Эти художники работают в различных направлениях, включая скульптуру, рисование на плоских и трехмерных поверхностях, литографию и компьютерную графику. А наиболее популярными темами математического искусства остаются многогранники и другие.

На гравюре "Четыре тела" Эшер изобразил пересечение основных правильных многогранников, расположенных на одной оси симметрии, кроме этого многогранники выглядят полупрозрачными, и сквозь любой из них можно увидеть остальные.

Согласно современным взглядам, математика и изобразительное искусство очень удаленные друг от друга дисциплины, первая - аналитическая, вторая - эмоциональная. Математика не играет очевидной роли в большинстве работ современного искусства. Однако есть много художников, у которых математика находится в центре внимания.

Вообще-то не существует каких-либо правил или ограничений на использование различных тем в математическом искусстве. Однако есть некоторые, которые достаточно часто используются художниками. Среди них есть использование многогранников, тесселяций (от англ. "tessellation" – замощение – разбиение плоскости или пространства на фигуры без общих внутренних точек), невозможных фигур, лент Мёбиуса, искаженных или необычных систем перспективы, а также фракталов (Фрактал - объект, имеющий разветвленную структуру. Части фрактала подобны всему объекту. Фракталы используются в компьютерной графике для создания линий побережья, деревьев, облаков и других графических объектов. лат. Fractus - состоящий из фрагментов).

3. Выводы

В результате своих исследований я узнал много интересного и полезного. Оказывается, жизнь человека с древнейших времен была связана с понятием  многогранника. Удивительным является еще тот факт, что научные гипотезы, опирающиеся на свойства  многогранников, встречаются  в  географии и астрономии, в химии и физике и других науках. Совершенство, красота, гармония – это то, что привлекло к ним внимание многих известных художников. Знакомство с творческом и поиск смыслов изображения объёмных фигур «причудливой формы» были для меня открытием. Объёмное изображение фигур многогранников на плоской бумаге, преображение пространства на листе – это всё удивительные творения великих художников. В дальнейшем я хочу ещё больше расширить свои знания по данному вопросу. В перспективе планирую изучить теоремы о правильных многогранниках, рассмотреть сечения многогранников плоскостью, есть желание изготовить звездчатые многогранники с использование 3D принтера.

Список используемой литературы.

1.Ашкинузе В.Г. Многоугольники и многогранники. Энциклопедия элементарной математики, книга IV(Геометрия), М.:Физматгиз, 1963г.,

2. Волошинов А.В. Математика и искусство М. Просвещение, 1996 г.,

3. Смирнова И.М. В мире многогранников. М., 1990г.,

4. Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия. М., 1992.

5. http://ru.wikipedia.org; http://www.den-za-dnem.ru; Энциклопедия Кирилла и Мефодия. Электронное издание