XIX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Решение задач с помощью кругов Эйлера
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Актуальность
Когда на уроках математики мы рассматривали тему о пересечении и объединении множеств, меня заинтересовал приём решения задач с помощью схемы, на которой изображались так называемые круги Эйлера, и я решила провести исследование с целью выявить задачи, которые проще решать с помощью кругов Эйлера и научиться применять этот способ для их решения.
Для достижения поставленной цели я выдвинула ряд задач:
1) Изучить теоретические сведения по теме "Круги Эйлера".
2) Посмотреть применение "кругов Эйлера" в реальной жизни.
Объект исследования:
Задачи на множества различных элементов (чисел и других объектов)
Предмет исследования:
Множества и действия с ними.
Методы исследования:
1) Наблюдение
2) Анализ решения готовых задач
3) Решение задач, применяя арифметический метод и круги Эйлера
4) Составление задач
5) Создание сборника задач, которые решаются с помощью кругов Эйлера
Гипотеза:
Применение кругов Эйлера позволяет упростить решение задач.
Глава 1. Историческая справка
Леонард Эйлер (1707 - 1783 )
Эйлеру повезло: он родился в маленькой тихой Швейцарии, куда изо всей Европы приезжали мастера и ученые, не желавшие тратить дорогое рабочее время на гражданские смуты или религиозные распри. Так переселилась в Базель из Голландии семья Бернулли: уникальное созвездие научных талантов во главе с братьями Якобом и Иоганном. По воле случая юный Эйлер попал в эту компанию и вскоре сделался достойным членом базельского питомника гениев.
Эйлер принадлежит к числу гениев, чьё творчество стало достоянием всего человечества. До сих пор школьники всех стран изучают тригонометрию и логарифмы в том виде, какой придал им Эйлер. Студенты проходят высшую математику под руководством, первыми образцами которых явились классические монографии Эйлера. Он был, прежде всего, математиком, но он знал, что почвой, на которой расцветает математика, является практическая деятельность. Он оставил важнейшие труды по самым различным отраслям математики, механики, физики, астрономии и по ряду прикладных наук. Трудно даже перечислить все отрасли, в которых трудился великий учёный .
Е го называли идеальным математиком 18 века. Леонард Эйлер написал более 850 научных работ. В одной из них и появились круги. А впервые он их использовал в письмах к немецкой принцессе. Эйлер писал тогда, что «круги очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления». Позднее аналогичный прием использовал ученый Джон Венн — британский логик и философ; основные труды в области логики классов; и этот приём назвали «диаграммы Венна», который используется во многих областях: теория множеств, теория вероятностей, логика, статистика, компьютерные науки.
При решении целого ряда задач Леонард Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов и они получили название «круги Эйлера-Венна».
Этот метод даёт более наглядное представление о возможном способе изображения условий, зависимости, отношений в логических задачах.
Во многих учебниках математики множество всех действительных чисел Эйлер изображено с помощью кругов, изображённых на рисунке (Рис. 3): N - Множество натуральных чисел, Z – множество целых чисел, Q – множество рациональных чисел, R – множество всех действительных чисел.
Рис. 3
Глава 2. Теоретическая часть
2.1.Теоретические основы о кругах Эйлера
Эйлеровы круги (круги Эйлера) — это принятый в логике способ моделирования, наглядного изображения отношений между объёмами понятий с помощью кругов, предложенный знаменитым математиком Л. Эйлером.
Обозначение отношений между объёмами понятий посредством кругов было применено ещё представителем афинской неоплатоновской школы — Филопоном (VI в.), написавшим комментарии на «Первую Аналитику» Аристотеля.
Условно принято, что круг наглядно изображает объём одного какого-нибудь понятия. Объём же понятия отображает совокупность предметов того или иного класса предметов. Поэтому каждый предмет класса предметов можно изобразить посредством точки, помещённой внутри круга, как это показано на рисунке.
Группа предметов, составляющая вид данного класса предметов, изображается в виде меньшего круга, нарисованного внутри большего круга, как это сделано на рисунке.
Такое именно отношение существует между объемами понятий «небесное тело» (А) и «комета» (B). Объему понятия «небесное тело» соответствует больший круг, а объёму понятия «комета» — меньший круг. Это означает, что все кометы являются небесными телами. Весь объём понятия «комета» входит в объём понятия «небесное тело».
В тех случаях, когда объёмы двух понятий совпадают только частично, отношение между объёмами таких понятий изображается посредством двух перекрещивающихся кругов, как это показано на рисунке.
Такое именно отношение существует между объёмом понятий «школьник» и «спортсмен». Некоторые (но не все) школьники являются спортсменами; некоторые (но не все) спортсмены являются школьниками. Не заштрихованная часть круга А отображает ту часть объёма понятия «студент», которая не совпадает с объёмом понятия «спортсмен»; не заштрихованная часть круга B отображает ту часть объёма понятия «спортсмен», которая не совпадает с объёмом понятия «школьник». 3аштрихованиая часть, являющаяся общей для обоих кругов, обозначает школьников, являющихся спортсменами, и спортсменов, являющихся школьниками.
Другой пример пересекающихся множеств. Пусть множество А – это ребята из нашего класса, которые зарегистрированы в социальной сети ВКонтакте.ru и множество В ребят, которые пользуются другой сетью – Facebook. Есть ребята, которые пользуются одновременно двумя сетями – это множество А и В. Данное множество образуется пересечением (общей частью) двух или более множеств.
Когда же ни один предмет, отображённый в объёме понятия A, не может одновременно отображаться в объёме понятия B, то в таком случае отношение между объёмами понятий изображается посредством двух кругов, нарисованных один вне другого. Ни одна точка, лежащая внутри одного круга, не может оказаться внутри другого круга.
Такое именно отношение существует, например, между понятиями «треугольник» и «прямоугольник». В объёме понятия «треугольник» не отображается ни один прямоугольник, а в объёме понятия «прямоугольник» не отображается ни один треугольник.
Отношения между равнозначащими понятиями, объёмы которых совпадают, отображаются наглядно посредством одного круга, на поверхности которого написаны две буквы, обозначающие два понятия, имеющие один и тот же объём.
Такое отношение существует, например, между понятиями "автор и композитор песни "Пять причин" и исполнитель песни "Пять причин". Объёмы этих понятий одинаковы, в них отобразилось одно и то же известное лицо — российский композитор и певец Игорь Николаев.
Нередко бывает и так: одному понятию (родовому) подчиняется сразу несколько видовых понятий, которые в таком случае называются соподчинёнными. Отношение между такими понятиями изображается наглядно посредством одного большого круга и нескольких кругов меньшего размера, которые нарисованы внутри большего круга.
Такое именно отношение существует между понятиями «скрипка», «флейта», «пианино», «рояль», «барабан». Эти понятия в равной мере подчинены одному общему родовому понятию «музыкальные инструменты».
Круги, изображающие соподчинённые понятия, не должны касаться друг друга и перекрещиваться, так как объёмы соподчиненных понятий несовместимы; в содержании соподчинённых понятий имеются, наряду с общими, различающие признаки. Эта схема отображает общее, что характерно для отношения любых соподчиненных понятий, взятых из различных областей знания. Это применимо к понятиям: «дом», «сарай», «ангар», «театр», подчинённых понятию «постройка»; к понятиям: «муха», «комар», «бабочка», «жук», «пчела», подчинённых понятию «насекомое» и т. д.
2.2. Решение задач с помощью кругов Эйлера
Рассмотрим несколько задач, которые могут быть решены с применением кругов Эйлера на уроках математики.
Задача 1.
Из 52 школьников 23 собирают значки, 35 собирают марки, а 16 - и значки, и марки. Остальные не увлекаются коллекционированием. Сколько школьников не увлекаются коллекционированием?
Решение.
В условии этой задачи не так легко разобраться. Если сложить 23 и 35, то получится больше 52. Это объясняется тем, что некоторых школьников мы здесь учли дважды, а именно тех, которые собирают и значки, и марки. Чтобы легче решать задачу, представим ее данные на следующей схеме:
На этой схеме большой круг означает всех школьников, о которых идёт речь. Круг З изображает школьников, собирающих значки (всего их 23), а круг М - школьников, собирающих марки (всего их 35). В пересечении кругов З и М стоит число 16 - это те, кто собирает и значки, и марки. Значит, только значки собирает 23 - 16 = 7 человек, только марки собирает 35 - 16 = 19 человек. Всего марки и значкисобирает19 + 7 + 16 = 42 человека. Остаётся 52 - 42 = 10 человек, не увлечённых коллекционированием. Это число можно вписать в свободное поле круга.
Ответ: 10 человек.
Задача 2.
В классе 15 мальчиков. Из них 10 человек занимается волейболом и 9 баскетболом. Сколько мальчиков занимается и тем, и другим?
Решение.
Изобразим условие с помощью кругов Эйлера.
Этот рисунок подсказывает нам рассуждения. Разберём это рассуждение и впишем нужное число в каждую из образовавшихся на диаграмме частей.
Только баскетболом занимается 15 - 10 = 5 мальчиков; только волейболом занимается 15 - 9 = 6 мальчиков; в двух секциях занимается 15 - (5+6) = 4 человека.
Ответ: 4 человека.
Задача 3.
В доме 120 жильцов, у некоторых из них есть собаки и кошки. На рисунке круг С изображает жильцов с собаками, круг К - жильцов с кошками. Сколько жильцов имеют собак? Сколько жильцов имеют кошек? Сколько жильцов не имеют ни кошек, ни собак?
Решение:
Собак имеют 15 + 8 = 23 человека; кошек 23 + 8 = 31 человек ; не имеют ни кошек, ни собак 120 - (15 + 8 +23) = 94 человека.
Ответ: 94 человека.
Задача 4.
В группе из 80 туристов, приехавших на экскурсию в Москву, 52 хотят посетить Большой театр, 30 - Художественный театр, 12 хотят посетить оба театра, остальные в театры ходить не хотят. Сколько человек не собирается идти в театр?
Решение:
Только большой театр посетят: 52-12=40 туристов;
только художественный театр посетят
30-12=18 туристов;
80-(40+18+12)=10 туристов не собираются идти в театр.
Ответ: 10 человек.
Задача 5.
При опросе 100 учеников 6-х классов выяснилось, что у 78 человек есть планшет, у 85 - смартфон, а у 8 учеников нет ни планшета, ни смартфона. У скольких учеников есть и планшет, и смартфон?
Решение:
Имеют планшеты и смартфоны
100 - 8 = 92ученика;
имеют только смартфон 92 - 78 = 14 учеников 6-х классов;
имеют только планшет 92 - 85 = 7 учеников;
имеют и планшет, и смартфон 92 - (14+7)=71 ученик
Ответ: 71 ученик.
Задача 6.
На пикник поехали 92 человека. Бутерброды с колбасой взяли 50 человек, с сыром - 60 человек, с ветчиной - 40 человек, с сыром и колбасой - 30 человек, с колбасой и ветчиной = 15 человек, с сыром и ветчиной - 25 человек, 5 человек взяли с собой все три вида бутербродов, а несколько человек вместо бутербродов взяли пирожки. Сколько человек взяли с собой пирожки?
Решение:
Изобразим условие с помощью кругов Эйлера.
Сначала отметим 5 человек, которые взяли с собой все три вида бутербродов;
затем вычислим:
15 - 5 = 10 человек взяли 2 вида бутербродов с колбасой и ветчиной;
25 - 5 = 20 человек взяли два вида бутербродов с сыром и ветчиной;
30 - 5 = 25 человек взяли два вида бутербродов с сыром и колбасой;
50 - (10 + 5 + 25) = 10 человек взяли бутерброды только с колбасой;
60 - (25 + 5 + 20) = 10 человек взяли бутерброды только с сыром;
40 - (10 + 5 + 20) = 5 человек взяли бутерброды только с ветчиной.
Пирожки взяли 92 - (10 + 25 + 10 + 10 + 5 + 20 + 5) = 7 человек.
Ответ: 7 человек.
Задача 7.
В классе 30 человек. 20 из них каждый день пользуются метро, 15 – автобусом, 23 – троллейбусом, 10 – и метро, и троллейбусом, 12 – и метро, и автобусом, 9 – и троллейбусом, и автобусом. Сколько человек ежедневно пользуется всеми тремя видами транспорта?
Решение:
1 способ. Для решения опять воспользуемся кругами Эйлера. Пусть х человек пользуется всеми тремя видами транспорта. Тогда пользуются
только метро и троллейбусом – (10 – х) человек,
только автобусом и троллейбусом – (9 – х) человек,
только метро и автобусом – (12 – х) человек.
Найдем, сколько человек пользуется одним только метро:
20 – (12 – х) – (10 – х) – х = х – 2.
Аналогично получаем: х – 6 – только автобусом и х + 4 – только троллейбусом, так как всего 30 человек, составляем уравнение:
х + (12 – х) + (9 – х) + (10 – х) + (х + 4) + (х – 2) + (х – 6) = 30,
отсюда х = 3.
2 способ. А можно эту задачу решить другим способом: 20 + 15 + 23 – 10 – 12 – 9 + х = 30, 27 + х = 30, х = 3. Здесь сложили количество учеников, которые пользуются хотя бы одним видом транспорта и из полученной суммы вычли количество тех, кто пользуется двумя или тремя видами и, поэтому, вошли в сумму 2-3 раза. Таким образом, получили количество всех учеников в классе.
Ответ. 3 человека ежедневно пользуются всеми тремя видами транспорта.
Задача 8.
Шестиклассники заполняли анкету с вопросами об их любимых мультфильмах, созданных киностудией "Мельница". В частности, вопросы были о мультфильмах, повествующих о приключениях трёх самых известных богатырей - Алёши Поповича, Добрыни Никитича и Ильи Муромца.
Оказалось, что большинству из них нравятся "Три богатыря и Шамаханская царица", "Три богатыря на дальних берегах" и "Три богатыря. Ход конём". В анкетировании принимали участие 38 учеников. Мультфильм "Три богатыря на дальних берегах», нравится 21 ученику. Причём трём среди них нравятся ещё и "Три богатыря. Ход конём", шестерым - "Три богатыря и Шамаханская царица", а один ребёнок одинаково любит все три мультфильма. У мультфильма "Три богатыря. Ход конём" 13 фанатов, пятеро из которых назвали в анкете два мультфильма. Надо определить, скольким шестиклассникам нравится мультфильм "Три богатыря и Шамаханская царица".
Решение
Так как по условиям задачи у нас даны три множества, чертим три круга. А так как по ответам ребят выходит, что множества пересекаются друг с другом, чертеж будет выглядеть так:
Мы помним, что по условиям задачи среди фанатов мультфильма "Три богатыря. Ход конём" пятеро ребят выбрали два мультфильма сразу:
Выходит, что:
21 – 3 – 6 – 1 = 11 – ребят выбрали только "Три богатыря на дальних берегах"
13 – 3 – 1 – 2 = 7 – ребят в последнее время смотрят только "Три богатыря: Ход конём"
Осталось только разобраться, сколько шестиклассников двум другим вариантам предпочитает мультфильм "Три богатыря и Шамаханская царица".
От всего количества учеников отнимаем всех тех, кто любит два других мультфильма или выбрал несколько вариантов:
38 – (11 + 3 + 1 + 6 + 2 + 7) = 8 – человек смотрят только "Три богатыря и Шамаханская царица".
Теперь смело можем сложить все полученные цифры и выяснить, что:
мультфильм "Три богатыря и Шамаханская царица".
выбрали 8 + 2 + 1 + 6 = 17 человек. Это и есть ответ на поставленный в задаче вопрос.
Ответ: 17 человек.
Заключение
В результате работы над данной темой я изучила теоретический материал по теме "Круги Эйлера", рассмотрела ряд задач, которые можно решить с помощью кругов Эйлера, создала Сборник задач и пришли к следующим выводам:
1. Круги Эйлера – не просто занимательная и интересная схема, но и весьма полезный метод решения задач. Причём не только абстрактных задач на школьных уроках, но и вполне себе житейских проблем.
2. Применение кругов Эйлера (диаграмм Эйлера-Венна) позволяет легко решить задачи, которые обычным путём разрешимы лишь при составлении системы нескольких уравнений с несколькими неизвестными.
Таким образом, наша гипотеза подтвердилась. Автор метода - учёный Леонард Эйлер, говорил о названных его именем схемах: «круги подходят для того, чтобы облегчить наши размышления». Мы согласны с его словами. Круги Эйлера помогают быстро и просто решить даже достаточно сложные или просто запутанные на первый взгляд задачи.
Список литературы
-
Депман,И.Я., Виленкин, Н.Я. За страницами учебника математики Пособие для учащихся 5 – 6 кл. [Текст]/ И.Я Депман. М.: Просвещение, 1999.
-
Задачи для внеклассной работы по математике в V – VI классах: Пособие для учителей [Текст]/ Сост. В.Ю. Сафонова. Под ред. Д.Б. Фукса, А. Л. Гавронского. М.: МИРОС, 1993.
-
Игнатьев. Е.И. В царстве смекалки, или Арифметика для всех: Книга для семьи и школы. Опыт математической хрестоматии в 3 книгах/Худож. Н.Я. Бойко. – Ростов н/Д: Кн. Изд-во, 1995.
-
Ф., В. Математика: Задачи на смекалку: Учеб. пособие для 5 – 6 кл. общеобразоват. учреждений. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2000. – 95 с.: ил.
-
Фарков, А.В. Математические олимпиады в школе.5–11 классы.[Текст] / А.В. Фарков. М.: Айрис–пресс, 2007.
-
Интернет-ресурс:
Приложение:
ЗАДАЧИ, РЕШАЕМЫЕ
С ПОМОЩЬЮ КРУГОВ ЭЙЛЕРА
Автор: Зайцева Анастасия, 5 «Б» класс БМАОУ «Лицей № 7»
Задача 1
Некоторые ребята из нашего класса любят ходить в кино. Известно, что 15 ребят смотрели фильм «Обитаемый остров», 11 человек - фильм «Стиляги», из них 6 смотрели и «Обитаемый остров», и «Стиляги». Сколько человек смотрели только фильм «Стиляги»?
Решение:
6 человек, которые смотрели фильмы «Обитаемый остров» и «Стиляги», помещаем в пересечение множеств.
1. 15 - 6 = 9 - человек, которые смотрели только «Обитаемый остров»,
2. 11- 6 = 5 - человек, которые смотрели только «Стиляги».
Получаем:
Ответ: 5 человек.
Задача 2
Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Крейсер и Линкор? (Считается, что все вопросы выполняются практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.)
Решение:
При помощи кругов Эйлера изобразим условия задачи.
1) 4800 + 4500 - 7000 = 2300 (тыс. страниц) - найдено по запросу Крейсер и Линкор,
2) 4800 - 2300 = 2500 (тыс. страниц) - найдено по запросу Крейсер,
3) 4500 - 2300 = 2200 (тыс. страниц) - найдено по запросу Линкор.
Ответ: 2300 тыс. страниц.
Задача 3
На полке стояло 26 волшебных книг по заклинаниям, все они были прочитаны. Из них 4 прочитал и Гарри Поттер, и Рон. Гермиона прочитала 7 книг, которых не читали ни Гарри Поттер, ни Рон, и две книги, которые читал Гарри Поттер. Всего Гарри Поттер прочитал 11 книг. Сколько книг прочитал только Рон?
Решение:
Сделаем схему:
Так как Гарри Поттер всего прочитал 11 книг, из них 4 книги читал Рон и 2 книги - Гермиона, то 11 - 4 - 2 = 5 - книг прочитал только Гарри.
Следовательно, 26 - 7 - 2 - 5 - 4 = 8 - книг прочитал только Рон.
Ответ: 8 книг.
Задача 4
В трёх седьмых классах 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?
Решение:
1) 10 - 3 = 7 (ребят) - посещают драмкружок и хор,
2) 6 - 3 = 3 (ребят) - поют в хоре и занимаются спортом,
3) 8 - 3 = 5 (ребят) - занимаются спортом и посещают драмкружок,
4) 27 - 7 - 3 - 5 = 12 (ребят) - посещают драмкружок,
5) 32 - 7 3 - 3 = 19 (ребят) - поют в хоре,
6) 22 - 5 - 3 - 3 = 11 (ребят) - увлекаются спортом,
Задача 5
Каждый из 35 шестиклассников является читателем, по крайней мере, одной из двух библиотек: школьной и районной. Из них 25 человек берут книги в школьной библиотеке, 20 - в районной.
Сколько шестиклассников:
-
Являются читателями обеих библиотек;
-
Не являются читателями районной библиотеки;
-
Не являются читателями школьной библиотеки;
-
Являются читателями только районной библиотеки;
-
Являются читателями только школьной библиотеки?
Решение:
Чертим два множества таким образом:
1) 20+ 25 - 35 = 10 (человек) - являются читателями обеих библиотек. На схеме это общая часть кругов. Мы определили единственную неизвестную нам величину. Теперь, глядя на схему, легко даем ответы на поставленные вопросы.
2) 35 - 20 = 15 (человек) - не являются читателями районной библиотеки,
3) 35 - 25 = 10 (человек) - не являются читателями школьной библиотеки,
4) 35- 20 = 10 (человек) - являются читателями только районной библиотеки,
5) 35- 20 = 15 (человек) - являются читателями только школьной библиотеки.
Очевидно, что вопросы 2 и 5, а также 3 и 4 - равнозначны и ответы на них совпадают.
Ответ: 10 человек; 15 человек; 10 человек; 10 человек; 15 человек.
Задача 6
Шестиклассники заполняли анкету с вопросами об их любимых мультфильмах. Оказалось, что большинству из них нравятся «Белоснежка и семь гномов», «Губка Боб Квадратные Штаны» и «Волк и теленок». В классе 38 учеников. «Белоснежка и семь гномов» нравится 21 ученику. Причем трем среди них нравятся еще и «Волк и теленок», шестерым - «Губка Боб Квадратные Штаны», а один ребенок одинаково любит все три мультфильма. У «Волка и теленка» 13 фанатов, пятеро из которых назвали в анкете два мультфильма. Надо определить, скольким же шестиклассникам нравится «Губка Боб Квадратные Штаны».
Решение:
Мы помним, что по условиям задачи среди фанатов мультфильма «Волк и теленок» пятеро ребят выбрали два мультфильма сразу, т.е. 5 - 3 = 2 - ученика выбрали «Волк и теленок» и «Губка Боб Квадратные Штаны».
1) 21 - 3 - 1 - 6 = 11 - учеников выбрали только «Белоснежка и семь гномов»,
2) 13 - 3 - 1 - 2 = 7 - учеников выбрали - «Волк и теленок»,
3) 38 - (11 + 3 + 1 + 2 + 6 + 7) = 8 - ребят выбрали «Губка Боб Квадратные Штаны».
Ответ : 8 человек
Задача 7
В магазин «Мир музыки» пришло 35 покупателей. Из них 20 человек купили новый диск певицы Максим, 11 – диск Земфиры, 10 человек не купили ни одного диска. Сколько человек купили диски и Максим, и Земфиры?
Изобразим эти множества на кругах Эйлера.
Теперь посчитаем: Всего внутри большого круга 35 покупателей, внутри двух меньших 35–10=25 покупателей. По условию задачи 20 покупателей купили новый диск певицы Максим, следовательно, 25 – 20 = 5 покупателей купили только диск Земфиры. А в задаче сказано, что 11 покупателей купили диск Земфиры, значит 11 – 5 = 6 покупателей купили диски и Максим, и Земфиры:
Ответ: 6 человек
Задача 8
Из 100 ребят, отправляющихся в детский оздоровительный лагерь, кататься на сноуборде умеют 30 ребят, на скейтборде – 28, на роликах – 42. На скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8 ребят, на скейтборде и на роликах – 10, на сноуборде и на роликах – 5, а на всех трех – 3. Сколько ребят не умеют кататься ни на сноуборде, ни на скейтборде, ни на роликах?
Всеми тремя спортивными снарядами владеют три человека, значит, в общей части кругов вписываем число 3. На скейтборде и на роликах умеют кататься 10 человек, а 3 из них катаются еще и на сноуборде. Следовательно, кататься только на скейтборде и на роликах умеют 10-3=7 ребят. Аналогично получаем, что только на скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8-3=5 ребят, а только на сноуборде и на роликах 5-3=2 человека. Внесем эти данные в соответствующие части. Определим теперь, сколько человек умеют кататься только на одном спортивном снаряде. Кататься на сноуборде умеют 30 человек, но 5+3+2=10 из них владеют и другими снарядами, следовательно, только на сноуборде умеют кататься 20 ребят. Аналогично получаем, что только на скейтборде умеют кататься 13 ребят, а только на роликах – 30 ребят. По условию задачи всего 100 ребят. 20+13+30+5+7+2+3=80 – ребят умеют кататься хотя бы на одном спортивном снаряде. Следовательно, 20 человек не умеют кататься ни на одном спортивном снаряде.
Ответ. 20 человек не умеют кататься ни на одном спортивном снаря
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. На фирме работают 67 человек. Из них 47 знают английский язык, 35 - немецкий язык, а 23 - оба языка. Сколько человек фирмы не знают ни английского, ни немецкого языков?
Задача 2. Из 40 учащихся нашего класса 32 любят молоко, 21 - лимонад, а 15 - и молоко, и лимонад. Сколько ребят в нашем классе не любят ни молоко, ни лимонад?
Задача 3. 12 моих одноклассников любят читать детективы, 18 - фантастику, трое с удовольствием читают и то, и другое, а один вообще ничего не читает. Сколько учеников в нашем классе?
Задача 4. Из тех 18 моих одноклассников, которые любят смотреть триллеры, только 12 не прочь посмотреть и мультфильмы. Сколько моих одноклассников смотрят одни «мультики», если всего в нашем классе 25 учеников, каждый из которых любит смотреть или триллеры, или мультфильмы, или и то и другое?
Задача 5. Из 29 мальчишек нашего двора только двое не занимаются спортом, а остальные посещают футбольную или теннисную секции, а то и обе. Футболом занимается 17 мальчишек, а теннисом - 19. Сколько футболистов играет в теннис? Сколько теннисистов играет в футбол?
Задача 6. В одном классе 25 учеников. Из них 7 любят груши, 11 - черешню. Двое любят груши и черешню; 6 - груши и яблоки; 5 - яблоки и черешню. Но есть в классе два ученика, которые любят все и четверо таких, что не любят фруктов вообще. Сколько учеников этого класса любят яблоки?
Задача 7. В конкурсе красоты участвовали 22 девушки. Из них 10 было красивых, 12 - умных и 9 - добрых. Только 2 девушки были и красивыми, и умными; 6 девушек были умными и одновременно добрыми. Определите, сколько было красивых и в то же время добрых девушек, если я скажу вам, что среди участниц не оказалось ни одной умной, доброй и вместе с тем красивой девушки?
Задача 8. В нашем классе 35 учеников. За первую четверть пятерки по русскому языку имели 14 учеников; по математике - 12; по истории - 23. По русскому и математике - 4; по математике и истории - 9; по русскому языку и истории - 5. Сколько учеников имеют пятерки по всем трем предметам, если в классе нет ни одного ученика, не имеющего пятерки хотя бы по одному из этих предметов?