XIX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Моделирование многогранников

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Щербаков Ю.В. 1

---

1БМАОУ "Лицей № 7"

Архипова Л.И. 1

---

1БМАОУ "Лицей №7"

Работа в формате PDF

1.2 MB

Автор работы награжден дипломом победителя I степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

В школьной математике есть особая тема, которую хочется изучать и исследовать и — это мир удивительных многогранников. Сделать усвоение данной темы понятной и простой можно используя модели или различные наглядные пособия. Поскольку тема многогранников в следующем году предстоит нам к изучению на уроках нового для нас предмета - геометрии, то важно научиться развивать пространственное воображение, уметь моделировать и объемно представлять геометрические фигуры.

Одним из способов развития пространственного мышления и привлечение внимания сверстников к изучению многогранников может стать совместное изучение математики и оригами. Умение сложить фигуру из бумаги поможет развить навык воображения и совершенствовать фантазию, сформировать заинтересованность изучаемой темой учащимися средних классов и немного выйти за рамки школьной программы — всё это делает изучение использования оригами актуальным для исследования.

Актуальность: изучая многогранники на уроках математики, меня очень заинтересовала эта тема. Правильные многогранники обладают совершенством и красотой. Английский писател Льюис Кэрролл, автор всем вам известной книги “Алиса в стране чудес”, сказал: Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук».

К сожалению их не так много и я задумался над тем, что хочется познакомиться с правильными многогранниками более углубленно, сделать своими руками многогранники их развертки, модели. А может быть даже с помощью оригами!?

Основная цель работы – привлечь внимание одноклассников к теме изучения многогранников через моделирование геометрических фигур посредством оригами.

Для достижения цели нам необходимо решить следующие задачи:

• ознакомиться с историей многогранников;

• изучить понятие и виды многогранников;

• рассмотреть методы моделирования многогранников в технике оригами;

• смоделировать многогранник из бумаги;

• ознакомить заинтересовавшихся учащихся с работой;

• сделать выводы из исследования.

Объект исследования: раздел математики «Многогранники».

Предмет исследования: моделирование многогранников с помощью развертки и оригами.

В ходе работы над проектом мы подтверждали следующую гипотезу: моделирование многогранников посредством построения геометрических фигур из оригами помогает развить пространственное мышление и привлечь интерес одноклассников к изучению данного раздела математики.

В ходе исследования мы опирались на различные методы исследования: 1) поиск, анализ и обработка информационных источников; 2) практическая работа.

Практическая значимость результатов исследования состоит в том, что разработанные материалы могут быть использованы учениками при изучении математики.

1. Из истории изучения многогранников

Многогранники были всегда интересны людям и первые знания о данных фигурах упоминаются в Древнем Египте и Вавилоне около 3 тыс. лет назад. Не даром считается, что пирамида Хеопса — это немой трактат по геометрии.

Знания о многогранниках создавались постепенно, с течением времени ученые стали объединять информацию, которая была выявлена практическим путем и рассуждениями. Ученые и философы Древней Греции переняли знания и развили достижения науки Древнего Востока.

В V веке до н. э. Южная Италия и, в частности, Пифагор (570-470 г. до н.э.) играют значительную роль в описании многогранников. Пифагорейцам причисляют открытие пяти правильных многогранников, которые философские школы рассматривали в своих концепциях изучения мира. Безусловно, прежде всего, мыслителей восхищала красота и совершенство геометрических фигур. Пифагор полагал, что правильные многогранники — божественные формы. Согласно теории его школы, многогранники отражают основы бытия: огонь – тетраэдр, вода – икосаэдр, воздух – октаэдр, земля – гексаэдр, вселенная – додекаэдр.

Еще одним философом, который осветил тему многогранников в своем труде был Платон (427-347 г. до н.э.). И хоть он не был математиком, но придавал особое значение изучению геометрии. Основав школу «Академия», над входом были размещены слова: «Да не войдет сюда не знающий геометрии». Многогранники стали называть «Платоновыми телами», поскольку труд «Тимей», написанный Платоном, вошел в историю как работа, в которой он подробно описал правильные многогранники Пифагора.

Евклид (325 — 265 годы до н. э.) и его знаменитая работа «Начала» еще больше закрепили знания об изучении правильных многогранников. Математик доказал, что правильных многогранников существует только пять.

Архимед (287—212 годы до н. э.) пошел несколько дальше в изучении многогранников и поскольку ранее было доказано, что шестого правильного многогранника построить нельзя, он сосредоточился на многогранниках, которые получились при соединении правильных, но разноименных многоугольников. Таким образом, мир узнал о телах Архимеда – выпуклых многогранниках, имеющих в качестве граней два или более типов правильных многоугольников, которые примыкают к идентичным вершинам. Свою теорию о 13 многогранниках ученый подробно описал в своей работе «О многогранниках».

Многогранники изучаются вот уже более четырех тысяч лет и ассоциируется с именами самых известных философов и математиков: Пифагора, Платона, Евклида, Архимеда. Ученых всегда привлекала красота симметрии и идеальные формы многогранников, которые встречаются и в обыденной жизни, а также в природе.

Понятие правильного многогранника.

Многогранники - это простейшие фигуры в пространстве, как, например, многоугольники - простейшие фигуры на плоскости. Если рассматривать многогранник с точки зрения геометрии, то это часть пространства, ограниченная плоскими многоугольниками, называемыми гранями. Стороны и вершины граней называют рёбрами и вершинами самого многогранника.

Правильный многогранник это фигура, обладающая следующими свойствами:

- он выпуклый;

- все его грани являются равными правильными многоугольниками;

- в каждой его вершине сходится одинаковое число граней;

- все его двугранные углы равны.

Доказано существование только пяти правильных многогранников.

2.Оригами как метод моделирования.

Простое понятие, которое наиболее точно описывает фигуру многогранника — это геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками — гранями. Эти многоугольники называются гранями; вершина — это угловая точка многоугольника; ребро — отрезок, который соединяет две вершины.

Для того, чтобы уметь анализировать геометрические фигуры и решать задачи в дальнейшем необходимо научиться объемно представлять их в пространстве. Знание как построить трехмерную фигуру, для того чтобы наглядно представлять многогранник, очень важно для дальнейшего изучения объёмных фигур в математике. Именно моделирование помогает решать такую задачу.

Моделирование — это метод познания, состоящий в создании и исследовании моделей. Модель — это некое подобие объекта, которое отражает характеристики оригинала.

История изучения многогранников связана с практикой построений при помощи подручных средств. Многогранники можно конструировать из всевозможных материалов и разными методами, например, можно рассмотреть следующие виды: метод оригами с использованием бумаги, метод развертки с использованием бумаги или картона, так же многогранники можно выполнить, применяя различные конструкторы, для этой цели отлично подойдёт магнитный конструктор, а также использование современных технологий 3D моделирования.

Наиболее интересным для меня стал способ моделирования из бумаги – оригами. Оригами – это искусство складывания из листа бумаги. С помощью известного алгоритма сложения бумаги можно получить различные геометрические фигуры. Оригами так же позволяет познакомиться или еще раз изучить геометрические фигуры и понятия. Благодаря этому немецкий педагог Фридрих Фребель (21 апреля 1782 — 21 июня 1852) обратил свое внимание на то, что занятие оригами помогает детям лучше успевать по математике, так как позволяет развить так способности как пространственное воображение и умение мысленно оперировать с объемными предметами, учит читать чертежи, по которым складываются фигуры, помогает развитию первых чертежных навыков. Фридрих Фребель вводил оригами в процесс обучения предлагал изучать не с помощью циркуля, линейки и некоторых понятий, а на примере фигур складывающейся бумаги.

Таким образом, данный метод был выбран мной как наиболее удобный для шестиклассника для изучения моделирования многогранника благодаря доступным материалам (бумага), внешней и внутренней наглядности частей модели, а также максимальной схожести с задуманным оригиналом.

3. Моделирование куба способом модульного оригами

Модульное оригами — техника оригами, которая характеризуется многослойным складыванием, то есть каждый модуль складывается из отдельного листа бумаги.

Для того, чтобы построить куб нам понадобится шесть листов квадратной бумаги . Удобнее использовать при моделировании разные цвета бумаги.

Начальные складки

Начните с бумаги белой стороной вверх, если она есть.

1. Сложите бумагу пополам слева направо и разверните. Теперь у вас есть центральная складка.

2. Сложите левый и правый края к центральной складке и разверните.

3. Согните верхний левый угол и нижний правый угол внутрь, совместив с двумя предыдущими складками.

4. Сложите левый и правый края обратно к центральной складке.

5. Сделайте диагональные сгибы, поверните и повторите

6. Сложите нижнюю левую часть по диагонали вверх вправо вдоль диагонального клапана, который находится в правой части.

7. Подверните лоскут, который вы только что создали, под правую часть.

8. Поверните бумагу и загните нижний левый угол так же, как и раньше.

9. Сложите друг в друга части модулей

10. Вставьте клапан под нижнюю правую часть.

11. Переверните модель на другую сторону слева направо.

12. Согните левый нижний угол к нижней точке правого края.

13. Сложите самую верхнюю точку вниз и влево.

14. Теперь вам нужно иметь шесть таких модулей.

15. Начните с того, что возьмите одну единицу с клапаном сверху и снизу. Затем возьмите еще два, поместите их слева и справа от первого. У двух по обе стороны закрылки справа и слева.

Левый модуль: вставьте нижний правый наконечник в нижний карман центрального блока.

Правый модуль: Вставьте верхнюю левую точку в верхний карман на центральном блоке.

Сборка куба

1. Теперь возьмите еще два модуля, разместите их над и под центральным блоком.

2. Вставьте верхний клапан от центрального модуля в правый карман того, что выше.

3. Вставьте нижний клапан центрального модуля в левый карман нижнего.

4. Теперь пришло время собирать юниты, но будьте осторожны, чтобы они не все развалились. Сформируйте блоки в коробку, вставив клапаны, как показано на рисунке.

5. Теперь, когда у вас есть коробка, вы можете достать последнюю единицу и закончить оригами-куб.

4. Моделирование куба с помощью развертки

Развёртка (англ. crease pattern; паттерн складок) — один из видов оригами, представляющий собой чертёж, на котором изображены все складки готовой модели. Куб - это геометрическая фигура, которая состоит из шести граней-квадратов. Чтобы склеить куб, необходимо выполнить развертку, которая состоит из 6 квадратов.

1. Развертку чертим, используя линейку и карандаш.

2. Вырезаем развертку куба ножницами.

3. Сгибаем по начерченным линиям (припуски также).

4. Намазываем клеем припуски на склеивание, приклеиваем их к сторонам куба, сформировав фигуру.

5. Моделирование тетраэдра с помощью развертки

Тетраэдр еще одна удивительная фигура, которая довольно часто встречается в нашей жизни, но обычно наши знания о нем ограничиваются определением, свойствами и формулами из школьного курса геометрии.

Слово "тетраэдр" образовано из двух греческих слов: tetra – переводиться как четыре и hedra – означает основание, грань; в каждой вершине тетраэдра сходятся по 3 грани. Эта фигура имеет 4 грани, 6 ребер и 4 вершины.

С самых древних времен представления людей о красоте были связаны с симметрией. Возможно, этим объясняется интерес людей к многогранникам – удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание выдающихся мыслителей и людей всех эпох. Уже во времена Пифагора дивились их красоте и симметрии. Ученики Пифагора считали, что правильные многогранники – это божественные фигуры и использовали их в философских сочинениях. Первоосновам бытия – огню, воздуху, воде, земле придавалась форма соответственно октаэдра, икосаэдра, тетраэдра, куба, а Вселенная представлялась в форме додекаэдра. Ученики Платона продолжили изучение перечисленных тел, поэтому эти многогранники называют Платоновыми телами.

Роль задач о тетраэдрах очень высока в развитии математического мышления школьников. Эти задачи стимулируют накопление геометрических представлений и знаний, способствуют развитию пространственного мышления, что особенно важно в процессе изучения стереометрии.

Где можно встретить тетраэдр? Тетраэдр, такая удивительная геометрическая фигура, которая встречается нам повсюду, но с первого взгляда ее не так просто заметить. Тетраэдр может образовать жёсткую конструкцию. Выполненный из стержней, его часто используют в качестве основы для пространственных конструкций балок, ферм мостов, пролётов зданий, перекрытий и т. д. Прямоугольный тетраэдр давно используется в оптике. На велосипедах отражатели катафоты имеют форму тетраэдра. Благодаря свойствам тетраэдра, катафоты отражают свет и другим людям и водителям видно велосипедиста. Если внимательно присмотреться, то внутри катафота видно множество форм тетраэдра.

Виды тетраэдра

Фигуру тетраэдр можно разделить на несколько видов, какие они бывают?

Равногранный тетраэдр, все его грани являются равными между собой треугольниками;

Ортоцентрический тетраэдр, высоты, опущенные из вершин на противоположные грани, пересекаются в одной точке;

Прямоугольный тетраэдр, ребра, прилежащие к одной из вершин, являются перпендикулярными между собой;

Правильный тетраэдр, это тетраэдр, грани которого являются равносторонними треугольниками,

Инцентрический тетраэдр, его отрезки соединяют вершины с центрами окружностей, которые вписаны в противоположные грани и пересекаются в одной точке.

Выделяют так же каркасный тетраэдр, соразмерный тетраэдр.

Тетраэдр – подсказанное нам природой идеальное равновесие, в основе которого, идеальность равнобедренного треугольника. Тетраэдр – треугольник, но только в объемном виде, в наше время его можно назвать 3D треугольник

6. Заключение.

Я познакомился и воспользовался таким способом изготовления моделей многогранников, который называется методом развёрток.

Кроме изготовления многогранников с помощью развёрток есть ещё и другие способы построения этих фигур. Это, например, изготовление Платоновых тел способом плетения, с помощью оригами. Эти способы позволяют создать удивительные по красоте конструкции.

Таким образом, я создал коллекцию правильных многогранников

Я познакомился с красивыми, совершенными и гармоничными фигурами - правильными многогранниками, узнали имена учёных, художников, которые посвятили этому свои труды. Ещё раз убедился, что истоки математики – в природе, в окружающей нас действительности.

Мы научились конструировать модели правильных многогранников, изучили историю возникновения, их свойства.

Модели этих фигур могут найти применение на уроках физики, математики, химии, биологии как наглядно-иллюстративный материал, а так же, как материал для дальнейших исследований всех заинтересовавшихся.

Останавливаться на достигнутом мне бы не хотелось. В моих планах научиться изготовлять модели полуправильных и звёздчатых многогранников.

5. Список используемой литературы.

1. Веннинджер М. Модели многогранников. — 1974. URL: https://www.mathedu.ru/text/vennindzher_modeli_mnogogrannikov_1974/p5/

2. История многогранников. URL: https://naukam.ucoz.ru/publ/istoricheskie/istorija_mnogogrannikov/6-1-0-67

3. Об изготовлении своими руками моделей многогранников из бумаги. URL: http://zvzd3d.ru/FromBumaga.html

4. Объемные фигуры для дошкольников. URL: https://www.analogi.net/razvivashki/obemnye-geometricheskie-figury-dlya-doshkolnikov

5. Что такое многогранник? Примеры. URL: https://mnogogranniki.ru/chto-takoe-mnogogrannik.htmlhttps://mnogogranniki.ru/chto-takoe-mnogogrannik.html

Приложение 1. Модели многогранников

Р азвертка додекаэдра

⁠

Приложение 2. Презентация