XIX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
ТЕОРИЯ ГРАФОВ КАК ИНСТРУМЕНТ АНАЛИЗА АРХИТЕКТУРНОЙ КОМПОЗИЦИИ ЖИЛЫХ ПОМЕЩЕНИЙ
Автор работы награжден дипломом победителя I степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Мы частенько рисуем на листочках бумаги кружочки, квадратики, точки, обозначая ими людей, населённые пункты, дела, которые мы должны сделать, и соединяем их прямыми и ломаными линями, стрелочками, которыми обозначаем связи между ними, отношения, последовательность действий и тому подобное. Такие схемы встречаются всюду под разными названиями: социограммы (в психологии), симплексы (в топологии), электрические цепи (в физике), диаграммы организации (в экономике), сети коммуникаций, генеалогические деревья и т.д. А это означает, что мы неосознанно открываем для себя математическое понятие - графы.
В математике появился еще один из разделов: теория графов, изучающая свойства графов. Благодаря этому разделу, легко приводятся к правильному ответу многие логические задачи, решая которые, я с удивлением увидела возможности и многообразие вариантов решений. Графы – это замечательные математические объекты, с помощью которых можно решать математические, экономические и логические задачи. А т.к. живу в строящемся и развивающемся районе Лесная поляна, в которой постоянно открываются выставочные квартиры и танхаусы с различной площадью, дизайном, то я задумалась о возможности использования аппарата теории графов для описания архитектурно-планировочных объектов района, т.е. жилых помещений, в частности квартиры, коттеджи.
Цель работы: выяснить особенности применения теории графов в планировках жилых помещений.
Задачи:
-
познакомиться с историей теории графов;
-
изучить основные понятия теории графов и виды графов;
-
изучить понятие архитектурной композиции;
-
показать применение теории графов в жилых помещениях.
Объект: жилые помещения (квартиры, коттеджи)
Предмет исследования: архитектурная композиция жилых помещений
Гипотеза исследования: можно ли с помощью теории графов проанализировать архитектурную композицию в планировках квартир?
Проблема исследования: как применить теорию графов в планировках жилых помещений?
Актуальность темы исследовательской работы заключается в том, что благодаря применению теории графов открывается широкая возможность использования оригинальных, но в то же время очень простых способов решения задач практического содержания.
II. Теория графов
1. История теории графов
Задача. В деревне 9 домов. Известно, что у Петра соседи Иван и Антон, Максим сосед Ивану и Сергею, Виктор - Диме и Никите, Евгений сосед Никиты, а больше соседей в этой деревне нет (соседними считаются дворы, у которых есть участок забора). Может ли Петр огородами пробраться к Никите за яблоками? Для решения этой задачи необходимы два элемента: точка и отрезок. Точки - это вершины, обозначенные буквами П, И, А, М, С, В, Д, Н, Е будут соответственно условию задачи соединены отрезками - ребрами для обозначения соседства (Приложение 1). Венгерский математик в 1936г Денеш Кёниг предложил называть такие схемы "графами" и систематически изучать их свойства.
Но родоначальником графов был Леонард Эйлер. Его задача о Кенигсбергских мостах (современный г. Калининград) затронула умы многих людей, что сподвигло Эйлера на придумывание задач с вершинами и рёбрами. В пределах города река Прегель омывает два острова. С берегов на острова были перекинуты мосты. Старые мосты не сохранились, но осталась карта города, где они изображены (Приложение 2). Жители города предлагали приезжим следующую задачу: пройти по всем мостам и вернуться в начальный пункт, причём на каждом мосту следовало побывать только один раз. Прогуляться по городским мостам предложили и Эйлеру. После безуспешной попытки совершить нужный обход, он начертил упрощённую схему мостов (Приложение 3). Получился граф, вершины которого – части города, разделённые рекой, а рёбра – мосты. В итоге он доказал общее утверждение: для того, чтобы можно было обойти всё рёбра графа по одному разу и вернуться в исходную вершину, необходимо и достаточно выполнение двух условий:
-
Из любой вершины графа должен существовать путь по его рёбрам в любую другую вершину (граф должен быть связным);
-
Из каждой вершины должно выходить чётное количество рёбер.
Замкнутый путь, проходящий по одному разу по всем рёбрам графа, называют с тех пор эйлеровым циклом (путём).
Если отбросить условие возвращения в исходную вершину, то можно допустить наличие двух вершин, из которых выходит нечётное количество рёбер. Тогда начинать движение следует из одной из этих двух вершин, а заканчивать в другой.
А как же с кёнигсбергскими мостами? Здесь при каждой из четырёх вершин нечётное число ребер, так что нет не только эйлерова цикла, но и пути из одной вершины в другую, проходящего по всем рёбрам графа.
А изучение немецким математиком и физиком Г. Кирхгофом электрических цепей, привело к разработке им основных понятий и получению ряда теорем, касающихся деревьев в графах. В свою очередь английский математик А. Кэли подошел серьёзно к исследованию деревьев. После этого появилась знаменитая гипотеза четырёх красок, которая до сих пор пользуется широкой известностью.
Таким образом, активное развитие естественных наук оказало свое влияние на развитие теории графов благодаря исследованиям электрических цепей, моделей кристаллов и структур молекул.
2. Виды графов. Эйлера графы
Граф — абстрактный математический объект, представляющий собой множество вершин графа и набор рёбер, то есть соединений между парами вершин. Например, за множество вершин можно взять множество аэропортов, обслуживаемых некоторой авиакомпанией, а за множество рёбер взять регулярные рейсы этой авиакомпании между городами. Или строение Википедии можно смоделировать при помощи ориентированного графа, в котором вершины — это статьи, а дуги (ориентированные рёбра) — гиперссылки.
Рассмотрим несколько видов графов:
а) у спортивных команд до начала сезона, как обычно, не бывает состязаний, поэтому граф представлен в виде изолированных вершин, не соединенных ребрами (Приложение 4а) - такой граф называется нуль-граф или нулевой;
б) теперь предположим, что каждая команда сыграла по одному разу с каждой из остальных команд (Приложение 4б) - этот граф называется полным, потому что каждая пара соединена ребром;
в) теперь нашим командам надо посетить группу островов, т.е. каждый остров - этот граф называется связным, если любые две его вершины могут быть соединены путем, т. е. последовательностью ребер, каждое следующее из которых начинается в конце предыдущего (приложение 4в). Соответственно имеется несвязный граф, если не выполняется выше условие;
г) итак, у нас есть команды и возникает вопрос - кто выиграл? Например, команды А и Б выиграли у В, которая в свою очередь выиграла команд Г и Д, а команда Д проиграла Г - данный граф называется ориентированным - (кратко орграф) — (мульти) граф (Приложение 4г), рёбрам которого присвоено направление. Направленные рёбра именуются также дугами. Соответственно имеется неориентированный граф –такой же как ориентированный граф, только не присвоено направление;
д) многие дети любят рисовать различные фигурки, не отрывая карандаш от бумаги - это эйлеровский граф - цикл (путь) (Приложение 4д), содержащий все ребра графа ровно один раз. Граф, обладающий эйлеровым циклом, называется эйлеровым графом.
Здесь перечислены основные виды графов, которые часто встречаются в задачах, в практической жизни (Приложение 5). Еще у графа могут быть два маршрута или более, которые начинаются в одной и той же вершине и заканчиваются в другой, но оба маршрута заканчиваются в одной и той же другой вершине. Такие маршруты (дуги, ребра) называются кратными. Иногда можно увидеть граф, в котором дорога ведет в ту же точку, откуда выходит. Такая дорога называется петлей.
Рассмотрим самый обыкновенный неориентированный граф (Приложение 4г). В нем есть вершина Б и вершина Г. Данные вершины являются смежными, так как они соединены ребром БГ. Кроме этого, вершина Г является концом ребра ВГ, а В его началом, в таких случаях вершины В и Г называются инцидентными ребру ВГ.
III. Архитектурная композиция жилых помещений
-
Понятие архитектурной композиции.
Теория графов рассматривает разрозненные примеры привлечения математики для нужд архитектуры и такого самостоятельного раздела в архитектурной науке нет. Нет специальной терминологии, нет понятия «архитектурная математика», но есть лишь единичные случаи использования теории графов в архитектурном проектировании помещений и построения композиции в них. Это всего лишь применение в архитектурной композиции математических элементов, потому что в архитектурном проектировании используют правила соотношений и пропорций частей и целого.
Архитектурная композиция – это целостная художественно выразительная система форм, отвечающая функциональным и конструктивно-техническим требованиям: удобство и польза (функциональная задача), прочность и экономичность (конструктивная и технико-экономическая задача), красота форм (эстетическая задача). [1, С.7]. Композиция внутреннего пространства сочетает в себе форму, размер, взаиморасположение помещений внутри жилых помещений. В данной работе мы рассмотрим архитектурную композицию и проведем анализ организации архитектурного пространства с помощью теории графов в жилых помещениях - квартирах и коттеджах.
2.Организация архитектурного пространства в жилых помещениях.
Организация пространства в квартирах прямо связана с назначением помещений. Процессы труда, общественной жизни, быта требует своего места в пространстве и определенных физических условий. Столкновение процессов создает взаимные помехи, но их обособление не должно вести к нарушению необходимого взаимодействия. Так, домашнее хозяйство, общий досуг, уединение и отдых входят в единый цикл жизни семьи, но требуют обязательного разделения. В соответствии с этим пространство жилища делится на помещения с определенным назначением (прихожая, общая комната, кухня, спальни, гардеробная, санитарный узел), а группировка помещений должна обеспечить связи в наиболее целесообразной последовательности.
Разграничение жизненных процессов и одновременно установление необходимых связей между ними — вот общий принцип организации пространства. Если связанные между собой части помещения излишне разобщены, чтобы преодолеть расстояния между ними, нужны специальные затраты времени и усилий. Организация архитектурного пространства должна способствовать экономии времени и сил тех, кто этим пространством будет пользоваться. Сокращение непроизводительных затрат времени в системе процессов — второй общий принцип организации архитектурного пространства. Особое внимание на возможность экономии домашнего труда путем правильного взаимного расположения кухни и столовой (поэтому помещение делили на зоны: "день" и "ночь") и, главное, ограничения помещений квартиры размерами, которые действительно необходимы [1, С.12].
Зная общий принцип организации помещения, попробуем с помощью графов описать функциональные связи объектов жилого помещения. В настоящее время жилое помещение разделяют на две части: интимную зону и общественную зону. К интимной зоне относятся: санитарный узел (СУ), спальня, гардероб, а к общественной зоне: кухня (обеденная зона), коридор, зал, террасы (балконы), гараж. В архитектурной композиции жилого помещения должно быть ядро (обозначено на плане квадратом), которое создается по предполагаемым связям внутри объекта (в данном случае по помещениям). В случае несовпадения графа с его ядром производится корректировка связей, т.е. перепланировка. Метод анализа архитектурной композиции базируется на нескольких определениях:
1. Ребро считается инцидентным двум вершинам, которые оно соединяет.
2. Вершина покрывает ребро графа, которое ей инцидентно.
3. Несмежные ребра графа называются независимыми.
4. Наименьшее число вершин, которыми можно покрыть все ребра графа, называется числом минимального вершинного покрытия (α).
5. Максимальный набор независимых ребер графа называется числом реберной независимости (β).
Данный метод предложил архитектор Н. М. Зубов на кафедре ТСАП и ВМ Свердловского архитектурного института [4]. Мы решили применить этот метод для анализа архитектурной композиции жилых помещений (квартир, коттеджей) и взяли помещения без размеров, т.е. без указания длины и ширины комнат на начальном этапе, что бы был понятен метод.
Обратим особое внимание на следующие помещения:
- гардеробная в спальне будет рассматриваться как часть спальной комнаты и обозначается одной с ней вершиной, т.к. является ее неотъемлемой частью;
- гардеробная в коридоре будет рассматриваться как самостоятельное помещение;
- лоджии, балконы, оранжереи формально объединяются с помещениями, к которым они примыкают.
3. Квартиры, коттеджи с перегородками
По данному методу, каждому помещению, входящему в состав квартиры, поставили в соответствие вершину графа и установили взаимосвязь между ними в виде соединения ребрами по принципу функциональной смежности. Во всей этой системе ищем ядро. Ядер может быть несколько. Так, например, в Приложении 6а квартира имеет 2 ядра. Первое ядро располагается в прихожей и соединяет две спальни. Второе ядро находится в коридоре и соединяет ванную, кухню и гостиную. В функциональном расположении комнат имеется ошибка: второе ядро соединяет не функциональные помещения - ванную с кухней (или залом). Внесенная корректировка - перенос двери в коридор - привнесла всему помещению правильность и отвечает основному требованию: удобство и правильность (Приложение 6б).
В Приложении 7 проектируемый объект-коттедж, имеющий три этажа: цокольный, 1 этаж и 2 этаж. Цоколь имеет 1 ядро, находящееся в холле и соединяющее лестничную площадку, санузел, кладовую, тамбур, тренажерный зал с холодной кладовой. Холодная кладовая - это комната для долговременного хранения продуктов - это хозяйственная постройка. Прослеживая путь графа от ядра, видим, что появилось лишнее ребро, соединяющее тренажерный зал с холодной кладовой. Можно предположить, что не целесообразно делать вход в кладовую из тренажерного зала и поэтому вариантами могут быть: отдельный вход с улицы в данную комнату и тем самым иметь свое собственное ядро или расположить холодную в простой кладовой (слева от тренажерного зала).
1 этаж: имеет 2 ядра. Первое ядро находится в прихожей и соединяет лестничную площадку, санузел, гардероб, спальню, гостиную с зимним садом и кухню. Гардероб не примыкает ни к одному из помещений, поэтому имеет свою вершину графа. Второе ядро находится в отдельном помещении - в гараже. Гараж не относится к жилым, это хозяйственная постройка, в котором располагается автомобиль и прочие аксессуары, выхлопные газы не должны мешать жизнедеятельности человека, имеет отдельный вход-выход. Композиция жилых помещений правильная.
2 этаж: имеет 1 ядро, располагающееся в холле и которое соединяет гостевую, кладовую, два санузла, три спальни. Один из санузлов, являющийся интимной зоной, находится также в интимной зоне - в спальне. Число минимального вершинного покрытия (α) не равно числу реберной независимости (β). Санузел - это не примыкающее помещение, он самостоятельный элемент всего помещения, поэтому его можно было вывести и расположить между двумя спальнями у холла.
Интуитивное стремление человека к ясности структуры обнаруживается и в повседневной жизни, вызывая потребность в перепланировках неудачных по первоначальной структуре квартир. Таким образом, с помощью графов можно анализировать архитектурную композицию.
4.Самостоятельная планировка.
Архитектурное пространство при любых его размерах и назначении должно обеспечить и физическую возможность расположения, и необходимое перемещение людей и предметов, и эмоциональное воздействие на человека. Работая над архитектурной композицией следующих жилых помещений, сначала проанализируем назначение того пространства, которое мы будем расчленять на элементы (комнаты). Далее установим порядок взаимного расположения и связи между элементами. В последующих приложениях мы самостоятельно "построим" перегородки и тем самым получим первые эскизы функциональной целесообразности помещений. Конечно, мы не дизайнеры-проектировщики, но хотелось бы понять, можно ли самостоятельно с помощью графов расположить комнаты, согласно методу Зубова.
Так, например, в Приложении 8 квартира имеет только две несущие стены, которые уже изначально "поделили" квартиру условно на две части, на интимную и на общественную зоны. И благодаря этому, примерно распределяем в квартире объекты внутри помещения: кухню, спальню, санузел, коридор, зал, гардероб, учитывая связи между объектами. Конечно же, изначально необходимо понять, какие комнаты хочет планировать владелец квартиры, будет ли балкон\лоджия, хозяйственное помещение, количество комнат ограничено общей площадью квартиры. В итоге у нас вышла трехкомнатная квартира, в которой образовались две спальни с санузлом - эти комнаты объединяет одно ядро в небольшом коридорчике и зал, кухню, гардероб, прихожую объединяет второе ядро, находящееся в коридоре.
В Приложении 9 помещение имеет одну несущую стену, которая разделит всю квартиру на две зоны. В правом нижнем углу имеется небольшая "ниша": несущая стена и коммуникации - в данном месте будет санузел. А т.к. это интимная зона, то рядом будет располагаться спальня. В итоге мы расположили два ядра в коридоре, у входа в квартиру (в коридоре) ядро соединяет две спальни и санузел, а второе ядро соединяет кухню и зал. С помощью графов мы описали функциональную зависимость между объектами жилого помещения. В данном помещении проектировщик может сделать оранжерею (в зале), гардероб в коридоре.
Таким образом, можно самостоятельно планировать и анализировать архитектурную композицию жилых помещений с помощью графов.
5. Формы и размеры в композиции жилого помещения.
Архитектурное пространство жилого помещения должно обладать эстетическими свойствами, должно быть гармонично, красиво. Оценка этих свойств человеком зависит от психофизиологических закономерностей восприятия пространства. Эти закономерности являются важной частью объективных условий формообразования. Формы и размеры любого помещения не «излишество», а требование гигиены восприятия. Для каждой элементарной функции определяются необходимые геометрические параметры и физические качества пространства. Далее устанавливается порядок взаимного расположения и связи между функциями (что мы и доказали с помощью графов). Вариант пространственной организации жилого помещения закрепляется на специальных чертежах — проектах, а организация процессов в зданиях систематизируется нормами проектирования. Универсальная форма построек жилых помещений - квадрат или прямоугольник, потому что прямоугольные и квадратные элементы удобно соединяются в компактные группы, они легко сочетаются с существующими системами объемно- пространственных конструкций [1, С.15].
С помощью графов можно оценить размеры помещения согласно следующему предложенному методу [5]:
1. Нужно отметить вершины по числу стен, расположенных на чертеже горизонтально, а также две особые вершины — начальную и конечную. Все дуги графа должны быть направлены сверху вниз. Из каждой вершины выходят дуги, направленные вниз, на которых указываются размеры стен, расположенных на чертеже горизонтально.
2. На каждой вершине внутри круга указывается расстояние между стеной, соответствующей этой вершине, и следующей стеной, расположенной на чертеже горизонтально.
3. В начальной вершине, точнее на входящем ребре, указывается общая ширина помещений, а внутри круга — их общая длина. В конечной вершине длина должна быть равна нулю, а на исходящем ребре должна быть нанесена общая ширина помещений.
Вывод метода: граф будет составлен неверно, если сумма значений для ребер, исходящих из данной вершины, будет не равна сумме значений для входящих ребер.
Такие графы позволяют проверить правильность внутренних размеров помещений.
Так, например, в Приложениях 10 и 11 мы видим помещения, содержащие комнаты прямоугольной формы. Графы составлены верно, потому что значения сумм по вертикали и по горизонтали совпадают.
Таким образом, с помощью теории графов возможно проанализировать архитектурную композицию жилых помещений.
IV.Заключение
В современном мире графы используются в математике и в окружающем нас мире. Они нужны для планирования дорог, путей сообщения, маршрутов. И как мы выяснили, могут применяться в планировках квартир. Доказали, что теорию графов можно применять в планировках квартир, чтобы проверить правильность функциональных связей между помещениями. В некоторых квартирах не было перегородок, и мы смогли их добавить. С помощью графов проверили правильность соразмерности отдельных объектов в жилых помещениях.
Мы приходим к выводу, что применение метода поиска ядра графа при анализе функциональных связей дает возможность не только проверить готовую структуру на ее ясность и четкость, но и внести коррективы. В настоящее время применяют различные технологии при строительстве, чтобы повысить удобство. Но главным все-таки при строительстве остается сама архитектурная композиция: форма, размеры, планировка жилых помещений. Это подтверждает рецензия на работу от архитектора г. Кемерово Соболевой Анны Викторовны (Приложение 12).
Таким образом, мы смогли подтвердить нашу цель и выполнить задачи работы. Гипотеза тоже подтвердилась. Теория графов актуальна в планировках квартир, можно использовать тем людям, которые покупают квартиры в новостройках и самостоятельно проектируют помещение. Из всего выше сказанного неопровержимо следует практическая ценность теории графов, важность применения в практической жизни, доказательством которой и являлась актуальность работы.
V. Литература
1. А.В.Иконников, Г.П. Степанов. Основы архитектурной композиции. М.-Изд-во "Искусство", 1971
2. О.Оре. Графы и их применение. М.-Изд-во "Мир", 1965.
Источники из Интернета:
3.https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D1%80%D0%B0%D1%84_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)
4. https://sites.google.com/a/labore.ru/teoria-grafov-i-ee-primenenie/novosti-obrazovania/teoria-grafov-i-arhitektura
5. Графы в архитектуре - ТЕОРИЯ ГРАФОВ - МИР МАТЕМАТИКИ - Каталог файлов - ШКОЛА ПИФАГОРА (xn----7sbbao2ali0aghq2c8b.xn--p1ai)
VI. Приложение
Приложение 1
Решение задачи с помощью графа
И П А
М Е
вершины
С Н В Д
ребра
Приложение 2
Карта города Кенинсберга, где изображены мосты
Приложение 3
Упрощенная схема мостов
Приложение 4
Виды графов
а) Нуль-граф (нулевой) б) Полный граф в) Связный и несвязный граф
г) Ориентированный и неориентированный граф
д) Эйлеров граф
Приложение 5
Схема видов графов
Приложение 6а
Приложение 6б
Приложение 7
Вход в холодную кладовую с улицы
Приложение 8
Приложение 9
Приложение 10
Приложение 11
Приложение 12