XIX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Признаки делимости натуральных чисел
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Когда мы делим одно натуральное число на другое, то в одних случаях получаем целое число, а в других получаем результат с остатком.
Говорят, что целое число a делится на целое число b, если существует такое целое число c, что а = bс.
Но как определить сразу, делится ли одно число на другое, не делая вычисления столбиком. Я решил это выяснить.
Актуальность
Изучение признаков делимости позволит развить вычислительные навыки и решать сложные олимпиадные задачи
Гипотеза
Зная признаки делимости можно легко и быстро решать многие задачи и задания
Цель
Изучить признаки делимости чисел, научиться решать задачи на применение признаков делимости.
Задачи
1.Изучить литературу по поставленной проблеме
2. Повторить признаки делимости, изученные в школе
3.Самостоятельно исследовать признаки делимости чисел, не включенные в школьную программу
4. Применить признаки делимости при решении задач высокого уровня сложности
Методы исследования
В работе комплексно использовались следующие методы: работа с источниками (интернет, энциклопедии), расчеты, наблюдение, анализ.
Практическая значимость
Данная исследовательская работа будет полезной для учащихся при подготовке к контрольным работам и к олимпиадам, а в будущем при подготовке к ОГЭ и ЕГЭ по математике.
Глава 1.Теоретическая часть
1.1. История возникновения признаков делимости
Признак делимости – это правило, по которому, не выполняя деления можно определить, делится ли одно натуральное число на другое. Признаки делимости с древности интересовали ученых разных стран.
Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10, были известны с давних времен. Признак делимости на 2 знали древние египтяне за 2 тысячи лет до нашей эры.
Признаки делимости на 2, 3, 5 были обстоятельно изложены итальянским математиком Леона́рдо Фибоначчи
В III веке до нашей эры александрийский ученый Эратосфен открыл способ составления списка простых чисел, так как считал, что простые числа играют важную роль в изучении всех остальных чисел. Его метод составления списка простых чисел назвали «решето Эратосфена». Пусть надо найти все простые числа до 100. Напишем подряд все числа до 100.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100.
Оставив число 2, зачеркнем все остальные четные числа. Первым уцелевшим числом после 2 будет 3. Теперь, оставив число 3, зачеркнем числа, делящиеся на 3. Затем зачеркнем числа, делящиеся на 5. В результате все составные числа окажутся вычеркнутыми и останутся только простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. По этому методу можно составлять списки простых чисел, больших 100.
Вопросами делимости занимались ученики Пифагора . В теории чисел ими была проведена большая работа по типологии натуральных чисел. Пифагорейцы делили их на классы. Выделялись классы: совершенных чисел (число равное сумме своих собственных делителей, например: 6=1+2+3), дружественных чисел (каждое из которых равно сумме делителей другого, например 220 и 284: 284=1+2+4+5+10+20+11+22+44+55+110; 220=1+2+4+71+142), фигурных чисел (треугольное число, квадратное число), простых чисел и др.
Большой вклад в изучение признаков делимости чисел внес Блез Паскаль (1623-1662г.г.). Юный Блез очень рано проявил выдающиеся математические способности, научившись считать раньше, чем читать. Свой первый математический трактат «Опыт теории конических сечений» он написал в 24 года. Примерно в это же время он сконструировал механическую суммирующую машинку, прообраз арифмометра. В ранний период своего творчества (1640-1650г.г.) разносторонний ученый нашел алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число, из которого следуют все частные признаки. Его признак состоит в следующем: "Натуральное число а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа a на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b, делится на это число."
Таким образом, признаки делимости были известны с давних времен и интересовали математиков.
1.2. Признаки делимости, изученные в школе
В 6 классе на уроках математики мы изучили признаки делимости натуральных чисел на 10, на 5, на 2, на 3 и на 9.
Признак делимости на 10:
Число делится на 10 тогда, когда оно оканчивается на ноль.
Признак делимости на 5:
Число делится на 5 тогда, когда оно оканчивается на 0 или на 5.
Признак делимости на 2:
Число делится на 2 тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.
Признак делимости на 3:
Число делится на 3, когда сумма его цифр делится на 3. Например, число 159 делится на 3, поскольку сумма его цифр 1 + 5 + 9 = 15 делится на 3.
Признак делимости на 9:
Число делится на 9, когда сумма его цифр делится на 9. Например, сумма цифр числа 12345678 делится на 9, следовательно и само число делится на 9. 1+2+3+4+5+6+7+8=36.
1.3. Признаки делимости, найденные в других источниках
В книге «Энциклопедия юного математика» я нашел признаки делимости натуральных чисел на 4, на 8 и на 11.
Признак делимости на 4:
Число делится на 4, когда две последние цифры нули или составляют число, делящееся на 4. Например, число 14676 делится на 4 поскольку последние цифры у него 76, и число 76 делится на 4: 76:4=19.
Признак делимости на 8:
Число делится на 8, когда три последние его цифры составляют число, делящееся на 8. Например, число 94848 делится на 8 поскольку последние цифры у него 848, и число 848 делится на 8: 848:8=106. 9⋅4+5⋅2+2=48.
Признак делимости на 11:
Число делится на 11 тогда, когда разность между суммой цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных местах, делится на 11.
Например, 9 163 627 делится на 11, так как (9+6+6+7)−(1+3+2)|=22 делится на 11. Другой пример 99077 делится на 11, так как (9+0+7)−(9+7)=0 делится на 11.
На сайте wikipedia в интернете я нашел признаки делимости на 6 , 7 и 25.
Признак делимости на 6:
Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится и на 2, и на 3 (то есть если оно чётное и сумма его цифр делится на 3).
Признак делимости на 7:
Число делится на 7 тогда, когда утроенное число десятков, сложенное с цифрой в разряде единиц, делится на 7. Например, 154 делится на 7, так как на 7 делится 15⋅3+4=49. 100⋅3+1=301,30⋅3+1=91,9⋅3+1=28,2⋅3+8=14,1⋅3+4=7.
Признак делимости на 25:
Число делится на 25 тогда, когда две его последние цифры составляют число, которое делится на 25. Другими словами, на 25 делятся числа, оканчивающиеся на 00, 25, 50 или 75
Признак делимости на 30
Число делится на 30 тогда, когда оно заканчивается на 0 и сумма всех цифр делится на 3. Например: 510 делится на 30, а 678 — нет.
Глава 2. Практическая часть
2.1. Решение задач учебника 6 класса с применением признаков делимости
Я решил проверить, поможет ли знание признаков делимости натуральных чисел в быстром решении некоторых задач школьного курса 6 класса.
Задача 1:
Коля принес несколько коробок с яйцами, по 10 яиц в каждой коробке. Может ли быть , что он принес 35 яиц? 43 яйца? 50 яиц?
Решение: Используя признаки делимости на 10, можно без вычислений сказать, что Коля мог принести только 50 яиц, так как только число 50 оканчивается на 0 и следовательно делится на 10.
Задача 2:
В июне было подано 48 заявлений в 1-ый класс, в июле 36, а в августе 51. Можно ли из такого количества детей сформировать 4 класса с одинаковым количеством учеников?
Решение: посчитаем сколько всего было подано заявлений
48 +36 + 51 = 135 (з)
Теперь, используя признак делимости на 4, можем сразу определить, что сформировать 4 класса с одинаковым количеством учеников нельзя, потому что 135 не делится на 4 ( число 35 состоящее из двух последние цифр не делится на 4).
Задача 3:
Купили 5 одинаковых коробок цветных карандашей. Может ли в них оказаться: всего 92 карандаша? 90 карандашей? 75 карандашей?
Решение: используем признак делимости на 5. В итоге получаем, что в может оказаться всего 90 или 75 карандашей. Поскольку эти числа оканчиваются на 0 и 5, следовательно делятся на 5.
Задача 4:
Команда из 25 человек решила купить футбольный мяч и разделить его стоимость между собой поровну. Получится ли деление поровну, если мяч стоит 1925 рублей?
Решение: деление поровну получится, так как согласно признаку делимости на 25 делятся числа оканчивающиеся на 00, 25,50,75, а 1925 как раз оканчивается на 25.
Задача 5:
Мама принесла детям три одинаковых подарка. Может ли быть, что во всех подарках было 25 конфет? 75 конфет? 63 конфеты?
Решение: во всех подарках может быть либо 75, либо 63, так как согласно признаку делимости на 3 только эти числа делятся на три. Число 75: 7+5=12, раз 12 делится на 3, значит и 75 делится. Число 63: 6+3=9, раз 9 делится на 3, значит и 63 делится.
Задача 6:
Собрали 2 ц яблок и часть из них разложили в 9 одинаковых ящиков. Могло ли после этого остаться:60кг яблок? 56 яблок?
Решение: переводим ц в кг 2ц = 200кг
-
200 – 60 =140(кг) – количество яблок в 9 ящиках, но так быть не может так как 140 не делится на 9 (1+4+0 = 5, число 5 на 9 не делится).
-
200 – 56 =144(кг) – количество яблок в 9 ящиках, так быть может так как 144 делится на 9 (1+4+4 = 9, число 9 на 9 не делится).
Таким образом, ответ: 56 кг яблок.
Задача 7:
В стране Цифра есть 9 городов с названиями 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Путешественник обнаружил, что два города соединены авиалинией в том и только в том случае, если двузначное число, составленное из цифр — названий этих городов, делится на 3. Можно ли добраться из города 1 в город 9?
Решение: город 9 соединён авиалиниями только с городами 3 и 6, а города 3 и 6 соединены только между собой и с городом 9. (Это можно проверить пользуясь признаком делимости на 3.) Поэтому от города 9 нельзя добраться до города 1. Стало быть, невозможно добраться и из города 1 в город 9.
Задача 8:
Вовочка написал в тетради число 65349*0712 в качестве примера числа, которое делится: а) на 9; б) на 3. (На месте звёздочки когда-то была написана цифра, а теперь там пятно от сладкого чая.) Помогите Вовочке восстановить пропущенную цифру. Укажите все возможные варианты!
Решение.
Сумма известных цифр числа равна 37.
-
Чтобы число делилось на 9, нужно, чтобы его сумма цифр делилась на 9.
-
Это возможно, только если на месте звёздочки стоит цифра 8.
б) Чтобы число делилось на 3, нужно, чтобы его сумма цифр делилась на 3.
Это возможно, только если на месте звездочки стоит одна из цифр 2, 5, 8.
2. 2. Решение олимпиадных задач
Задача 1. Докажите, что произведение любых трёх последовательных целых чисел делится на: а) 3; б) 6.
Решение:
Пользуясь признаками делимости на 3 и 6 можно сказать следующее:
а) Среди трёх последовательных целых чисел всегда есть число, делящееся на 3, следовательно, всё произведение делится на 3.
б) Среди трёх последовательных целых чисел всегда есть чётное число, поэтому, учитывая пункт а), всё произведение делится на 6.
Задача 2. На доске было написано трехзначное натуральное число. После того, как Дин стер цифру сотен этого числа, оно уменьшилось в 6 раз. Какое трехзначное число могло быть написано на доске?
Решение:
Пусть х – оставшееся число;
Тогда 6х – исходное число;
6х-х = 5х – разница между числами.
С другой стороны, вычеркивая из трёхзначного числа цифру сотен, мы уменьшаем его на несколько сотен. Поэтому разница 5х должна делиться на 100.
5х / 100 = х / 20
То есть, х делится на 20. При этом число х < 100.
Поэтому все возможные варианты для х – это 20, 40, 60, 80 и 0. Для первых четырех значений есть примеры 120, 240, 360, 480. Если же х = 0, то исходное число тоже равно 0, то есть не трехзначное. Поэтому подходят четыре ответа: 120, 240, 360 и 480.
Задача 3. Найдите самое маленькое натуральное число, которое делится на 2, но не делится на 5, а после переноса последней цифры в начало результат делится на 5, но не делится на 2.
Решение:
Попробуем найти удовлетворяющее условию двузначное число.
Посмотрим на число после переноса последней цифры в начало. Чтобы результат делился на 5, но не делился на 2, число должно оканчиваться на 5. Значит, до переноса последней цифры в разряде десятков стояла пятерка.
Исходное число должно было оканчиваться на четную цифру, чтобы делиться на 2, но при этом не на 0, чтобы не делиться на 5. Самая маленькая подходящая под эти условия цифра — двойка.
И действительно, число 52 подходит: оно делится на 2, но не делится на 5, а после переноса результат, то есть число 25, делится на 5, но не делится на 2.
Это самое маленькое подходящее число, так как мы выяснили, что в разряде десятков должна стоять пятерка, числа 50 и 51 не подходят, а следующее по величине число — 52 — как раз является нашим ответом.
Задача 4. На вопрос: «В каком году Вы родились?» Дмитрий Алексеевич не дал прямого ответа. Но сказал, что две последние цифры его года рождения такие же, как у произведения всех двузначных чисел, уменьшенного на Приглядевшись, вы заметили, что Дмитрию Алексеевичу меньше ста лет. В каком году родился Дмитрий Алексеевич?
Решение:
Если перемножить все двузначные числа, получится число, которое делится на 100. Значит, оно оканчивается на два нуля. Поэтому, вычтя из него 5, мы получим число, оканчивающееся на 95. Итак, Дмитрий Алексеевич родился в году, оканчивающемся на 95. Это либо 1995, либо 1895, либо раньше. Так как Дмитрию Алексеевичу меньше ста лет, то подходит только 1995 год. Таким образом, он родился в 1995 году
3. Заключение.
В заключении хочу сказать, что поставленные цели и задачи, я выполнил. Вспомнил признаки делимости чисел из школьного курса, также узнал из разных источников и другие.
Доказал, что знание признаков делимости облегчает решение задач разного уровня сложности.
Думаю, что моя исследовательская работа будет полезной для учащихся при подготовке к контрольным работам и к олимпиадам, а в будущем при подготовке к ОГЭ и ЕГЭ по математике.
4. Список литературы
1.Энциклопедический словарь юного математика, Москва, «Педагогика» 1985.
Интернет Источники:
-
https://ru.wikipedia
-
https://dic.academic.ru
-
https://obuchonok.ru
-
Приложение
-
Книжка
Задачи на признаки делимости
Автор: Родионов Макар
Задача 1.
Задача 1:
Коля принес несколько коробок с яйцами, по 10 яиц в каждой коробке. Может ли быть , что он принес 35 яиц? 43 яйца? 50 яиц?
Решение: Используя признаки делимости на 10, можно без вычислений сказать, что Коля мог принести только 50 яиц, так как только число 50 оканчивается на 0 и следовательно делится на 10.
Задача 2:
В июне было подано 48 заявлений в 1-ый класс, в июле 36, а в августе 51. Можно ли из такого количества детей сформировать 4 класса с одинаковым количеством учеников?
Решение: посчитаем сколько всего было подано заявлений
48 +36 + 51 = 135 (з)
Теперь, используя признак делимости на 4, можем сразу определить, что сформировать 4 класса с одинаковым количеством учеников нельзя, потому что 135 не делится на 4 ( число 35 состоящее из двух последние цифр не делится на 4).
Задача 3:
Купили 5 одинаковых коробок цветных карандашей. Может ли в них оказаться: всего 92 карандаша? 90 карандашей? 75 карандашей?
Решение: используем признак делимости на 5. В итоге получаем, что в может оказаться всего 90 или 75 карандашей. Поскольку эти числа оканчиваются на 0 и 5, следовательно делятся на 5.
Задача 4:
Команда из 25 человек решила купить футбольный мяч и разделить его стоимость между собой поровну. Получится ли деление поровну, если мяч стоит 1925 рублей?
Решение: деление поровну получится, так как согласно признаку делимости на 25 делятся числа оканчивающиеся на 00, 25,50,75, а 1925 как раз оканчивается на 25.
З адача 5:
Мама принесла детям три одинаковых подарка. Может ли быть, что во всех подарках было 25 конфет? 75 конфет? 63 конфеты?
Решение: во всех подарках может быть либо 75, либо 63, так как согласно признаку делимости на 3 только эти числа делятся на три. Число 75: 7+5=12, раз 12 делится на 3, значит и 75 делится. Число 63: 6+3=9, раз 9 делится на 3, значит и 63 делится.
Задача 6:
Собрали 2 ц яблок и часть из них разложили в 9 одинаковых ящиков. Могло ли после этого остаться:60кг яблок? 56 яблок?
Решение: переводим ц в кг 2ц = 200кг
-
200 – 60 =140(кг) – количество яблок в 9 ящиках, но так быть не может так как 140 не делится на 9 (1+4+0 = 5, число 5 на 9 не делится).
-
200 – 56 =144(кг) – количество яблок в 9 ящиках, так быть может так как 144 делится на 9 (1+4+4 = 9, число 9 на 9 не делится).
Таким образом, ответ: 56 кг яблок.
Задача 7:
В стране Цифра есть 9 городов с названиями 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Путешественник обнаружил, что два города соединены авиалинией в том и только в том случае, если двузначное число, составленное из цифр — названий этих городов, делится на 3. Можно ли добраться из города 1 в город 9?
Решение: город 9 соединён авиалиниями только с городами 3 и 6, а города 3 и 6 соединены только между собой и с городом 9. (Это можно проверить пользуясь признаком делимости на 3.) Поэтому от города 9 нельзя добраться до города 1. Стало быть, невозможно добраться и из города 1 в город 9.
Задача 8:
Вовочка написал в тетради число 65349*0712 в качестве примера числа, которое делится: а) на 9; б) на 3. (На месте звёздочки когда-то была написана цифра, а теперь там пятно от сладкого чая.) Помогите Вовочке восстановить пропущенную цифру. Укажите все возможные варианты!
Решение:
Сумма известных цифр числа равна 37.
a) Чтобы число делилось на 9, нужно, чтобы его сумма цифр делилась на 9. Это возможно, только если на месте звёздочки стоит цифра 8.
б) Чтобы число делилось на 3, нужно, чтобы его сумма цифр делилась на 3. Это возможно, только если на месте звездочки стоит одна из цифр 2, 5, 8.
Олимпиадные задачи
Задача 9:
7* 8 * 9
Докажите, что произведение любых трёх последовательных целых чисел делится на
а) 3
б) 6.
Решение:
Пользуясь признаками делимости на 3 и 6 можно сказать следующее:
а) Среди трёх последовательных целых чисел всегда есть число, делящееся на 3, следовательно, всё произведение делится на 3.
б) Среди трёх последовательных целых чисел всегда есть чётное число, поэтому, учитывая пункт а), всё произведение делится на 6.
Задача 10:
Найдите самое маленькое натуральное число, которое делится на 2, но не делится на 5, а после переноса последней цифры в начало результат делится на 5, но не делится на 2.
Решение:
Попробуем найти удовлетворяющее условию двузначное число.
Посмотрим на число после переноса последней цифры в начало. Чтобы результат делился на 5, но не делился на 2, число должно оканчиваться на 5. Значит, до переноса последней цифры в разряде десятков стояла пятерка.
Исходное число должно было оканчиваться на четную цифру, чтобы делиться на 2, но при этом не на 0, чтобы не делиться на 5. Самая маленькая подходящая под эти условия цифра — двойка.
И действительно, число 52 подходит: оно делится на 2, но не делится на 5, а после переноса результат, то есть число 25, делится на 5, но не делится на 2.
Это самое маленькое подходящее число, так как мы выяснили, что в разряде десятков должна стоять пятерка, числа 50 и 51 не подходят, а следующее по величине число — 52 — как раз является нашим ответом.
Задача 11:
На вопрос: «В каком году Вы родились?» Дмитрий Алексеевич не дал прямого ответа. Но сказал, что две последние цифры его года рождения такие же, как у произведения всех двузначных чисел, уменьшенного на Приглядевшись, вы заметили, что Дмитрию Алексеевичу меньше ста лет. В каком году родился Дмитрий Алексеевич?
Решение:
Если перемножить все двузначные числа, получится число, которое делится на 100. Значит, оно оканчивается на два нуля. Поэтому, вычтя из него 5, мы получим число, оканчивающееся на 95. Итак, Дмитрий Алексеевич родился в году, оканчивающемся на 95. Это либо 1995, либо 1895, либо раньше. Так как Дмитрию Алексеевичу меньше ста лет, то подходит только 1995 год. Таким образом, он родился в 1995 году.
Задача 12:
На доске было написано трехзначное натуральное число. После того, как Дин стер цифру сотен этого числа, оно уменьшилось в 6 раз. Какое трехзначное число могло быть написано на доске?
Решение:
Пусть х – оставшееся число;
Тогда 6х – исходное число;
6х-х = 5х – разница между числами.
С другой стороны, вычеркивая из трёхзначного числа цифру сотен, мы уменьшаем его на несколько сотен. Поэтому разница 5х должна делиться на 100.
5х / 100 = х / 20
То есть, х делится на 20. При этом число х < 100.
Поэтому все возможные варианты для х – это 20, 40, 60, 80 и 0. Для первых четырех значений есть примеры 120, 240, 360, 480. Если же х = 0, то исходное число тоже равно 0, то есть не трехзначное. Поэтому подходят четыре ответа: 120, 240, 360 и 480.
-
Презентация