XIX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Расчет вероятности победы в хоккейном чемпионате: реальность или вымысел
Автор работы награжден дипломом победителя I степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Самые ожидаемые спортивные события для всего мира – это чемпионаты мира по футболу, хоккею и другим видам спорта. Однажды на одном из сайтов в интернете я наткнулся на статью со следующим названием «Математики рассчитали, кто выиграет ЧМ». И сразу пришла мысль: а можно ли с помощью математики определить победителя чемпионата по хоккею? И оказалось, что для таких расчетов используют теорию вероятностей, а в данном конкретном случае – формулу Байеса.
Актуальность исследованиясостоит в том, что теория вероятностей имеет практическое применение, в некоторых случаях может встретиться не только в обыденных ситуациях, таких как участие в лотерее, розыгрыш призов или определение победителя в спорте, но и в финансах - для оценки риска кредитования потенциальных заемщиков, в медицине – для определения точности результатов медицинских тестов и вероятности, что у данного человека имеется потенциальное заболевание.
Цель исследования: прогнозирование результата с помощью теории вероятностей.
Объект исследования: теорема Байеса.
Задачи исследования:
-
ознакомиться с теоремой Байеса;
-
просчитать вероятность победы в местном чемпионате по хоккею;
-
сравнить полученные результаты с фактическими;
-
сделать выводы.
Методы исследования:
-
изучение и анализ литературы;
-
обработка статистических данных;
-
анализ полученных результатов.
Гипотеза: с помощьюформулы Байеса можно определить победителя в чемпионате по хоккею.
-
Основная часть
Глава 1. Теорема Байеса.
Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных игр (орлянка, кости, рулетка). Первоначально её основные понятия не имели строго математического вида, к ним можно было относиться как к некоторым эмпирическим фактам, как к свойствам реальных событий, и они формулировались в наглядных представлениях. Самые ранние работы учёных в области теории вероятностей относятся к XVII веку.
Важный вклад в теорию вероятностей внёс Якоб Бернулли: он дал доказательство закона больших чисел в простейшем случае независимых испытаний.
В XVIII веке важное значение для развития теории вероятностей имели работы Томаса Байеса, сформулировавшего и доказавшего Теорему Байеса. [3]
Теорема Байеса всегда оставалась одним из самых спорных вопросов в математической статистике. Полемика, связанная с ее практической применимостью, не затихает до сих пор.
Теорема Байеса — одна из основных теорем элементарной теории вероятностей, которая определяет вероятность наступления события в условиях, когда на основе наблюдений известна лишь некоторая частичная информация о событиях. По формуле Байеса можно более точно пересчитывать вероятность, принимая во внимание как ранее известную информацию (априорные данные), так и данные новых наблюдений (апостериорные данные).
Введем следующие обозначения:
А – состоялся матч (событие);
Н1 – гипотеза, что победит первая команда;
Н2 – гипотеза, что победит вторая команда;
Н3 – гипотеза, что будет ничья между данными командами;
Р (Н1) = Р (Н2) = Р (Н3) = 1/3, то есть это одинаковая вероятность событий (победа 1, победа 2, ничья);
Р (Н1/А) – отношения количества выигранных матчей первой команды к общему количеству матчей;
Р (Н2/А) – отношение количества выигранных матчей второй команды к общему количеству матчей;
Р (Н3/А) – суммарная статистическая вероятность, то есть (ничьи 1 + ничьи 2) / общее количество матчей одной из команд.
Р (А) – полная вероятность наступления события
Формула Байеса:[1]
где Р (А) = Р (Н1/А)* Р (Н1) + Р (Н2/А)* Р (Н2) + Р (Н3/А)* Р (Н3) – полная вероятность.
Глава 2. Расчет вероятности победы в чемпионате мира по футболу
Определять победителя буду среди 8 команд. По возможности, попробуем распределить их по местам. Расчет будет вестись на основе Сводной таблицы (Приложение 1).
Как работает формула Байеса, я подробно покажу на примере первой пары команд, которая сыграла в одной четвертой. Это были команды «Буран» Воронеж и «Буран- 2005» Воронеж.
Р (Н1) = Р (Н2) = Р (Н3) = 1/3;
По таблице из Приложения 1 определяем:[2]
Р (Н1/А) = 7/7 («Буран» выиграл 7 игры из 7);
Р (Н2/А) = 4/7 («Буран- 2005» выиграла 4 игры из 7);
Р (Н3/А) = 2/7 (3 игры «Буран -2005» сыграла в ничью);
Считаем полную вероятность:
Р (А) = 7/7 * 1/3 + 4/7 * 1/3 + 2/7 * 1/3 = 13/21.
А далее по формуле Байеса считается вероятность победы команды Буран:
Вероятность победы команды «Буран -2005» Воронеж:
Вероятность сыграть в ничью:
Рничья = 2/21 : 13/21 = 2/13 (15 %)
Можно сделать вывод, что в 1/2 пройдет команда «Буран».
Все остальные расчеты представлены в Приложении 2. Конечный результат оформлю в виде турнирной таблицы на стр8.
1/4 финала Полуфинал Финал
Буран
Буран 2005
Буран
ВДВ
ВДВ
Ягуары
Буран
(за 1 место)
ДЮСШ-2
ДЮСШ-2
Соловей
ДЮСШ-2
Черные акулы
Черные акулы
Кристалл
ВДВ
(за 3 место)
Черные акулы
Остальные команды по очкам занимают соответствующие места в турнирной таблице
Теперь можно распределить эти команды по местам. Слева приведены места по моим расчетам, а справа – настоящие места в турнирной таблице.
Турнирная таблица
|
Мои расчеты |
Места в турнирной таблице |
|
|
Видно, что команды «Черные акулы», «Ягуары» и «Буран 2005» перепутаны местами. Хотя хронология нарушена только один раз. Команда «Черные акулы» по моим расчета стала четвертой, а не шестой. Остальные команды идут так же друг за другом.
-
Заключение
В результате проделанной работы, достигнуты поставленные цели и задачи.
Во-первых, была изучена научная литература по теме «Теорема Байеса».
Во-вторых, в ходе работы были проведены расчеты, спрогнозирован победитель чемпионата, 8 команд распределены по местам, которые они гипотетически должны были занять.
В-третьих, проанализировав полученные результаты и сравнив их с фактическими, можно сделать следующие выводы:
-
только 5 из 8 команд по расчетам оказались на своих местах;
-
достоверность полученного результата напрямую зависит от количества вводной информации. Расчеты велись на основе отборочного этапа, то есть каждая команда сыграла всего лишь по 7 игр, что, конечно же, мало;
-
нельзя исключать «человеческий фактор». Люди – это не роботы, и играть на протяжении всего чемпионата одинаково они не могут (есть травмы, замены игроков, уровень их игры и состояние здоровья).
Таким образом ранее выдвинутая гипотеза не нашла своего полного подтверждения в данном исследовании, Можно говорить о том, что формула Байеса работает на 60-70%.
Список литературы
1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. — М.: Высшее образование, 2005-92с
2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: «Высшая школа», 2004-108с
3. Материал из Википедии - свободная энциклопедия. Теория вероятностей. Электронный ресурс
https://ru.wikipedia.org/wiki/Теория_вероятностей
Приложение 1
«Сводная таблица матчей»
|
Команды |
Отборочный тур |
||
|
И |
В |
Н |
|
|
«Ягуары» Липецк |
4 |
2 |
1 |
|
«Буран» Воронеж |
7 |
0 |
0 |
|
«Буран 2005» Воронеж |
3 |
3 |
1 |
|
«ВДВ» Воронеж |
4 |
2 |
1 |
|
«ДЮШС-2» Переславль-Залесский |
5 |
2 |
0 |
|
«Кристалл» Елец |
1 |
6 |
0 |
|
«Соловей» Курск |
1 |
5 |
1 |
|
«Черные акулы» Ростов-на-Дону |
2 |
5 |
0 |
И – количество игр
В – количество выигрышей
Н – количество игр, сыгранный в ничью
Приложение 2
«Расчет всех матчей»
1) Буран – Буран 2005.
Р (Н1) = Р (Н2) = Р (Н3) = 1/3;
Р (Н1/А) = 7/7;
Р (Н2/А) = 3/7;
Р (Н3/А) = 1/7.
Р (А) = 7/21 + 3/21 + 1/21 = 11/21.
РБ = 7/21 : 11/21 = 7/11 (64%);
Р2005 = 3/21 : 11/21 = 3/11 (27%);
Рничья = 1/27 : 11/21 = 1/11 (9%)
2) Черные акулы – Соловей:
Р (Н1) = Р (Н2) = Р (Н3) = 1/3;
Р (Н1/А) = 2/7;
Р (Н2/А) = 1/7;
Р (Н3/А) = 1/7.
Р (А) = 2/21 + 1/21 + 1/21 = 4/21.
РЧА = 2/21 : 7/21 = 1/2 (50%);
РС = 1/21 : 4/21 = 1/4 (25%);
Рничья = 1/21 : 4/21 = 1/4 (25%)
3) ДЮСШ-2 – Ягуары:
Р (Н1) = Р (Н2) = Р (Н3) = 1/3;
Р (Н1/А) = 5/7;
Р (Н2/А) = 4/7;
Р (Н3/А) = 1/7.
Р (А) = 5/21 + 4/21+ 1/21 = 10/21.
РД = 5/21 : 10/21 = 1/2 (50%);
РЯ = 4/21 : 10/21 = 2/5 (40%);
Рничья = 1/21 : 10/21 = 1/10 (10%)
4) ВДВ – Кристалл:
Р (Н1) = Р (Н2) = Р (Н3) = 1/3;
Р (Н1/А) = 4/7;
Р (Н2/А) = 1/7;
Р (Н3/А) = 1/7.
Р (А) = 4/21 + 1/21 + 1/21 = 2/7
РВДВ = 4/21 : 2/7 = 2/3 (66 %);
РД = 1/21 : 2/7 = 1/6 (17 %);
Рничья = 1/21 : 2/7 = 1/6 (17 %)
5) Буран – Черные акулы:
Р (Н1) = Р (Н2) = Р (Н3) = 1/3;
Р (Н1/А) = 7/7;
Р (Н2/А) = 2/7;
Р (Н3/А) = 0/7.
Р (А) = 7/21 + 2/21 + 0 = 3/7.
РБ = 7/21 : 3/7 = 7/9 (78%);
РЧА = 2/21 : 3/7 = 2/9 (22%);
Рничья = 0
6) ДЮСШ-2 – ВДВ:
Р (Н1) = Р (Н2) = Р (Н3) = 1/3;
Р (Н1/А) = 5/7;
Р (Н2/А) = 4/7;
Р (Н3/А) = 1/7.
Р (А) = 5/21 + 4/21 + 1/21 = 10/21.
РД = 5/21 : 10/21 = 1/2 (50%);
РВДВ = 4/21 : 10/21 = 2/5 (40%);
Рничья = 1/21 : 10/21 = 1/10 (10%)
7) Буран – ДЮСШ-2:
Р (Н1) = Р (Н2) = Р (Н3) = 1/3;
Р (Н1/А) = 7/7;
Р (Н2/А) = 5/7;
Р (Н3/А) = 0.
Р (А) = 7/21 + 5/21 = 4/7.
РБ = 7/21 : 4/7 = 7/12 (58%);
РД = 5/21 : 4/7 = 5/12 (42%);
Рничья = 0.
8) ВДВ – Черные акулы:
Р (Н1) = Р (Н2) = Р (Н3) = 1/3;
Р (Н1/А) = 4/7;
Р (Н2/А) = 2/7;
Р (Н3/А) = 1/7.
Р (А) = 4/21 + 2/21 + 1/21 = 1/3.
РВДВ = 4/21 : 1/3 = 4/7 (57 %);
РЧА =2/21 : 1/3 = 2/7 (29%);
Рничья = 1/21 : 1/3 = 1/7 (14%).
9) Буран 2005 – Соловей:
Р (Н1) = Р (Н2) = Р (Н3) = 1/3;
Р (Н1/А) = 3/7;
Р (Н2/А) = 1/7;
Р (Н3/А) = 2/7.
Р (А) = 3/21 + 1/21 + 2/21 = 2/7.
Р2005 = 3/21 : 2/7 = 1/2 (50%);
РС = 1/21 : 2/7 = 1/6 (17%);
Рничья = 2/21 : 2/7 = 1/3 (33%).
10) Ягуары – Кристалл:
Р (Н1) = Р (Н2) = Р (Н3) = 1/3;
Р (Н1/А) = 4/7;
Р (Н2/А) = 1/7;
Р (Н3/А) = 1/7.
Р (А) = 4/21 + 1/21 + 1/21 = 2/7.
РЯ = 4/21 : 2/7 = 2/3 (66%);
РК = 1/21 : 2/7 = 1/6 (17 %);
Рничья = 1/21 : 2/7 = 1/6 (17 %).
11) Буран 2005 – Ягуары:
Р (Н1) = Р (Н2) = Р (Н3) = 1/3;
Р (Н1/А) = 3/7;
Р (Н2/А) = 4/7;
Р (Н3/А) = 2/7.
Р (А) = 3/21 + 4/21 + 2/21 = 3/7.
Р2005= 3/21 : 3/7 = 1/3 (33%);
РЯ = 4/21 : 3/7 = 4/7 (45%);
Рничья = 2/21 : 3/7 = 2/9 (22%)
12) Соловей - Кристалл:
Р (Н1) = Р (Н2) = Р (Н3) = 1/3;
Р (Н1/А) = 1/7;
Р (Н2/А) = 1/7;
Р (Н3/А) = 1/7.
Р (А) = 1/21 + 1/21 + 1/21 = 1/7.
РС = 1/21 : 1/7 = 1/3 (34%);
РК = 1/21 : 1/7 = 1/3 (33%);
Рничья = 1/21 : 1/7 = 1/3 (33%)